где - действующее значение синусоидального тока

ОБЩАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА,
ЭЛЕКТРОНИКА И СХЕМОТЕХНИКА
Методические указания
по самостоятельному изучению
модуля дисциплины
«Цепи синусоидального тока»
Для студентов неэлектрических специальностей
Составители:
П.А. Воронин, А.Л. Степанов
ВЛАДИКАВКАЗ 2013
Министерство образования и науки РФ
Северо-Кавказский горно-металлургический институт
(государственный технологический университет)
ОБЩАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА,
ЭЛЕКТРОНИКА И СХЕМОТЕХНИКА
Методические указания
по самостоятельному изучению
модуля дисциплины
«Цепи синусоидального тока»
Для студентов неэлектрических специальностей
Составители:
П.А. Воронин, А.Л. Степанов
Допущено редакционно-издательским
советом Государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Северо-Кавказский
горнометаллургический институт (государственный
технологический университет)».
ВЛАДИКАВКАЗ 2013
-1-
УДК 621.3.01
ББК 31.211
В 24
Воронин П.А.
В 24 Введение в анализ линейных цепей синусоидального тока: Методические указания по изучению цепей синусоидального тока / сост. П.А. Воронин, А.Л. Степанов; Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет). – Владикавказ:
Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный
технологический университет). Изд-во «Терек», - 2013. - 57 с.
УДК 621.3.01
ББК 31.211
Редактор: Иванченко Н.К.
Компьютерная верстка Гугкаева Р.А.
© Воронин П.А., Степанов А.Л., составление 2013
 Составление. Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет), 2013
Подписано в печать 22.03.2011. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». Печать на ризографе. Усл. п. л. 3,3. Тираж 25. экз. Заказ №_____
Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный
технологический университет). Изд-во «Терек»
Отпечатано в отделе оперативной полиграфии СКГМИ (ГТУ).
362021, Владикавказ, ул. Николаева, 44.
-2-
Введение
Изучение студентами неэлектрических специальностей
технических вузов раздела «Линейные цепи синусоидального
тока» в учебном курсе «Общая электротехника» является
обязательным компонентом знаний по этому предмету,
предусмотренным паспортом соответствующей специальности. Усвоение основных понятий и умений проводить анализ
таких цепей позволяет студентам впоследствии изучить такие
разделы курса, как «Трехфазные цепи», «Линейные цепи с
несинусоидальным периодическим воздействием», «Магнитные цепи с переменной МДС», «Переходные процессы в
линейных электрических цепях», «Электрические машины и
аппараты переменного тока».
Педагогический опыт авторов показывает, что одно из
основных затруднений студентов при изучении указанного
курса содержится именно в усвоении раздела «Линейные
цепи синусоидального тока». Это связано со сложностями соответствия между физическими явлениями в цепях синусоидального тока и соответственно с физическими параметрами,
определяющими режим работы таких цепей и их комплексными изображениями, сопутствующими символическому
методу расчета таких цепей. Усвоение этого соответствия
позволяет освоить расчет цепей этим методом. В частности,
глубже изучить такие понятия этого раздела курса, как «Основные законы цепей в комплексной форме записи», «Активное и реактивное сопротивление, проводимость, напряжение,
ток», «Полная мощность, её комплексное изображение, активная, реактивная мощность и взаимосвязь этих понятий,
выражающаяся в виде баланса мощностей для указанных
цепей», построение наглядной геометрической интерпретации символического метода расчета в виде «Векторных диаграмм».
Отсутствие достаточного количества литературы по курсу «Общая электротехника», с одной стороны, не позволяет
студентам указанных специальностей успешно изучить этот
раздел. С другой стороны, использование при изучении спе-3-
циальной литературы, предназначенной для студентов энергетических и электрических специальностей вузов («Теоретические основы электротехники»), требует более глубоких
знаний по соответствующим разделам математики, физики,
которые не предусмотрены программой обучения для студентов указанного профиля обучения.
В связи с чем наличие учебного пособия, позволяющего
восполнить этот недостаток, является актуальным. Следует
отметить, что данное пособие не претендует на полноту изложения раздела «Линейные цепи синусоидального тока» и
может служить только для первоначального изучения этого
раздела курса – «Общая электротехника».
-4-
1. Формы представления синусоидальных напряжений,
ЭДС и токов
Допустим, что имеем некоторую цепь, в которую включены источники питания, вырабатывающие электроэнергию с
синусоидальной ЭДС или синусоидального тока одной частоты, а также приёмники (резисторы, катушки индуктивности,
конденсаторы). Для того, чтобы экспериментально или теоретически изучить режим работы такой цепи (а может быть и
область возможных режимов работы), необходимо, прежде
всего, уяснить, каким образом представлять синусоидально
изменяющиеся во времени параметры режимов работы этой
цепи. Т.е., иными словами, в какой форме представлять синусоидальные напряжения, ЭДС или ток для того, чтобы с
этими представлениями можно было удобно и наглядно проводить расчёты или измерения.
Известно, что любую функцию можно представить в
аналитической, графической и табличной формах.
Широко распространенные ранее таблицы значений sin x
(x изменяется от 0 до 90 угловых градусов) в настоящее время
вытеснены в результате массового производства микрокалькуляторов. Поэтому табличное представление указанных
величин в практике расчётов по электротехнике в настоящее
время не используется.
Как следует из определения, аналитическая форма представления указанных параметров режимов может быть записана в виде:
i  I m sin  t   i ;
u  U m sin  t   u ;
e  Em sin  t   е .
(1)
Для уяснения смысла всех параметров, указанных в (1),
приведём графическую форму представления синусоидальных величин и сопоставим эти формы. На рис.1 приведен
один из вариантов графической формы представления сину-5-
соидальных ЭДС, напряжений и токов (такую форму ещё
называют волновой диаграммой указанных параметров).
e  Em sin t   e 
u  U m sin t   u 
u , i, e
Em
i  I m sin t   i 
Im
Um
t
u
e
i
T
Рис. 1.
Em ,U m , I m – амплитудное значение ЭДС, напряжения и
тока, т. е. максимальное по абсолютной величине значение
синусоидального параметра режима работы, которое он может принимать в течение времени. Амплитудные значения
измеряются в вольтах (В) или амперах (А) соответственно. По
оси абсцисс на графике (рис.1) в качестве аргумента принято
брать параметр t , измеряемый в угловых градусах или
радианах, пропорциональный времени t .
 e ,  u ,  i - начальная фаза колебаний ЭДС, напряжения
и тока. Она показывает, какую величину составляет рассматриваемый параметр режима ( e , u или i ) в момент времени,
принятый за начало отсчёта t  0 . Иными словами,
начальная фаза определяет сдвиг графика синусоиды вдоль
оси времени  t  относительно начала отсчёта. Если в момент  t  0 (начала отсчёта) рассматриваемая синусоидальная величина отрицательна, то её начальная фаза
-6-
0,
в противном случае
  0.
Поэтому количественно начальная фаза  определяется
вдоль оси абсцисс от ближайшего к началу координат нулевого значения синусоидальной величины при её переходе от
отрицательных значений к положительным относительно оси
абсцисс. Если начальная фаза положительна, то начало синусоидальной величины сдвинуто влево, в противном случае –
вправо от начала координат. Так на рис.1 начальная фаза тока
0   i  90 - положительна; начальная фаза ЭДС
0   e  90 - положительна; кроме этого  i   e . Наконец,
начальная фаза напряжения  90   u  0 - отрицательна.
Начальная фаза измеряется в угловых градусах или радианах.
Аргумент синусоидальной величины t   носит
название фазы (фазы колебаний). Она измеряется в радианах
или угловых градусах и показывает, в каком состоянии (фазе)
находятся колебания напряжения, ЭДС или тока в данный
момент времени. Как видно (рис.1), при различных значениях
фазы колебания можно получить одинаковые значения функции.
Для того чтобы анализировать многозначные синусоидально изменяющиеся функции, их принято рассматривать на
участке вдоль оси абсцисс с полным циклом изменения фазы
колебаний. Такой участок называется периодом колебаний и
определяется как минимальный промежуток времени (или
минимальное расстояние вдоль оси абсцисс) между двумя
одинаковыми значениями синусоидальной функции, находящимися в одной и той же фазе колебаний. Период T измеряют в секундах; для аргумента t период равен 2 радиан
или 360º.
Величину, обратную периоду колебаний T , называют
циклической частотой колебаний
-7-
1
.
T
Циклическая частота f измеряется в герцах и показывает какое число полных циклов колебаний (или периодов)
данной синусоидальной функции происходит в одну секунду.
Также важным параметром является угловая частота колебаний
2
 2f (радиан/секунда или угловые град./ секунда).
 
T
Весьма важным понятием в электротехнике является разность фаз  , под которой понимают сдвиг графиков синусоидальных величин один относительно другого. Разность или
сдвиг фаз, например, между синусоидальными напряжением
и током одинаковой частоты (рис.1) можно определить как
разность их начальных фаз
  u  i .
Аналогично определяют разность фаз между e и i
  e  i .
Следует помнить, что поскольку начальная фаза есть величина алгебраическая, то разность фаз также величина алгебраическая. И ещё одно важное обстоятельство. Начальная
фаза колебаний зависит от момента времени, принятого за
начало отсчёта t  0 , в то же время разность фаз не зависит или говорят, инвариантна относительно начала координат, если частота синусоидальных функций, между которыми
определяется  , одинакова.
Как видно, аналитическая и графическая формы представления синусоидальных величин определяются сравнительно большим числом параметров, поэтому они не нашли
применения в расчетах и используются преимущественно для
наглядного представления результатов расчёта или измерения.
f 
-8-
Необходимость оценки или измерения синусоидальных
ЭДС, напряжений и токов с помощью одного какого-либо
параметра привела к появлению различных эквивалентов.
Наибольшее распространение получило действующее значение синусоидального тока, которое является его тепловым
эквивалентом и определяется такой величиной постоянного
тока, который производит такой же тепловой эффект, что и
оцениваемый синусоидальный ток, протекая через тот же R элемент (с тем же сопротивлением), что и синусоидальный
ток за одно и то же время. Если в линейной цепи действуют
синусоидальные ЭДС, то действующее значение синусоидального тока определяется как
I
(2)
I m ,
2
где I - действующее значение синусоидального тока; I m амплитудное значение синусоидального тока. По аналогии
определяются действующие значения синусоидального
напряжения и ЭДС:
E
U
(3)
U m; E m .
2
2
Следует заметить, что этот эквивалент для синусоидальных напряжений и ЭДС не имеет конкретного физического
смысла как для тока.
Действующие значения синусоидального тока, напряжения
или ЭДС нашли широкое применение в измерительной технике.
Многие измерительные приборы (вольтметры, амперметры),
используемые в электротехнических измерениях, проградуированы в действующих значениях напряжения и тока.
Несмотря на это, этот эквивалент не может однозначно
описать указанные синусоидальные величины, поскольку ничего не говорит о фазе колебаний. Как будет показано в дальнейшем, одинаковые действующие значения синусоидального тока
и напряжения при различной величине сдвига фаз между ними
обеспечиваются различными энергетическими явлениями в
-9-
цепи. Поэтому только использование действующего значения
оказывается явно недостаточным при расчетах.
Попытки преодолеть указанные недостатки привели к
представлению синусоидальных функций времени их изображением в виде вращающихся радиус-векторов в декартовой

плоскости координат. На рис.2 представлен радиус-вектор I m
, длина которого равна I m . Данный вектор вращается в декартовой плоскости координат xoy против часовой стрелки с
постоянной угловой скоростью  и поворачивается за время
одного оборота T на угол 2 , т.е. T  2 . Положение

радиус-вектора I m относительно оси x в момент начала отсчёта времени t  0 определяется углом  0 . За отрезок времени t1 радиус-вектор повернётся на угол t1 и его положение относительно оси
x определится углом 1  t1   0 . За
время t 2 радиус-вектор переместится на угол t2 и займёт
положение, определяемое углом  2  t2   0 и т.д. Проекция вращающегося радиус-вектора на ось y в момент времени t определится выражением I m y (t )  I m sin t   0  . Очевидно, при t  0 величина вектора составит I m y  I m sin  0
(отрезок 0a0 ) и т.д.
- 10 -
y
0
Am
I my
Im
a1
t2  0
a0
x
t3  0
t4  0
t1  0
a2
T
t3 t4
0 0 t1 t2
t
a3

Im
a4
2
Рис. 2.
На этом же графике (рис.2) построена синусоида, мгновенные
значения которой для любого момента времени t найдены
как соответствующие проекции вращающегося радиусвектора на ось y в тот же момент времени.
На основании приведённых построений можно утверждать, что между вращающимся радиус-вектором и некоторой синусоидальной функцией времени существует взаимно
однозначное соответствие. А именно, любому равномерно
вращающемуся радиус-вектору однозначно соответствует
одна и только одна синусоидальная функция времени. И,
наоборот, любая синусоидальная функция времени может
быть условно изображена единственным однозначно соответствующим ей вращающимся радиус-вектором, длина которого численно равна амплитудному значению синусоиды, а
начальное положение относительно оси x численно равно
начальной фазе синусоиды.
Такое представление синусоидальных функций времени
может быть использовано в расчётах цепей синусоидального
тока.
Допустим, для некоторого узла электрической цепи по
первому закону Кирхгофа можно записать уравнение:
i1  i2  i3  0
- 11 -
или
i1  i2  i3 .
(4)
При этом для i1 и i2 известны аналитические выражения
i1  I m1 sin  t  1  ;
(5)
i2  I m 2 sin  t   2  .
Путём элементарных тригонометрических преобразований можно показать, что сумма двух синусоид одинаковой
частоты  представляет собой синусоиду той же частоты  .
Т.е. данный расчёт сводится к определению I m 3 и ψ3 в выражении
i3  I m3 sin  t  3  .
(6)
Если воспользоваться аналитическим представлением
синусоидальных токов i1 , i2 и i3 , то искомые параметры можно получить с помощью известных тригонометрических
преобразований:
I m sin ψ1  I m2 sin ψ 2
ψ3  arctg 1
,
I m1 cos ψ1  I m2 cos ψ 2
I m3 
I
 
cosψ1  I m2 cosψ 2  I m1 sin ψ1  I m2 sin ψ 2
2
m1

2
.
(7)
Как видно, решение задачи получается громоздким даже
в том случае, когда суммируются только две функции, в то
время как задачи электротехники очень часто требуют суммирования нескольких величин.
Ещё более громоздким и к тому же менее точным получается решение этой задачи, если её проводить для графического представления синусоидальных величин (рис.1). В этом
случае необходимо предварительное построение графиков
заданных токов i1 и i2 как функции времени, затем с их помощью, путём суммирования ординат графиков i1 и i2 для
- 12 -
фиксированных моментов времени, построение графика тока
i3 . И, наконец, с помощью построенного графика определение Im3 и  3 .
Проведём решение задачи с помощью радиус-векторов


I
I m1 и m2 , вращающихся с частотой  против часовой
стрелки. На рис.3 показаны их положения для момента вре
мени t  0 . Результирующий вектор I m3 , полученный сложе-


нием I m1 и I m 2 по правилу параллелограмма, будет также
вращаться с частотой  и являться в свою очередь изображением некоторой синусоидальной функции времени.
y


I m2

I m3

I m1
3
0
2
1
x
Рис. 3.
Учитывая, что
I m3 cos  3  I m1 cos 1  I m2 cos  2 ,
I m1 sin 3  I m 2 sin 1  I m3 sin  2 ,
получим, что для модуля I m 3 и начальной фазы  3 результи
рующего вектора I m3 справедливы соотношения (7). Следова
тельно, I m3 является изображением искомого тока i3  i1  i2 .
Зная выбранный масштаб, можно определить амплитуду тока
- 13 -
I m 3 . Непосредственно по чертежу (рис.3) определяется и
начальная фаза  3 . Следует обратить внимание на то, что
если все вектора вращаются с одинаковой частотой, то со
временем их положение друг относительно друга не изменяется. Поэтому, в принципе, безразлично в какой момент времени рассматривать указанную диаграмму векторов.
В электротехнике принято такие диаграммы строить для
момента времени  t  0 , т.е. принято считать, что графическим изображением синусоидальной электрической величины
может служить и неподвижный радиус-вектор. Длина этого
вектора равна (в выбранном масштабе) амплитудному значению синусоидальной величины, а угол относительно положительного направления оси абсцисс равен её начальной фазе.
При этом направление движения векторов против часовой
стрелки считается положительным, а по часовой – отрицательным. Аналогично определяется знак угла  радиусвектора. Так на рис.3 все углы 1 ,  2 ,  3 положительны.
Такую совокупность радиус-векторов, отображающих
синусоидальные величины одной и той же частоты при
 t  0 , и учитывающую правильную ориентацию этих векторов по фазе, принято называть векторной диаграммой.
Расчёты с использованием изображающих векторов просты и наглядны, однако обладают существенным недостатком, присущим всем графическим методам, – ограниченной
точностью.
В конце XIX века Ч. П. Штейнмецем и А.Е. Кеннели был
предложен символический метод расчёта, основанный на
представлении синусоидальных напряжений, токов и ЭДС в
виде векторов на комплексной плоскости. Комплексные
изображения позволяют совместить простоту и наглядность
векторных диаграмм с возможностью проведения точных
аналитических расчётов.
Некоторый вектор, изображающий синусоидальную
функцию времени в декартовой плоскости, перенесём на
- 14 -
комплексную плоскость, для чего совместим ось x с осью
действительных чисел, а ось y с осью мнимых чисел (рис.4).
Если при замене координат мы сохраним все условия изображений, о которых было сказано выше, то такой перенос даёт
возможность аналитического выражения радиус-вектора.
Комплексный вектор принято обозначать в виде Im1 или
Im 2 , имея в виду, что I m1 I m 2  - его модуль, а 1 2  - его
аргумент или фазовый угол. Известно, что любому вектору
Im , расположенному на комплексной площади, однозначно
соответствует комплексное число, которое может быть записано в трёх формах:
алгебраической
Im1  Re( Im1 )  j Im( Im1 )  Im 1  jIm1 ;
Im 2 Re( Im 2 )  j Im( Im 2 )  Im 2  jIm 2 ;
(8)
тригонометрической
Im1  I m1 cos 1  jI m1 sin 1 ; Im 2  I m 2 cos  2  jI m 2 sin  2 ; (9)
показательной
I m1 I m1e j1 ; Im 2  I m 2e j 2 .
- 15 -
(10)
j
I m1
I m1
1
0
2
I m" 2
'
Im
2
1
I m' 1
1  0
Im 2
2  0
j
Рис. 4.
Здесь символом j   1 обозначена мнимая единица,
 
e-
основание натурального логарифма, Re Im - действительная
 
часть комплексного числа, Im Im - его мнимая часть. В соответствии с формулой Эйлера, все три формы равнозначны:
 
 
Im  Re Im  j Im Im  I m cos   jI m sin   I m e j .
При суммировании комплексных чисел удобно использовать алгебраическую форму записи.
Например,
Im1  Re Im1   j ImIm1  ; Im 2  Re Im 2   j ImIm 2  ;
 
    
  .
Im1  Im 2  Re Im1  Re Im 2  j Im Im1  Im Im 2
(11)
При умножении или делении комплексных чисел
удобна показательная форма записи.
Например,
- 16 -
Im1  I m1e j1 ; Im 2  I m 2e j 2 ;
Im1  Im1  I m1  I m1 e j 1  2  ;
Im1  I m1  j 1  2 
e

.
Im1  I m1 
(12)
Если далее необходимо производить суммирование, то
результаты (12) нужно представить в алгебраической форме,
как указано в (8). Для этого существуют соотношения, определяющие переход от одной формы записи в другую. Например, имеем показательную форму представление комплексного числа
Im1  I m1e j1 ,
(13)
тогда компоненты алгебраической формы записи находятся
так (см. рис. 4)
Re Im1   I m1 cos 1  I m' 1 ;
ImIm1   I m1 sin 1  I m" 1 ;
(14)
Im1  I m 1  jI m" 1 .
(15)
Необходимо помнить, что знак составляющих комплексного числа зависит от величины и знака угла 1 . Если комплексный вектор задан в алгебраической форме
 
 
Im 2  Re Im 2  j Im Im 2  I m' 2  jI m" 2 ,
(16)
тогда модуль I m 2 и аргумент  2 , как компоненты показательной формы записи, найдутся (см. рис.4)
I m2 
I   I 
2
'
m2
- 17 -
2
"
m2
;
 2  arctg
 I m" 2
.
I m' 2
(17)
Здесь также величина и знак  2 определяются знаками I m' 2 и
I m" 2 . Отметим некоторые особенности и элементарные свойства комплексных чисел. В соответствии с соотношением
Эйлера
(18)
e j  cos   j sin 
имеем

e j 0  cos 0  j sin 0  1 ;

e j 90  cos 90  j sin 90  j ;





 cos  180   j sin  180   1 ;
e  j 90  cos  90  j sin  90   j ;

e  j180


(19)

1
1

 e j 90   j ;

j e j 90
1
1
j;
 j ;
j
j
(20)
j  j   1   1  j 2  1 ; j  j   1 ; j 3  j 2 j   j .
Итак, любую синусоидальную функцию можно однозначно изобразить вектором на комплексной плоскости, который в
свою очередь может быть однозначно выражен соответствующим ему комплексным числом. Очевидно, что это комплексное число является некоторым условным выражением исходной синусоидальной функции времени. Модуль комплексного
числа, изображающего синусоидальную функцию времени,
равен её амплитуде, а аргумент – начальной фазе.
- 18 -
При этом следует помнить, что данный метод расчёта
применим для синусоидальных функций одной и той же
частоты.
Действующие значения синусоидальных величин и их
амплитуды измеряются известными величинами
dim( I )  dim( I m )  A ; dim U   dim U m   B ;
dim E   dim Em   B .
Комплексным векторам, однозначно изображающим синусоидальные величины, условно присвоены те же единицы
измерения. Например,
dim Im   A ; dim E m   B : dim U m   B ,
где Im , U m , E m - комплексные амплитуды соответственно
тока, напряжения и ЭДС.
Поскольку многие измерительные приборы проградуированы в действующих значениях синусоидальных i, u, e, то в
расчётах используют также понятие комплекса действующего
значения тока I , напряжения U или ЭДС E . Модуль комплексного действующего значения равен действующему
значению синусоидальной функции времени, а аргумент – её
начальной фазе. При этом
I
E
U
I  m ; U  m ; E  m .
2
2
2
Комплексам действующих значений синусоидальных i, u , e
условно присвоены соответствующие единицы измерения.
dim I  A ; dim E   B : dim U   B .
Таким образом, ведение комплексных изображений синусоидальных i, u, e позволяет суммировать, вычитать, умножать и делить синусоидальные функции времени. При этом
- 19 -
решение получается не только простым и наглядным, но
также и точным. В заключение этого подраздела ещё раз
отметим, что наиболее удобной формой представления
синусоидальных функций времени при изменениях является их действующее значение. Поэтому многие измерительные приборы (амперметры, вольтметры) проградуированы в действующих значениях токов и напряжений. Наиболее
удобной формой представления этих функций для расчётов является понятие комплекса действующего значения,
который служит некоторым образом или символом однозначно соответствующей ему синусоидальной функции
времени.
2.
Основные законы цепей синусоидального тока
в комплексной форме записи
Первый закон Кирхгофа. Имеем цепь, в которой действуют ЭДС напряжения и протекают токи синусоидальные
по форме зависимости от времени, к тому же эти параметры
имеют одинаковую частоту. Выделим произвольный узел, в
котором сходится n ветвей и соответственно синусоидальных токов
i1  I m1 sin( t   i1 ) ;
i2  I m 2 sin( t   i 2 ) ;
i3  I m3 sin( t   i 3 ) ;
………………………….;
in  I m n sin( t   i n ) .
В соответствии с первым законом Кирхгофа для данного узла
можно составить уравнение в мгновенной форме записи
i1  i2  i3    in  0 .
(21)
Учитывая установленное ранее взаимнооднозначное соответствие между синусоидальными токами и их изображе- 20 -
ниями на комплексной плоскости в виде комплексов действующих значений, сумму токов можно заменить суммой
комплексных векторов
I1  I2  I3    I4  0 .
(22)
Выражение (22) представляет собой одну из форм записи
первого закона Кирхгофа в комплексной форме. Условно эту
форму можно интерпретировать следующим образом. Алгебраическая сумма комплексов действующих значений
синусоидальных токов в узле цепи равна нулю.
Второй закон Кирхгофа. Выделим в указанной цепи
некоторый контур в который включены n пассивных элементов ( L , C , R ) и d источников синусоидальной ЭДС. В
соответствии со вторым законом Кирхгофа для данного контура можно записать
u1  u2  u3    un  e1  e2  e3    ed .
Аналогичным образом, учитывая установленное ранее
взаимнооднозначное соответствие между синусоидальными
напряжениями, ЭДС и их изображениями на комплексной
плоскости в виде комплексов действующих значений, сумму
мгновенных значений этих параметров можно заменить суммой комплексных векторов
U 1  U 2  U 3    U n  E1  E 2  E 3    E d .
(23)
Выражение (23) представляет собой одну из форм записи
второго закона Кирхгофа в комплексной форме. Условно эту
форму можно интерпретировать следующим образом. Алгебраическая сумма комплексов действующих значений
синусоидальных напряжений на пассивных элементах в
любом контуре цепи равна алгебраической сумме комплексов действующих значений синусоидальных ЭДС в
этом же контуре.
- 21 -
Закон Ома. Выделим в некоторой цепи синусоидального
тока участок, через который протекает синусоидальный ток
i  I m sin( t   i ) , и к этому участку приложено синусоидальное напряжение u  U m sin( t  u ) . Учитывая взаимнооднозначное соответствие между этими синусоидальными
параметрами и изображающими их на комплексной плоскости векторами, мгновенные значения этих параметров можно
заменить комплексными векторами (комплексами действующих значений)
I
i  I m sin(  t   i )  I  m e j i  Ie j i ;
2
U
u  U m sin(  t   u )  U  m e ju  Ue ju .
2
Возьмем формальное отношение комплексных векторов
U Ue ju U j ( u i )
 ji  e
.
I
I
Ie
Отношение можно интерпретировать как сопротивление
указанного участка, поскольку численное равенство между
действующим значением напряжения, тока и модулем соответствующего вектора соблюдается. Разность начальных
углов векторов, численно равную разности начальных фаз
напряжения и тока, можно интерпретировать как разность
или сдвиг фаз  u   i   . В таком случае
U
 Z e j
I
(24)
U  Z e j I  I z .
(25)
или
Выражения (24) и (25) определяют закон Ома в комплексной форме для пассивного участка цепи. В них z комплексное сопротивление данного участка цепи, Z - полное сопротивление этого участка (в литературе это сопротив- 22 -
ление также обозначают как z ). В соответствии с формами
записи комплексную величину z можно представить в алгебраической
z  Re( z)  j Im( z)  R  jx ,
тригонометрической
z  Z cos   jZ sin   R  jx
или в показательной форме записи
z  Z e j .
В электротехнике составляющие комплексного сопротивления имеют специфические определения. Так, полное
сопротивление участка цепи выражается через составляющие
комплексного сопротивления
z  R2  x2 ,
где R - определяется как активное сопротивление участка
цепи, x - реактивное сопротивление этого участка. Угол  ,
определенный как разность фаз между синусоидами напряжения и тока, в данном случае имеет еще дополнительное
определение и обозначается как фазовый угол полного сопротивления z
  arctg
 Im( z )
.
 Re( z )
При вычислении  необходимо учитывать знаки составляющих комплексного сопротивления, которые определяют в
какой четверти лежит этот угол.
Возьмем противоположное формальное отношение
I
Ie ji
I

 e j (  i  u ) ,
j

u
U Ue
U
рассуждая аналогично, получим
- 23 -
I I j ( i u )
 e
 Y  Ye j ( i u )  Ye j .
U U
Тогда выражение для закона Ома в комплексной форме будет
иметь другой вид
(26)
I  UYe j  U Y ,
где Y - комплексная проводимость участка цепи; Y - полная
проводимость этого участка;  - угол сдвига фаз между
синусоидами тока и напряжения, а также фазовый угол полной проводимости.
В соответствии с формами записи комплексную величину
Y можно представить в алгебраической
Y  Re(Y )  j Im(Y )  g  jb ,
тригонометрической
Y  Y cos   jY sin   g  jb
или в показательной форме записи

Y  Ye j .
В электротехнике составляющие комплексной проводимости тоже имеют специфические определения. Так, полная
проводимость участка цепи выражается через составляющие
комплексной проводимости
Y  g 2  b2 ,
где g - определяется как активная проводимость участка
цепи, b - реактивная проводимость этого участка, угол 
определяется, например, так
  arctg
 Im(Y )
.
 Re(Y )
При вычислении  необходимо учитывать знаки составляющих комплексной проводимости, которые определяют в
какой четверти лежит этот угол.
- 24 -
По аналогии записывается закон Ома для замкнутой цепи
I 
E
,
zвн  z н
(27)
где z н - комплексное сопротивление нагрузки; z вн - комплексное внутреннее сопротивление источника ЭДС.
Приведем формулу обобщенного закона Ома в комплексной форме записи
n
I 
 U ab   E k
k 1
m
z
,
(28)
d
d 1
где U ab - напряжение на рассматриваемом участке цепи; n количество источников ЭДС, включенных на этом участке;
m - количество пассивных элементов на этом участке.
ПРИМЕЧАНИЕ. Во всех формулах, отражающих законы цепей в комплексной форме, знаки слагаемых определяются по тем же правилам, что и для цепей постоянного тока
[1,2]. О знаках комплексных сопротивлений будет сказано
дальше.
Величины Z , Y , R , x , g , b существуют реально (их можно измерить). В связи с чем они имеют свои размерности.
dim( z )  Ом , dim( R)  Ом , dim( x)  Ом ,
dim( Y )  См , dim( g )  См , dim( b)  См .
Комплексным величинам присвоены соответствующие единицы измерения условно.
dim( z)  Ом , dim( Y )  См .
- 25 -
Еще раз напомним, что метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на использовании комплексных
векторов, называется символическим. Его проводят в следующем порядке:
1. важным условием осуществимости этого метода расчета является линейность схемы замещения электрической
цепи и одинаковая частота всех источников синусоидальных
ЭДС, включенных в схему;
2. все заданные параметры схемы ( R, L, C , e ) и искомые
параметры режима работы ( u, i,  ) представляют в комплексной форме записи (к сожалению, разность фаз и потенциал обозначаются одной и той же буквой  );
3. используя законы цепей в комплексной форме, составляют систему расчетных уравнений относительно неизвестных комплексных параметров режима работы. Можно использовать любой из известных методов (метод законов
Кирхгофа, метод наложения, метод контурных токов, метод
узловых потенциалов, метод двух узлов, метод эквивалентного генератора). Порядок составления уравнений и знаки слагаемых в уравнениях полностью отвечают использованию
этих методов для цепей постоянного тока;
4. решая полученную систему уравнений, определяют
 ). При необнеизвестные параметры режима работы ( U, I, 
ходимости рассчитывают мощность или энергию на рассматриваемых участках цепи, используя закон Джоуля–Ленца;
5. при необходимости наглядной интерпретации результатов расчета строят так называемые векторные диаграммы, а
также представляют рассчитанные параметры в виде синусоидальных функций времени в аналитическом или графическом виде.
Далее рассмотрим основы символического метода расчета. Начнем с рассмотрения элементарных моделей участков
цепи.
- 26 -
3. Участок цепи с резистивным элементом
Резистивным (или R-элементом) называют такой элемент
схемы замещения, который способен лишь безвозвратно
потреблять электроэнергию, преобразуя её в неэлектрические
виды энергии (например, в тепловую с рассеянием её в окружающее пространство). Другими энергетическими свойствами эта модель не обладает. Её реальными прообразами являются, например, нагревательные элементы электрической
печи, лампы накаливания, а также специальные элементы
электронных схем – резисторы. Однако эти прообразы обладают многими другими физическими свойствами, не являющимися для них основными, поэтому в модели эти свойства
не учитываются.
Преобразование энергии на резистивном элементе происходит в результате того, что он оказывает сопротивление
протекающему через него электрическому току. Количественной мерой такого сопротивления служит параметр резистивного элемента, обозначаемый R или r и называемый
электрическим сопротивлением. Этот параметр измеряется в
Омах (Ом). Для резистивного элемента его параметр R или r ,
протекающий через него ток i , и падение напряжения на
выводах этого элемента u (рис.5) связаны законом Ома
uR
u R  iR  R ;
(29)
i
uR  R .
G
(30)
R
Рис. 5.
- 27 -
iR
1
 G - называется проводимостью резистивного
R
элемента. Единицей измерения служит сименс (См). Если
R  const и не зависит от u и i , то резистивный элемент –
линейный и как видно из (29), зависимость тока от времени
будет подобна зависимости от времени напряжения. Мгновенная мощность для цепи с резистивным элементом
Величина
p R  u R  iR
или, учитывая (29), получим
p R  R  iR2 .
Мгновенная мощность, как скорость изменения электрической энергии на рассматриваемом участке цепи, измеряется в
ваттах (Вт).
Пусть через резистивный элемент протекает синусоидальный ток:
iR  I m sin t  1  , А.
Выберем (рис.5) положительные направления для iR и uR
совпадающими, тогда в соответствии с (29) можно записать
uR  R  iR  R  I m sin t  i   U m sin t   u  .
(31)
Из (31) видно, что  i   u .
Т.е. в цепи с линейным резистивным элементом при
синусоидальном токе падение напряжения на этом элементе также синусоидально и совпадает по фазе с током
(рис.6). Из (31) можно записать закон Ома для амплитудных
U m  R  I m и, учитывая, что U m  U 2 и I m  I 2 , для
действующих значений напряжения и тока:
(32)
U  R I .
- 28 -
u,i
u(t)
i(t)
0
ω
t
 u   i 0
p
p(t)
U∙I
U∙I
Рис. 6.
ω
t
Можно записать (32) в комплексной форме. Для этого перейдем от синусоидальных uR и iR к однозначно соответствующим им комплексам действующих значений
I  I  e j i ; U  U  e j u .
Если  i   u , тогда
U U  e ju U j u i  U j 0 U

 e
 e  ,
I
I
I
I
I  e ji
но согласно (32)
U
 R.
I
Следовательно,
U
R
I
или
- 29 -
U  R  I
(33)
Соотношение (33) представляет собой закон Ома для участка
цепи с резистивным элементом в комплексной форме.
j
U
N
I
i  u
1
0
Рис. 7.
Построим векторную диаграмму для данного участка цепи (рис.7). Построение начинаем с выбора масштабов по току
mi (А/см) и напряжению mu (В/см).
Затем строим заданный вектор тока. Для этого откладываем от оси  1 угол  i в соответствии с его знаком (против
часовой стрелки, т.к.  i  0 , см. рис.6) и проводим луч ON .
На этом луче ON в масштабе mi откладываем отрезок длиной
I mi (см) от т.0 ( I - действующее значение тока). Другой
конец отрезка обозначаем стрелкой. Вектор I построен.
Поскольку  u   i , то вектор напряжения будет также лежать на луче ON . Для построения вектора U от т.0 в масштабе mu откладываем отрезок, равный U mu (см), другой
конец отрезка отмечаем стрелкой. Вектор U построен ( U действующее значение напряжения). На этом завершается
построение диаграммы для данного участка цепи.
Рассмотрим энергетические процессы, протекающие в
цепи с R-элементом.
- 30 -
Тот факт, что ток и напряжение в цепях синусоидального
тока в течение периода изменяют своё направление на противоположное, не лишает смысла наличия стрелок положительных направлений (рис.5): истинное направление тока (напряжения) совпадает со стрелкой в те моменты, когда
i  0 (u  0) и противоположно стрелке, если i  0 (u  0) .
Важно то, что на линейном резистивном элементе напряжение и ток всегда совпадают по направлению.
Тогда мгновенная мощность p будет всегда величиной
положительной (рис. 6), т.е. R-элемент только потребляет
электрическую энергию от источника и преобразует её в
другие неэлектрические виды. Определим зависимость pt 
p  u R  iR  U m  I m sin 2  t    

Um  Im
1  cos 2t     U  I  U  I  cos 2t   . (34)
2
Т.о., с течением времени мощность колеблется с частотой
2 в пределах от 0 до 2UI вокруг среднего значения,
равного UI (рис.6), и в любой момент времени p  0 .
Среднее значение мощности за период называют активной мощностью и обозначают буквой P
P
T
T
T
0
1
1
1
t    d t  UI .
pdt

UIdt

UI
cos
2
T 0
T 0
T 0
(35)
С учётом (32) выражение (35) можно записать в виде
P  I 2R .
(36)
Активная мощность не только в цепи с R-элементом, но и
в любой цепи характеризует работу, совершаемую на участке
электрической цепи за период, т.е. определяет энергию W ,
- 31 -
необратимо преобразующуюся в другие неэлектрические
виды энергии. Используя (35), получим
T
W   pdt  PT  I 2 RT .
0
На рис.6 этой работе соответствует заштрихованная
площадь, ограниченная кривой pt  и осью абсцисс. Единицей измерения активной мощности является ватт (Вт).
4. Участок цепи с индуктивным элементом
Индуктивным или L -элементом называют такой элемент
схемы замещения, который способен лишь запасать электрическую энергию и накапливать её в виде энергии собственного магнитного поля, а также при определённых условиях
осуществлять обратное преобразование, отдавая всю накопленную энергию без остатка во внешнюю цепь.
Реальным прообразом этой модели может служить катушка индуктивности. Однако провод, из которого выполнена
катушка индуктивности, обладает сопротивлением на постоянном токе. Кроме того, катушка индуктивности обладает и
другими свойствами на переменном токе, которые не являются основными свойствами и в данной модели не учитываются.
Индуктивный элемент на схемах обозначается
Из курса физики известно, что изменяющийся во времени
ток создаёт в окружающем катушку пространстве переменное
магнитное поле, которое может быть охарактеризовано, величиной, называемой потокосцеплением  (  - прописная
буква «пси» греческого алфавита). Потокосцепление определяется как
w
   Фk ,
k 1
где Фk - магнитный поток, пронизывающий контур, ограниченный k -тым витком катушки, а w - число витков катушки.
Потокосцепление  , как и магнитный поток Ф , измеряется в
- 32 -
веберах (Вб). Переменный магнитный поток, пронизывая
витки катушки, индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции eL
d
(Закон электромагнитной индукции Фарадея – Ленца). (37)
eL  
dt
Связь между током в катушке и её потокосцеплением
определяется соотношением
(38)
  L iL ,

- является количественным параметром, характеiL
ризующим способность катушки запасать энергию магнитного поля. Этот параметр называется индуктивностью и измеряется в генри (Гн). В соответствии с (37) и (38), если L постоянная величина, то
d ( LiL )
di
eL  
 L L .
(39)
dt
dt
Все рассмотренные зависимости и явления, происходящие в катушке индуктивности, справедливы и для её идеализированной модели – индуктивного элемента. При протекании через него переменного тока на его концах возникает
разность потенциалов, которая в любой момент времени
уравновешивает eL
где L 
u L   eL  L
d iL
.
dt
(40)
Согласно определению L -элемент безвозвратно электрическую энергию не потребляет (например, не рассеивает в
виде тепла). Он лишь преобразует её и запасает в виде энергии собственного магнитного поля. Однако можно ввести
понятие мощности индуктивного элемента, понимая под
этим скорость преобразования в энергию магнитного поля.
Т.е. мгновенную мощность L -элемента можно определить
- 33 -
p
L

dWL
 u L  iL .
dt
(41)
Энергия магнитного поля L -элемента, накопленная к рассматриваемому моменту времени t1 , определится с учётом (40)
WL 
t1
p
t1
L


t1
 d t   iL  u L  d t 

L

d iL
i2
 iL  d t  L L ,
dt
2
(42)
где iL - мгновенное значение тока в момент времени t1 .
Пусть через индуктивный элемент протекает синусоидальный ток (рис. 8)
uL
L
iL
Рис. 8.
iL  I m sin t   i  .
В этом случае потокосцепление L -элемента
  L  iL  L  I m  sin t   i  .
Согласно (39) и (40)
eL   L
di
  L  I m  cos  t   i  
dt
 L  I m  sin t   i   2 .
uL  eL  LI m cos t  i   LI m sin t  i   2 .
- 34 -
(43)
Т.о., при синусоидальном токе напряжение на L-элементе также синусоидально: напряжение и ток изменяются с одинаковой частотой; напряжение опережает ток по
фазе на четверть периода
u  i   2 .
Угол сдвига фаз
  u  i   2 .
Волновые диаграммы uL t  и iL t  приведены на рис. 9.
Из соотношения (43) имеем:
LI m  U m .
Это есть закон Ома для амплитудных значений напряжения и тока. Для действующих значений этих величин закон
Ома будет иметь вид
(44)
U  LI .
Величину L , имеющую размерность Ом, обозначают
xL и называют индуктивным сопротивлением L -элемента. С
учетом этого получим
U m  xL I m ; U  x I .
(45)
L
uL ,iL ,eL , 
uL
iL
0

u
i

eL
p
1
pt 
- 35 -
0 2 3
t
6
7
8
9
t
4
5
Рис. 9.
Построим комплексную форму закона Ома на этом элементе. Для этого перейдем от u и i (как синусоидальных
функций времени) к однозначно изображающим их комплексам действующих значений напряжения и тока


U  Ue j u  Ue j (  i 90 )  Ue j i e j 90 ;
I  Ie j i .
Возьмем формальное отношение

U Ue j i  e j 90 U j 90

 e
I
I  e j i
I
(46)
Но из (44) следует
U
 xL ,
I
а из (19) получим

e j 90  j
и окончательно
U  jxL  I .
(47)
Это закон Ома в комплексной форме для участка цепи с
L-элементом. Величина jxL называется комплексным сопротивлением индуктивного элемента. Оно является положительным мнимым числом, модуль которого равен x L . Векторная диаграмма для индуктивного элемента построена по
соотношениям (43), (46) (рис.10). На диаграмме вектор
напряжения на индуктивном элементе опережает вектор тока
- 36 -
на угол  2 . Векторы U и E L находятся в противофазе,
 находится в фазе с током I .
вектор потокосцепления 
Рассмотрим энергетические процессы на участке цепи с
L-элементом. Мгновенная мощность индуктивного элемента:
p  uL iL  U m  I m sin t   i   2  sin t  i  

Um  Im
 cos  t   i   sin t   i  
2
 U  I  sin 2t   i  .
(48)
Т.е. мгновенная мощность в цепи с L -элементом колеблется
с частотой 2 и амплитудой U  I вокруг нулевого положения (рис.9).Поэтому среднее значение мощности за период
равно нулю. Это ещё раз показывает, что L -элемент безвозвратно электрическую энергию потребляет. Рассмотрим на
волновой диаграмме (рис.9) процесс обмена энергией между
L -элементом и источником питания. В течение первой четверти периода изменения i (отрезок времени между точками
1 – 3 на рис.9) ток i  0 и напряжение u  0 . Следовательно
произведение ui >0, поэтому на этом участке p  0 , т.е.
L -элемент работает в режиме потребителя (нагрузки): электрическая энергия, поступающая от источника питания к
элементу, преобразуется в энергию магнитного поля и накапливается L -элементом (заштрихованная область над осью
абсцисс на рис.9). В течение второй четверти периода (отрезок времени между точками 3 – 5) ток i  0 , а напряжение
u  0 , поэтому p  0 , т.е. L -элемент работает в режиме
источника энергии. В этот промежуток времени происходит
процесс обратного преобразования энергии магнитного поля
в электрическую энергию, которая возвращается во внешнюю
цепь. В момент времени, определяемый точкой 5 на рис.9,
весь запас энергии возвращается L-элементом. Далее процесс
повторяется при отрицательных значениях тока.
- 37 -
U
j


I
u

i
1
e
 u   i  90 
 90
 90
 e   i  90 
E L
Рис. 10.
Т.о., в цепи с L -элементом не совершается работа, а происходит периодический обмен энергией между источником и
магнитным полем с частотой 2 . Интенсивность этого обмена принято характеризовать наибольшим значением скорости
поступления энергии в магнитное поле, т.е. амплитудным
значением мгновенной мощности, которое называют реактивной мощностью и обозначают QL . Как следует из (48)
pmax  UI .
С учетом (45) получим
QL  U L  I  xL  I 2 .
(49)
Единице реактивной мощности присвоено название
вольт-ампер реактивный, сокращённо ВАр.
5.
Участок цепи с ёмкостным элементом
Ёмкостным или С-элементом принято называть такой
элемент схемы замещения, который, в энергетическом отношении, способен лишь к преобразованию электрической
- 38 -
энергии источника и её накоплению в виде энергии собственного электрического поля (поля зарядов). При определенных
условиях он способен совершать обратное преобразование,
отдавая всю накопленную энергию без остатка во внешнюю
цепь. На схемах замещения этот элемент обозначается так
(рис. 11).
uC
С
iC
Рис. 11.
Прообразом С-элемента является электротехническое
устройство, называемое конденсатором и наоборот С-элемент
является идеализированной моделью конденсатора. Конденсаторы, кроме указанного свойства, обладают ещё рядом
свойств, не являющихся для них основными, и поэтому эти
свойства в модели не учитываются.
Из курса физики известно соотношение, связывающее
величину заряда, накопленного конденсатором, с напряжением между его выводами
q  C  uc ,
(50)
где q – заряд на одной из обкладок конденсатора (по абсолютной величине), измеряется в кулонах (Кл); uc – разность
потенциалов между выводами конденсатора, измеряется в
вольтах (В).
Параметр С – количественно характеризует способность
ёмкостного элемента запасать электрическую энергию, т. е.
накапливать заряды. Этот параметр называется электрической
ёмкостью и измеряется в фарадах (Ф).
Известно также, что электрический ток через конденсатор имеет другую физическую природу нежели ток проводимости. Однако количественно ток через конденсатор (ток
через C -элемент) можно определить как скорость изменения
зарядов, сосредоточенных на его обкладках
- 39 -
iC 
dq
.
dt
(51)
Подставив (50) в (51), получим, с учётом, что C  const
iС 
d (C  u C )
du
C C .
dt
dt
(52)
Соотношение (52), как и (40), показывает, что мгновенные значения напряжения и тока на L-элементе, а также и на
С-элементе не связаны законом Ома.
Согласно определению С-элемент безвозвратно электрическую энергию не потребляет. Однако для него так же как и
для L-элемента можно ввести понятие мгновенной мощности
р. Под ней понимают скорость преобразования энергии,
поступающей в С-элемент, в энергию его собственного поля и
наоборот
p
dW
 u C  iC ,
dt
отсюда получим
d W  uC  iC d t
или
t1
t1
W   uС iС d t   C


d uС
u2
uС  d t  C  С ,
dt
2
(53)
где u C - мгновенное значение напряжения на С-элементе в
момент времени t1 .
Т.е. соотношение (53) определяет энергию собственного
поля С-элемента, накопленную к рассматриваемому моменту
времени t1. Заметим, что (53) также наглядно определяет
параметр С как количественную характеристику С-элемента,
показывающую его способность накапливать электрическую
энергию: чем больше С, тем при прочих равных условиях
больше W.
- 40 -
Пусть к цепи с С-элементом приложено синусоидальное
напряжение (рис 11)
uС  U m sin( t   u ) .
Согласно (52) определим ток, протекающий через этот
элемент
du
iС  C С   C U m cos(t   u ) 
dt
 CU m sin( t   u  90)  I m sin( t  u  90) .
(54)
При синусоидальном напряжении ток ёмкостного
элемента также синусоидален; напряжение и ток изменяются с одинаковой частотой; ток опережает напряжение
по фазе на четверть периода  i   u  90  ; угол сдвига
фаз    u   i  90  .
Из (54) получим закон Ома для амплитудных значений
напряжения и тока
I
(55)
Um  m .
C
Разделив (55) на 2 , получим закон Ома для действующих
значений этих параметров
I
.
(56)
C
Величина 1 (С ) имеет размерность Ом, носит название
ёмкостного сопротивления С-элемента и обозначается
1
xC 
.
С
В этом случае (56) можно записать так
U
U  xC  I
- 41 -
(57)
Определим запись закона Ома в комплексной форме. Для
этого перейдем от u C и iC как синусоидальных функций
времени к однозначно изображающим их комплексам действующих значений напряжения и тока
U  U e ju ;
I  Ie j i  Ie j (  u  9 0 ) .
Возьмем формальное отношение
U
Ue j u
U
 j u j 90  e  j 90 .
I Ie  e
I
(58)
Учитывая (56) и (19), получим окончательно
U
 xC e  j 90   jxC или U   jxC  I .
I
(59)
Это есть закон Ома в комплексах действующих значений
напряжения и тока.
Величина  jxC называется комплексным сопротивлением ёмкостного элемента. Она условно измеряется в омах и
является отрицательным мнимым числом, модуль которого
равен xC .
Векторная диаграмма, соответствующая соотношениям
(54) и (59), приведена на рис. 12. На ней показано, что вектор
I опережает вектор U на 90º.
I +j
ψi = ψu + 90º
U
i
  90
0
u
+1
Рис. 12.
- 42 -
Волновая диаграмма тока и напряжения на участке с Сэлементом приведена на рис. 13.
uС,iС
uC(t)
iC(t)
π/2
u
ψi
ωt
0
p
1
0
2
3
4
5
ωt
Рис. 13.
Рассмотрим энергетические процессы, протекающие в
цепи с С-элементом. Мгновенная мощность на ёмкостном
элементе
p  uС iС  U m I m sin( t  u ) sin( t  u  90) 
 UI sin 2(t  u ) .
(59)
График p(t) приведён на рис.13. Видно, что мгновенная
мощность в цепи с С-элементом колеблется с частотой 2ω и
амплитудой U I вокруг нулевого положения. Следовательно, в
этой цепи работа не совершается и энергия источника питания безвозвратно не потребляется. В то же время происходит
периодический обмен энергией между источником и C-элементом. Рассмотрим этот процесс.
В течение 1-ой четверти периода основной частоты (промежуток времени между точками 1 и 2 на рис.13) uC > 0 и
iC > 0 следовательно, p > 0. С-элемент работает в режиме
потребления энергии. Потребляемая энергия запасается в
- 43 -
собственном поле С-элемента. В течение 2-ой четверти периода (промежуток времени между точками (2 и 3) uC > 0, а iC
< 0. В этом случае С-элемент работает в режиме источника.
Происходит обратный процесс преобразования запасённой
энергии С-элементом, которая отдаётся источнику питания.
Далее процесс повторяется при отрицательном напряжении.
Интенсивность обмена энергией принято характеризовать
наибольшим значением скорости преобразования энергии, т.
е. амплитудным значением мгновенной мощности. Как следует из (59)
pmax  UI .
С учетом (57) получим
QC  U  I  xC  I 2 .
(60)
Эту величину называют реактивной мощностью С-элемента. Единицей измерения этой мощности служит ВАр.
Рассмотренные модели элементарных участков цепи позволяют рассмотреть поведение более сложных участков
электрических цепей. Простейшими являются модели участков с последовательным или параллельным соединением
рассмотренных элементарных моделей элементов цепи.
6. Участок схемы с последовательным соединением
R- и L-элементов
С помощью рассмотренных элементов можно изобразить
линейную схему замещения любого электротехнического
устройства. Например, катушку индуктивности на достаточно
низкой частоте синусоидального тока можно представить
следующей схемой замещения.
- 44 -
i
Rк
Lк
uR
uL
u
Рис. 14.
Допустим, что известно напряжение на зажимах катушки
индуктивности
u  U m sin( t   u ) .
Положим ψu = 0, а также сопротивление Rк и индуктивность
Lк. Необходимо определить остальные параметры режима её
работы. Согласно 2 закона Кирхгофа для данной цепи можем
записать уравнение для мгновенных значений напряжений
(61)
u  uR  uL
или в дифференциальной форме записи
u  ir  L
di
.
dt
(62)
Из соотношения (62) видно, что для определения i(t)
необходимо решить дифференциальное уравнение. Анализ
можно упростить, если перейти к символическому методу
расчета такого участка схемы. В комплексной форме уравнение (61) будет иметь вид
U  U R  U L .
(63)
Согласно (33) и (47) это уравнение можно записать
U  I  R  I( jxL ) .
(64)
Поскольку элементы в схеме соединены последовательно, то
через них протекает один и тот же ток. Тогда
U  I( R  jxL ) .
(65)
- 45 -
Уравнение (65) связывает общее напряжение, приложенное к этой цепи, с током, протекающим в ней. Т. е. (65) есть
закон Ома для данной цепи в комплексной форме. Величина
(66)
z  R  jxL
измеряется (условно) в омах и называется полным комплексным сопротивлением участка этой цепи. Эту величину можно
интерпретировать в виде векторов на комплексной плоскости.
+j
z
0
φ
jxL
R
+1
Рис. 15.
Действительная часть комплексного сопротивления z
Re z  R
называется активным сопротивлением цепи. Мнимая её часть
Im( z)  xL ( xL  0)
называется реактивным сопротивлением цепи. Треугольник,
представленный z и её составляющими на рис.15, носит
название треугольника сопротивлений. Соотношение (66)
определяет алгебраическую форму представления комплекса
z. В расчетах получила распространение показательная форма
представления z
z  Z e j ,
(67)
где Z  Re( z ) 2  Im( z ) 2  R 2  x L2 носит название модуля
полного комплексного сопротивления или полного сопротив- 46 -
ления
участка
цепи,
измеряется
в
омах;
x
 Im( z )
  arctg
 arctg L носит название аргумента ком Re( z )
R
плекса z или фазы полного комплексного сопротивления Z ,
измеряется в угловых градусах или в радианах. Для сторон
треугольника (рис.15) справедливы соотношения
R  Z  cos  ; x  Z  sin  .
С учётом (65) и (66)можно определить вектор I
 j 0

U
I  U  Ue
 e  j .
j
z
Ze
Z
(68)
Поскольку xL > 0, то и φ > 0. Из (68) видно, что вектор
тока I в такой цепи отстаёт от вектора U на угол
 90    0 . Определив из (68) вектор I , можно определить
падение напряжения на каждом элементе, используя ранее
установленные формулы закона Ома для этих элементов
U
U R  I  R   R  e  j ;
(69)
Z
U
U L  I  jxL   xL  e j (90) .
(70)
Z
Построим векторную диаграмму (рис. 16). Построение,
как было сказано ранее, начинаем с выбора масштаба по току
mi (А/см) и напряжению mu (В/см). Определим вектор U
заданного напряжения. Его модуль U  U m 2 , фаза ψu = 0,
следовательно, вектор U располагается вдоль оси действительных чисел (+1). Откладываем от начала координат в
положительном направлении оси +1 отрезок длиной U/mu
(см) и его конец отмечаем стрелкой. Вектор U построен.
- 47 -
N
90  
+j
U
0

 i  
I
K
U R
+1
U L
+90º
M
Рис. 16.
Далее строим вектор тока I . Этот вектор, как было установлено, отстаёт от вектора U на угол φ, причём 0    90  .
Поэтому в IV четверти координатной плоскости проводим
луч ОМ под углом   к оси +1 На этом луче от точки О
I
U

(см). Его конец отмечаем
mi Z  mi
стрелкой. Вектор I построен. Строим вектор U R . Как было
установлено ранее, ток через R-элемент и падение напряжения на нём совпадают по фазе. Это подтверждают соотношения (68) и (69). Для векторной диаграммы это означает, что
вектора совпадают по направлению. Поэтому на том же луче
U R

ОМ от точки О откладываем отрезок, равный
(см), его
Z mu
конец отмечаем стрелкой. Вектор U построен. Наконец,
откладываем отрезок
R
строим вектор U L . Ранее было установлено, что падение
напряжения на L-элементе опережает ток через этот элемент
по фазе на 90º. Это подтверждают соотношения (68) и (70).
Для векторной диаграммы данный вывод означает, что вектор
U L должен быть перпендикулярен вектору I и направлен в
- 48 -
сторону оси +1 (поскольку разность фаз между I и U L составляет +90º, а за положительное направление при повороте
векторов в электротехнике принято направление против
часовой стрелки). Из конца вектора U R (точка К на рис. 16)
восстанавливаем перпендикуляр к лучу ОМ в направлении
оси +1. На перпендикуляре КN от точки К откладываем отре-
U xL

(см). Конец этого отрезка отмечаZ mu
ем стрелкой. Вектор U построен. В случае верного построезок длиной, равной
L
ния всех векторов на данной диаграмме, конец вектора
совпадет с концом вектора U . Т. е. сумма векторов U и
R
U L
U
L
равна вектору U , что является геометрической интерпретацией 2-го закона Кирхгофа для данной цепи (63).
Рассмотренные вектора U , U R , U L образуют прямоугольный треугольник, называемый треугольником напряжений. Для сторон этого треугольника справедливы соотношения:
U R  U  cos 
U L  U  sin  .
(71)
U  U R2  U L2
В заключение проанализируем энергетические процессы,
протекающие в этой цепи. Как было установлено, интенсивность энергетических процессов, протекающих на участке
цепи с R-элементом, можно характеризовать активной мощностью
P UR  I  I 2  R ,
(72)
а интенсивность этих процессов, протекающих на участке
цепи с L-элементом – реактивной мощностью:
(73)
Q U  I  I 2x .
L
- 49 -
L
Поскольку в данной цепи включён R-элемент, то часть
энергии источника питания будет безвозвратно потребляться
на R-элементе. В то же время из-за наличия L-элемента в этой
цепи будет происходить непрерывный обмен (с частотой 2ω)
энергией (циркуляция энергии) между магнитным полем
L-элемента и источником питания. Для характеристики общего энергетического режима цепи вводят понятие о полной
мощности.
Определим её величину. Из (71) и (72) можно записать
P  U R  I  U  I  cos 
(74)
Q  U L  I  U  I  sin 
(75)
Возведём в квадрат (74) и (75) и сложим полученные результаты
P 2  Q 2  (UI ) 2 cos 2   (UI )2 sin 2   (UI )2  S 2 (76)
или
S  UI  P 2  Q 2  ( I 2 R) 2  ( I 2 xL ) 2 
 I 2 R 2  xL2  I 2  Z ,
(77)
где S – полная мощность этого участка цепи, измеряемая в
вольт-амперах (ВА).
Можно записать соотношение между полной мощностью
и её составляющими в комплексной форме. Для этого каждую
сторону треугольника сопротивлений (рис. 15) умножим на
I 2 . Вновь образованный прямоугольный треугольник (рис.
17) определяет своей гипотенузой полную мощность, а катетами – активную и реактивную мощности. Данный треугольник называется треугольником мощностей. Его стороны
связаны соотношением:
S  P  jQ  UI cos   jUI sin   I 2 R  jI 2 xL  I 2 z .
- 50 -
(78)
S – полная комплексная мощность данного участка цепи. Её
модуль
S  S  UI .
+j
S  I2z

0
P  I 2R
Рис. 17.
Q  I 2 jxL
+1
Полная мощность и её составляющие измеряются единицами мощности одинакового масштаба. Однако для того,
чтобы подчеркнуть разную физическую природу энергетических процессов, интенсивность которых они оценивают, эти
единицы измерения называют по-разному:
dim P  Вт;
dim Q  ВАр;
dim S  ВА.
Треугольники сопротивлений (рис. 15), напряжений (рис.
16) и мощностей (рис.17) подобны. Из этого, в частности,
следует, что
U
x
Q
(79)
  arctg  arctg L  arctg L .
P
UR
R
Предоставляем студентам самостоятельно провести
аналогичный анализ для участка цепи, содержащего последовательное соединение R и C элементов.
7.
Участок схемы с параллельным соединением
R- и C-элементов
- 51 -
Рассмотрим анализ ещё одной простейшей цепи (рис. 18),
содержащей параллельное соединение R- и C-элементов.
Данной схемой замещения на достаточно низкой частоте
можно представить некоторые типы конденсаторов, если
помимо его основного свойства – накапливать заряды, необходимо учесть сопротивление утечки зарядов из-за несовершенства диэлектрика, разделяющего обкладки конденсатора.
Допустим, конденсатор подключён к синусоидальному
напряжению
u  U m sin t .
i
a
R
u
iR
C
iC
b
Рис. 18.
Зададим (произвольно) положительное направление токов в ветвях и для узла а составим уравнение по 1 закону
Кирхгофа
i  iR  iС  0 .
(80)
Учитывая, что R-элемент и С-элемент соединены параллельно, получим из (29) и (52):
u
1
iR  ; iC   u  d t .
R
C
Тогда уравнение (80) примет вид
- 52 -
i
u 1

ud t .
R C
(81)
Для нахождения i(t) необходимо решить интегральное
уравнение. Для упрощения анализа перейдём к комплексной
форме записи напряжений и токов. Согласно соотношений
(33) и (59):
U 
U
U
,
(82)
IR 
; IC 
 j
R
 jxC
xC
где g 
1
1
– проводимость R-элемента; bC 
 C – провоR
xC
димость ёмкостного элемента. Эти параметры измеряются в
сименсах (См). В комплексной форме записи уравнение (80)
будет иметь вид:
I  IС  IR  0 .
(83)
Подставив (82) в (83), получим:
U
U
I   j
 U ( g  jbС )  U ( g  j (bC )).
R
xC
(84)
Уравнение (84) представляет собой закон Ома для данной
цепи. Параметр
Y  g  jbС  g  j (bC )
(85)
называется полной комплексной проводимостью данного
участка цепи и измеряется (условно) в сименсах (См). Соотношение (85) можно изобразить на комплексной плоскости.
- 53 -
j
Y
jbC
0
0
g
1
Рис. 19.
Действительная часть комплексной проводимости:
Re(Y )  g
называется активной составляющей полной комплексной
проводимости. Мнимая часть комплексной проводимости:
Im(Y )  bC называется реактивной проводимостью участка
цепи (для данной схемы эта величина также является модулем комплексной проводимости C-элемента). Треугольник,
представленный Y и её составляющими (рис. 19), называется
треугольником проводимостей. Соотношение (85) представляет алгебраическую форму записи комплекса Y для данной
цепи. В расчётах также получила распространение показательная форма записи Y
Y  Y e j ,
(86)
где Y  g 2  bC2 –полная проводимость данного участка цепи,
измеряется в сименсах (См); φ – фазовый угол полной проводимости, измеряется в угловых градусах или радианах
b
  arctg C ,
g
причем   0 (как показывает рис. 19). Из треугольника проводимостей становятся очевидными следующие соотношения
- 54 -
g  Y cos  ;
bC  Y sin  .
(87)
Согласно соотношениям (82) будем иметь
IR  U  g ;
IC  U  ( jbC ).
(88)
Откуда
I  IR  IC  U  g  j  U  bC .
(89)
Отразим соотношение (89) на векторной диаграмме. Построение начинаем с заданного вектора U . Задаёмся масштабами mu (В/см) и mi (А/см). Т.к. по условию ψu = 0, то вектор
U будет расположен вдоль оси +1 (рис. 20).
N
j
I
IC
0
0
IR
 90
K U
1
Рис. 20.
В положительном направлении оси абсцисс от точки О
Um
откладываем отрезок длиной, равной
(см). Конец
2  mu
отрезка отмечаем стрелкой. Вектор U построен. Далее строим вектор IR . Как показано на рис. 6, IR должен совпадать по
направлению с вектором U . Поэтому от точки О в положи- 55 -
тельном направлении оси абсцисс откладываем отрезок дли-
IR
g
U
(см). Его конец отмечаем стрелкой.
mi
mi
Вектор IR построен. Для построения вектора IC учтём, что в
соответствии с ранее установленным (54), вектор тока через
С-элемент IC должен опережать вектор напряжения на С-элементе U на 90º. В соответствии с этим условием вектор I
ной, равной
C
должен лежать на луче KN, направление которого получено
его поворотом от оси +1 на 90º в положительном направлении. Т. е. из конца вектора IR (т. К) восстанавливаем перпендикуляр KN к оси +1. На этом перпендикуляре откладываем
отрезок, равный I  U  b
C
mi
C
mi
(см). Конец отмечаем стрелкой.
Вектор IC построен. В соответствии с правилом суммирования векторов вектор, соединяющий т. О и конец вектора IC ,
равен IR  IC . Согласно (89) это будет вектор полного тока в
цепи
I  IR  IC .
Т. о. данная векторная диаграмма даёт геометрическую интерпретацию первого закона Кирхгофа для узла a в
данной цепи (рис.18). Прямоугольный треугольник (рис. 20)
называется треугольником токов. Из него следуют соотношения, связывающие модули токов в цепи
I R  I  cos  ;
I С  I  sin  .
(90)
В заключение рассмотрим энергетические соотношения на этом участке цепи. Следует отметить, что реактивная мощность на L -элементах считается положительной
QL  I L xL  0 ,
- 56 -
а реактивная мощность на C-элементах – отрицательной
QC  I C xC  0 .
Поскольку в данной цепи (рис.18) включены R-элемент и
С-элемент, то интенсивность энергетических процессов характеризуется совокупностью активной и реактивной мощностей. При этом полная мощность определится
S U I ;
(91)
активная мощность
P  U  I R  U  I  cos  ;
реактивная мощность
QC  U  I C  U  I  sin  .
Поскольку   0 , то QC  0 .
Полная мощность и её составляющие связаны соотношением
S  P2  Q2 .
В комплексной форме эта связь имеет вид
S  P  jQС .
(92)
Соотношение (92) можно отразить на комплексной плоскости в виде треугольника мощностей (рис.21).
0
P
0
0
1
 jQC
S
- 57 -
Рис. 21.
Отметим, что треугольники проводимостей (рис.19), токов (рис. 20) и мощностей (рис. 21) подобны, т. е.
  arctg
 bC
I
 QC
.
 arctg C  arctg
g
IR
P
Студентам предлагается самостоятельно провести анализ участка цепи с параллельным соединением R- и L-элементов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Электротехника: [Учеб. пособие для вузов. Рекомендовано МО РФ] / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. – М.:
Издательский центр «Академия», 2007. - 538 c.
2. Рекус Г. Г. Электротехника и основы промышленной электроники: [Учеб. пособие для вузов. Допущено МО
РФ]. - М.: Высшая школа. 2008.- 653 с.
3. .Электротехника и ТОЭ в примерах и задачах./Под
общ. ред. В.А.Прянишникова. - СПб.: КОРОНА принт.
2003 - 334 с.
- 58 -