ot4et_35

Поволжский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики
Лабораторная работа №35
Изучение прозрачной дифракционной решетки
Выполнил: студент группы ИТ-72
Уксусов Кирилл
Проверил:
Ефимова Анна Алексеевна
Цель работы
Ознакомление с прозрачной дифракционной решеткой, определение длин волн в спектре источника
света, определение характеристик решетки: периода, дисперсии.
Приборы и принадлежности
Спектроскоп, прозрачная дифракционная решетка, источник света.
Краткая теория
Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с
резкими неоднородностями и связанных с отклонением от законов геометрической оптики.
Огибание препятствий звуковыми волнами (   10см ), т.е. дифракция звуковых волн, постоянно
наблюдается в обыденной жизни. Для наблюдения дифракции света надо создать условия, при
которых размеры препятствий сопоставимы с длиной световой волны (   5 105 см ).
Плоская прозрачная дифракционная решетка представляет собой прозрачную пластину с большим
количеством (до 1000 на 1мм) тонких параллельных щелей одинаковой ширины b и равными
расстояниями d между их серединами (или соответственными точками). Щели решетки образуют
правильную структуру. Так как такая структура имеет различный коэффициент пропускания света
через щели и промежутки между ними, то решетка такого типа называется прозрачной амплитудной
решеткой. Расстоянием d называется периодом или постоянной решетки.
На рис. 1, 2 представлен ход лучей через решетку согласно схеме дифракции Фраунгофера.
Монохроматический свет от источника 1 освещает щель 2, находящуюся в фокальной плоскости
объектива коллиматора 3. Каждая точка щели 2, является вторичным источником, дает после
объектива 3 пучок параллельных лучей. Результирующий пучок лучей доедет до дифракционной
решетки 4 практически параллельным
(плоским) пучком лучей. Эти лучи
дифрагируют при прохождении через
решетку, образуя вторичные когерентные
расходящиеся пучки под углами дифракции
1 , 2 ,..., k . Пучки, прошедшие объектив 5
зрительной трубы, дают в его фокальной
плоскости 6 дифракционную картинку,
являющуюся изображением щели 2, как
результат интерференции дошедших до
плоскости 6 когерентных когерентных
колебаний. В отсутствии решетки фокальной плоскости 6 будет наблюдаться обычное изображение
щели 2.
Объяснить явление дифракции можно с помощью
принципа Гюйгенса-Френеля: каждый элемент
волновой поверхности S (рис.3) служит источником
вторичной волны, амплитуда которой
пропорциональна величине элемента dS . Амплитуда
сферической волны убывает с расстоянием r по
закону 1/r. Значит, от каждого участка dS волновой
поверхности в точку P приходит колебание с
a dS
амплитудой dE  K 0  cos(t  kr  a0 ) (1).
r
В этом выражении (t  a0 ) - фаза колебаний в месте расположения волновой
поверхности S , k - волновое число, r - расстояние от элемента поверхности dS
до точки Р. Множитель a0 определяется амплитудой светового колебания на
dS. Коэффициент K зависит от угла  между нормалью n к площадке dS и
направлением от dS к точке Р. При  = 0 этот коэффициент максимален, при
   / 2 он обращается в нуль. Если часть поверхности S занята
непрозрачными экранами, то соответствующие (закрытые экранами) вторичные источники не
излучают, а остальные излучают так же, как в отсутствии экранов.
В точке Р (рис. 1.) суммируется N когерентных колебаний (N -число щелей решетки) с одинаковой
амплитудой A , сдвинутых друг относительно друга по фазе на одну и ту же величину  .
Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз  , которая связана с разностью
2
хода соотношением:  
(2).

Из рис. 2. видно, что разность хода лучей, посылаемых соответственными точками (расстояние
между которыми равно периоду решетки d) двух соседних щелей:   d sin  (3).
Таким образом, если в точку P соответственные лучи от всех щелей придут в одинаковой фазе
(   2m , где m = 0,1,2,...), или, что то же самое, разность хода лучами равна целому числу длин
волн, то в точке P будет наблюдаться максимум интенсивности. То есть условие   d sin k  m
(m = 0,1,2,...) (4) определяет направление  (положение) главных максимумов интенсивности.
Число m определяет порядок главных максимумов.
Пользуясь методом векторных диаграмм (рис. 4.), находим,
что амплитуда главных максимумов определяется
формулой: Amax  NA (5), где A - амплитуда колебаний,
посылаемых одной щелью в направлении  .
Так как интенсивность пропорциональна квадрату
амплитуды, то в случае дифракции от N щелей, интенсивность пропорциональна квадрату N:
I  N 2 I . Направления  , в которых реализуются минимумы с нулевой
интенсивностью для дифракционной решетки, при наблюдении дифракции в
параллельных лучах, очевидно, должны совпадать с направлениями
минимумов для одной цели. Минимумы для щели шириной b реализуется
тогда, когда в щели для данного направления  укладывается четное число зон
Френеля, или, когда разность хода между двумя крайними лучами одной щели
равна четному числу длин полуволн (рис. 5). Условие b sin m  m , (m =
0,1,2,...) (6) определяет направление главных минимумов для щели.
Распределение интенсивности света, даваемого одной щелью, показано на рис.
6.
Кроме главных минимумов определяемых
условием (6), между двумя соседними главными
максимумами имеется по (N-1)-му добавочному
минимуму. Эти минимумы появляются в
результате интерференции волн, приходящих от
всех N щелей. Найти направление добавочных
минимумов можно методом векторного
суммирования амплитуд. Вектор амплитуды
результирующего колебания (рис. 7).
N
A   Ai
i 1
Все Ai равны между собой, примем, что каждый следующий вектор
повернут относительно предыдущего на один и тот же угол  ,
равный разности фаз колебаний, пришедших от соответственных
точек соседних щелей. При векторном суммировании
результирующий вектор это вектор, соединяющий начало первого
A1 и конец последнего AN вектора. Значит, для того, чтобы
суммарная интенсивность в направлении  оказалась
равной нулю, надо, чтобы совпали начало первого и конец
последнего вектора, то есть N  2q , (q - целое число).
Используя (2), (4), (7) получим условие добавочных или дополнительных минимумов:
Nd sin    q (8) (й=1,2,3,…,N-1,N+1,…).
Из (8) следует, что добавочные минимумы появляются в тех направлениях  , для которых разность
хода между соответственными лучами первой и последней щели равна целому числу длин волн. При
этом целое чисто q не может быть кратным N, так как при q=0,N,2N,... условие (8) переходит в
условие (4) для главных максимумов.
Заметим, что при постоянной d , увеличение числа щелей приводит не только к росту
интенсивности, но и к резкому сужению главных максимумов.
Результирующее распределение интенсивности света при дифракции на решетке представлено на
рис. 8.
Пунктирная кривая дает интенсивность от одной щели, умноженную на N 2 . Сплошная кривая
соответствует главным максимумам, а также добавочным максимумам и минимумам.
Решетку можно использовать для разложения света
в спектр, который называется дифракционным
спектром. Если источник излучения
немонохроматический свет, то решетка разлагает
его в спектр. При  =0 возникает максимум
нулевого порядка, совпадающий для всех длин
волн. По обе стороны от него возникнут спектрымаксимумы порядков  m . В спектре каждого
порядка максимумы для более коротких волн
расположатся ближе к нулевому максимуму.
Максимумы для более длинных волн - дальше от
него. В дисперсионном спектре (получаемом при помощи призмы) присутствует один порядок
спектра, фиолетовые лучи отклоняются больше, чем красные. Способность дифракционной решетки
разлагать свет в спектр позволяет использовать ее как диспергирующее устройство в спектральных
приборах.
Основными характеристиками дифракционной решетки являются угловая дисперсия и разрешающая
сила. Угловая дисперсия, характеризующая угловое расстояние между близкими спектральными

m

... (9), где  - угловое расстояние между двумя
линиями, выражается в виде  
 d cos  k
спектральными линиями, отличающимися по длине волны на  , m - порядок спектра,  k соответствующий угол дифракции.
Формула (9) может быть получена дифференцированием выражения (4). Из полученного выражения
(9) следует, что угловая дисперсия  обратно пропорциональна периоду решетки d. Чем выше
порядок спектра m , тем больше дисперсия.
Для небольших углов отклонения, угловая дисперсия решетки  постоянна:  пропорционально
 . Поэтому дифракционные спектры иногда называют “нормальными” в отличие от спектров,
получаемых с помощью стеклянных призм, у которых угловая дисперсия в красной части спектра
меньше, чем в фиолетовой.
l
Линейной дисперсией называют величину D 
, где l 
линейное расстояние на экране или на фотопластинке между
спектральными линиями, отличающимися по длине волны на  .
Таким образом, дисперсия характеризуется протяженностью спектра
или способности решетки пространственно разделять световые пучки
различных длин волн.
Разрешающую способность R решетки можно рассчитать, пользуясь
условием Рэлея, по которому две монохроматические спектральные
линии еще разрешаются (видны раздельно), в том случае, когда
главный максимум одной линии 1 попадает на место дополнительного максимума второй линии
2 , ближайшей к ее главному максимуму (рис. 9).
Разрешающей силой или способностью спектрального прибора называют безразмерную величину

R
... (10)

Найдем разрешающую силу дифракционной решетки. Положение середины m-го максимума для
длины волны 2     определяется условием: d sin 2  m2  m(  ) .
Края m-го максимума для длинны волны 1   расположены под углами, удовлетворяющими
соотношению: d sin 1  m  1  .
N
Середина максимума для длинны волны 2     наложится на край максимума для длинны
волны 1   в том случае, если 1  2 , то есть m    m  1  откуда m   .
N
N
Решая это соотношение относительно  , находим R    mN... (11).






Итак, разрешающая сила дифракционной решетки пропорциональна порядку спектра k и числу
щелей N.
Если 
больше, чем произведение kN, то максимумы длин волн 1 и 2 не будут разрешаться.

Очевидно, если два максимума не разрешаются в спектре m-го порядка, то они могут быть
разрешены в спектре более высоких порядков, ибо для соблюдения условия разрешимости малым
разностям ( 1 - 2 ) должны соответствовать (при N=const) больше m. Дифракционная решетка с
большим числом щелей N разрешает данные близкие волны 1 и 2 в спектрах малых порядков.
1.   d sin k  m
№ пп
1
2
3
4
5
6
7
Цвет
Красный
Оранжевый
Желтый
Зеленый
Голубой
Синий
Фиолетовый
φ
К=+2
7,5
7
6,5
6
5,5
5
4,5
К=-2
7
6,5
6
5
4,5
4
3,5
<φ>
λ,
7,25
6,75
6,25
5,5
5
4,5
4
6,7
6,3
5,8
5,1
4,6
4,1
3,7
м
м
м
м
м
м
м
м
β,
2,016
2,014
2,012
2,010
2,008
2,006
2,004
2,018
2,016
2,014
2,012
2,01
2,008
2,006
2,004
2,002
2
3,7
4,1
4,6
5,1
5,8
6,3
6,7