Электродинамика.

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Электростатика
1 ( ЦТ 2001 г.Тест 9. А19). Проводящий шар радиуса R имеет положительный заряд +q. Если на расстоянии 2R от центра шара поместить точечный отрицательный заряд –2q, то потенциал в центре шара
1) уменьшится в 2 раза
2) не изменится
3) станет равным нулю
4) увеличится в 3 раза
5) изменит знак на противоположный
2 (ЦТ 2001 г. Тест 11. А 19).
Внутри шарового металлического слоя,
+
внутренний и внешний радиусы которого соот+
_
+
ветственного равны R и 2R, на расстоянии R/2 от
_
R
центра находится точечный положительный за+ _ 0
_ +
ряд q. Потенциал в центре сферы равен…
_ +q _ 2R
q
q
3q
+
–
+
3 

 
40  2 R 80 R
40 R
+
А 19 в тесте № 12, 2001 г. :
Внутри шарового металлического слоя, внутренний и внешний радиусы которого соответственно равны 2R и 4R, на расстоянии R от
центра находится точечный положительный заряд q. Потенциал в центре сферы равен ….
3q
Ответ:
16  0 R
3 (ЦТ 2000 г.Тест ... А19). Металлический шар радиусом R1 , имеющий потенциал φ1, окружают незаряженной сферической проводящей оболочкой радиусом R2 . Найдите потенциал шара после того, как
он будет на некоторое время соединен с оболочкой?
–
R
2  1 1
R2
–
+ R1 –
4 (ЦТ 2000 г. Тест… А19). Металлический
+
+
шар радиуса R1, имеющий потенциал φ1,
–
+
+ –
+ R2
33
–
окружают сферической проводящей оболочкой радиуса R2. Чему будет
равен потенциал шара, если заземлить оболочку?

R
  1   2  1 (1  2 )  1 (1  1 )
1
R2
5 (ЦТ 2001 г. Тест 3. А19). Тонкое закрепленное кольцо радиуса R
равномерно заряжено так, что на единицу длины кольца приходится
заряд + γ . В вакууме на оси кольца на растоянии l от его центра
помещен маленький шарик, имеющий заряд +q. Если шарик
освободить, то в процессе движения он приобретет максимальную
кинетическую энергию, равную
 qR
R q
q
1)
+ 2)
3)
2 0 l 2
2 0 R 2  l 2
2 0 R 2  l 2
4)
 qR
4 0 l
5)
 ql
40 R
А 19 из теста № 8 ЦТ 2001 г.: по тонкому проволочному кольцу
радиуса 3 см равномерно распределен заряд 10–9 Кл. Определите
разность потенциалов между центром кольца и точкой, находящейся
на оси кольца на расстоянии 4 см от центра. Ответ: 120 В.
6 (ЦТ 2000 г. Тест 3. А 20). Если металлический шар радиуса R1, заряженный до потенциала φ1 , соединить тонкой проволокой с незаряженным металлическим шаром радиуса R 2 , то общий потенциал соединения окажется равным
R1
R2

R 
1 + 2)  
1
1)  

3)    1 

R1  R2
R1  R2
R 

1
1
2
 R 
4)   1  2  1
R1 

5)  
R1  R2
1
2
А 20 теста 5, ЦТ 2000 г.: шар радиусом R1, заряженный до потенциала φ1, соединяют с незаряженным шаром тонкой проволокой, после
чего общий потенциал соединения оказывается равным φ. Определить
радиус второго шара.
34
 1 
1
1
5) R1
1  
 1 


4) R1
1  
1)
R1
2) R1
3) R1
 1 
1  
7 (ЦТ 2001г. Тест 2. А 19). Какую работу надо совершить, чтобы
три одинаковых точечных положительных заряда q, находящихся в вакууме вдоль одной прямой на расстоянии a друг от друга, расположить
в вершинах равностороннего треугольника
со стороной a/2.
+q
+q
+q
a
7q 2
A
80 a
a
+q
a/2
+q
a/2
+q
a/2
8 (ЦТ 2001 г. Физика–II. Тест 2. А 11). Два соосных тонких диска
радиусом R = 0,4 м каждый находятся на расстоянии d = 0,50 см
друг от друга. Одному из дисков сообщили заряд q = 7·10–8 Кл, другому заряд (– 2q). Если электрическая постоянная ε 0 = 9·10–12
Ф/м, среда – вакуум, а заряд распределен по дискам равномерно, то
разность потенциалов между центрами дисков равна….
1) 108 В
2) 122 В
3) 116 В+
4) 130 В
5) 138 В
Q1
+q
1 3
-q Q2
4 2
9. В плоском конденсаторе одна обкладка
имеет заряд +Q1, а другая + Q2. Внутрь конденсатора параллельно обкладкам помещают незаряженную металлическую пластину. Какой заряд будет индуцирован на левой и правой поверхностях пластины?
q
Q2  Q1
2
35
10. В плоском конденсаторе одна обкладка имеет заряд +q, а другая (–2q). Внутрь конденсатора параллельно обкладкам помещают пластину из диэлектрика с проницаемостью ε. Какова величина связанных
зарядов, индуцированных на обеих поверхностях диэлектрика?
3q (  1)
q0 
2
11. Определить электрическую емкость плоского конденсатора с
двумя слоями диэлектриков с проницаемостью ε1 и ε2 и толщинами d1
и d2. Площадь пластины конденсатора S.
0S
C
d1 d 2

1
2
12*. В плоском конденсаторе пространство между обкладками заполнено двумя диэлектриками с проницаемостями ε1 и ε2 , как показано на рисунке. Площадь пластины конденсатора S,
расстояние между пластинами d.
h/2 ε
1
 S (   2 )
h
C 0 1
ε
2
2d
h/2
d
13 (ЦТ 2001 г.Тест 10. А21). Плоский конденсатор
с пластинами размером 16×16 см и
+
расстоянием между ними 4 мм присо+

единен к полюсам батареи с э.д.с.
V
E
равной 250 кВ. В пространство между
___
___
пластинами с постоянной скоростью 3
мм/с вдвигают стеклянную пластину
толщиной 4 мм. Какой ток при этом
Vt
l-Vt
пойдет по цепи? Диэлектрическая
проницаемость стекла ε=7.
q  q1  0 SE (  1)
I 2

 1,6  10 3 A
l
t
V
36
14 (ЕГЭ 2003 г. Вар. 4. С3). Один конденсатор электрической емкостью C1=5 мкФ заряжен до разности потенциалов между его пластинами U1=120 В. Другой конденсатор электрической емкостью C2=7
мкФ – до разности потенциалов U2=240 В. Одноименно заряженные
пластины конденсаторов попарно соединили проводниками. Какова
разность потенциалов U между пластинами каждого конденсатора ?
14-а* Какое количество теплоты выделится в цепи после соединения конденсаторов?
–q1
+q1
C1
+ q1I
C1
C2
 q 2I
C1U 1  C 2U 2
=190 В
С1  С 2
C1C 2 (U 2  U 1 ) 2
Q
=210
2(C1  C 2 )
мДж
C2
–q2
+q2
U
– q1I
 q 2I
15 (ЕГЭ 2003–04, стр.124. С3)
Конденсаторы, электрическая емкость которых 2 и 10 мкФ, заряжают до напряжения 5 В каждый, а затем вывод «плюс»
+ –
одного из них подключают к выводу «минус» другого
и соединяют свободные выводы резистором 1000 Ом.
Какое количество теплоты выделится в резисторе?
q I q I (C  C1 )U 0
U 2  1  2
 3,3 В
C 2 C1
(C1  C 2 )
Q
–
2C1C 2U 02
 83 мкДж
C1  C 2
+
16. Сколько теплоты выделится при переключении ключа К из
положения 1 в положение 2 в цепи, изобраС
K
женной на рисунке?
C 2
1
Q 2
2
2
+ –
ε1
ε2
37
17. На схему подано постоянное напряжение U=120 В. В каких пределах будет изменяться напряжение на конденсаторе C1 с постоянной
емкостью С при медленных изменениях емкости C2 в пределах от С/4 до 7С?
С1 С2
U
U1 = 0 = 16 В (при C2 = 7С, U1 =110 В).
5
R
2R
U
3.2. Электрический ток
1 (ЦТ 1999 г.Тест 6. В 3. ) При пропускании тока по участку цепи,
состоящему из сопротивлений R1=5
Ом, R2 =1 Ом, R3 = 8 Ом, R4 = 4Ом, соR2
единенных как показано на схеме,
наибольшее падение напряжения будет на сопротивлении с индексом …
R1
R3
Решение
При выполнении тестовых задаR4
ний бывает целесообразно отказаться от подробной записи данных,
формул и от решения в общем виде. В данной задаче следует записать значения сопротивлений прямо на рисунке. Там же следует записать токи в ветвях цепи и падения напряжений. Ответ ясен из их сравнения: наибольшее падения напряжения на сопротивлении с индексом
1. Запись решения может выглядеть так:
38
6 Ом
2I
2I×1
1 Ом
R2
I×8
8 Ом
5 Ом
2I×5 R1
R3
R4
4 Ом
I×4
12 Ом
I
Аналогично решение
дания А 22 из
затеста № 5, ЦТ 1999 г.
2 (ЦТ 199? г. Тест 3. № 19). Два проводника с сопротивлениями R1 и
R2 (R1 >R2) включены в электрическую цепь сначала последовательно, а затем параллельно. На каком из сопротивлений выделится большая тепловая
мощность в том и другом случае?
1) последовательно Р1 >Р2 , параллельно Р1 < Р2
2) последовательно Р1 < Р2, параллельно Р1 >Р2
3) в обоих случаях Р1 = Р2
4) последовательно Р1 = Р2 , параллельно Р1 < Р2
5) последовательно Р1 >Р2 , параллельно Р1 = Р2
Решение
Для сравнения тепловых мощностей при последовательном соединении
целесообразно пользоваться формулой P=I2R (I1 =I2=I), при параллельном соединении – P=U 2 /R (U1 =U2 ). Очевидно, при R1 ≠ R2 и в том , и
в другом случае Р1 ≠ Р2. Следовательно, ответы 3, 4 и 5 неверны. Остается
выбрать между 1 и 2. Из P=I2R следует, что при последовательном
соединении при R1 >R2 Р1 >Р2 – ответ 1) . Этот же вывод получается при
использовании формулы P=U 2/R для параллельного соединения.
39
3 (ЦТ 2000 г.Тест 3. А21). Напряжение на зажимах батареи, состоящей из двух источников тока (ε1 = 2 В; r1 = 0,2 Ом; ε2 = 1,7 В; r2 = 0,1 Ом)
равно
1) 2,2 В
2) 1,8 В
3) 1,9 В
4) 1,5 В
1) 2,1 В
Решение
Часто приходится слышать, что для решения этой
задачи необходимо использовать законы Кирхгофа.
А
В
Эти законы вернее было бы называть правилами.
Никакого дополнительного физического смысла по
сравнению с законом Ома они не несут и являются
ε2, r2
просто удобным для расчетов техническим приемом. Поэтому нет смысла загромождать школьный курс физики подобными формальными знаниями.
Для решения данной задачи нет необходимости использовать
правило Кирхгофа. Следует рассмотреть один из источников как источник, а второй – как нагрузку с неизвестным сопротивлением, учитывая, «что падение напряжения на участке цепи» и «разность потенциалов на концах участка цепи» – синонимы (что учащиеся не всегда
понимают). Тогда, по известному учащимся закону Ома,
(1).
1  Ir1  ( A   B )  Ir1  
Теперь поменяем источники ролями:
(2).
  2  Ir2  ( B   A )  Ir2  
Подставляя числовые данные и решая систему уравнений (1) и (2),
получим Δφ = 1,8 В.
Следует обратить внимание на знаки ЭДС источников и разности потенциалов Δφ.
ε1, r1
4 (ЦТ 2001 г. Тесты 8, 28. А 21). В схеме, изображенной на рисунке, R1 = 5 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 3 Ом, сопротивлением амперметра и подводящих проводов можно пренебречь. Если вольтметр показывает 2,1
В, то показанию амперметра соответствует…
1) 0,1 А
2) 0,2 А
3) 0,3 А
4) 0,4 А
5) 0,5 А
40
I1
A
V
R2
R1
I2
I3
R3
Решение
Решение задачи требует навыков
чтения схем – необходимо увидеть, что
резисторы R2 и R3 включены в цепь параллельно. Вольтметр показывает падение напряжения на внешнем участке
цепи
с
сопротивлением
R R
:
R  2 3  R1
R2  R3
R2 R3
 R1 ) .
R2  R3
Как правило, в заданиях Российских тестов числовые данные подобраны так, что вычисления получаются очень простыми. Поэтому, целесообразно сразу же подставить данные:
63
2,1  I 1 (
 5) , I1 = 0,3 А.
63
Из схемы видно, что I1 = I2 + I3 и I 2 R2  I 3 R3 . Снова подставляем
значения сопротивлений и тока I1 и решаем систему уравнений: 0,3 =
I2 + I3 и I 2  6  I 3  3 . Получаем ответ: 0,2 А.
U  I1 (
5 (ЦТ 2001 г. Тест 13. А 21).
Источники тока, имеющие одинаковые
внутренние сопротивления r = 1 Ом, подключены к резисторам, каждый из которых имеет сопротивление R = 4 Ом. ЭДС
E1
E2
источника тока E1 = 12 В.
R
R
Ток, протекающий через источник
r
r
E2, равен нулю при ЭДС E2 равной …
Решение
B
Ток
в
цепи
течет,
как показано стрелI
ками. Т.к. тока в ветви источника E2
R
E1  I   Ir ,
нет, для остальной цепи можно записать закон Ома:
2
R
где I 
– падение напряжения на внешнем участке цепи, или раз2
41
A
ность потенциалов точек А и В. Эта разность потенциалов ввиду отсутR
ствия тока через источник E2 равна его ЭДС: I   E 2 . Таким обра2
E1
12
4

 4 A ; E 2  4   8B .
зом, I 
R
4
2
r
1
2
2
Аналогично решается задача А 21 теста № 11, 2001 г.:
Источники тока, имеющие одинаковые внутренние сопротивления r
= 0,5 Ом подключены к резисторам, каждый из которых имеет сопротивление R. ЭДС. источников тока E1 = 12 В, E2 = 6 В. Определить величину сопротивления R, при котором ток, протекающий через источник E2 , равен нулю. Ответ: 1 Ом.
6 (ЦТ 2001 г. Тест 11. В 3). Определите показание амперметра (А) в
электрической цепи, изображенной на рисунке, если показание вольтметра U=250 В, а сопротивление каждого резистора R и внутреннее сопротивление вольтметра равны по 1 кОм.
V
I2
R
R
R
I
I1
A
Решение
Амперметр измеряет ток I=I1+I2. Отношение
R  rV  R
I
токов 1 
 3  I  4I 2 .
I2
R
Ток I2 по закону Ома равен
U
250
I2 

 0,25 А , где U – падение напряrV 1000
жения на вольтметре. Таким образом, I  1А –
ответ.
Ошибка состоит в том, что учащиеся, не понимая принципа действия вольтметра, привыкли считать, что он «измеряет падение напряжения на параллельном ему участке цепи», и безуспешно ищут этот
параллельный участок в схеме. В действительности вольтметр, как и
амперметр, реагирует на протекающий через него ток; различия между ними только в величине внутреннего сопротивления и единицах
градуировки шкалы; он измеряет падение напряжения на самом себе.
42
7*. Определите показания идеального амперметра в схеме, представленной на рисунке. Сопротивление R=3
I1
a I3
Ом, ЭДС источника ε=21 В. Сопротивлением
проводов и внутренним сопротивлением исR
R
точника пренебречь.
А I
2R
R
Решение
Распределение
токов
показано на рисунке,
b
I2
I4
направление тока через амперметр показано произвольно; правильность выбора направления буI0
дет видна после получения численного ответа.
Как видно из рисунка I  I1  I 3 или
I  I 4  I 2 . Т.к. амперметр идеальный (внутреннее соR
2R
противление амперметра равно 0), падение напряжения на нем равно 0, т.е. потенциалы точек a и b равны.
a b
Следовательно, для расчета общего сопротивления цепи R0 можно использовать эквивалентную схему.
R 2R 7
R
R
 R , откуда
Из схемы видно, что R0  
2
3
6

6
I0 

,
и что I o  I 1  I 2  I 3  I 4 .
R0 7 R
Из эквивалентной схемы видно, что U1=U2 , U3=U4 ; соответственно
I1 = I2 = I0/2 , I3 = 2I0/3, I4 = I0/3.
После преобразований получим для тока через амперметр
I

I  0 
 1А – ответ.
6
7R
Полученный в ответе знак « – » означает, что в действительности
направление тока через амперметр противоположно выбранному в
начале решения.
8 (ЦТ 2003 г. Физика–II. Тест 2. А 12). В конце процесса зарядки аккумулятора напряжение на нем равно U1 = 5,5 В и ток через него I1 = 10
мА. Если в начале разрядки аккумулятора напряжение на нем U2 = 3 В
и ток через него I2 = 25 мА, то внутреннее сопротивление аккумулятора
равно
1) 56 Ом
2) 71 Ом
3) 47 Ом
4) 93 Ом
43
8-а* Найдите ток короткого замыкания аккумулятора.
Решение
При зарядке ток через аккумулятор
r
ε
(внутри аккумулятора) течет от положительU
ного полюса к отрицательному, следовательно, по закону Ома для полной цепи
  U1  I1r . При разрядке ток через аккумулятор течет от отрицательного полюса к положительному, следоваU U2
тельно,   U 2  I 2 r . Из этих уравнений r  1
= 71 Ом – ответ 1.
I 2  I1
 (U I  U 2 I1 )
Ток короткого замыкания равен I КЗ   1 2
=67мА – отr
U1  U 2
вет 2.
9*. Определите, при каком значении сопротивления резистора Rх
показания гальванометра в схеме, изображенной на рисунке, равны нулю.
Решение
Показания гальванометра будут равa
RX
ны нулю при равенстве потенциалов
точек a и b. В этом случае токи через
резистор 2R и разветвленный участок
8R
цепи (RX, 8R) равны, аналогично рав4R
6R
ны токи через резисторы 4R и 6R. Тогда
I1  2R  I 2  4R ,
8RR X
b
I1 
 I 2  6 R . Из этих уравне8R  R X
ний видно, что показания гальванометра равны 0 при выполнении со2 R  (8R  R X ) 4 R
24
R – ответ.
отношения
, откуда R X 

5
8RR X
6R
44
2R
10*. В схеме, представленной на рисунке, вольтметр показывает 12
В. Сопротивление R = 2 Ом. Амперметр и вольтметр – идеальные. Определите показания амперметра.
V
А
2R
R
А
2R
R
R
Решение
Учитывая, что измерительные приборы
идеальные, т.е. внутреннее сопротивление амR
перметра равно 0, а внутреннее сопротивление
вольтметра бесконечно велико, воспользуемся
эквивалентной схемой.
U
Сила тока в резисторе 2R равна
; си2R
ла тока в параллельной ветви в 3 раза больше,
т.к. сопротивление этой ветви в 3 раза меньше сопротивления последовательно соедиV
3U
ненных резисторов 2R и R :
. Сила тока в
2R
неразветвленной части цепи (показание амU 3U 4 U
U
 2 = 12
перметра) равна
+
=
2 R 2R 2R
R
А.
11 (ЦТ 2000 г. Физика –II. Тест 1. A14). Если в схеме, приведенной
на рисунке, ЭДС источника ε = 6
C
L
R0
кВ, Сопротивление R0 = 1,0 Ом и R =
2,0 Ом , емкость конденсатора C =
3·10-6 Ф, индуктивность катушки L=
2·10-6 Гн, то в сопротивлении R после
R
размыкания ключа К выделяется
тепло в количестве….
K
ε
1) 28 Дж
2) 32 Дж
3) 36 Дж
4) 41 Дж
Решение
45
5) 46 Дж
При замкнутом ключе ток течет в контуре с резистором R, при этом
напряжение на конденсаторе равно ЭДС источника, энергия электриC 2
ческого поля конденсатора равна W 
. После размыкания ключа
2
конденсатор разряжается через последовательно соединенные резисторы R0 , R и катушку L. На индуктивном сопротивлении катушки
теплота не выделяется, индуктивность катушки влияет только на
быстроту разряда конденсатора . По закону сохранения энергии
W  Q  Q0 . Количества теплоты, выделившиеся в резисторах прямо
пропорциональны их сопротивлениям, т.к. разрядные токи в резисторах в любой момент времени одинаковы ( последовательное соединение): Q  I 2 Rt , Q0  I 2 R0 t . Т.к. по условию R  2R0 , то Q  2Q0 .
2 C 2
= 36 Дж – ответ.

3 2
Может возникнуть сомнение в правомерности применения закона
Джоуля-Ленца для расчета теплоты, т.к. ток разрядки конденсатора переменный, а закон Джоуля-Ленца был получен для постоянного тока.
Закон справедлив в любом случае, если под I понимать эффективное
(действующее) значение тока.
Следовательно, Q 
12 (ЦТ 2000 г. Физика –II. Тест 2. A14).
Если в схеме, приведенной на рисунке, ЭДС источника тока ε = 6 кВ,
сопротивления R = R0 = 1,0 Ом, инС
R
дуктивность катушки L=2·10-6 Гн,
ем- кость конденсатора C = 3·10-6 Ф,
то на сопротивлении R после размыK
ε кания ключа К выделится тепло в количестве…
1) 35 Дж
2) 40 Дж
3) 45 Дж
4) 50 Дж
5) 55 Дж
Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что при замкнутом
ключе энергия системы складывается из энергии электрического поля
конденсатора и энергии магнитного поля катушки, через которую теL
R0
46
C 2 LI 2
. В остальном решение задачи анало
R0
2
2
гично предыдущей. Ответ: Q = 45 Дж.
чет ток I 

: W
К
L
1) 392 Дж
R1
R0
2) 336 Дж
13 (ЦТ 2001 г. Физика –II. Тест 4. А14. Если
возбудить в катушке индуктивностью L = 7·10-5
Гн ток силой I = 4 кА и замкнуть ключ K так,
чтобы включить в цепь сопротивления R1 = 10
Ом и R2 = 15 Ом, то на сопротивлении R1 выделится количество теплоты равное …
3) 348 Дж
4) 363 Дж
5) 320Дж
Решение
Идея решения та же, что и в предыдущих задачах, но для сравнения
количеств теплоты, выделившихся на резисторах, следует использоU2
t (резисторы соединены
вать закон Джоуля-Ленца в форме Q 
R
параллельно). Ответ: Q1 = 336 Дж.
3.3. Заряженные частицы и токи в электрических и магнитных полях. Электромагнитная индукция
1. Электрон, имея скорость V = 2·106 м/с, влетает в однородное магнитное поле с индукцией В = 30 мТл под углом α = 30˚ к направлению
линий магнитной индукции. Определите радиус R и шаг h винтовой
линии, по которой движется электрон.
Решение
Составляющая скорости электрона V┴=V·sin α , перпендикулярная
вектору магнитной индукции, обуславливает движение электрона по
окружности и определяет радиус R этой окружности. Составляющая
скорости V║=V·cos α, параллельная вектору индукции остается постоянной и определяет шаг h винтовой линии. Уравнение движения элекm (V  sin  ) 2
 e (V  sin  ) B ; уравнетрона по окружности имеет вид:
R
47
h  (V  cos  )t ,
ние движения вдоль вектора магнитной индукции:
где t = T – период обращения электрона по окружности, равный
mV sin 
2R
T
. Из приведенных уравнений получаем: R 
= 0,19
eB
V sin 
мм – ответ,
h  2 R  ctg  = 2 мм – ответ.
2 (ЕГЭ 2004, стр. 150. В3).
Плоский контур с источником постоянного тока нахо– +
дится во внешнем однородном магнитном поле, вектор ин

дукции которого B перпендикулярен плоскости контура
B
(см. рисунок). На сколько процентов изменится мощность
тока в контуре после того, как значение магнитной индукции начинает уменьшаться со скоростью 0,01 Тл/с? Площадь контура
0,1 м2, ЭДС источника тока 10 мВ.
Решение
Главная трудность в решении – определение направления индукционного тока (ЭДС индукции), возникающего при изменении магнитного поля.
Согласно правилу Ленца, в данной задаче ЭДС индукции направлена против ЭДС источника тока; суммарная ЭДС в контуре равна ε= ε0 – εi. ОтP
2
P P
 1  ; где P0  0 ,
носительное изменение мощности равно   0
P0
P0
R
P
( 0   i ) 2
.
R
После преобразований получим:   [1  (1 
i 
R0

B
R
ω
i 2
) ] . Здесь
0
B
 S . Числовой ответ : 0,19 или 19%.
t
3 (ЦТ 2001 г. Физика-II. Тест 2. В5).
Контур состоит из двух перемычек: неподвижной сопротивлением R0 = 100 мОм, и подвижной, сопротивлением R =200 мОм, которая вращается c угловой скоростью ω = 10 рад/с, и провода,
48
имеющего форму дуги окружности радиусом r = 0,20 м. Индукция
магнитного поля, пронизывающего контур, B =30 мТл. Определите в
миллиамперах силу тока, протекающего в контуре.
Решение
Возникновение тока в контуре – результат возникновения ЭДС индукции, вызванной изменением магнитного потока через контур за
счет увеличения площади, ограниченной контуром. Таким образом,
i
B  S
1
. Наиболее сложно для учащихся опредеIi 


R  R0
t
R  R0
ление приращение площади контура при вращении перемычки. Площадь контура – площадь сектора с углом     t при вершине. Т.к.
1
1
эта площадь пропорциональна углу φ, то S  r 2  r 2  t . По2
2
2
r B
сле преобразований для силы тока получим: I 
= 20 мА –
2( R1  R0 )
ответ.
4 (ЦТ 2001 г.Физика II. Тест1. В3).
По двум параллельным проводам перемещаются две подвижные
перемычки, сопротивления которых равны R1= R2=10 мОм., а скорости
равны соответственно V1 =1,0 м/с
и V2 =2,0 м/с. Сопротивление


третьей неподвижной перемычки
V1
V2
равно R0=10 мОм, расстояние
l
R1
R2
между проводами l = 0,20 м. Ин
дукция пронизывающего контур
B
R0
магнитного поля В = 30 мТл.
Определить силу тока в миллиамперах в неподвижной перемычке.
Решение
Т.к. площади контуров, образованных неподвижным резистором и
перемычками, возрастают, то, согласно
правилу Ленца, индукционные токи в контурах направлены по часовой стрелке. Для
решения задачи удобно изобразить эквиI1
R1
R2
I2
R0
49
1
2
валентную схему (см. рисунок). Внутренние сопротивления источников тока в этой схеме равны 0. По закону электромагнитной индукции
B  lV1  t
модули ЭДС равны  1 
 BlV1 ; аналогично  2  BlV 2 . По
t
закону Ома I1 
1
I2 
2
. Ток в резисторе R0 раR1  R0
R2  R0
вен I 0  I 2  I 1 , т.к.  2 >  1 . После вычислений получаем ответ : I0 =
200 мА.
Эту же задачу можно решить, применив правила Кирхгофа.
Другие варианты этой задачи можно получить, заставив перемычки двигаться в одном направлении или навстречу друг другу.
,
5 (ЦТ 2001 г.Тест 2. А25). Прямолинейный проводник длиной 10
см перемещают в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл.
Проводник, вектор его скорости и
U,В
вектор
индукции
поля
взаимно
перпендику-лярны.
С
каким
ускорением
0,3
нужно перемещать проводник, чтобы
0,2
разность потенциалов на его концах U
0,1
возрастала, как показано на рисунке?
0
1
1) 10 м/с2
2
t, с
2) 15 м/с2
3) 20 м/с2
4) 25 м/с2
5) 30 м/с2
Решение
Разность потенциалов на концах проводника
В
– результат действия магнитного поля на
валентные
(«свободные»)
электроны,
l
движущиеся вместе с проводником. Она равна
V

U
 lVB – потоку вектора магнитной
t
индукции через площадь, «заметаемую» проводником в единицу
времени. При движении проводника с постоянной скоростью разность
потенциалов на его концах постоянна. Если проводник же движется с
V
ускорением a 
, то разность потенциалов изменяется со
t
50
U
U
B
laB .
 0,1 , как видно из графика в условии
t
t
c
задания. Расчет дает a  10 м/с2.
Причины неудачи при решении этой задачи:
– учащиеся привыкли иметь дело с задачами, в которых ЭДС
индукции возникает благодаря изменению тока в контуре,
ограничивающем постоянную площадь;
– в задачах рассматривается случай постоянной скорости
изменения магнитного потока.
Избежать подобных затруднений можно, приучив учеников
задавать себе вопрос: «Что изменится в задаче, если… ?»
скоростью
6 (ЦТ 199? г. Тест 106. № 20). В однородном магнитном поле с индук
B
цией
находится прямоугольная рамка площаa
b
дью S. Нормаль к плоскости рамки направлена на
нас. Рамку повернули вокруг стороны bc на 90º.


Изменение магнитного потока через рамку при
B
n
таком повороте по величине равно
c
d
1
BS
2
1
4) BS
4
1) 
3) –BS
2) 2 BS
5) поток не изменился
Многие учащиеся не знакомы с термином «нормаль», не знают, что направление вектора индукции, совпадающее с направлением нормали, принято считать положительным; не учитывают,
что изменение физической величины находится как разность между
ее конечным и исходным значениями (а не наоборот) и может быть
как положительным, так и отрицательным.
Решение
В начальном положении рамки, изображенном на рисунке, магнитный поток через нее равен Φ1 =+ВS , т.к. направления вектора
индукции и вектора нормали совпадают. После поворота рамки
51
магнитный поток становится равным Φ2 =0. Изменение магнитного
потока ΔΦ = =Φ2 – Φ1=–BS.
3.4. Колебательный контур
1 (ЦТ 2001 г. Физика-II. Тест 2. А 14). Если в контуре, содержащем
конденсатор емкостью C= 30 мкФ и две катушки индуктивностью
L1=700 нГн и L2=300 нГн, первоначально при разомкнутом ключе К
зарядить конденсатор до напряжения U0=100 В, то после замыкания
ключа K амплитуда тока в контуре составит …
1) 1,2 кА 2) 1,3 кА 3) 1,4 кА 4) 1,5 кА 5) 1,6 кА
1-а* Найти период собственных электромагнитных колебаний в
контуре.
Решение
Общую индуктивность L параллельно
соединенных катушек можно определить,
К
учитывая, что энергия магнитного поля
контура равна сумме энергия магнитных
С
L1
L2
полей катушек и токи в катушках обратно
пропорциональны индуктивным сопротив2
LI 0 L1 I 12 L2 I 22
I
L
L


лениям катушек:
; 1  1  1 ; I 0  I1  I 2 .
I 2 L2 L2
2
2
2
Из этих уравнений получим для индуктивности параллельно соеди1
1
1

ненных катушек 
.
L L1 L2
CU 02 LI 02

. Из этого уравнения полу2
2
C ( L1  L2 )
= 1,2 кА – ответ .
L1 L2
По закону сохранения энергии
чим I 0  U 0
C
 U0
L
Период
собственных
колебаний
L1 L2 C
=15,8 мкс – ответ .
T  2 LC  2
L1  L2
52
в
контуре
равен
2* В контуре, содержащем две катушки индуктивностью L1 = 2
мкГн и L2= 4 мкГн и конденсатор С = 10 мкФ, при разомкнутом ключе
конденсатору сообщили заряд q = 20 мкКл. Определить 1) амплитуду
тока в контуре после замыкания ключа; 2) период собственных электромагнитных колебаний в контуре.
Решение
К
Аналогично предыдущей задаче
С
L1
LI 02 L1 I 12 L2 I 22
можно записать:
;


2
2
2
L2
I0=I1=I2, т.к. катушки соединены последовательно. Отсюда получим для индуктивности последовательно соединенных каq 2 LI o2
тушек: L=L1+L2. По закону сохранения энергии
, следова
2C
2
q
q
тельно, амплитуда тока I 0 
= 2,6 А – ответ 1.

LC
( L1  L2 )C
Период собственных колебаний в контуре равен
T  2 LC = 49 мкс – ответ 2.
Получив формулы индуктивности последовательно и параллельно соединенных катушек, сравните их с аналогичными формулами для последовательно и параллельно соединенных пружин,
резисторов и конденсаторов.
a
b
3 ( ЦТ 2002 г. Физика–II. Тест 3. А 14). Батарею из двух последовательно соединенных конденсаторов, емкостью
С=10 мФ каждый, причем один из них предвариС,U0
тельно заряжен до напряжения U0 = 1000 В, соединяют с катушкой индуктивностью L=100 мкГн так,
L
K
что образуется колебательный контур. Если сопротивление контура пренебрежимо мало, то амплиC
туда силы тока в контуре будет равна
1) 6,7 кА
2) 6,9 кА
3) 7,1 кА
53
4) 7,3 кА
5) 7,5 кА
3-а * Найдите циклическую частоту установившихся собственных электромагнитных колебаний в контуре.
Решение
После замыкания ключа заряд с пластин заряженного конденсатора начинает перетекать на второй, незаряженный. Ток перезарядки
достигает максимума в момент, когда разность потенциалов на концах
катушки равна 0, т.е. потенциалы пластин конденсаторов стали одинаковыми. Т.к. конденсаторы одинаковы, заряд q разделился между конденсаторами поровну (по закону сохранения заряда), и напряжение на
каждом из конденсаторов стало равным U0/2. По закону сохранения
2
U0 
C

CU 02 LI 02
2 


 2
энергии:
. После преобразований получим
2
2
2
C
= 7,1 кА – ответ1.
I0  U0
2L
Для определения циклической частоты колебаний преобразуем
формулу для I0. Т.к. первоначальный заряд конденсатора равен
q0
. Т.к. амплитудные значения силы тока и заq0  CU 0 , то I 0 
2 LC
1
ряда связаны соотношением: I 0  q0 , то  
– ответ 2.
2 LC
Подобная задача имеется в сборнике «ЕГЭ.Физика-2004. Учебнотренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену»
4 (ЕГЭ 2002 г., 2004 г. С3). В идеальном колебательном контуре
амплитуда колебаний силы тока в катушке индуктивности I0 = 5 мА, а
амплитуда колебаний заряда конденсатора q0=2,5 нКл. В момент времени t заряд конденсатора q = 1,5 нКл. Найдите силу тока в катушке в
этот момент.
Решение
В пособии «Единый Государственный экзамен. Физика.2004.Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому
государственному экзамену» издательства «Интеллект-центр» приведено решение этой задачи с использованием закона сохранения энер54
гии. Возможно другое решение. Уравнение колебаний заряда имеет
dq
вид q  q 0 cos  t . Т.к. I 
, уравнение колебаний абсолютной велиdt
чины тока в контуре имеет вид: I  q 0 sin t , т.е. I 0  q0 . Учтя, что
sin  t  1  cos t , получим I  I 0
2
 q
1  
 q0
2

 = 4 мА – ответ.

5 ( ЕГЭ 2002 г., 2004 г. С3). Определите период электромагнитных
колебаний в колебательном контуре, если амплитуда силы тока равна
I0, а амплитуда электрического заряда на пластинах конденсатора равна q0.
Решение
Для этой задачи в пособии «Единый Государственный экзамен. Физика.2004. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену» приведено решение, основанное на
уравнениях колебаний силы тока и заряда в контуре, подобное решению предыдущей задачи. Предлагаем решение, основанное на законе
сохранения энергии. Период электромагнитных колебаний в контуре
q 2 LI 2
равен T  2 LC . По закону сохранения энергии 0  0 , откуда
2C
2
2
2
q
q
LC  02 и T  2 02 – ответ.
I0
I0
Рекомендуем при обучении начинать решение однотипных задач, используя всегда один и тот же подход. Получив решение, можно
предложить поискать другие варианты. В классах со средним уровнем
физико–математической подготовки предпочтительней использование
фундаментального закона сохранения энергии.
55