Лекция 25. Элементы квантовой механики

Лекция 25. Элементы квантовой механики
1. Корпускулярно – волновой дуализм. Гипотеза де Бройля. Соотношение неопределённостей.
2. Волновая функция и её статистический смысл.
3. Стационарное уравнение Шрёдингера.
4. Решение уравнения Шрёдингера для частицы в потенциальной яме.
1
Корпускулярно – волновой дуализм. Гипотеза де Бройля.
Соотношение неопределённостей
Недостаточность теории Бора указывала на необходимость пересмотра основ
квантовой теории и представлений о природе микрочастиц (электронов, протонов и
т.п.). Возник вопрос о том, насколько исчерпывающим является представление
электрона в виде малой механической частицы, характеризуемой координатами и
определенной скоростью.
В 1922-1923 г.г. опыты Иоффе и Комптона подтвердили правильность идей
Эйнштейна о двойственности корпускулярно-волновой природы излучения. Наряду
с интерференцией, дифракцией, отвечающим волновой природе, имеются и другие
свойства, характеризующие корпускулярную природу (фотоэффект, рентгеновское
излучение, явление Комптона).
В 1924 г. де Бройль сделал предположение об аналогичном дуализме электронов, которое потом обобщили для других микрочастиц. Он постулировал сопостав
ление электрону с импульсом р длину волны Ф
Ф 
h
h

,
p me
где
me 
m0
1   2 с2
(25.1)
Здесь m0 – масса покоя микрочастицы,  – скорость ее движения в лабораторной системе отсчета, Ф - та длина волны, которую следует принять для описания
статистического проявления микрочастицы заданного импульса.
Гипотеза де Бройля вскоре была подтверждена экспериментально. Дифракция
электронов на кристаллической решетке никеля Ni наблюдалась в опытах Девиссона и Джермера. По распределению максимумов и минимумов в дифракционной
картине можно было определить длину волны. Экспериментальные данные подтвердили гипотезу де – Бройля. Несколько позже дифракционные явления были обнаружены у нейтронов, протонов и других микрочастиц. Кроме того, из анализа дифракционной картины следовало, что квадрат амплитуды дебройлевской волны в
данной точке пространства является мерой вероятности того, что частица
находится в этой точке.
Открытие волновых свойств у частиц привело к возникновению новых методов исследования структуры вещества – электронной микроскопии, нейтронографии
и других методов.
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
1
Экспериментально подтверждение гипотезы де Бройля показало, что перед
нами универсальное свойство материи.
Волновые свойства частиц и возможность задать для частицы лишь вероятность ее пребывания в данной точке пространства приводят к тому, что в ряде случаев оказывается невозможным в классическом смысле, одновременно характеризовать частицу ее положением в пространстве (координатами) и скоростью (или импульсом) – динамическими переменными.
В связи с этим в 1927 г. Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности: произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных
не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка  , который
для импульсов и координат записывается:
x  рx   / 2
(25.2)
y  р y   / 2
z  рz   / 2
Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому
для них также справедливо соотношение неопределенности:
(25.3)
E  t   / 2 .
Это соотношение означает, что определение энергии с точностью Е должно
занять интервал времени, равный, по меньшей мере, t ~  / E .
Следует отметить, что неопределенность в определении величин в соотношениях (25.2) и (25.3) связана не с совершенством измерительной аппаратуры, либо
современным уровнем развития квантовой теории, а с объективными дуальными
свойствами исследуемой системы.
В квантовой механике само понятие о состоянии системы приобретает иной
смысл, чем в классической физике – для определения этого состояния нужен иной
подход. Значения величин, характеризующих состояние частицы – динамических
переменных, т.е. координаты, импульсов, энергии и т.д., должны находиться с помощью волновой функции, -функции (пси-функции), имеющей вероятностный
смысл. В соответствии с принципом причинности состояние микрообъекта, определенное –функцией в некоторый момент времени t0, однозначно предопределяет
его дальнейшее состояние.
2
Волновая функция и её статистический смысл
Волновая комплексная функция  для микрочастиц играет ту же роль, что и
напряженность электрического поля в электромагнитном поле волны для фотонов.
Она принимает положительные и отрицательные значения и характеризует дифракционные явления в потоках микрочастиц. Смысл её, согласно предложенному в
1926 г. М. Борном, состоит в том, что действительное значение квадрата модуля
волновой функции  (x,y,z,t), т.е. произведение волновой функции на комплексносопряженную функцию (*), в данной точке, определяет отнесенную к единице
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
2
объема вероятность обнаружения микрочастицы в области этой точки в данный
момент времени или вероятность того, что в данный момент система имеет конфигурацию, соответствующую аргументам волновой функции.
Так, вероятность
2
(25.4)
dW  B  dV  B * dV ,
где В – коэффициент пропорциональности, * (x,y,z,t) – сопряженная функция. Для
свободного электрона, представленного в виде плоской
монохроматической волны (рис. 25.1), состояние описывается функцией вида
  ae i ( k x t )  acos( k 0 x  t )  i sin( k 0 x  t ) , (25.5)
0
где
i   1, k 0  2 /  0, ,   E /  .
Здесь плотность вероятности пребывания частицы
2
   в данном месте
2



   *  ae i ( k0 x t ) ae i ( k 0x t )  a 2 .
(25.6)
Сравните с тем, что ранее полученное значение
энергии в волне определялось квадратом амплитуды, а в волновой оптике освещенность определялась квадратом амплитуды напряженности E 02 , что пропорционально
количеству фотонов.
Наличие частицы в заданном объеме определяется условием
нормировки
(25.7)
  * dV  1 .
V
Из смысла -функции вытекает, что квантовая механика имеет статистический характер. Она хоть и не позволяет определить траекторию частицы, тем не менее с помощью -функции частица может быть обнаружена в различных точках
пространства. Что на первый взгляд дает меньшую информацию по сравнению с
описанием движения во времени макрообъекта в классической механике. Но это не
так, квантовая механика просто не определяет того, чего нет на самом деле, нет понятия местоположения и траектории. С плотностью вероятности, определяемой по
-функции, связана вероятность энергетического состояния и причина взаимодействия между частицами.
3
Стационарное уравнение Шрёдингера
Уравнение движения и состояния для микрообъектов записывается как линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое было получено в 1926 г. Э. Шрёдингером. Для нерелятивистского случая,
 < c, оно имеет вид
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
3

2 2

.
(25.8)
   U  i
2m
t
 2   - оператор дифференцирования Лапласа по
Здесь m – масса частицы,
координатам x, y, z . В уравнении (25.8) действие оператора Лапласа на -функцию
выглядит следующим образом:
2 
 2
x 2

 2
y 2

 2
z 2
. Функция U(x,y,z) – потенци-
альная энергия частицы. При отсутствии внешних полей U=0.
Уравнение Шрёдингера имеет периодические решения вида
(x,y,z,t)=x,y,z)t),
(25.9)
где x,y,z) - амплитудный сомножитель волновой функции, не зависящий от времени и удовлетворяющий условиям конечности, непрерывности и однозначности
только при определенных дискретных значениях собственной энергии частиц E1,
E2,…, а также t) - соответствующая периодическая функция частоты  n  Еn  .
Общее решение дифференциального уравнения (25.8) представляет
сумму всех частных решений
   nei Еn  t
.
(25.10)
Когда характеристические параметры частицы не меняются со временем, то
распределение вероятности нахождения частицы в области пространства не меняется со временем, т.е.  - функции для частицы имеют вид стоячих волн.
В этом случае силовое поле, в котором движется частица, стационарно
U=U(x,y,z), и достаточно решить уравнение, которое получается из (25.8).

2 2
   U  E .
2m
(25.11)
Это уравнение называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний.
Важность уравнения Шрёдингера для атомных процессов сравнима с значимостью
второго закона Ньютона в классической механике.
Уравнение Шрёдингера удовлетворяет принципу соответствия, установленному Н. Бором. Этот принцип устанавливает, что новая теория в пределах применимости старой дает те же результаты, что и старая. Это обязательно, т.к. в своих
границах применимости старая теория отвечает опыту, следовательно, верна. Доказательство выполнения принципа соответствия в квантовой механике принадлежит
Эренфесту. Он доказал, что средние значения динамических переменных (частицы,
описываемой уравнением Шрёдингера) подчиняются классическим уравнениям механики Ньютона.
4
Решение уравнения Шрёдингера для частицы в потенциальной яме
Рассмотрим решения уравнения Шрёдингера для частицы, находящейся в глубокой одномерной потенциальной яме, т.е. найдем собственные значения энергии Еn
и собственные функции n. Примером такого движения является движение электроНикитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
4
нов в металлах, т.к. вне металла U=0, а внутри она отрицательна и равна работе выхода электрона из металла.
1. Пусть частица свободно движется только вдоль оси Х бесконечно глубокой
одномерной потенциальной ямы. Движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками (см. рис. 25.2а), т.е. граничные условия
(25.12)
 0   L  0 .
В этом случае уравнение Шрёдингера (25.11) внутри потенциальной ямы
(область I , где   функция не равна тождественно нулю, а U  0 ) имеет вид
d 2 2m
 2 Е  0 .
dx 2

2m
k2  2 Е ,

Введя обозначение
(25.13)
(25.14)
получим уравнение такого же вида, как для свободных гармонических колебаний,
изученных ранее:
   k 2  0 .
Е4

Е
U 0
а
Е3
n2
Е2
n 1
Е1
II
I
0
n3
0
x
L
L
x
б
Рис. 25.2
Известно решение такого уравнения
 ( x)  А sin( kx   ),
(25.15)
где k и А можно найти, если воспользоваться граничными условиями (25.12). Так
для x  0 получим  0  А  sin   0 , если =0. А для x  L выполнение
 L  А  sin kL  0 , возможно только
при kL  n ,
где n=1,2,3,…
(25.16)
Учитывая уравнение (25.14), можно определить собственные значения энергии частицы
En 
 2 2
2
2mL
n2 ,
где n=1,2,3,…
(25.17)
Т.е. энергия электрона в потенциальном ящике не может быть произвольной. Она
принимает лишь ряд дискретных собственных значений.

0
 
n4
n4
n3
n3
n2
n2
n 1
n 1
x
x
l Садово – парковое0и ландшафтное строительство
Никитин
П.В.
l
а
б
5
Рис. 25.3
Собственные значения функции получаются из (25.15) и (25.16)
 n x   А  sin nx L  ,
где для нахождения амплитуды а следует воспользоваться условием нормировки
l
А2  sin 2 (nx / L)dx  1
0
или, после интегрирования, следует А2 1 2  L  1 , откуда коэффициент А  2 L .
Условие (25.16) имеет физический смысл в том, что для kn  2  n , а
следовательно и n  2L n , т.е. на длине потенциального ящика должно укладываться
целое число волн де Бройля (как у струны, закрепленной на концах, см. рис. 25.3а).
Таким образом, собственные функции для микрочастицы имеют вид:
2  n 
sin  x  .
L  L 
 n ( x) 
(25.18)
На рис. 25.3б показана плотность вероятности обнаружения частицы на
различных расстояниях от стенок ямы    * . На графике видно, что в
состоянии n=2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и, вместе с тем,
одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы, что, естественно,
несовместимо с понятием траектория, как в классической механике, где положения
равновероятны.
Если оценить расстояния между соседними уровнями для различных масс
микрочастиц m и размеров ям L , то разность энергий 2-х соседних уровней
En  En 1  En 
 2 2
(2n  1) 
 2 2
n.
mL2
I) Для молекул с mmax=10-23 г движущихся в сосуде с L =10 см, согласно оценке
3,14 2  1,05 2  10 68
E n  3
n  10 39 n, Дж  6  10 19  n, эВ ,
 23
2
4
10  10  10  10
2mL2
аналогично и для me~10-27 г (электроны в металле), дискретность незаметна.
2) А для L ~10-8 см (порядка внутриатомных расстояний) можно получить
En 
3,142  1,052  1068
10
30
 10
 20
n  1018 n, Дж  6,25n, эВ ,
т.е. дискретность будет весьма заметна.
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
6