Зависимость скорости от времени для равнопеременного

ФИЗИКА
Графические тестовые задания по кинематике
Пособие для учащихся
общеобразовательных школ
Москва, 2011
1
ОГЛАВЛЕНИЕ
Применение графических методов при решении задач
кинематики равноускоренного прямолинейного движения…………………..3
Примеры решения задач………………………………………………………….5
Варианты заданий………………………………………………………………..9
Применение графических методов при решении задач
2
кинематики равноускоренного прямолинейного движения
Зависимость скорости от времени для равноускоренного движения имеет вид:
  
(01)
v  v0  at

Для радиуса-вектора x , характеризующего положение точки в любой момент, при
равноускоренном движении по оси Х может быть получено уравнение:

  
at 2
(02)
x  x0  v0t 
2
Из уравнений (01) и (02) можно получить, что при равноускоренном движении (и только
для этого случая) средняя скорость равна полусумме начальной и конечной скоростей:
 
(03)

v0  v
vср 
2
Если мы спроецируем векторы, входящие в уравнения (01) и (02), на ось X, то получим
уравнения для координаты и проекции скорости при равноускоренном движении:
axt 2
x  x0  v0 x t 
2
(04)
v x  v0 x  a x t
(05)
Если записывать уравнения с учётом знаков начальной координаты, проекции начальной
скорости и проекции ускорения, а под X0, V0 и a подразумевать абсолютные значения
этих величин, то, например, уравнения движения, заданного с помощью рис.1, будут
иметь следующий вид:
at 2
x  x0  v0t 
2
vx  v0  at
.
0

a

v0

x0
Рис. 1
Зависимость координаты от времени при равноускоренном движении –
квадратичная (уравнение 04), поэтому её графиком является парабола. При этом, если
проекция ускорения положительна, то ветви параболы направлены вверх от её вершины, а
3
если проекция ускорения отрицательна – то вниз. Зависимость проекции скорости от
времени при равноускоренном движении является линейной (уравнение 05), поэтому её
график – прямая линия. Ускорение при равнопеременном движении постоянно, поэтому
графиком проекции ускорения служит прямая, параллельная оси времени.
Для движения, заданного с помощью рис.1, графики зависимости координаты,
проекция скорости и проекция ускорения от времени изображены на рис. 2, 3 и 4.
x
VX
x0
0
v0
t
aX
0
t
0
t
a
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Перейдём к рассмотрению анализа графиков движения и графических методов
решения задач кинематики. Так как мы рассматриваем здесь только прямолинейное
движение, то в дальнейшем нет необходимости оговаривать это в каждой задаче. Далее,
во всех задачах каждое деление по оси координаты и пути соответствует 1м, по оси
времени – 1с, по оси скорости – 1м/с, а по оси ускорения – 1м/с2.
При анализе графиков движения будем использовать тот факт, что путь,
пройденный за какой-либо промежуток времени, численно выражается площадью,
ограниченной осью времени, графиком проекции скорости и двумя вертикальными
отрезками, проведёнными из точек, соответствующих началу и концу данного
промежутка времени (рис.5).
Если за время движения проекция скорости меняет знак (т.е. точка изменяет
направление движения на противоположное), то пройденный путь можно найти как
арифметическую сумму площадей фигур, заключенных между графиком проекции
скорости и осью времени, независимо от того, выше или ниже оси времени идёт график
проекции скорости.
Когда нас интересует изменение координаты точки x  x  x0 (величина
перемещения), то площади надо складывать алгебраически, приписывая отрицательный
знак площадям тех фигур, которые лежат ниже оси времени. Так, для графика на рис.6,
проёденный за 2 секунды путь равен 1 метру, а величина перемещения – нулю.
4
VX
VX
1
S2
0
t0
t
Рис. 5
t
0
1
2
t
Рис. 6
Аналогичным образом по площади под графиком зависимости проекции ускорения
ax от времени можно найти изменение проекции скорости точки vx , а по тангенсу угла
наклона касательной к графику зависимости проекции скорости от времени можно найти
проекцию ускорения ax.
Следует помнить, что скорость точки не может меняться скачком (для этого
ускорение должно было бы принимать бесконечно большие значения, что невозможно из
физических соображений). Поэтому график координаты не должен иметь изломов:
различные его участки должны иметь общую касательную в точках, где меняется
ускорение.
Примеры решения задач
Пример 1
Начальная координата точки равна нулю. По заданному
графику зависимости проекции скорости от времени (рис 9)
построить графики зависимости проекции ускорения,
координаты и пути от времени.
Решение
Для построения графика зависимости проекции ускорения от
времени воспользуемся определением ускорения и правилом
проектирования вектора на ось:
 
 v  v0
v v
a
; ax  x 0 x
t
t
В течение первой и третьей секунды ускорение равно нулю, так
как скорость точки здесь постоянна. В течение второй секунды
ускорение равно:
2 м / с  (2 м / с)
ax 
 4м / с2
1с
В течение четвёртой секунды проекция ускорения равняется:
VX
2
1
0 1 2 3 4
-1
-2
t
Рис. 9
aX
4
3
2
1
0 1 2 3 4
-1
-2
Рис. 10
t
5
0м / с  2м / с
 2 м / с 2
1с
По этим данным нетрудно построить график (рис.10).
Построение графика зависимости координаты от времени проведём поэтапно. На каждом
этапе движения знак проекции ускорения и знак проекции скорости должны оставаться
постоянными.
Пусть t1 – первая секунда движения, t2 и t3 – два последующих промежутка
ax 
по половине секунды, t4 и t5 – третья и четвёртая секунды движения соответственно.
Составим таблицу изменения знаков проекций vx и ax (таблица 1) .
t1
Время
Знак VX
Знак ax
t2
ax = 0
t4
t3
+
Таблица 1
t5
+
+
+
ax = 0
+
-
Отметим, что при отрицательном знаке проекции скорости происходит убывание
координаты, так как вектор скорости в этом случае направлен в сторону,
противоположную направлению оси X (рис.11).

V
0
x
Рис. 11
Если ускорение отлично от нуля, то движение описывается уравнением (4), и
графиком зависимости координаты от времени будет парабола. Когда проекция ускорения
отрицательна, ветви параболы направлены вниз, когда она положительна – то вверх.
Учитывая изложенное, проведём построение графика для нашего случая (рис.12).
В течение промежутка времени t1 проекция
x
скорости отрицательна. Значит, координата должна
1
убывать, а так как ax=0 (движение равномерное), то
0 1 2 3 4
убывание происходит линейно.
t
-1
-2
-3
В течение t2 продолжается убывание координаты
(vx<0), причём по параболе, ветви которой направлены
Рис. 12
вверх (ax>0). За время t3 координата увеличивается (vx>0);
графиком будет ветвь той же самой параболы, направленной вверх (ax>0).
6
На протяжении t4 координата увеличивается линейно
(vx>0, ax=0). За время t5 координата продолжает
S
увеличиваться (vx>0), причём графиком будет парабола
6
5
4
3
2
1
0
ветвью вниз (ax<0). В конце этого промежутка времени
скорость обращается в 0; этому моменту на графике
соответствует вершина параболы (рис.12).
Численное значение изменения координаты легко
1 2 3 4
t
определяется путём нахождения площади фигуры,
заключённой между графиком проекции скорости и осью
Рис. 13
времени, хотя, конечно, для этой цели можно воспользоваться
и уравнением (4).
При построении графика зависимости пути от времени необходимо учесть, что
путь – неубывающая функция времени. Поэтому при возрастании или убывании
координаты на определённую величину путь, пройденный точкой, всегда возрастает на
такую же величину. Для рассматриваемой задачи график зависимости пути от времени
(рис.13) легко получается из графика зависимости координаты от времени (рис. 12).
Пример 2
По заданному графику зависимости координаты от времени построить графики
зависимости проекции скорости и проекции ускорения от времени. Криволинейные
участки графика – отрезки параболы (рис.14).
x
1
0
-1
1 2 3 t
Рис. 14
Решение
Определим знаки проекции скорости и проекции ускорения в промежутках их
знакопостоянства.
Знак проекции скорости можно определить по наклону касательной к графику
зависимости координаты от времени: при убывании координаты проекция скорости
отрицательна, а при возрастании – положительна. Знак проекции ускорения определяется
по направлению ветвей парабол, изображающих зависимость координаты от времени:
ветви направлены вверх при положительном знаке проекции ускорения и вниз – при
отрицательном знаке.
Пусть t1 , t2 и t3 – соответственно первая, вторая и третья секунды движения.
Тогда можно составить таблицу 2 изменения знаков проекций vx и ax.
7
Время
t1
t2
Знак Vx
Знак ax
+
+
+
Таблица 2
t3
+
ax = 0
Найдём начальную скорость v0 и ускорение в течение первой секунды движения. Для
этого воспользуемся уравнениями движения (1) и (2).
Спроецируем векторы, входящие в данные уравнения, на ось, и расставим знаки в
соответствии с таблицей.
at 2
;
2
vx  v0  at
x  x0  v0t 
Из графика видно, что через время t=1 координата X = -0,5 м, а проекция скорости
vx = 0, так как угол наклона касательной к графику в этот момент равен нулю (эта точка –
вершина параболы). Подставим эти данные в уравнения.
a
 0,5  0  v0  ;
2
0  v0  a
Решая систему, находим численные значения начальной скорости и ускорения: v0 =
1 м/с; a = 1 м/с2 (по абсолютной величине).
Аналогичным образом можно убедиться, что в течение второй секунды движения
происходит с таким же ускорением. В течение третьей секунды координата от времени
зависит линейно, т.е. скорость постоянна, а ускорение равно нулю.
Теперь можно полностью построить графики зависимости проекции скорости и
проекции ускорения от времени (рис.15 и 16).
aX
VX
1
0
-1
1 2 3
Рис. 15
t
1
0
-1
1 2 3
t
Рис. 16
8
Варианты заданий
Задача 1 (варианты 001-030)
Дан график зависимости координаты точки от времени. Криволинейные участки
графиков – отрезки парабол. Все величины выражены в единицах СИ.
Вопрос 1. Чему равен путь, пройденный точкой за первую секунду после начала
отсчета времени?
Вопрос 2. Чему равен путь, пройденный точкой за три секунды после начала
отсчета времени?
Вопрос 3. Какова будет координата у точки через одну секунду после начала
отсчета времени?
Вопрос 4. Чему равна проекция скорости точки на ось Х в конце первой секунды
после начала отсчета времени?
X
001
0 1 2 3
-1
-2
-3
X
t
X
t
X
t
t
008
0 1 2 3
-1
-2
-3
011
t
3
2
1
0 1 2 3
t
t
006
3
2
1
0 1 2 3
-1
X
t
003
0 1 2 3
-1
-2
-3
X
005
3
2
1
0 1 2 3
-1
010
3
2
1
0 1 2 3
002
0 1 2 3
-1
-2
-3
X
007
0 1 2 3
-1
-2
-3
X
t
004
3
2
1
0 1 2 3
-1
X
X
t
009
0 1 2 3
-1
-2
-3
012
3
2
1
0 1 2 3
t
t
9
X
3
2
1
0 1 2 3
X
t
t
t
X
028
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
t
t
021
1
0
1 2 3
-1
-2
t
t
t
024
1
0
1 2 3
-1
-2
X
t
027
2
1
0 1 2 3
-1
t
X
029
2
1
0
1 2 3
-1
-2
018
2
1
0 1 2 3
-1
X
026
2
1
0 1 2 3
-1
t
X
023
1
0
1 2 3
-1
-2
X
t
015
3
2
1
0 1 2 3
X
020
1
0
1 2 3
-1
-2
X
t
017
2
1
0 1 2 3
-1
X
025
2
1
0 1 2 3
-1
X
t
X
014
3
2
1
0 1 2 3
X
019
1
0
1 2 3
-1
-2
X
022
1
0
1 2 3
-1
-2
X
t
016
2
1
0 1 2 3
-1
X
X
013
t
030
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
10
Задача 2 (варианты 001-030)
Дан график зависимости проекции скорости точки от времени. Начальная
координата точки равна нулю. Все величины выражены в единицах СИ.
Вопрос 5. Какой путь прошла точка за первую секунду после начала отсчета
времени?
Вопрос 6. Какой путь прошла точка за три секунды после начала отсчета времени?
Вопрос 7. Какую координату имела точка через одну секунду после начала отсчета
времени?
Вопрос 8. Какую координату имела точка через три секунды после начала отсчета
времени?
Вопрос 9. Чему равна проекция ускорения в конце третьей секунды после начала
отсчета времени?
VX
2
1
0 1 2 3
-1
VX
t
t
3
2
1
0 1 2 3
t
t
t
3
2
1
0 1 2 3
t
t
012
1
0
1 2 3
-1
-2
VX
014
t
009
1
0
1 2 3
-1
-2
VX
t
006
2
1
0
1 2 3
-1
-2
VX
011
1
0
1 2 3
-1
-2
VX
013
t
003
2
1
0 1 2 3
-1
VX
008
1
0
1 2 3
-1
-2
VX
t
005
2
1
0
1 2 3
-1
-2
VX
010
1
0
1 2 3
-1
-2
VX
t
VX
002
2
1
0 1 2 3
-1
VX
007
1
0
1 2 3
-1
-2
VX
t
004
2
1
0
1 2 3
-1
-2
VX
VX
001
t
015
3
2
1
0 1 2 3
t
11
VX
2
1
0
1 2 3
-1
-2
VX
t
t
VX
t
0 1 2 3
-1
-2
-3
t
VX
t
t
t
t
027
3
2
1
0 1 2 3
t
VX
029
0 1 2 3
-1
-2
-3
t
024
2
1
0 1 2 3
-1
VX
t
021
2
1
0 1 2 3
-1
VX
026
3
2
1
0 1 2 3
VX
028
t
023
2
1
0 1 2 3
-1
018
2
1
0
1 2 3
-1
-2
020
2
1
0 1 2 3
-1
VX
025
3
2
1
0 1 2 3
VX
VX
022
2
1
0 1 2 3
-1
VX
t
VX
017
2
1
0
1 2 3
-1
-2
019
2
1
0 1 2 3
-1
VX
VX
016
t
030
0 1 2 3
-1
-2
-3
t
12
Вопрос 10. Точка движется прямолинейно вдоль оси Х. По заданному графику
зависимости проекции скорости точки VX от времени t найти график зависимости
координаты точки Х от времени. Начальная координата точки X0 равна нулю.
Криволинейные участки графиков – отрезки парабол. Все величины выражены в единицах
СИ.
Варианты 001-003
VX
001
002
VX
1
0
1 2 3
-1
t
VX
1
0
1 2 3
-1
t
003
1
0
1 2 3
-1
t
Ответы:
X
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
t
t
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
t
t
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
t
6.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
8.
3.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
5.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
7.
X
2.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
4.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
X
1.
t
9.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
0. Другой ответ.
13
Варианты 004-006
VX
004
005
VX
1
0
1 2 3
-1
t
VX
1
0
1 2 3
-1
t
006
1
0
1 2 3
-1
t
Ответы:
X
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
t
t
2
1
0 1 2 3
-1
-2
t
t
t
2
1
0
1 2 3
-1
-2
6.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
8.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
3.
t
X
5.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
7.
X
2.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
4.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
X
1.
t
t
9.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
t
0. Другой ответ.
14
Варианты 007-009
VX
007
VX
1
0
1 2 3
-1
t
008
VX
1
0
1 2 3
-1
t
009
1
0
1 2 3
-1
t
Ответы:
X
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
t
t
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
t
t
t
6.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
t
X
8.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
3.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
5.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
7.
X
2.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
4.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
X
1.
t
9.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
0. Другой ответ.
15
Варианты 010-012
VX
010
VX
1
0
1 2 3
-1
t
011
VX
1
0
1 2 3
-1
t
012
1
0
1 2 3
-1
t
Ответы:
X
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
t
t
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
t
t
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
t
6.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
8.
3.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
5.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
7.
X
2.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
4.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
X
1.
t
9.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
0. Другой ответ.
16
Варианты 013-015
VX
013
014
VX
1
0
1 2 3
-1
t
VX
1
0
1 2 3
-1
t
015
1
0
1 2 3
-1
t
Ответы:
X
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
t
t
2
1
0
1 2 3
-1
-2
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
t
t
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
t
6.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
8.
3.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
5.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
7.
X
2.
X
4.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
X
1.
t
9.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
0. Другой ответ.
17
Варианты 016-018
VX
016
017
VX
1
0
1 2 3
-1
t
VX
1
0
1 2 3
-1
t
018
1
0
1 2 3
-1
t
Ответы:
X
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
t
t
2
1
0
1 2 3
-1
-2
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
t
t
t
6.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
t
X
8.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
3.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
5.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
7.
X
2.
X
4.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
X
1.
t
9.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
0. Другой ответ.
18
Варианты 019-021
VX
019
VX
1
0
1 2 3
-1
t
020
VX
1
0
1 2 3
-1
t
021
1
0
1 2 3
-1
t
Ответы:
X
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
t
t
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
t
t
2
1
0 1 2 3
-1
-2
6.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
8.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
3.
t
X
5.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
7.
X
2.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
4.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
X
1.
t
t
9.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
0. Другой ответ.
19
Варианты 022-024
VX
022
VX
1
0
1 2 3
-1
t
023
VX
1
0
1 2 3
-1
t
024
1
0
1 2 3
-1
t
Ответы:
X
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
t
t
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
t
t
t
t
6.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
8.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
3.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
5.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
7.
X
2.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
4.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
X
1.
t
9.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
0. Другой ответ.
20
Варианты 025-027
VX
025
VX
1
0
1 2 3
-1
t
026
VX
1
0
1 2 3
-1
t
027
1
0
1 2 3
-1
t
Ответы:
X
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
t
t
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
t
t
t
t
6.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
8.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
3.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
5.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
7.
X
2.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
4.
2
1
0 1 2 3
-1
-2
X
X
1.
t
9.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
0. Другой ответ.
21
Варианты 028-030
VX
028
VX
1
0
1 2 3
-1
t
029
VX
1
0
1 2 3
-1
t
030
1
0
1 2 3
-1
t
Ответы:
X
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
t
t
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
t
t
t
t
6.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
8.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
3.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
5.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
7.
X
2.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
4.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
X
X
1.
t
9.
2
1
0
1 2 3
-1
-2
t
0. Другой ответ.
22
23