Ключевые слова: излучение, спектр, абсолютное черное тело, энтропия, Планк. Лекция 2

Лекция 2
Ключевые слова: излучение, спектр, абсолютное черное тело, энтропия, Планк.
Основы теории переноса излучения. Следующие три закона Кирхгофа устанавливают
связь между природой источника излучения и характером излучаемого ими спектра:
1) накаленное твердое тело, нагретые жидкость или газ при достаточном давлении
излучают непрерывный спектр;
2) нагретый газ при низком давлении излучает спектр, состоящий из отдельных ярких
линий;
3) газ, помещенный перед более горячим источником непрерывного излучения, создаёт
темные линии или спектр поглощения, налагающийся на непрерывный спектр.
Но вернёмся к нашей схеме. На протяжении всего курса мы будем постоянно
уточнять смысл и содержание элементов этой схемы. Как уже говорилось, объектами
исследования астрофизики являются космические объекты и среда, в которой они
формируются, существуют и умирают.
Необходимым условием любого исследования является наличие связи между ОИ и
субъектом, проводящим исследование. В нашей схеме эта связь изображается стрелкой
между ОИ и ПУ и представляется электромагнитным излучением и потоками
корпускулярных частиц.
Энергия излучения dE, поступающая в ПУ, определяется следующим
выражением
dE  I cos  d d d dt ,
(1)
где Iспектральная интенсивность излучения,
- угол между направлением излучения и нормалью к площадке, через которую
излучение попадает в ПУ,
d - площадь окна ПУ,
dтелесный угол, в пределах которого поступает излучение,
d- полоса частот принимаемого излучения,
dt – время накопления излучения приемником.
Спектральная плотность энергии излучения определяется выражением
1
u   I d .
(2)
c
Здесь с – скорость света.
Спектральная плотность потока излучения H определяется выражением
H   I cos  d .
(3)
Соответственно, полный поток излучения F определяется интегралом
F   H d .
Если объект излучает изотропно, то его общее излучение (светимость) может быть
вычислено согласно выражению
L  4 R 2 F .
(4)
2
Например, полное количество излучения, падающего на площадку 1 см , помещенную
под прямым углом к солнечным лучам вне земной атмосферы на среднем расстоянии
Земли от Солнца (солнечная постоянная) равно 1,374 106 эрг/(см2 с). Согласно (4) общее
излучение Солнца L=3,83 1033 эрг/с
Давление излучения определяется выражением
ПЕРЕНОС ИЗЛУЧЕНИЯ
8
p 
1
I cos 2  d .
c
(5)
Уравнение переноса излучения имеет вид
cos 
dI
  I  j ,
ds
(6)
где - коэффициент поглощения, а j - коэффициент излучение вещества.
Если поглощение отсутствует, то изменение интенсивности излучения вдоль луча ( )
на пути от s0 до s определится выражением
s
I ( s)  I ( s0 )   j ( s)ds.
s0
В отсутствии источников излучения
s
I ( s )  I ( s0 ) exp(    ( s)ds).
s0
s
Интеграл     ( s)ds называется оптической толщиной слоя среды на пути [s0, s].
s0
Производя замену dds, уравнение (6) можно записать в следующем виде:
dI
cos     I  S ,
(7)
d
где S =j /функция источника.
Когда среда и излучение находятся в термодинамическом равновесии, мы приходим
к понятию абсолютно черного тела (АЧТ). Это понятие впервые было предложено
Кирхгофом в 1862 г. Согласно закону Кирхгофа интенсивность излучения АЧТ
определяется только температурой тела и не зависит от его химического состава. Кроме
того, для АЧТ функция источника равняется интенсивности излучения, т.е. ST)=I (T).
Закон Кирхгофа не определяет вид функциональной зависимости интенсивности
излучения от температуры и частоты. В 1879 г. И. Стефан экспериментально установил,
что поток излучения нагретого тела пропорционален четвертой степени температуры. В
1884 Л. Больцман теоретически вывел этот закон. Закон Стефана-Больцмана имеет вид
F   I cos  d d    I d   sbT 4 .
(8)
Однако закон Стефана-Больцмана совершенно не вскрывает вид функциональной
зависимости I(T) или u(T). В 1893 г. В. Вин, используя понятие температуры и
энтропии к тепловому излучению, вывел закон смещения, согласно которому максимум
излучения в спектре смещается в сторону увеличения частоты пропорционально
увеличению температуры. Он же предложил выражение для плотности энергии излучения
в виде
u ( , T )   3 f ( / T ).
Вид функции fбыл не определен, лишь в 1896 Вин предложил явное выражение для
плотности энергии излучения
u ( , T )  c1 3 exp(c2 / T ).
(9)
Однако в области низких частот это выражение не подтверждалось экспериментом.
Окончательно проблема излучения АЧТ была решена М. Планком. В 1900 г. 14 декабря на
заседании немецкого физического общества он доложил свою работу «К теории
излучения энергии излучения в нормальном спектре». Эта дата по праву считается днем
рождения квантовой теории.
При выводе своего знаменитого закона в качестве носителей энергии излучения
Планк использовал осцилляторы (резонаторы), плотность которых он определил
согласно классической электродинамике в следующем виде
  8 2 / c3 .
9
Плотность энергии излучения u(T) определялась произведением средней энергии
резонатора U на их плотность, т.е.
u ( , T )   U  8 2U / c3 .
Для нахождения средней энергии осциллятора Планк применил приём, который
использовал Л. Больцман при выводе функции распределения атомов идеального газа по
скоростям. Но если у Больцмана аргументы функции распределения могли изменяться
непрерывно, то Планк «разрешил» своим резонаторам иметь лишь дискретные уровни
энергии
 n  nh , n  0,1,...
Далее, следуя Больцману, Планк определил энтропию ансамбля резонаторов выражением
S  k ln W ,
где k - постоянная Больцмана, W – количество возможных комбинаций распределения
энергии между резонаторами ансамбля.
Выражение для энтропии ансамбля с дискретными уровнями энергии можно
представить выражением
(10)
S   pn ln pn ,
n
где pn – вероятность нахождения осциллятора на n-м энергетическом уровне.
Учитывая условие нормировки
 pn  1
n
и определение средней энергии осциллятора

n
pn  U ,
n
из принципа максимума энтропии можно найти выражения для вероятностей
pn  A exp( nh ).
Нормирующий множитель определяется выражением
A  1/  exp(  nh )  1  exp(  h ).
(11)
n
Средняя энергия определяется как
h
.
exp(  h )  1
n
Соответствующее вероятностям (11) выражение энтропии имеет вид
S  U  ln A.
(12)
Полный дифференциал этого выражения
dS   (dU  Ud / ).
Второй член в правой части этого выражения соответствует работе, совершенной над
ансамблем резонаторов при изменении энтропии ансамбля. Следовательно,
всё
выражение в скобках представляет собой приращение тепла dQ. Учитывая второй закон
термодинамики (dS=dQ/kT), получаем kT. Окончательное выражение для плотности
лучистой энергии АЧТ принимает вид
8 h 3
(13)
u( , T )   U  3
.
c (exp(h / kT )  1)
Для АЧТ излучение изотропно, следовательно, интенсивность излучения
определяется выражением
c
2h 3
(14)
I ( , T ) 
u 2
.
4
c (exp(h / kT )  1)
Или в длинах волн
U    n pn 
10
I ( , T ) 
2hc 2
.
 5 (exp(hc /  kT )  1)
(15)
Закон смещения Вина:
а) положению максимума выражения (14) соответствует значение частоты
max5.87 1010T Гц
б) положению максимума выражения (15) соответствует значение длины волны
max0.29/T см
При h >>kT выражение (13) соответствует спектру Вина (9), а при обратном
неравенстве h <<kT из (14) получается закон Рэлея – Джинса
2kT
I ( , T )  2  2 .
c
Этот закон был выведен из классических представлений Дж. Рэлеем (1900 г.) и
независимо Дж. Джинсом. (1905 г.).
Три кита теории излучения Макса Планка:
1) осцилляторы,
2) дискретность энергетических уровней осцилляторов,
3) термодинамический подход (энтропия).
Квантование уровней энергии осцилляторов Планк использовал скорее для
удобства вычислений. Последующие теоретические и экспериментальные исследования
показали, что наш мир действительно обладает квантовыми свойствами. Однако ни
теория, ни эксперимент не отвечают на вопрос – почему?
Выражение (13) описывает плотность излучения АЧТ, но оно совершенно не
раскрывает свойства отдельного фотона. Почему, проделав путь в миллиарды световых
лет, фотон не «расползается» согласно теории Максвелла, а сохраняет свою энергию в
малом пространственном объеме? Этот вопрос ещё ставил Планк, но ответа на него нет до
сих пор.
Литература:
1. Л.Х. Аллер, Астрофизика, М.: ИЛ. 1955.
2. Л.Х. Аллер. Атомы, звёзды и туманности. М.: Мир. 1976.
3. Макс Планк. Избранные труды. М.: Наука. 1975
11