В-сплайн - база эмпирического метода декомпозиции сигналов

1
Sherman Riemenschneider, Bao Liu, Yuesheng Xu and Norden E. Huang
ГЛАВА 2.
B-СПЛАЙН - БАЗА ЭМПИРИЧЕСКОГО МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ СИГНАЛОВ
Машинный перевод.
Эта работа рассматривает некоторые математические проблемы, связанные с эмпирической модовой декомпозицией сигналов. B-сплайновый алгоритм EMD представляется и разрабатывается для удобства математического изучения. Численный анализ, используя и моделируемые, и практические сигналы, и прикладные примеры анализа вибрации, указывает, что алгоритм B-сплайна сопоставим по производительности с первоначальным алгоритмом EMD. Также демонстрируется, что для белого шума алгоритм B-сплайна действует как двоичный банк
фильтра. Математические результаты на EMD включают Эйлеровы сплайны, как встроенные
функции режима, преобразование Гильберта B-сплайнов, и необходимые и достаточные условия, которые гарантируют справедливость тождественности Бедрозиэн преобразованию Гильберта функций произведения.
2.1. Введение
Обработка информации важна и в чистом исследовании, и в практических применениях.
Информация, содержащаяся в данных, как правило, осложнена искажениями. С быстрой разработкой науки и техники мы каждый день получаем огромное количество данных. Данные
должны быть обработаны, чтобы извлечь значимую информацию для различных применений.
Преобразование Фурье - наиболее используемый и сильный традиционный метод анализа данных. Однако, этот метод не эффективен в обработке нестационарных и нелинейных сигналов,
потому что функции базиса, которые он использует, не локализуются и не могут должным образом характеризовать изменение спектра во времени. Частотно-временной анализ считают
лучшим подходом для того, чтобы преодолеть ограничения традиционных методов. Это стремление представить сигнал функцией и времени и частоты, отображая частотную информацию
во временной области, позволяет выполнять исследования нестационарных и нелинейных характеристик сигнала.
Больше пятидесяти лет исследователи затрачивали существенные усилия в поиске эффективных путей частотно-временного представления. Кратковременное преобразование Фурье
(Гэбор 1946; Коэн 1995; 1996 Киэн), представляющее достижение этого усилия, сильно в различных применениях. К сожалению, у него есть трудности в обработке некоторых типов сигналов, таких как составленные из небольших пакетов квазистационарных компонент, потому что
его время и частотная разрешающая способность задаются. Хотя многие улучшенные методы
были разработаны при приспосабливании размера окна к локальной композиции сигнала (сравни, Джонс и Парк 1990), эти методы или в вычислительном отношении дороги или эффективны
только для определенных применений. Распределение Вигнер-Вилл (Коэн 1995; 1996 Киэн)
2
другой классический метод. Он может хорошо сохранить время и частотную концентрацию
сигнала, но имеет недостаток перекрестной интерференции, которая часто затемняет полезные
образцы частотно-временной плоскости. Для преодоления этой задачи были разработаны различные методы (Choi и 1989 Виллиэмс; Жэо и др. 1990), основанные на общей структуре Коэна,
(Коэн 1966) с целью сокращения перекрестной интерференции при сохранении желательных
свойств распределения Вигнер-Вилл. Свежие построения вейвлет-анализа открыли новый путь
для частотно-временного анализа. Существенным прорывом вейвлет-анализа было использование мультимасштабов, чтобы характеризовать явления сигнала. Этот метод привел к разработке нескольких основанных на вейвлетах методик определения частотно-временных характеристик (Добечис 1992; Маллэт 1998). Некоторые из них адаптивны, таковы как вейвлетпакеты (Койфман и др. 1992), соответствуя преследованию (Маллэт и 1993 Жэнг), и преследованию базиса (Чен и др. 2001). Несмотря на большой успех многочисленных применений всех
вышеупомянутых методов, однако, у каждого есть их собственные ограничения, и почти все
они неэффективны для того, чтобы характеризовать детальную частотно-временную композицию нелинейных сигналов. С другой стороны, большинство существующих нелинейных методов анализа временного ряда (Дикс 1999) предназначается только для стационарных систем.
По прошлым нескольким десятилетиям исследователи пытались эксплуатировать понятие мгновенной частоты, создать частотно-временное представление, выведенное из аналитических сигналов, Ожидается, что у такого представления не может быть фундаментальных препятствий в вышеупомянутых методах. Однако, сбор к существованию небольшого количества
парадоксов, включающих мгновенную частоту, выводил этот путь и понятие частоты в анализе
Фурье или в нашей интуиции (Коэн 1995), это усилие не имело большого количества успеха,
пока Хуанг и др. (1998, 1999) не разработал эмпирическую модовую декомпозицию (EMD).
Этот метод теперь известен в литературе как Преобразование Гильберта-Huangа (HHT). Оно
дает сильный инструмент для того, чтобы улучшить частотно-временную технологию. Основной подход метода - EMD должен расчленить сигнал в коллекцию встроенных функций мод
(IMF), которые позволяют хорошие преобразования Гильберта для вычисления физически значимых мгновенных частот. Это позволяет создать частотно-временное представление, известное как "Гильбертов спектр," при использовании мгновенной частоты. Другой прорыв состоит в
том, что, в отличие от вейвлет-анализа, который характеризует масштаб явления сигнала с предуказанными функциями базиса, HHT расчленяет сигнал прямым извлечением локальной энергии, соединенной с масштабами собственного времени сигнала непосредственно. Гильбертов
спектр, поэтому, может изобразить не только меж - но также и внутриволновые частотные характеристики времени локального явления. Таким образом, HHT применим и к неустановившимся и к нелинейным сигналам.
HHT доказал свою эффективность в различных применениях (Эчеверрия и др. 2001;
3
Сосны и 2002 Сэльвино; Жэнг и др. 2003). Однако, большинство основных математических задач все еще не было отработано. Поскольку HHT находит все более широкие применения, потребность в строгой математической основе становится более срочной. Недавно, в попытке
обойти математические трудности, Чен и др. (2004) разработал разновидность первоначального
EMD, которая кажется потенциально более удобной для аналитической формулировки EMD и
для изучения определенных связанных математических проблем. Этот метод представляет локальное среднее значение сигнала при использовании скользящих средних значений экстремумов как комбинации B-сплайнов и избегает использования огибающих, для которых присущее
математическое определение - все еще нерешенная проблема. Кроме того, этот метод преодолевает задачу, которую в реализации первоначального EMD могут пересечь верхние и нижние
огибающие. Недавно, мы применяли этот метод в анализе сигналов вибрации для обнаружения
ошибок оборудования (Лиу и др. 2004). Результаты показали, что у этого метода была сопоставимая производительность к тому из первоначальных EMD.
Данная работа делает обзор работы над B-сплайном EMD , основанный на Чен и др.
(2004), Лиу и др. (2004), и Ксу и Ян (2004). В следующем разделе делается обзор алгоритам BSEMD. Тогда в разделе 2.3, некоторые связанные математические результаты представляются,
включая Эйлеровы сплайны как формирующие прототип примеры B-сплайна IMFs, свойства
преобразования Гильберта B-сплайнов, и необходимые и достаточные условия, которые гарантируют справедливость тождественности Бедрозиэн преобразования Гильберта функций произведения. Раздел 2.4 - части свойств BS-EMD как банк фильтра, и исследует производительность
BS-EMD через сравнение с первоначальным EMD. В разделе 2.5, мы представляем некоторые прикладные примеры метода BS-EMD и его соответствующего Гильбертова спектра в анализе
сигнала вибрации. Наконец, в разделе 2.6, представляется заключение, и будущие задачи об исследовании выделяются.
2.2. Алгоритм B-сплайна для эмпирической модовой декомпозиции
Эмпирический метод декомпозиции расчленяет сигнал в конечную сумму встроенных
функций, которые позволяют вычисление физически значимой мгновенной частоты, определенной в терминах преобразования Гильберта. Чтобы описать алгоритм B-сплайна для эмпирической декомпозиции, сначала повторим определение преобразования Гильберта. Для действительного сигнала s ( t ) , п реобразование Гильберта определяется главным значением (PV) интеграла
(2.1)
Это приводит к аналитическому сигналу
(2.2)
4
(2.3)
где a( t ) и t ) - соответственно, амплитуда и фаза сигнала во время t . Мгновенная частота может быть вычислена
(t) = d(t)/dt.
(2.4)
Заметим, что вышеприведенные и амплитуда и мгновенная частота - функции времени.
Мы естественно надеемся создать частотно-временное представление сигнала с использованием преобразования Гильберта. Если бы это представление было правильно для какого-нибудь
произвольного сигнала, то у нас было бы частотно-временное представление с более высокой
энергетической концентрацией, чем на кратковременном преобразовании Фурье и вейвлетпреобразовании, и более чистое представлениие, чем на распределении Вигнер-Вилл. К сожалению, существенная трудность состоит в том, что у мгновенной частоты, полученной таким
образом, могут быть частотные величины, которые бессмысленны в физике. Эта задача досаждала исследователям много лет, потому что попытки преодолеть ее были основаны на классических методах Фурье и теории фильтров.
Разработка EMD - метод для того, чтобы решить вышеупомянутую задачу. Хуанг и др.
(1998) нашел, что, чтобы определить значимую функцию мгновенной частоты при использовании преобразования Гильберта, эта функция должна удовлетворить следующим двум условиям:
1. Число экстремумов и число нулевых пересечений функции должны быть равными или отличаться самое большее на 1.
2. В любой точке функции среднее значение огибающих, определенных локальным
экстремумами, должно быть нулем.
Такую функцию называют "встроенной функцией моды" (IMF). Так как IMFs, определенные таким образом, допускают вычисление значимых мгновенных частот, это становится
возможным, чтобы создать частотное временем представление, основанное на Гильбертовой
трансформанте.
Алгоритм EMD снабжает метод, чтобы получить IMFs с основной идеей удалениия локального среднего значения от сигнала при использовании процесса отсеивания. В первоначальном EMD локальное среднее значение вычисляется как среднее значение верхних и нижних огибающих. Сами огибающие аппроксимируются как кубический сплайн интерполяции
локальных максимумов и локальных минимумов, соответственно. Можно заметить, что "огибающие" имеют решающую роль в этом алгоритме. Однако, хорошее математическое описание
огибающих остается нерешенной проблемой. Для удобства изучения математической основы
метода EMD желательна более прямая связь от локального экстремума до среднего значения в
процессе отсеивания. Эта потребность привела к разработке алгоритма B-сплайна EMD (Чен и
5
др. 2004). Эн использует скользящее среднее значение экстремума как комбинации B-сплайнов
и является очень удобным для математического изучения. Мы представляем основную идею
BS-EMD от Чен и др. (2004) в следующем.
Мы сначала определяем B-сплайны порядка k для произвольной последовательности узлов (Хам Де 1978). Для данной увеличивающейся последовательности j, j ∈ Z , j t h B-сплайн
порядка k о п р е д е л я е т с я k t h , заказывает разностное отношение,   j . . . ,  j+k], в к + 1 точка
 j . . . ,  j+k относитя к обрезанной степени как к функции x
(2.5)
где (x — t)+k-1 нуль, если x < t и приравнивает ( x — t ) k - 1 , если x > t . Эти B-сплайны формируют базис для пространства сплайнов порядка к с узлами j, j ∈ Z . Другими словами, для любой функции s в этом пространстве существуют единственные скаляры aj таким образом что
(2.6)
B-сплайны удовлетворяют следующей рекурсивной формуле
(2-7)
(2-8)
Они нормализуются так, чтобы
(2.9)
Для использования в EMD мы определяем оператор на данном сигнале s следующим образом: Р Т С узлов:
B-сплайна
,
берутся как экстремальные точки s . Узлы в поддержку
ТС ПОРЯДКА ,
с
, обращающаяся в нуль снаружи
и строго позитивны в том интервале (следовательно, в
экстремальных точках строго в основании
ются:
) -
В этих
, следующий линейный оператор, определя-
6
Это определение - биномиальное среднее число экстремума, содержавшего в поддержку
,
где больше веса дается к центру основания. Мы берем
(2.11)
как оператор, чтобы заменить среднюю оболочку(огибающую) в первоначальном алгоритме
EMD.
Как специфические примеры, когда к = 3, у нас есть квадратное приближение B-сплайна
(2.12)
и когда к = 4, у нас есть кубическое приближение B-сплайна
(2.13)
Используя оператор, определенный выше, мы получаем алгоритм B-сплайна для эмпирической модовой декомпозиции. Этот алгоритм извлекает первый IMF сигнала s при использовании следующего процесса отсеивания:
(1) Обнаружьте локальный экстремум s .
(2) Примените оператор
(3) Вычислите
.
.
(4) Если h - IMF, остановка. Иначе, обработайте h как сигнал и выполните итерации на h
через Шаги 1 - 4.
Обозначьте c1 первый IMF и установите r1=s-c1, первый остаток (вычет). Алгоритм переходит выбирать следующий IMF, применяя вышеупомянутую процедуру к первому остатку (вычету) r1. Этот процесс повторяется, пока последний остаток rn имеет самое большее один
экстремум (исключая концы) или становится постоянным. Первоначальный сигнал тогда может
быть представлен как
Останов задается параметром SD:
(2.15)
где T - длина сигнала, и hm, результат отсеивания на m итерации. Типичное значение (величи-
7
на) остановки С Д устанавливается между 0.2 и 0.3.
Наши численные изучения показывают, что после конечного числа итераций, результат
отсеивания BS-EMD будет IMF. После применения Гильбертовой трансформанты на каждом
IMF мы получаем аналитический сигнал, соответствующий сигналу s ( t )
(2.16)
Как в Хуэнг и др. (1998), условие остановки синхронно 4 состоит в том, чтобы ограничить следующее стандартное отклонение от двух консекутивных результатов в процессе отсеивания:
Первый член на правой стороне (2.16) можно рассмотреть как обобщение разложения
Фурье. Это отличается от последнего тем, у компонентов в (2.16) есть переменная амплитуда и
частота. Это позволяет амплитуде и частотной модуляции быть отделенной и делает возможным преобразование сигнала к совместной функции времени и частоты. Остаток rn характеризует тенденцию сигнала и может быть обработан отдельно.
2.3. Некоторые связанные математические результаты
В этом разделе мы делаем обзор некоторых математических результатов, связанных с
IMFs, Гильбертовыми Преобразованиями и тождественностью Бедрозиэн в контексте EMD.
Большинство результатов, обсужденных в этом разделе, исходит из Чен и др. (2004) и Ксу и Ян
(2004).
IMFs, полученные из алгоритма EMD, допускают физически значимую мгновенную частоту. Однако, математическое определение и характеристики IMFs остаются нерешенными.
Мы представляем разъясняющий математический пример IMFs, который очень проницателен
для дальнейшей разработки в математических характеристиках IMFs. Интересное наблюдение
состоит в том, что Эйлеровы сплайны Шеенберга - важный класс сплайновых функций режима
встроенных средств типа, которые имеют тенденцию к самому простому IMF, гармоническому
сигналу, когда их степень имеет тенденцию к бесконечности.
Мы теперь повторно вызываем определение Эйлеровых многочленов и Эйлеровых
сплайнов. Эйлеров многочлен нулевой степени определяется p0=1, и Эйлеровы многочлены более высокой степени определяются рекурсивно
(2.17)
при условиях(состояниях) ограничения
. Определенно, Эйлеровы многочлены
более низкого порядка
(2.18)
8
Самый простой Эйлеров сплайн - кусочная постоянная периодическая функция
(2.20)
Вообще, при использовании Эйлеровых многочленов, Эйлеровы сплайны сгенерируются
следующим образом: Определите сплайны En на R. как растяжения(выступы) Эйлеровых многочленов
ко всем R. через функциональное уравнение
(2.21)
Таким образом,
(2.22)
Эйлеровы сплайны Шеенберга n определяются, чтобы быть
Заметьте, что Эйлеровы сплайны - 2-периодические кусочные многочлены.
Иллюстрация 2.1 показывает, что Эйлеровы сплайны - неустановившиеся сигналы, так
как их частоты меняются в зависимости от времени. Однако, мгновенные частоты Эйлеровых
сплайнов имейте тенденцию скорее быстро к этому, когда порядок сплайнов имеет тенденцию
к бесконечности. Это наблюдение может быть объяснено интересными результатами Шеенберга (1964, 1972, 1976, 1983) и Голичек (1972), которые формулируют это,
Иллюстрация 2.1: сравнения мгновенной частоты Эйлеровых сплайнов: кривая с самым высоким изменением - мгновенная частота 2-, кривая пунктира обозначает кривую 3. Сохранение двух кривых сплошных линий является мгновенной частотой 4 и 5. Изменение мгновенных частотных уменьшений от 2 до5, и мгновенной частоты 5 уже очень близко к .
9
Фактически, от (6.10) в Шеенберге (1976), первый из них может быть определен количественно как
Абсолютной сходимостью прогрессии в (2.26), это также следует легко за этим
с той же самой связанной(обязанной) погрешностью. Таким образом,
B-сплайны запускают решающую роль в алгоритме BS-EMD с тех пор за исключением
первого IMF, все, что другие - линейные комбинации B-сплайнов. Кроме того, кубические
сплайны, используемые для интерполяции огибающих в первоначальном EMD, могут также
быть написаны как линейные комбинации B-сплайнов. Так как частотное временем представление
получается из Гильбертовой трансформанты каждого IMF, желательно рассмотреть
Гильбертову трансформанту B-сплайнов. Рекурсивные формулы Гильбертовой трансформанты
B-сплайнов были установлены в Чен и др. (2004). Мы теперь делаем обзор главных результатов
той бумаги относительно рекурсивных формул.
Мы повторно вызываем определение одинаково раздельных количественных Bсплайнов. Пустите
ем
обозначать характеристическую функцию интервала I . Мы устанавлива-
, и количественные B-сплайны высших порядков определяются рекурсивно
сверткой с B1, то есть,
Можно заметить, что Bn является сплайном порядка n с узлами в целых числах j =
0,1 . . . , n. Количественные B-сплайны обладают многими хорошими свойствами (сравни, Хам
Де 1978). Если мы пускаем ∇ обозначать обратный оператор разности, определенный рекурсивно
у производной B-сплайнов есть форма
B-сплайны удовлетворяют рекурсивную формулу
10
Такая рекурсивная формула делает B-сплайны очень удобными, чтобы использовать в
применениях. Мы также знаем, что количественные B-сплайны симметричны в центре их основания; то есть,
Мы будем видеть, что эти свойства переносятся на Гильбертову трансформанту Bсплайнов. Используя рекурсивное определение количественных B-сплайнов и свойства Гильбертовой трансформанты, у нас есть это
где HBn дали удельное выражение
Для производной НВ, мы получаем формулу
Эта формула может быть обобщена к производной старшего разряда Гильбертовой
трансформанты B-сплайнов высшего порядка. В следующей теореме мы показываем, что j-th
производная Гильбертовой трансформанты Bn является j-th обратная разность HBn-j.
Теорема 2.1: Пусть n быть положительным целым числом. Тогда, следующий захват
операторов.
(i) Для любого положительного целого числа j с j <n ,
(ii) У Гильбертовой трансформанты количественных B-сплайнов есть рекурсивная
формула
(iii) Гильбертово Преобразование к о л и ч е с т в е н н ы х B-сплайнов Bn антисимметрична
средняя точка n / 2 основания Bn; это
Мы отмечаем, что это следует из части (iii) из последней теоремы, что у H B n есть нуль
в n/2.
11
Аналитический сигнал количественного B-сплайна Bn определяется
Это определение немедленно подразумевает это
Свойства B-сплайнов и Гильбертова Преобразование B-сплайнов оттранслированы к Zn,
которую мы представляем в следующей теореме.
Теорема 2.2: следующие операторы проводят(держат) для аналитической Zn сигнала
количественного B-сплайна Bn:
(i) У функции Zn есть свойство свертки
(ii) Производная Zn удовлетворяет соотношение
(iii) Функция Zn может быть вычислена п р и и с п о л ь з о в а н и и рекурсивной формулы
Практически, у сплайнового представления, полученного из метода EMD, есть неоднородные узлы. Следовательно, желательно рассмотреть Гильбертову трансформанту Bсплайнов с неравномерными узлами. В этом случае, у нас есть соотношение рекуррентного соотношения (2.7). Также известно, что производная B-сплайна может быть написана как комбинация B-сплайнов более низкого порядка:
Чен и др. (2004) доказывал, что у Гильбертовой трансформанты B-сплайнов есть точно
то же самое рекурсивное соотношение как B-сплайны.
Теорема 2.3: (i) Гильбертовы трансформанты B -сплайнов удовлетворяют соотношения рекурсии
(ii) Производная Г и л ь б е р т о в о й трансформанты B -сплайнов удовлетворяет формуле
12
Эта рекурсивная формула может использоваться, чтобы вычислить Гильбертову трансформанту B-сплайнов высшего порядка от Гильбертовой трансформанты B-сплайнов более
низкого порядка.
Формула типа Бедрозиэн (сравни, Бедрозиэн 1963) запускает решающую роль в вычислении Гильбертовой трансформанты произведения двух функций. Эта формула представляет это, Гильбертово Преобразование произведения сигнала с более низкой частотой и один с
более высокой частотой равна сигналу с более низкими частотными временами Гильбертово
Преобразование того с более высокой частотой. В остальной части этого раздела мы показываем справедливость формулы типа Бедрозиэн (сравни, Бедрозиэн 1963) произведения многочлена и наличия сигнала, обращающегося в нуль моменты. Наше соображение произведения этого
типа мотивируется в соответствии с важной характеристикой IMFs. Мы видели или численно
или теоретически что у IMF есть обращающиеся в нуль моменты определенного порядка.
Определенно, мы доказывали в Чен и др. (2004) это, если у функции есть обращающиеся в нуль
моменты порядка k, то Гильбертово Преобразование произведения этой функции с многочленом степени k р а в н а произведению многочлена и Гильбертовой трансформанте этой функции.
С этой целью, мы определяем обращающиеся в нуль моменты в смысле Главного значения Коши. Мы говорим, что у функции f есть обращающиеся в нуль моменты порядка к в этом
смысле, если главные интегралы величины удовлетворяют
Это может быть с готовностью подтверждено, что основной гармонический сигнал, потому что
имеет обращающиеся в нуль моменты порядка 2 если
Из-за этого
свойства формула Бедрозиэн держится для Гильбертовой трансформанты этой функции. Мы
формулируем этот результат в следующем предложении.
Предложение 2.4: Пусть
и p2
быть многочленом степени 2 . Тогда, Бедро-
зиэн печатают захваты формулы
Кроме того, у нас есть более сильный результат, который это свойство держит для общего наличия функции, обращающегося в нуль моменты порядка k.
Теорема 2.5: Пусть f быть действительным оцененным наличием функции, обращающимся в нуль моменты п о р я д к а к в главном смысле величины. Тогда, для любого многочлена
pn со степенью n <к , там проводит формулу т и п а Бедрозиэн
13
Недавно, Ксу и Ян (2004) изучали необходимые и достаточные условия, которые гарантируют справедливость тождественности Бедрозиэн Гильбертовой трансформанты функций
произведения fg. Эти авторы представили удобные достаточные условия, которые покрывают
классическую теорему Бедрозиэн и предоставляют новую дополнительную проницательную информацию. Мы теперь делаем обзор следствий Ксу и Ян (2004).
Теорема 2.6:
Тогда Гильбертово Преоб-
разование ф у н к ц и и f g удовлетворяет тождественность Бедрозиэн
е с л и и только если
Для непустого множества
и вещественное число t , мы пускаем
и поскольку модуль делят на интервалы: I= [0,1], мы определяем множество произведения I x

Следующий результат - прямое следствие Теоремы 2.6.
Предложение 2.7:
(2.56)
тогда Гильбертово Преобразование функции fg удовлетворяет тождественность Бедрозиэн
(2.52). Классическая теорема Бедрозиэн немедленно следует от Предложения 2.7.
Следствие 2.8: Пусть
Тогда, Гильбертово Преобразование ф у н к ц и и ф г удовлетворяет тождественность
Бедрозиэн (2.52).
Ксу и Ян (2004) доказывали следующую лемму и использовали ее, чтобы ослабить гипотезу Предложения 2.7 на функции f.
Лемма 2.9: Если
удовлетворяет условиию это
14
для некоторого замкнутого множества К, затем для какого-нибудь  > 0, там существует
, пространство функций с ограниченным изменением поддерживает в C∞, таким
образом что
и
Теорема 2.10: Пусть
усло-
вие (2.56) захваты, тогда Гильбертово Преобразование функций fg удовлетворяет тождественность Бедрозиэн (2.52) почти всюду.
2.4. Анализ производительности BS-EMD
Метод EMD анализирует сигнал, основанный в его масштабах собственного времени.
Энергия IMFs с различными частными масштабами распространяется в различных полосах частот. Численный анализ показал, что для белого цвета и покрасил стационарное искажение, первоначальная годовая динамика изменений EMD как двоичный банк фильтра, подобный двоичной трансформанте небольшой волны (Ву и 2004 Хуэнг; Флэндрин и др. 2003). Здесь мы
представляем свои результаты исследования на поведении BS-EMD в этом аспекте. О большинстве результатов сообщили в Лиу и др. (2004). Наш численный эксперимент был выполнен следующим образом. Во-первых, мы генерировали 3000 независимых гауссовых временных рядов
белого шума длины 1024. Каждый расчленялся при использовании BS-EMD. Соответствуя
каждому режиму декомпозиции, IMF был оконный, и Фурье преобразовал. Тогда, мы оценивали спектральная плотность для каждого режима как среднее число брусковых абсолютных значений соответствующего Фурье преобразовывает по всей реализации.
Иллюстрации 2.2а-б показывают спектры расчетной мощности, соответствующие кубическому и квадратичному B-сплайну EMD соответственно, где каждая кривая соответствует
одному режиму декомпозиции. Все кривые вместе в каждом рисунке могут быть интерпретированы как частотный результат эквивалентной группы фильтра. Для сравнения иллюстрация
2.2c представляет спектральные плотности, соответствующие первоначальному EMD, полученному при использовании той же самой процедуры. Можно видеть, что BS-EMD ведет себя так
же к первоначальному EMD.
15
Мы теперь снабжаем интерпретацию свойств BS-EMD как банк фильтра. Строгое математическое доказательство требует дальнейшего исследования. Считайте сигнал составленным
из высокочастотной синусоиды, стоящей на якоре на низкочастотной синусоиде, как показано в
иллюстрации 2.3a, где локальные экстремумы отмечаются "o". От (2.10), мы знаем, что коэффициенты B-сплайнов в операторе, определенном (2.11), являются по существу результатом фильтра нижних частот, относился к локальной последовательности экстремума; фильтр нижних частот здесь - биномиальное среднее число. Для квадратичных и кубических операторов B-spline
фильтры {0.5 0.5} и {0.25,0.5,0.25}, соответственно. Другими словами, содействующая последовательность в (2.11) является выровненной версией локальной последовательности экстремума (c)
Иллюстрация 2.3: (a) Вершина. Сигнал составил из высокочастотной синусоиды, стоящей на
якоре на низкочастотной синусоиде, где локальные экстремумы отмечаются "o". (b) Середина. Форма
волны, полученная, применяя оператор, определенный в (2.11) к сигналу. Точки "*" представляют коэффициенты оператора, (c) Основа. Разность между сигналом и формой волны в (b).
16
и представляет низкочастотную часть последнего. Кроме того, это было доказано, что у функции, представленной в форме (2.11), нет большего количества знакоинверторов чем содействующая последовательность непосредственно (Хам Де 1978). Мы можем таким образом полагать,
что компонент, полученный оператором (2.11), представляет низкочастотную часть сигнала.
Иллюстрация 2.3b показывает, что такой компонент сигнала, изображенного в рис. 2.3a, получил при использовании кубического B-сплайна EMD, где коэффициенты оператора представляются "*". Высокочастотную часть этого сигнала, полученного вычитанием низкочастотной
части, показывают в рис. 2.3c. На следующей итерации новая низкочастотная часть сгенерируется от текущей высокочастотной части. Когда критерий остановки удовлетворяется, мы получаем высокочастотную часть, то есть, первый IMF, и разность между сигналом и IMF, который
равен сумме низкочастотных частей, сгенерированных на всех итерациях. Следующий IMF получается таким же образом за исключением того, что он извлекается из текущей низкочастотной части. Можно предположить, что, когда все IMFs получаются, сигнал будет расчленяться
во многие полосы частот, подобные тем в трансформанте небольшой волны.
Мы должны указать, что как первоначальный EMD, BS-EMD расчленяет сигнал, основанный на его локальных масштабах времени. Также, BS-EMD - зависящая от времени группа(банк) фильтра, которая адаптивна к локальным масштабам времени сигнала. Эта возможность отличается от возможности трансформанты небольшой волны, в которой предопределяется группа(банк) фильтра. Рассмотрите сигнал, первая половина которого - высокочастотная
синусоида и вторая половина, низкочастотная синусоида. Отличаясь от частот и полос пропускания трансформанты небольшой волны,
Иллюстрация 2.4: Графический из первых 4 IMFs для данных землетрясения первоначальным
EMD слева, кубическим B-сплайном EMD в центре, и квадратичным B-сплайном EMD справа.
17
центральные частоты и полосы пропускания банка фильтра BS-EMD изменятся спереди на вторые половины сигнала. Для сигнала белого шума частный масштаб изменяется беспорядочно.
Результаты, представленные в Рис. 2.2а-к таким образом, не применимы к удельной реализации
вероятностного процесса. Они описывают только "среднее поведение" EMD как банка фильтра.
Мы представляем другой пример, основанный на Чен и др. (2004), далее исследовать
производительность BS-EMD. Сигнал в анализе - отчет землетрясения от Жеманного явления,
обсужденного первоначально Хуэнг и др. (2001). Наше намерение не состоит в том, чтобы декодировать значение результатов, но просто показать, что BS-EMD может дать подобные результаты как первоначальный EMD. В Рис. 2.4-2.6, чертить слева для первоначального метода
оболочки(огибающей), чертить в центре для кубического B-сплайна EMD, в то время как чертить справа - для квадратичного B-сплайна EMD. Остатки даются отдельно в рис. 2.7. Поскольку можно видеть, первоначальный EMD производит только 10 компонентов IMF, в то время как
кубическая и квадратная(квадратичная) продукция B-сплайна 11 и 12 компонентов IMF, соответственно. С усредняющим как в B-сплайне серии волн имеют тенденцию сохраняться дольше
временно и также через многие различные компоненты IMF. В результате подходы B-сплайна
дали бы более тонкую декомпозицию чем
Иллюстрация 2.5: Графический из следующих 4 IMFs для данных землетрясения от первоначального EMD слева, от кубический B-сплайн EMD в центре, и от квадратичного B-сплайна EMD справа.
18
подход огибающей. Однако, подобие между огибающей и кубическими подходами B-сплайна
очевидно. Даже последние три компонента и остатки - количественно и количественно подобный.
Чтобы оценить производительность BS-EMD более точно, мы представляем результаты
нашего исследования на степени ортогональности среди IMFs и энергетического сохранения
декомпозиций (Чен и др. 2004). Критерии для ортогональности определяются
Мы вычисляем сумму брусковых значений IMFs и делим это на брусковые значения первоначального минуса сигнала остаток
получить показатель степени энергетического сохранения. Последний отражает факт, что сумма IMFs представляет минус сигнала тенденция, данная в остатке. Для сигнала землетрясения
мы имеем
Метод
лОкфу
ИК
Кубический сплайн
0.6111
0.0523
1.1439
Кубический B-сплайн
0.3334
0.0579
1.0459
Квадратный(Квадратичный) Бсплайн
0.3034
0.0519
1.2916
Иллюстрация 2.6: Графический из последних немногих IMFs для данных землетрясения от
первоначального EMD слева, от кубического B-сплайна EMD в центре, и от квадратичного Б-спиин
EMD справа.
19
Испытательные результаты, полученные в итоге в вышеупомянутой таблице, показывают, что подходы B-сплайна дают очень сопоставимые результаты таковым из первоначального
подхода огибающей. Кубический B-сплайн, который EMD выполняет особенно хорошо на
энергетическом критерии сохранения, и этом обнаружении, указывает, что девиация полной
энергии среди компонентов является наименьшей. Точный выбор порядка B-сплайна - нерешенный вопрос. Хотя более низкий B-сплайн порядка сохраняет локальные характеристики
лучше, он будет следовать за данными более близко. Поскольку наша цель состоит в том, чтобы
обнаружить среднее значение через данные, B-сплайн высшего порядка должен дать лучшее
среднее значение и меньшие ортогональные показатели степени и в максимальных и в средних
значениях. Мы таким образом рекомендуем кубическому B-сплайну EMD как выбор для дальнейшего математического исследования и применений.
2.5. Прикладные примеры
В этом разделе мы представляем два прикладных примера BS-EMD на кратковременном
обнаружении. Переходные процессы - типичные неустановившиеся компоненты сигнала. Обнаружение таких компонентов представляет интерес в различных применениях. Задача, исследованная здесь, является обнаружением переходных процессов в сигналах вибрации, сгенерированных в механических системах. Наша цель должна диагностировать зарождающиеся локализованные отказы, которые являются задачей большого беспокойства в промышленности
(Брон 1986). Когда локализованные отказы, такие как трещины и поверхностные осколки существуют в механической системе, относительно двигающиеся машинные части часто плотно
сжимают друг друга. Соударения тогда переходные процессы возбуждают фоновую вибрацию.
Обнаружение переходных процессов - поэтому перспективный способ диагностировать локализованные отказы. Однако, делая так был стимулирующей задачей, потому что по сравнению с
фоновой вибрацией, переходные процессы, взволнованные зарождающимися отказами, являются обычно очень небольшими. Результаты представили здесь показ, что методы EMD снабжают
перспективный инструмент для того, чтобы иметь дело с этой задачей.
20
Первый пример исходит из Лиу и др. (2004). Сигналы вибрации в этом примере были
собраны у испытания на выносливость автомобильной коробки передач. У поезда передачи было четыре пары сопряженных зубчатых колес. В конце испытания был нарушен один зуб ведущего зубчатого колеса в последней паре механизма, которая достигала 5.9 Гц. В ранней стадии разработки такое повреждение было бы возбуждать последовательность небольших переходных процессов в фоновую вибрацию. Наша цель должна обнаружить переходные процессы
от собранных сигналов вибрации прежде, чем поломка произошла. Во время этой стадии могла
бы развиваться трещина. В испытании наверх выбранные сигналы вибрации были lowpassфильтрованы в 1.8 кГц и оцифрованы в частоте опроса 4 кГц.
Иллюстрация 2.8a показывает собранный сигнал прежде, чем зуб был нарушен. Так как
мы интересуемся главным образом частотной временем композицией, сигнал нормализуется
как энергия модуля ради удобства. Мы также делаем так для сигнала во втором прикладном
примере, представленном позже. Преобразование Фурье сигнала в рис. 2.8a дается в рис. 2.8b.
Трудно понять состояние коробки передач, основанной прямо на трансформанте Фурье. Иллюстрация 2.9 показывает первые семь IMFs, полученные при использовании BS-EMD. Можно
видеть, что IMFs 3-6 содержат импульсы, в которых одновременно оставляют промежутки,
представляющие кратковременные компоненты в сигнале. Это может быть определено
Иллюстрация 2.9: IMFs сигнала в рис. 2.8a получил при использовании BS-EMD. Показатели
степени IMFs увеличиваются от вершины до основы.
21
Иллюстрация 2.10: Гильбертов спектр третьего к шестому IMFs, показанному в рис. 2.9.
то, что переходные процессы распространяются по частотному диапазону этих четырех IMFs.
Гильбертов спектр, полученный из Гильбертовой трансформанты этих четырех IMFs, дается в
рис. 2.10, где более яркие исправления показывают частотные характеристики времени переходных процессов. Для лучшей идентификации показанных компонентов приглаженное представление Гильбертова спектра используется в этом разделе (см. Хуэнг и др. 1998). От Рис. 2.9
и 2.10 мы можем получить следующую информацию. Во-первых, среднее время, оставляя промежутки между соседними переходными процессами является приблизительно 0.17 s, соответствуя 5.9 Гц в частоте - частота вращения поврежденного механизма. Во-вторых, частота импульсов колеблется от 0 приблизительно до 300 Гц и покрывает боковые полосы частоты ловли
в сети последней пары механизма в пути передачи. Эта частота петли составляет приблизительно 88.4 Гц. Наконец, пятый IMF показывает, что фазовая задержка происходит в некоторых из
импульсов. Основанный на общем знании диагноза коробки передач (Брон 1986), мы знаем, что
эти особенности указывают существование локализованного дефекта на ведущем зубчатом колесе последней пары механизма.
22
Иллюстрации 2.11 и 2.12 показывают первые семь IMFs и Гильбертов спектр IMFs 3-6
полученный при использовании первоначального EMD. Для этого удельного сигнала IMFs и
Гильбертов спектр, полученный при использовании BS-EMD, кажется, открывают импульсы
лучше чем полученные при использовании первоначального EMD.
23
Задача, которую возводит в степень второй пример, является локализованным диагнозом
отказа прокручивающегося отношения образующей через кратковременное выпрямление. Спецификации поведения в испытании были аз, следует: номер прокручивающихся элементов,
8; диаметр прокручивающихся образующих, 15 MMS; средний диаметр, 65 MMS; и войдите в
контакт с углом, 0 °. Поведение
Иллюстрация 2.13: (a, вершина), сигнал вибрации собрался от отношения(поведения), и (b, основа) ее Преобразование Фурье. Сигнал был нормализован как энергия модуля.
несший дефект на его внутренней гонке стимулировал в форме впадины измерительное приблизительно 0.1 MMS подробно и 1 MMS в диаметре, чтобы моделировать зарождающееся поверхностное расщепление. Сигналы вибрации были приняты на постоянной внутренней скорости вращения гонки 1900 оборотов в минуту. Они были lowpass-фильтрованы в 9 кГц и оцифрованы в частоте дискретизации 20 кГц. Внутренний дефект гонки мог генерировать последовательность высокочастотных переходных процессов вибрации. В этих переходных процессах
одновременно оставляют промежутки вовремя, но обычно имеют различные амплитуды и частотные диапазоны, если внутренняя гонка вращается. При существующих испытательных
условиях это может быть вычислено, что среднее время, оставляя промежутки между соседними переходными процессами является 6.4 ms (Брон 1986).
Иллюстрация 2.13 показывает типичный отчет вибрации от поведения и его трансформанты Фурье. Сигнал содержит немного ударов(импульсов) и высокочастотных компонентов.
Эти особенности более или менее показывают присутствие локализованного(ограниченного)
дефекта в отношении(поведении). IMFs, полученные при использовании BS-EMD, представля-
24
ются в рис. 2.14, которого первые три IMFs лучше открывают существование переходных процессов чем форма волны первоначального сигнала.
Иллюстрация 2.15 показывает соответствующий Гильбертов спектр. Это открывает соответствующий частотный диапазон каждого переходного процесса. Некоторые переходные
процессы, которые являются трудными идентифицировать от форм волны IMFs, становятся более чистыми(более ясными) в Гильбертовом спектре, таком как переходный процесс, представленный ярким исправлением близко к моменту времени 0.01 s и в полосе частот от 7 кГц до 9
кГц. Иллюстрации 2.14 и 2.15 также открывают, что среднее время, оставляя промежутки между соседними переходными процессами является приблизительно 6 ms или его множественным.
Это значение близко к вычисленному упомянутому выше. Основанный на этих особенностях,
обнаружение, что поведение несло локализованный внутренний дефект гонки, убедительно.
Иллюстрация 2.15: Гильбертов спектр первого, к тирХ ТМФС показанный в рис. 2 14
25
Иллюстрации 2.16 и 2.17 показывают IMFs, полученный при использовании первоначального EMD и Гильбертова спектра, вычисленного от первых трех IMFs. Они предоставляют
подобную информацию к этому в Рис. 2.14 и 2.15. Мы разложили больше сигналов. Результаты
показывают, что действия этих двух методов вообще сопоставимы.
26
2.6. Заключение и будущее исследуют темы
Эмпирическая модовая декомпозиция и Гильбертов спектральный анализ, включая
трансформанту Гильберта-Huangа, были применены с большим успехом для нелинейного и неустановившегося анализа сигнала в различных областях. Однако, большинство основных математических задач оставили невылеченными. Учитывая быстрые успехи, сделанные в методологии и применениях, мы срочно должны разработать твердую математическую основу для
трансформанты Гильберта-Huangа. Эта работа рассматривала работу в том направлении, основанном на Чен и др. (2004), Лиу и др. (2004), и Ксу и Ян (2004). Мы описали алгоритм нашего
B-сплайна, базировал EMD и представил результаты некоторых связанных математических
изучений. Моделируемые и практические прикладные примеры, данные в бумаге, показали, что
у BS-EMD есть сопоставимая производительность к тому из первоначальных EMD. Чтобы облегчить будущее продвижение, мы идентифицировали выдающиеся математические задачи в
Чен и др. (2004). Мы теперь суммируем те задачи, близко связанные с B-сплайном EMD.
На частотном анализе времени традиционные методы часто проводятся с априорным базисом, созданным на определенных общих критериях. Для нелинейных и неустановившихся
сигналов, у которых есть переменные локальные характеристики, невозможно ожидать фиксированный базис, чтобы приспособить все сигналы, не вызывая поддельных гармоник. Прорыв в
улучшении
технологии
является
разработкой
адаптивных
методов
представле-
ния(изображения), используя сверхзаконченную библиотеку базиса, например, Койфман и др.
(1992), Маллэт и Жэнг (1993), Чен и Донохо (1995). Они выбирают от библиотеки базис, который "адаптируется" к разложенному сигналу. Эти методы имеют хорошие математические основания, но не полностью адаптивны, поскольку сама библиотека будет априорной, и увеличение размера библиотеки будет следовать вычислительными трудностями. В случае подхода
EMD представление обще и достаточно адаптивно, но не математически строго. Фундаментальная причина для последнего то, что встроенное отсутствие функций режима математически
строгое определение. К этой задаче можно обратиться в пределах B-сплайна метод EMD, поскольку все встроенные функции режима, кроме первого, получили или из оригинала или из Bсплайна, EMD может быть представлен как суммы кривых B-сплайна.
По той же самой упомянутой выше причине B-сплайн EMD мог также использоваться,
чтобы обратиться к задаче сходимости EMD. "Конвергенцией(Сходимостью)" мы подразумеваем, что EMD произведет только конечное множество компонентов IMF. Хотя все интуитивное
рассуждение и численные эксперименты предлагают, чтобы процедура EMD была сходящейся,
общее и законченное доказательство все еще желает. Вообще, кубическая сплайновая средняя
огибающая могла создать дополнительное пространство экстремума отдельно. Эта возможность представляет больше трудностей для попыток доказать конвергенцию(сходимость). Ожидаемая прибыль от использования B-сплайнов - то, что сходимость могла бы прибыть в резуль-
27
тате хороших уменьшающих разновидность свойств прогрессии B-сплайна. Конечно, там все
еще существуют запросы, например, как иметь дело со скрытыми масштабами, вызванными
точками перегиба в данных.
Несколько проблем реализации должны уладиться для подхода B-сплайна, так же, как
они делают для подхода огибающей. Во-первых, B-сплайн EMD также зависит от критерия
остановки. Так как различные критерии остановки приводят к различным множествам IMFs,
оптимальный естественно желателен. Во-вторых, хотя у нас есть интуитивная причина, как
упомянуто в разделе 2.4, выбрать кубический B-сплайн для BS-EMD, точный выбор порядка
все еще остается вопросом. Наконец, так как мы имеем дело с конечными данными, наш алгоритм должен также быть откорректирован, чтобы использовать некоторую форму граничных
условий. Хотя можно вызвать "зафиксированную" конечную опцию точки, чтобы установить
концы, как выбрать фиксированный конец все еще задача. Даже если локальное свойство изменения B-сплайна ограничит влияние до конца области, область влияния станет большей и
большей, поскольку масштаб режима IMF становится большим, и влияние концов распространится в низкочастотные компоненты данных. Ясно, если подход B-сплайна должен стать жизнеспособным вариантом к подходу огибающей, детальное исследование этих задач срочно
необходимо.
Хотя у подхода B-сплайна есть те же самые задачи как первоначальный подход относительно вышеупомянутых проблем, с аналитическим выражением, подход B-сплайна, однако,
является более подсудным к математическому анализу. Уменьшающие изменение свойства и
разбиение свойств единицы прогрессии B-сплайна могут быть особенно полезными. С этими
преимуществами подход B-сплайна действительно заслуживает более детального исследования(расследования).
Благодарности.
Эта работа была поддержана частично Национальным управлением по аэронавтике и исследованию космического пространства (НАСА) под грантом NAG5-5364, и Национальный
научный фонд под грантами NSF0314742 и NSF0312113.
Ссылки
28
29
Шермэн Рименшнеидер
Отдел М а т е м а т и к и , Университет Западной Вирджинии, Моргэнтаун, Западная
Вирджиния 26506, С Ш А . [email protected]. edu Bao Liu
Отдел М а т е м а т и к и , Университет Западной Вирджинии, Моргэнтаун, З а п а д н а я
В и р д ж и н и я 26506, США. bliu@math. вву. edu Yuesheng К с у
Отдел М а т е м а т и к и , Сиракузский Университет, Сиракузы, Н ь ю - Й о р к 13244,
США [email protected]
Норден E. Хуэнг. Институт Годдард Анализа данных, Кода 614-2, Зелёной зоны Центра
Космического полета НЭЗЭ/ГОДДАРД, Мэриленд 20771, США норден. [email protected]