Правильные многогранники

Правильные многогранники
Цечоев Руслан Ахметович, 10 класс
Научный руководитель Плиева Лейла Магомедовна
ГАОУ «Гимназия №1 г. Назрань», Республика Ингушетия , г. Назрань
Правильных многогранников вызывающе мало,
но этот весьма скромный по численности отряд
сумел пробраться в самые глубины различных наук.
Л. Кэрролл
Введение
Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс, увлекшись
изготовлением моделей многогранников, написал в письме к отцу: «…я
сделал тетраэдр, додекаэдр и ещё два эдра, для которых не знаю
правильного названия». Эти слова знаменовали рождение в пока ничем не
примечательном мальчике великого физика Джеймса Кларка Максвелла.
Целью нашего исследования мы определяем ознакомление с
многогранным миром геометрии. Важность исследования
заключается в том, что изучая правильные многогранники, мы
рассматриваем их строение и свойства. Рассматривая правильных
многогранников, мы увидим связь между математической теорией
и реальным миром, различными сферами жизни и деятельности
человека. В ходе данной работы, мы также рассмотрим с вами, как
используются правильные многогранники в природе. И, конечно
же, приведем несколько способов их плетения. Надеюсь, что вам
понравится данная работа и, что вы достойно ее оцените.
Основная часть.
Зададимся вопросом: сколько же всего этих вызывающе малых
правильных многогранников? Оказывается, их ровно пять: тетраэдр, куб,
октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Подтвердить это можно с помощью
1
развертки выпуклого многогранного угла. Согласно определению, для того
чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник, в каждой вершине
должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых
является
правильным
многоугольником.
Сумма
плоских
углов
о
многогранного угла должна быть меньше 360 , иначе никакой многогранной
поверхности не получится.
Названия правильных многогранников пришли из Древней Греции. В
дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр",
"додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник",
"шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник".
Тетраэдр – четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е.
треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя
равносторонними
треугольниками;
один
из
пяти
правильных
многоугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180º.
Тетраэдр
имеет
4
грани,
4
вершины
и
6
ребер (рис.1).
Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с
равными ребрами, ограниченная шестью квадратами. Сумма плоских углов
при каждой вершине равна 270º. Куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер
(рис.2).
Октаэдр-восьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками.
Сумма плоских углов при каждой вершине 240º. Октаэдр имеет 8 граней, 6
вершин и 12 ребер. (рис.3).
Додекаэдр-двенадцатигранник,
тело,
ограниченное
двенадцатью
многоугольниками; правильный пятиугольник. Сумма плоских углов при
каждой вершине равна 324º. Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30
ребер. (рис.4).
Икосаэдр
двадцатигранник,
тело,
ограниченное
двадцатью
многоугольниками;
правильный
икосаэдр
ограничен
двадцатью
равносторонними треугольниками. Сумма плоских углов при каждой
вершине равна 300º.Икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер. (рис.5).
Рисунки: 1-Тетраэдр, 2-Куб, 3-Октаэдр, 4-Додекаэдр, 5-Икосаэдр.
У каждого из них все грани – одинаковые правильные многогранники, в
каждой вершине одного многоугольника сходится одинаковое число ребер, а
соседние грани сходятся под равными углами. Гранями правильного
2
многогранника могут быть либо правильные треугольники, либо правильные
четырехугольники, либо правильные пятиугольники.
Посчитаем число вершин(В), ребер(Р) и граней (Г) у каждого многогранника
и запишем полученный результат в табличку.
Многогранник
Тетраэдр
В
Г
Р
В+Г-Р
4
4
6
2
ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике
равно 2.
Г+ВР=2
Такое соотношение доказал один из величайших математиков Леонард
Эйлер(1707-1783), поэтому эту формулу и называют Формулой Эйлера.
Эйлер был родом из Швейцарии, но, несмотря на это большую часть своей
жизни он прожил в России, и мы с полным основанием можем считать его
нашим соотечественником.
У правильных многогранников есть еще одна особенность.
Оказывается, первый из них (тетраэдр) стоит немного особняком: если
считать центры его граней вершинами нового многогранника, то вновь
получим (тетраэдр).
3
Зато четыре оставшихся многогранника, разбиваются на две пары.
Центры граней куба образуют октаэдр, а центры граней октаэдра – куб. то же
самое происходит и с парой додекаэдр – икосаэдр.
Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами,
поскольку они занимают видное место в философской картине мира,
разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном ( примерно
ок. 428 – ок. 348 до н.э.).
Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли,
воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных
многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, так как его вершина
устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени. Куб – самая устойчивая из
фигур – землю. Октаэдр – воздух. Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду.
В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями
вещества – жидким, твёрдым, газообразным и пламенным. Пятый
многогранник – додекаэдр, символизировал весь мир и почитался
главнейшим.
«Космический кубок» Кеплера
Кеплер предположил, что между пятью правильными многогранниками и
шестью планетами Солнечной системы существует связь.
Согласно этому предположению, в сферу орбиты
Сатурна можно вписать куб, в который вписывается
сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь,
вписывается тетраэдр, описанный около сферы
орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается
додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты
Земли. А она описана около икосаэдра, в который
вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты
4
рис.8 Модель
Солнечной
системы И. Кеплера
описана около октаэдра, в который вписывается
сфера Меркурия.
Такая модель Солнечной системы (рис. 6)
позднее получила название «Космического кубка»
Кеплера. Результаты своих вычислений Кеплер
опубликовал в книге «Тайна мироздания». По его
мнению, тайна Вселенной была раскрыта.
С каждым годом учёный
всё больше и больше уточнял свои
наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы
отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в
третьем законе Кеплера, где говорится о кубах средних расстояний от
Солнца.
Правильные многогранники в природе
Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. И природа этим
широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых
кристаллов.
Возьмем, к примеру, поваренную соль, без которой мы не можем
обойтись. Известно, что она растворима в воде и служит проводником
электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму
куба.
Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится
без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества
имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется
сурьменистый
сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество,
синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия
имеет форму тетраэдра.
При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми
кварцами
(K[Al(SO4)2]  12H2O), их монокристаллы имеют форму
правильного октаэдра.
Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму
кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания
полупроводников первого поколения. Икосаэдр оказался в центре внимания
биологов в их спорах относительно формы вирусов. Для того чтобы
установить его форму, они брали различные многогранники, направляли на
них свет под теми же углами, что и подталкивало атомов на вирус.
Впоследствии оказалось, что такую тень дает только один многогранник –
икосаэдр.
5
Правильная форма алмаза – октаэдр
Кристаллы поваренной соли (куб)
Изготавливаем многогранники!
С помощью правильных многогранников можно приукрасить, к примеру,
Новый год. Кроме традиционных елочных украшении, к этому празднику
можно изготовить геометрические игрушки. Это модели правильных
многогранников, которые делаются из цветной бумаги. Рассмотрим рисунок
6 а-д, на котором даны разверстки этих геометрических игрушек.
рис.6: а-д
Существует еще один способ изготовления моделей многогранников, при
котором они сплетаются из нескольких полосок бумаги, без применения
клея. Модель приобретает жесткую структуру после того, как будет
заправлен последний кусок бумаги.
На рисунке 7, а показан способ плетения тетраэдра из двух полосок,
состоящих из четырех треугольников.
Согните и разогните каждую из полосок по пунктирным линиям,
чтобы образовались сгибы – «овраги». Наложите цветную полоску на
белую. Сложите из белой тетраэдр так, чтобы цветной треугольник
оказался внутри него, оберните цветной полоской две грани тетраэдра
6
рис. 7.
На рисунке 7, б показано, как можно сплести куб из трех полосок,
разделенных на пять квадратов.
1.
2.
3.
4.
вырежьте три такие полоски (белую, черную, красную).
сложите белую полоску.
оберните ее черной полоской.
получим куб, у которого передняя и задняя грани белые, а остальные –
черные.
5. третью полоску (красную) пропустите сзади куба в щель между белой и
черной полосками, согните, и конечные квадраты также пропустите в
щель между передней белой гранью и черной полоской.
Если полоски разного цвета, то у получающегося куба противоположные
грани одинакового цвета. Данный способ интересен тем, что любые две
полоски не зацеплены одна с другой, а все три зацеплены.
7
Вывод:
Благодаря правильным многогранникам открываются не только
удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания
природной гармонии.
Правильные многогранники (тезисы)
В данной работе предметом изучения для нас являются
правильные многогранники. В ходе данной работы мы с вами
узнали, что многогранник называется правильным, если: 1) он
выпуклый; 2) все его грани – равные друг другу правильные
многоугольники; 3) все его двугранные равны; 4) в каждой его
вершине сходится одинаковое число ребер. Всего существуют пять
правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и
икосаэдр. Их названия из Древней Греции. В дословном переводе с
греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр",
"икосаэдр"
означают:
"четырехгранник",
"восьмигранник",
"шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник".
Использованная литература и источники позволили нам
более глубоко рассмотреть данную тему. Хотя мы и не претендуем
на окончательность данного исследования.
Важность данного исследования, на мой взгляд, заключается
в том, что подобные работы на уровне нашей гимназии не были
проведены.
8
Литература:
1.«Советская Энциклопедия» Москва 1979г.
2. Математика: Школьная энциклопедия /Гл. ред. М 34 С.М. Никольский. М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996, С. 527
3. Математический энциклопедический словарь/ «Советская Энциклопедия»,
1988г.
4.Интернет ресурсы.
5. Перельман Я.И. Занимательная геометрия – 11-е изд. – М.: Физмагтиз,
1959.
9