1 Маркин Д.Н. Плоские звуковые волны Наиболее важной и

-1-
Маркин Д.Н.
Плоские звуковые волны
Наиболее важной и наиболее простой моделью звукового поля являются
волны с плоской формой фронта. Напомним, что фронтом волны принято
называть поверхность, которая представляет собой геометрическое место точек, совершающих колебания в одинаковой фазе1. В вязи с этим распространение волн в среде можно представить как движение волнового фронта. Как
правило, принято выделять три основных простейших модели формы фронта
звуковых волн: плоские волны, цилиндрические волны и сферические волны.
Поверхности одинаковых фаз плоских волн представляют собой плоскости
перпендикулярные направлению распространения волны и параллельные
друг другу. Соответственно для цилиндрических и сферических2 волн образующими фронтов являются цилиндрическая и сферическая поверхности.
Строго говоря, на практике трудно сформировать звуковую волну, которую можно было бы точно отнести к одному из указанных типов, поскольку
фронт любой звуковой волны в неограниченной среде имеет сложную форму,
и в зависимости от соотношения между длиной волны, размерами источника
и расстоянием до источника, на котором рассматривается волна, можно обнаружить у неё сходство с одним из данных типов волн (когда свойства волны близки к свойствам волн указанных типов).
Каждый из перечисленных типов волн является идеализацией, и в действительности фронт волны всегда представляет собой более сложную поверхность, тем не менее, большую часть реально встречающихся звуковых
волн с достаточной степенью приближения можно описать одной из вышеперечисленных моделей. Идеализация формы фронта волны является моделью процесса распространения волны в среде, так как при этом определяются
основные свойства волны.
Прежде всего мы будем рассматривать процесс распространения звуко1
2
Фронт волны иногда ещё называют поверхностью равных фаз.
Их ещё иногда называют шаровыми волнами.
-2-
вых волн в безграничной среде, где нет границ перехода от среды одного агрегатного состояния к среде с другим агрегатным состоянием3. В акустике
такой случай принято называть свободным звуковым полем4, подразумевая
полное отсутствие преград, способных отражать, поглощать и рассеивать
звуковые волны. Таким образом в свободном поле звук распространяется, не
претерпевая взаимодействия с границами раздела сред, формирующимися
поверхностями преград. Очевидно, что свободное поле является практически
недостижимой идеализацией, поскольку, даже просто находясь недалеко от
поверхности земли, звук будет распространяться свободно только в полупространстве5.
В неограниченной среде сформировать идеально плоскую волну невозможно, для этого потребовался бы излучатель бесконечных размеров. На
практике поле плоских звуковых волн может быть создано в среде, которая
имеет границы, например в трубах с жёсткими стенками или в стержнях постоянного сечения6. Можно сказать, что плоская звуковая волна является
идеализацией «абсолютно направленного» излучения, когда излучение происходит только в одном определённом направлении.
Звуковые поля в безграничных и ограниченных твёрдыми телами жидких или газообразных средах в достаточной степени различны, хотя бы тем,
что в ограниченной среде есть вероятность формирования стоячих волн, которые в отличие от бегущих волн не переносят энергию, а лишь характеризуются распределением энергии в пространстве.
В общем случае звуковые волны распространяются вдоль всех трёх пространственных координат, но в простейшем случае – в случае плоских волн –
возмущение зависит только от одной пространственной координаты, для
определённости будем считать, что вдоль оси OX. При этом все величины7,
характеризующие поле, будут зависеть только от двух независимых переНапример, границ типа газ-жидкость, или газ-твёрдое тело.
Или просто свободным полем.
5
Для физического моделирования свободного поля строятся заглушённые или безэховые камеры.
6
При условии, что линейные поперечные размеры этих систем много меньше длины волны.
7
Например, звуковое давление, колебательная скорость, сжатие, потенциал скорости, и т.д.
3
4
-3-
менных – времени t и пространственной координаты x. Поэтому волновое
уравнение, описывающее процесс распространения плоских звуковых волн в
пространстве, является одномерным и будет выглядеть следующим образом
Так как характеристики среды не зависят от двух других пространственных
координат декартовой системы
. Решение волнового уравнения
позволяет определить изменение характеристик звукового поля во времени в
каждой точке пространства8 по заданному начальному возмущению среды.
Поскольку волновое уравнение плоской звуковой волны является одномерным, по своему виду оно полностью идентично уравнению поперечных
колебаний струны, поэтому и решается оно такими же методами. В случае
распространения звуковых волн в безграничной среде решение одномерного
волнового уравнения в общем виде ищется методом Д’Аламбера9 в виде бегущих волн [1, с. 517].
В математическом анализе доказывается, что дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных формы одномерного волнового уравнения имеет общее решение следующего вида
Это так называемое решение Д’Аламбера. Можно доказать, что одномерное
волновое уравнение не имеет решений, которые нельзя было бы привести к
такому виду.
Чтобы получить решение уравнения (1) по методу Д’Аламбера, введём
новые переменные, представляющие собой линейную комбинацию пространственной координаты x и временной переменной t
То есть описывает их в виде функции времени и пространственных координат.
По имени французского учёного математика, механика, философа – Жан Лерона Д’Аламбера
(1717-1783), – который внёс немалый вклад в развитие математики и первым в 1747 году получил
общее решение подобного вида для дифференциальных уравнений формы волнового уравнения.
8
9
-4-
С таким же успехом для получения аналогичного результата можно
применить одну из следующих линейных комбинаций независимых переменных
Используя новые переменные (3), можно считать, что потенциал скорости зависит от времени t и координаты x не непосредственно, а как сложная
функция через новые переменные α и β. Поэтому можно выразить частные
производные от потенциала скорости по t и x через производные по новым
переменным, применяя правило дифференцирования сложных функций,
так как
так как
;
.
Дифференцируя полученные соотношения повторно, найдём вторые
производные по t и x
Подставляя соотношения (4) и (5) в волновое уравнение (1), получим
или
-5-
Сокращая на константу
, это уравнение можно переписать в виде
Из теории дифференциального исчисления известно, что если производная от некоторой величины равняется нулю, то эта величина не зависит от
переменной, по которой ведётся дифференцирование, поэтому из уравнения
(6) можно сделать вывод, что величина
не зависит от α, то есть является
только функцией β, можно принять:
где
– произвольная функция от β. Проинтегрировав это соотношение
по β, получим
где C – некоторая произвольная величина, которая является независимой от
переменной интегрирования β, можно принять, что эта величина является
произвольной функцией от переменной α, и записать
где
. Поэтому, переходя обратно к исходным переменным
t и x, и используя их связь (3) с α и β, получаем общее решение уравнения (1)
в виде
Видно, что полученное соотношение полностью идентично выражению
(2). Учитывая сделанное ранее замечание относительно значений переменных α и β, можно общее решение волнового уравнения (1) представить в другом полностью идентичном (7) виде
-6-
С физической точки зрения решение Д’Аламбера (7) описывает процесс
изменения неизвестной величины в поле возмущения в виде суперпозиции
двух бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях
– функция
описывает волну, распространяющуюся в положительном
направлении оси OX, функция
– волну, распространяющуюся в отрица-
тельном направлении оси OX, указанные функции являются произвольными,
они соответствуют характеру начального возмущения.
Одна из особенностей данного решения заключается в том, что координата и время определяют значение функции
есть
и
не по отдельности, то
являются функциями независимой переменной, которая опреде-
ляется как линейная комбинация пространственной координаты x и времени
t. Каждому значению комбинации x и t соответствует единственное значение
потенциала колебательной скорости.
Решения (7) и (8) имеют простую физическую трактовку, предположим,
что в некоторый момент времени
циал скорости
в точке с координатой
был потен-
, тогда в следующий момент
такое же значение потенциала будет в точках
и
, то есть возмущение последовательно передаётся от одних точек
пространства другим со скоростью
.
Для определения конкретного вида функции
необходимо, чтобы
было известно возмущение среды в некоторой области пространства в некоторый момент10 времени, в математике этот факт принято называть начальными условиями задачи.
Предположим, что в некоторый начальный момент времени заданы пространственные распределения потенциала скорости и его производной по
10
Который принято называть начальным, откуда и название начальные условия.
-7-
времени11, то во все последующие моменты времени в любой точке пространства можно определить значение потенциала скорости12, для этого
необходимо проинтегрировать общее решение согласно методу Д’Аламбера
по всему пространству, если же начальное возмущение занимает некоторую
конечную область пространства, то интегрирование ведётся на ограниченном
промежутке.
Будем предполагать, что решение волнового уравнения найдено в виде13
Пусть в качестве начального возмущения для некоторого начального
момента времени
задано значение потенциала и его производной по
времени в следующем виде:
тогда значение потенциала в любой другой момент времени в любой точке
пространства определяется при помощи интеграла Д’Аламбера, который
имеет следующий вид [1, с. 519; 2, с. 317]
где под знаком интеграла вместо x взято другое обозначение пространственной переменной – , чтобы не спутать пределы интегрирования и независимую переменную, по которой ведётся интегрирование. Если начальное возмущение задано в некотором ограниченном пространственном интервале
то интегрирование будет производиться по этому интервалу, и
распределение возмущения будет определяться следующим образом
На практике, как правило, в качестве начальных условий заданы распределения смещения частиц вещества из положения равновесия и скорости движения частиц вещества.
12
Или любой другой величины, характеризующей возмущение состояния среды, используя их
связь с потенциалом скорости.
13
Обращаем внимание, что выше аргументами решения были переменные
и
,
11
здесь аргументы выбраны такими –
и
, – чтобы показать равнозначность выбора
аргументов решения волнового уравнения в том или ином виде.
-8-
Если в начальный момент времени отличным от нуля является только
потенциал скорости, то есть начальное условие задано в виде
то результирующее возмущение будет определяться только слагаемым
В противном случае, когда задана только производная от потенциала по времени, в формуле Д’Аламбера остаётся только интегральный член.
Для практики существенное значение имеет случай, когда волновой
процесс носит характер простого гармонического колебания, общее решение
одномерного волнового уравнения в этом случае принимает вид
Вводя обозначение
можно записать
где, как и в первом случае, решение представляет собой суперпозицию двух
бегущих гармонических волн, распространяющихся в противоположных
направлениях. Беря только действительную или только мнимую части, решение (10) может быть приведено к вещественной форме
или
Поскольку для других физических величин (давления, скорости, смещения, и т.д.), характеризующих звуковое поле, так же можно написать волно-
-9-
вые уравнения аналогичные (1), эти величины будут описываться функциями
такого же как (7) или (8) вида. Используя связь между потенциалом скорости,
звуковым давлением и колебательной скоростью, определим значения звукового давления и колебательной скорости в поле плоской звуковой волны.
Примем для определённости, что потенциал скорости описывается соотношением
тогда для давления и скорости имеем
В этих формулах штрихи означают производную от функции по ёё аргументу, а не по одной из переменных, входящих в аргумент функции. Учитывая
формулы (11) и (12), определим, как колебательная скорость связана со звуковым давлением,
где верхний знак соответствует волне, бегущей в положительном направлении оси OX, а нижний знак – волне, бегущей в отрицательном направлении
оси OX. Скорость является векторной величиной, и знаки в формуле (13) отражают направление движения частиц в поле плоской звуковой волны. Из
этой формулы можно сделать вывод, что направления движения частиц в
волнах, бегущих в противоположных направлениях, также являются проти-
- 10 -
воположными при одном и том же знаке деформации14. Например, в волне
сжатия, бегущей в положительном направлении оси OX, частицы вещества
двигаются по ходу волны, то есть в положительном направлении оси OX, а в
волне сжатия, распространяющейся в отрицательном направлении оси OX,
частицы так же двигаются по ходу волны, но в отрицательном направлении
оси OX. Или, например, если в положительном направлении распространяется волна сжатия, и одновременно с этим в отрицательном – волна разрежения, то частицы в области сжатия двигаются в направлении движения волны,
а в области разрежения – в направлении противоположном направлению
распространения волны, однако направление движения частиц в области
сжатия, бегущей в положительном направлении, совпадает с направлением
движения частиц в области разрежения, бегущей в отрицательном направлении.
В акустике вводится вспомогательная величина, которая характеризует
свойства среды в отношении звуковых волн, она называется удельным волновым15 сопротивлением среды и определяется как отношение звукового давления к колебательной скорости частиц в поле звуковой волны
или, используя формулу (13),
Знак в этой формуле, также как и в формуле (13), отражает направление
скорости движения частиц16 в поле звуковой волны.
Если для простоты рассматривать плоскую гармоническую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси OX,
для звукового давления, скорости частиц и волнового сопротивления полуДеформации сжатия или разрежения.
Иногда говорят просто акустическое сопротивление или волновое сопротивление.
16
Которое совпадает с направлением движения частиц.
14
15
- 11 -
чим
Видно, что в плоской волне давление и скорость частиц среды совпадают по фазе.
С энергетической точки зрения звуковое поле принято характеризовать,
в основном, двумя величинами – интенсивностью (или силой) звука и объёмной плотностью энергии в поле звуковой волны.
Интенсивностью звуковой волны называется среднее количество энергии, которое переносится волной за единицу времени через площадку единичной площади перпендикулярную направлению движения волны. Иными
словами, мощность волны, протекающая через единичную площадку поверхности фронта в направлении распространения звука. Можно ещё сказать, что
интенсивность это плотностью потока энергии. Интенсивность звуковых
волн в общем случае определяется следующей формулой
где I – интенсивность звука; T – время усреднения,
и
– соответственно
мгновенные значения давления и колебательной скорости в некоторой точке
пространства. Для сложных сигналов, в спектре которых содержится большое количество составляющих, время усреднения должно удовлетворять
требованию
, где
– период составляющей спектра с
наименьшей частотой. Из определения понятно, что интенсивность измеряется в Вт/м2 или Дж/с·м2.
Для синусоидальных звуковых волн
- 12 -
где T – время, кратное периоду волны;
и
– соответственно амплитуды
звукового давления и колебательной скорости; ψ – фазовый сдвиг между
давлением и колебательной скоростью. Используя эффективные или действующие значения звукового давления и колебательной скорости, а так же
определение акустического сопротивления, можно переписать соотношение
(16) в следующем виде
где
– модуль акустического сопротивления17;
и
– соответственно
эффективное значение звукового давления и колебательной скорости.
Поскольку фазовый сдвиг между давлением и скоростью в поле плоской
звуковой волны равен нулю, для плоской гармонической волны имеем
Из формулы (17) видно, что интенсивность плоских волн не зависит от
расстояния до источника, это является следствием того факта, что в плоской
волне площадь фронта волны остаётся постоянной (теоретически) и энергия
плоских волн не расходится в пространстве.
Пусть источник плоских звуковых волн излучает в окружающее его пространство акустическую мощность Pак и фронт волны имеет площадь S, тогда
интенсивность можно определить как
Обратим внимание на то, что акустическая мощность является энергетической характеристика источника, а интенсивность – энергетической характеристикой звукового поля, поскольку первая из них характеризует поле в
Так как акустическое сопротивление в общем случае является комплексной величиной, о чём
будет сказано ниже.
17
- 13 -
целом, а вторая – поле в каждой точке пространства.
Интенсивность является модулем вектора Умова-Пойнтинга18, который
определяется как вектор плотности потока энергии векторного поля. Вектор
Умова-Пойнтинга можно определить следующим образом
где n– единичный вектор нормали к фронту волны, совпадает с направлением
распространения волны.
В общем случае акустическая мощность является комплексной величиной (так же как, например, электрическая мощность) и состоит из действительной и мнимой частей. Активная составляющая акустической мощности
определяет интенсивность звуковых волн, излучаемых источником, она распространяется только по направлению движения волны. А реактивная компонента акустической мощности определяет запас энергии в звуковом поле
(аналогично запасу энергии в электрическом и магнитном полях при протекании электрического тока), она распространяется то по направлению движения волны – от источника, то против направления движения волны – к источнику. Реактивная составляющая мощности плоских волн равняется нулю
(как и реактивное акустическое сопротивление плоских волн), вся работа, совершаемая источником плоских волн, идёт на излучение звука.
В некоторых приложениях19 приходится пользоваться другой энергетической величиной для характеристики звукового поля.
Объёмная плотность энергии отражает среднее количество звуковой
энергии, которая сосредоточена в единице объёма вещества в звуковом поле.
Объёмная плотность энергии звуковых волн применяется в частности для
Умов Николай Алексеевич (1846-1915) – русский учёный физик, который первым ввёл в употребление некоторые энергетические величины, в частности, в 1874 году ввёл понятие о потоке
механической энергии в упругих телах, однако он не обобщил это понятие на другие виды энергии
, что позднее, в 1884 году, для электромагнитной энергии сделал Джон Генри Пойнтинг (18521914), поэтому в отечественной научной традиции вектор плотности потока энергии носит имя
этих двух учёных, а в западной традиции – только имя Генри Пойнтинга.
19
Например, в архитектурной акустике.
18
- 14 -
энергетической характеристики звукового поля в ограниченных средах20, поскольку, например, в диффузном21 звуковом поле средний поток звуковой
энергии во всех точках поля равен нулю. В системе СИ единицами измерения
объёмной плотности энергии является Дж/м3. Выделим в звуковом поле элементарный объём dV=dSdx, полная энергия, которая находилась в нём к моменту рассмотрения, связана с плотностью энергии соотношением
где w – объёмная плотность энергии. Будем предполагать, что звуковая волна
распространяется в направлении оси OX. Данная энергия выйдет из рассматриваемого объёма в направлении распространения волны за время
где c0 – скорость распространения звука в среде. Поток энергии определяется
как изменение полной энергии со временем:
Выше было сказано, что интенсивность звуковой волны определяется
как плотность потока энергии через поверхность, перпендикулярную направлению распространения, поэтому
Подставляя в эту формулу значение потока энергии из (18), получаем
И для объёмной плотности энергии с учётом формул (17) и (18) имеем
Например, в помещениях.
Диффузное поле, или статистически однородное поле – такое звуковое поле, в котором выполняются два условия: 1) усреднённая во времени плотность звуковой энергии одинакова для всех
точек поля; 2) все направления прихода звука в любую точку поля являются равновероятными.
20
21
- 15 -
Полная энергия звукового поля состоит из кинетической энергии (энергия движения) и потенциальной энергии (энергии упругой деформации среды), причём в каждый момент времени обе компоненты равны по величине,
что является следствием формы уравнения движения жидкой или газообразной среды в поле звуковых волн.
В общем случае плоская звуковая волна может распространяться под
произвольными углами к осям декартовой системы координат, при этом волновое уравнение уже не будет одномерным, и его решение будет не такой
простой задачей, более подробно об этом случае можно почитать, например в
[3, с. 33-40; 4, с. 53; 5, с. 446].
Литература
1. Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 2. Изд. двадцать первое, стереотипное. – М.: Наука, 1974. – 656 с.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и
инженеров). Определения, теоремы, формулы. 6-е изд., стереотипное. – СПб.:
Издательство «Лань», 2003. – 832 с.
3. Тюрин А.М. Теоретическая акустика. – Л.: ВМОЛУА, 1971. – 443 с.
4. Исакович М.А. Общая акустика. – М.: Наука, 1973. – 496 с.
5. Скучик. Е. Основы акустики. В 2-х томах. Том 1. – М.: Мир, 1976. – 520 с.