Лекция 6 Потенциальные силовые поля

Лекция 6
Потенциальные силовые поля
Механическая работа, мощность. Потенциальные силовые поля, потенциальная
энергия. Связь потенциальной энергии с силой. Работа консервативных сил в механической системе. Собственная потенциальная энергия системы частиц.
Воздействия сил на тела разнообразны. Одна и та же сила может вызвать и вращение, и перемещение, и деформацию тела. Для количественной характеристики действия сил вводятся новые физические величины. Например, для характеристики вращательного действия силы на тела вводится понятие вектора момента силы, действие силы на поверхность тел характеризуется давлением и т.п.
Механическая работа.
Под воздействием сил тела могут совершать перемещения. Воздействие силы на перемещение тел характеризуется скалярной физической величиной механическая работа. Пусть частица под воздействием равнодействующей силы перемещается по траектории 1-2 (рис. 6.1). В общем случае сила может меняться в различных точках траектории как по величине, так и по направлению. Рассмотрим
элементарное перемещение частицы, в пределах которого действующую силу можно было бы считать
постоянной.
Рис. 6.1
Действие силы F на перемещение
dr характеризуется элементарной работой
d A = Fdr = F cos a ds = Fs ds,
где  - угол, составленный векторами
(6.1)
F и dr , ds  dr - элементарный путь, пройденный частицей,
Fs - проекция силы на направление перемещения.
Элементарная работа силы в зависимости от угла  может быть положительной, отрицательной, а
также равной нулю.
Представив равнодействующую силу с помощью ее составляющих и подставляя в формулу (6.1),
получим
d A = (F1 + F2 + ... + Fn )dr = F1dr + F2 dr +
... + Fn dr = d A1 + d A2 + ... + d An ×
где
(6.2)
d Ai - элементарные работы составляющих сил на перемещение частицы. Значит, работа равнодей-
ствующей силы равна алгебраической сумме работ ее составляющих сил. Естественно, что разные составляющие имеют разные вклады на данное перемещение частицы. Сила, работа которой положительна (    2 ), способствует данному перемещению частицы и называется движущей силой. Если
работа силы отрицательна (    2 ), то она препятствует перемещению частицы и называется силой
сопротивления. Является ли сила движущей, или силой сопротивления, зависят от условий рассматриваемой задачи. Одна и та же сила в одном случае может быть движущей силой, а в другом – силой
сопротивления. Например, для поднимающегося тела сила тяжести выступает в роли силы сопротивления, а для опускающегося – в роли движущей силы. Однако существуют силы, которые всегда совершают отрицательную работу и такие, которые работы не совершают (см. лекцию 7).
Сложив элементарные работы сил (6.2) на всех элементарных участках траектории, получим полную работу силы на рассматриваемом участке 1-2:
2
2
1
1
A   Fdr   Fs ds.
(6.3)
Вообще, работа, определяемая интегралом (6.3) зависит как от координат начальных и конечных
точек, так и от вида траектории частицы.
Рассчитаем работу некоторых сил.
Работа силы упругости.
Пусть пружина, имеющая в недеформированном состоянии длину ℓ0 , одним концом прикреплена
к неподвижной точке О, а частица, прикрепленная к другому концу, двигается по произвольной траектории (рис. 6.2).
Сила упругости, действующая на частицу в любой точке траектории, равна
F  krˆ ,
где
 r
0
(6.4)
- деформация пружины. Элементарная работа этой силы на перемещение частицы будет
 A  krˆdrˆ  k  dr rˆ ,
где
 dr r̂
- есть проекция перемещения на направление радиус-вектора r и равна приращению длины
(модуля) радиус-вектора:
Рис. 6.2
( dr )r = dr cos a = d r = dr .
(6.5)
Учитывая, что dr  d , элементарную работу представим в виде
d Aупр = - k x d x .
Работа силы упругости на полное перемещение будет:
æk x 2 ÷
ö
÷
.
Aупр = - k ò xd x = - D çç
÷
çè 2 ÷
ø
x1
x2
Работа кулоновских и гравитационных сил.
Эти силы выражаются следующей формулой:
Fк 
Gm1m2  для гравит. масс
rˆ,   
.
 для зарядов
r
kq1q2

2
(6.6)
Работа этих сил на элементарное перемещение частицы, с учетом (6.5), будет равной:
 Aк  
r dr
dr
 2 ,
3
r
r
интегрирование которой дает
r2
Aк   
r1
dr
 

       .
2
 r
r
r2 r1
(6.7)
Работа однородной силы тяжести.
Координатную ось Z направим вертикально вверх и рассчитаем работу силы тяжести тела на элементарное перемещение (рис.6.3):
 A  mgdr   mgdz ,
интегрирование которой приводит к результату
Aтяж = - D (mgz ).
(6.8)
Рис. 6.3
Заметим, что работы рассмотренных сил зависят только от начальных и конечных координат частицы и не зависят от вида траектории перемещения. Это свойственно не всем силам. Например, работа сил трения зависит от траектории перемещения.
Быстрота совершения работы характеризуется скалярной физической величиной, называемой мощностью. Она имеет смысл работы, совершаемой силой за единицу времени
N
dA
dr
F
 Fv.
dt
dt
(6.9)
Следовательно, мощность, развиваемая силой в любой момент времени равна скалярному произведению скорости частицы и действующей силы.
Различные машины и приспособления заменяют человека, выполняя механическую работу. Все
эти машины характеризуются мощностью, которая показывает интенсивность совершения работы
данной машиной. Если известна зависимость мощности от времени, то совершаемая работа определится по формуле:
t
A   N  t  dt .
(6.10)
0
В системе единиц СИ работа измеряется в джоулях (Дж). Один джоуль – это работа силы в
один ньютон, когда точка ее приложения перемещается по направлению силы на один
метр: 1Дж = 1Н.м. В этой системе единиц мощность измеряется в ваттах (Вт). Ватт – это та постоянная мощность машины, которая за одну секунду совершает работу в один джоуль.
В системе единиц СГС работа измеряется в эргах:
[A]= дин ×см = эрг = 10- 7 Дж
[N ]= эрг / с = 10- 7 Вт.
Потенциальные силовые поля.
Силовое поле – это область пространства, в которой на частицу действует сила, меняющаяся по определенному закону.
Если сила, действующая на частицу, остается неизменной в любой точке силового поля, то такое
силовое поле называется стационарным. Силовое поле стационарное в одной СО может быть нестационарным в другой СО.
Если частица перемещается в силовом поле из точки 1 в точку 2, то работа сил поля на это перемещение будет зависеть, вообще говоря, как от начальной и конечной положений частицы, так и от
вида траектории перемещения. В физике наибольший интерес представляют те стационарные силовые поля, работа сил которых не зависит от вида траектории перемещения частицы. Подобные поля
называются потенциальными, а действующие в них силы – консервативными. Примерами консервативных сил являются силы упругости, кулоновские и гравитационные силы, сила тяжести.
Покажем, что работа сил потенциального силового поля при перемещении частицы по замкнутой траектории равна нулю.
Рис. 6.3
Пусть частица перемещается из точки 1 в точку 2 по двум разным траекториям: 1а2 и 1b2 (рис. 6.3).
Так как поле потенциальное, то
A1a 2  A1b 2
.
(6.11)
Работа сил поля на перемещение 2b1 равна работе на перемещение 1b2 с обратным знаком:
A1b 2   A2b1
.
(6.12)
Если рассчитать работу сил поля на перемещение по замкнутой траектории, то с помощью (6.11) и
(6.12) получим, что она равна нулю:
A1a 2  A2b1  A1a 2  A1b 2  0
.
(6.13)
Покажем обратное: если работа сил поля равна нулю при перемещении частицы по произвольной
замкнутой траектории, то это поле является потенциальным.
Перемещение частицы по произвольной замкнутой траектории можно разбить на последовательные перемещения 1а2 и 2b1 (рис. 6.3), тогда
A1a 2  A2b1  0 .
(6.14)
С другой стороны, пользуясь условием стационарности поля, снова можем написать соотношение
(6.12), с учетом которого, из (6.14) получим условие потенциальности поля (6.11).
И так, равенство нулю работы сил поля при перемещении частицы по произвольной замкнутой траектории является необходимым и достаточным условием потенциальности силового поля.
Силовое поле является результатом взаимодействия тел. Сила, действующая на частицу в силовом
поле, есть результат воздействия именно этих тел.
Силы, которые зависят от расстояния между взаимодействующими частицами и направлены вдоль
соединяющей их прямой, называются центральными силами. Примерами центральных сил являются кулоновские и гравитационные силы, сила упругости. Центральную силу, действующую со стороны
частицы 2 на частицу 1 можно представить в следующем виде (рис. 6.4):
Рис.6.4.
Рис.6.4'
F12  f  r12  rˆ12 ,
(6.15)
где r12  r1  r2 – радиус-вектор, характеризующий взаимное расположение частиц.
Силовое поле, линии действия сил которого в разных положениях частицы проходят через одну и
ту же точку О, а величина силы зависят от расстояния частицы до точки О, называется центральносимметричным, или просто центральным силовым полем (рис. 6.4'). Точка О называется силовым центром поля. В атоме или в планетной системе поля, создаваемые ядром и Солнцем, являются
примерами центрально-симметричных полей. В центральном поле на частицу действует центральная
сила:
F  f  r  rˆ ,
(6.15´)
где r - расстояние частицы от силового центра О.
Покажем, что стационарное центральное силовое поле потенциально. Определим элементарную работу центральной силы (6.15´):
 A  F  r  dr  f  r  dr r  f  r  dr.
(6.16)
Полная работа сил этого поля на произвольное перемещение 1-2 будет:
r2
A   f  r  dr    r2     r1  ,
(6.17)
r1
где   r  – является первообразной силовой функции и зависит только от r. Следовательно, центральное силовое поле потенциально, так как (6.17) независимо от вида траектории перемещения частицы.
Потенциальная энергия.
Тот факт, что работа сил, действующих в потенциальных силовых полях, зависит только от координат
начального и конечного положений частицы, дает возможность характеризовать потенциальные поля
скалярной физической величиной, называемой потенциальной энергией.
Пусть частица перемещается из различных точек потенциального силового поля в заранее выбранную точку О (рис.6.5). Так как работа сил поля на это перемещение не зависит от вида траектории, то она может зависеть только и только от радиус-вектора r , характеризующего положение точки
D:
O
AD- O =
ò Fdr = U (r ).
(6.18)
D
Скалярная функция U, зависящая от положения частицы (относительно фиксированной точки О),
называется потенциальной энергией частицы в точке D поля. Работу, совершенную силами поля на
перемещение частицы между двумя произвольными точками, можно выразить убыванием функции U.
Действительно, так как работа сил поля не зависит от траектории перемещения, то перемещение ча-
стицы 1-2 произведем так, чтобы траектория проходила через точку О (рис. 6.5). Так что можно написать
Рис. 6.5
A1- 2 = A1- O + AO- 2 = A1- O - A2- O ,
откуда, с учетом (6.18), получим
A12 U  r1  U  r2    U  r 
(6.19)
Следовательно, работа сил поля на перемещение частицы между двумя произвольными
точками 1-2 равна убыли потенциальной энергии частицы.
Потенциальная энергия частицы в данной точке поля остается неопределенной. Однако если задать значение потенциальной энергии частицы в какой-либо точке поля, то, перемещая частицу из
этой точки в различные точки поля и измеряя работу сил поля, из (6.19) сможем однозначно определить потенциальную энергию во всех точках поля. Это обычно осуществляется выбором нулевого
уровня потенциальной энергии. То есть, предварительно договариваются потенциальную энергию в
какой-то точке О считать за ноль. Выбор нулевого уровня потенциальной энергии поля называется
нормировкой потенциальной энергии. Теперь уже понятно, что при введении потенциальной
энергии частицы в (6.18) мы молчаливо принимали точку О как нулевой уровень потенциальной энергии.
Если потенциальная энергия нормирована, то потенциальная энергия частицы в произвольной точке поля численно равна работе, которую совершают силы поля при перемещении
частицы из рассматриваемой точки в нулевой уровень.
Сравнивая (6.19) с выражениями (6.6) - (6.8), полученными нами для работы сил упругости, кулоновских и гравитационных сил и сил тяжести, получим потенциальные энергии частицы в этих силовых полях:
U упр (r )=
kx 2
+ C1 ,
2
(6.20)
U кул (r )=
a
+ C2 ,
2
(6.21)
U тяж (z )= mgz + C2
.
(6.22)
Выбором следующих условий нормировки
U упр (0)= 0, Uкул (¥ )= 0, Uтяж (0)= 0 ,
(6.23)
в формулах (6.20)-(6.22) постоянные слагаемые обратятся в нуль.
Следует заметить, что все физические формулы, которые могут быть сравнены с результатами
экспериментов, содержат только разность потенциальных энергий, которая не зависит от условия
нормировки. Так что нормирование потенциальной энергии не играет в физике большой роли.
Еще одно замечание. Потенциальная энергия не является характеристикой частицы в потенциальных силовых полях. Она характеризует способность силового поля, созданного консервативно взаимодействующими телами, совершить механическую работу. Частица в данном случае – пассивный
объект для изучения энергетических свойств поля.
И так, воздействие потенциального силового поля на частицу можно охарактеризовать двумя способами: силой F, действующей на частицу (силовая характеристика) и потенциальной энергией частицы U в каждой точке этого поля (энергетическая характеристика). Обе эти характеристики равноправны. Используя связи, существующие между ними, из одной можно получить другую.
Получим связь между силой и потенциальной энергией.
Пусть частица в потенциальном поле совершила элементарное перемещение dr . По определению,
работа сил поля на рассматриваемое перемещение будет
 A  Fdr  Fs ds .
(6.24)
С другой стороны, эта работа равна убыли потенциальной энергии частицы:
 A   dU ,
(6.25)
что является выражением (6.19) для элементарного перемещения частицы. Из записанных соотношений (6.18) и (6.25) следует, что если известен вид действующих в поле сил F(r), то потенциальная
энергия в произвольной точке r определится интегралом
r
U  r     F  r  dr ,
(6.26)
O
где точка О выбрана в качестве нулевого уровня потенциальной энергии.
Если известна потенциальная энергия, то из соотношений (6.24) и (6.25) получим
Fs  
U
s
,
(6.27)
который является градиентом потенциальной энергии, взятым с обратным знаком. Значит, проекция силы вдоль перемещения Fs , действующей на частицу со стороны поля, равна проекции градиента потенциальной энергии частицы на это же направление, взятой с обратным
знаком.
Элементарное перемещение dr и силу F в прямоугольной системе координат можно представить
в следующем виде:
dr  iˆdx  ˆjdy  kˆdz;
F  iˆFx  ˆjFy  kˆFz .
(6.28)
(6.29)
Рассматривая работу составляющих этой силы в направлении соответствующих координатных осей
и приравнивая их убыли потенциальной энергии частицы U  x, y, z  по этим осям, получим
Fx  
U
U
U
; Fy  
; Fz  
.
x
y
z
(6.30)
С учетом этого, вектор силы (6.29), действующей на частицу, примет следующий вид:
 U ˆ U ˆ U 
F    iˆ
j
k
   gradU .
y
y 
 x
(6.31)
Выражение в скобках – это градиент скалярной функции U в прямоугольной системе координат.
Введя обозначение набла-оператора



  iˆ  ˆj  kˆ ,
x
x
x
соотношение (6.27) можно представить в виде
(6.32)
F   U .
(6.33)
Полученные соотношения (6.26) и (6.31) дают однозначную связь между силовой и энергетической характеристиками потенциального поля. Например, если потенциальная энергия частицы выражается формулой
U  x, y     x 2   y 2 ,
то сила, действующая в поле, будет:


F  2 iˆ x  ˆj y .
Потенциальная энергия системы во внешнем поле.
Предположим, что механическая система, состоящая из n частиц, находится во внешнем потенциальном поле. Определим работу, которую совершают внешние консервативные силы на перемещение
механической системы за элементарный промежуток времени.
Как убедились, любая частица в потенциальном поле наделена потенциальной энергией. Обозначим потенциальные энергии частиц механической системы как U1 r1 ;U 2 r2 ;...;U n rn , где r1 , r2 ,..., rn
 
 
 
радиус-векторы, характеризующие положения частиц.
Покажем, что потенциальная энергия системы во внешнем потенциальном поле есть сумма потенциальных энергий составляющих систему частиц:
n
U  r1 , r2 ,..., rn    U i  ri .
(6.34)
i 1
Пусть частицы системы за элементарный промежуток времени dt совершили перемещения
dr1 , dr2 ,... .
Согласно результату, полученному выше, работа сил поля на перемещение любой частицы
равна убыли потенциальной энергии этой частицы:
 A1   dU1  r1  ;  A2   dU 2  r2  ;....
Суммируя эти элементарные работы, получим полную работу внешних консервативных сил на перемещение системы за время dt:
конс
d Aвнеш
=
n
å
i= 1
n
d Ai = -
å
i= 1
n
dU i = - d å U i (ri ).
(6.35)
i= 1
Это доказывает утверждение (6.34): работа внешних консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы в силовом поле:
конс
d Aвнеш
= - dU (r1 , r2 ,..., rn )
(6.36)
Собственная потенциальная энергия системы.
Теперь рассмотрим замкнутую консервативную систему из n частиц, в которой частицы взаимодействуют центральными силами. За элементарное время dt каждая частица совершит перемещение,
вследствие чего система изменит свою конфигурацию (распределение в пространстве).
Работу внутренних консервативных сил за элементарное время dt можно представить
убылью скалярной функции, зависящей от распределения частиц в системе
конс
d Aвнут
= - dUс (r12 , r13 ,..., r1n ,... ),
(6.37)
где
U c называется собственной потенциальной энергией системы в отличие от потенциальной
энергии системы во внешнем потенциальном поле. Сначала рассмотрим систему, состоящую из двух
частиц (рис. 6.6а).
Рассчитаем работу сил за время dt на перемещения частиц dr1 , dr2 :
Рис. 6.6 а
Рис. 6.6 б
 A1,2  F12 dr1  F21dr2 .
Пользуясь третьим законом Ньютона и введя радиус-вектор r12  r1  r2 , характеризующий взаимное
расположение частиц, представим эту работу следующим образом:
 A1,2  F12dr12  f  r12  dr12   dU1,2  r12  ,
(6.38)
где мы использовали представление центральных сил в виде (6.15) и условие их консервативности.
Теперь рассмотрим систему, состоящую из трех частиц (рис. 6.6б). Полная работа консервативных
сил на перемещения частиц dr12 , dr23 , dr13 будет равна:
конс
d Aвнут
= (F12 + F13 )dr1 + (F21 + F23 )dr2 + (F31 + F32 )dr3 =
= F12 dr12 + Fdr13 + F23 dr23 = - dU12 - dU13 - dU 23 .
Следовательно,
конс
d Aвнут
= d A1,2 + d A1,3 + d A2,3 = - d (U12 + U13 + U23 ).
(6.39)
Полная работа внутренних консервативных сил представляется в виде убыли суммы потенциальных энергий попарного взаимодействия частиц:
Uc  r12 , r13 , r23   U12  r12   U13  r13   U23  r23  .
(6.40)
Так как потенциальная энергия попарного взаимодействия зависит только от взаимного расстояния между частицами, то собственная энергия системы зависит от взаимного расположения частиц,
т.е. от конфигурации.
Ясно, что приведенные рассуждения относятся также и к системе с произвольным числом частиц.
Так что можно утверждать, что любая система с консервативными силами взаимодействия характеризуется, зависящей от ее конфигурации собственной потенциальной энергией, за
счет убыли которой внутренние консервативные силы совершают работу:
конс
d Aвнут
= - dUc .
(6.41)
За конечное время работа этих сил равна
конс
Aвнут
= Uc1 - Uc 2 = - D Uc ,
где U c1 и
(6.41')
U c 2 – значения собственной потенциальной энергии начального и конечного состояний.
Собственная потенциальная энергия системы – величина не аддитивная, т.е. не равна
сумме собственных потенциальных энергий составляющих ее частей. Необходимо учитывать также
потенциальную энергию взаимодействия
U вз между различными частями системы
Uc = å Uci + Uвз ,
где
(6.42)
U ci – собственная потенциальная энергия i-той части.
Как потенциальная энергия системы во внешнем силовом поле, так и собственная потенциальная
энергия, определяется с точностью до постоянного слагаемого. Однако постоянные слагаемые в выражении энергии можно пренебречь, выбрав соответствующую нормировку. Нулевой уровень собственной потенциальной энергии приписывается той конфигурации системы, в которой
внутренние консервативные взаимодействия отсутствуют. В этом случае собственная потенциальная энергия системы приобретает простую физическую интерпретацию:
собственная потенциальная энергия системы данной конфигурации – это работа внутренних консервативных сил при приведении системы к нулевому уровню.
Нулевой уровень собственной потенциальной энергии упругого твердого тела удобно связать с
конфигурацией его недеформированного состояния. В этом случае собственная потенциальная энергия упругого твердого тела будет отличаться от нуля только в деформированном состоянии и будет
численно равна работе сил упругости, которая совершается при деформации тела.
Теперь приведем общие формулы расчета собственной потенциальной энергии. Так как собственная потенциальная энергия равна энергия взаимодействия всех пар частиц, то
1 n n
U c   U ik  rik  ,
2 i 1 k 1
(k  i )
(6.43)
где коэффициент 1/2 фигурирует для того, чтобы не учитывать энергию взаимодействия пары частиц
два раза, а условие k ≠ i исключает взаимодействие частицы с самой собой. Выражение собственной
потенциальной энергии системы (6.43) можно представить следующим образом:
1 n
U c  Ui ,
2 i 1
(6.44)
где
n
U i  U ik  rik 
(k  i )
k 1
- энергия взаимодействия i-той частицы с остальными частицами системы.
Собственная потенциальная энергия зависит от расстояний между частицами, которые инвариантны относительно преобразований Галилея. Следовательно, собственная потенциальная энергия
Галилей-инвариантная величина.
Контрольные вопросы:
● Что характеризует механическая работа и как она определяется?
● Какими единицами измеряются работа, мощность?
● Какие силы называются консервативными?
● Как определяется потенциальная энергия частицы?
● Какова связь между силой и потенциальной энергией?
● Как представляется работа консервативных сил в механической системе?
 Чему равна собственная потенциальная энергия системы?
Литература
1. Абрамян М.Г. Физические основы механики. Изд. ЕГУ, 1997 – 370 стр. (на армянском яз.).
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. М., Наука, 1979 – 520 стр.
3. Китель Ч., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики, том 1, Механика. М., Наука, 1975 480 с. (БКФ, Механика).
4. Абрамян М.Г., Бадалян Э.С. Задачник по общему курсу физики. «Эдит-принт», 2002 – 220 стр.
(на армянском яз.).
5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. «Лань», 2001 – 416 стр.
Задачи
6.1. Определить работу растяжения двух соединенных последовательно пружин жесткостями
k1 = 400 Н/м и k2=250 Н/м, если первая пружина при этом растянулась на х=2 см.
6.2. Из шахты глубиной h = 600 м поднимают клеть массой M = 3.0 т на канате, каждый
метр которого имеет массу m = 1,5 кг. Какая работа А совершается при поднятии клети на
поверхность Земли? Каков коэффициент полезного действия  подъемного устройства?
6.3. Пружина жесткостью k==500 Н/м сжата силой F=100 Н. Определить работу А внешней
силы, дополнительно сжимающей пружину еще на x=2 см.
6.4. Две пружины жесткостью k1=0,5кН/м и k2=1кН/м скреплены параллельно. Определить
потенциальную энергию данной системы при абсолютной деформации x= 4см.
6.5. Какую нужно совершить работу, чтобы пружину жесткостью k = 800 Н/м, сжатую на x=6
см, дополнительно сжать на x=8 см?
6.6. Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной пружины положить
груз, то пружина сожмется на x=3 мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на конец
пружины с высоты h=8 см?
6.7. Из пружинного пистолета с пружиной жесткостью k=150 Н/м был произведен выстрел
пулей массой m = 8 г. Определить скорость пули при вылете ее из пистолета, если пружина была
сжата на х= 4 см.
6.8 Налетев на пружинный буфер, вагон массой m= 16 т, двигавшийся со скоростью v=0,6
м/с, остановился, сжав пружину на x=8 см. Найти общую жесткость k пружин буфера.
6.9. Цепь длиной L= 2 м лежит на столе, одним концом свисая со стола. Если длина
свешивающейся части превышает 1/3L, то цепь соскальзывает со стола. Определить скорость цепи
в момент ее отрыва от стола.
6.10. Какая работа должна быть совершена при поднятии с земли материалов для постройки
цилиндрической дымоходной трубы высотой h=40 м, наружным диаметром D=3м и внутренним
диаметром d = 2 м? Плотность материала =2,8103 кг/м3.