Разработка дидактических материалов по теме: «Текстовые задачи на движение» Муниципальное общеобразовательное учреждение

Муниципальное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа № 7
Разработка дидактических материалов по теме:
«Текстовые задачи на движение»
Учитель математики
МОУ СОШ № 7 г. Ивантеевки
Московской области
Анашко Любовь Матвеевна
2011
2
Содержание:
1. Введение
2. Задачи на движение по суше:
2.1решение задач на движение двух тел в
противоположных направлениях
2.2решение задач на встречное движение двух тел
2.3решение задач на движение двух тел в одном
направлении
3. Задачи на движение по воде
4. Тренировочные текстовые задания для 9 класса ( 1
часть теста)
5. Тренировочные текстовые задачи для 11 класса.
Задания В12.
6. Заключение
7. Использованная литература
Приложение 1
3-5
6-10
7-10
10-12
12-15
16-17
18-19
20-21
22-23
24
25
3
Введение.
«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решать одну и ту
же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре
различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно
путём сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так
вырабатывается опыт решения задач.» (У.У.Сойер)
Математика проникает почти все области деятельности человека, что
положительно сказалось на темпе роста научно-технического прогресса. В
связи с этим стало жизненно необходимым усовершенствовать математическую
подготовку подрастающего поколения.
С начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно
помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже
выяснить различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, даёт
возможность применять изучаемые теоретические положения.
Состояние математического развития
учащихся наиболее
ярко
характеризуется их умением решать задачи. Задачи – это основное средство
оттачивания мысли каждого школьника. В процессе обучения решению задач
ученики должны в известной мере овладевать основными идеями школьной
математики, а именно:






функциональной зависимости
равенства, неравенства;
тождественных преобразований;
соответствия, порядка, расположения;
непрерывности;
доказуемости заключений относительно свойств пространственных форм
и количественных соотношений в них;
 применимости числа и меры к явлениям окружающего мира.
Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо
ответить, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче.
Следует учесть, что научиться решать задачи школьники смогут, лишь
решая их.
Решение задач занимает в математическом образовании огромное место.
Поэтому обучению решения задач уделяется много внимания (уже в первом
классе учащиеся начинают решать текстовые задачи). Связи с ведением ЕГЭ в
4
11 классе и экзаменом в новой форме в 9 классе умение решать текстовые
задачи стало ещё более актуальным. Умение решать ту или иную задачу
зависит от многих факторов. Однако, прежде всего необходимо научиться
различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них.
Без конкретной программы деятельности для учащихся, без алгоритмов
или общих указаний по поиску решения задач, трудно организовать процесс
учения детей, т.к. этот процесс имеет своими составными частями подражание
и последующее творчество. Неосознанные навыки быстро утрачиваются. Лишь
те навыки, которые доведены до автоматизма, или сохранили теоретическую
основу, надолго остаются действенными. Я придерживаюсь в своей
деятельности такого метода работы над задачами, когда ученик твёрдо усвоил
основные приёмы решения задач и знает основные типы задач. Эти приёмы и
способы задач вырабатываются в процессе изучения той или иной темы и
только в последствии используются как алгоритм решения. Как показала
практика, этот метод хорош при работе со слабыми и средними по
успеваемости учениками. Они запоминают по различным признакам схему
решения образца, решают определённый класс задач. Для более
подготовленных учеников этот этап работы проходит быстро, без затруднений,
они уже на начальной стадии изучения способны «ухватить» метод и
применить его в более сложных задачах. Им даются уже более сложные
задания, требующие не только автоматического применения основных
приёмов, но и нетрадиционного подхода, смекалки.
Целесообразность и необходимость моей работы: В связи с переходом
к новым формам аттестации учеников девятых и одиннадцатых классов
формирование умений решать текстовые задачи стало ещё актуальным.
В своей работе я попыталась решить следующие задачи:
1) Изучить методические пособия, литературу по решению текстовых
задач.
2) Рассмотреть основные типы задач на движение по суше и по водоёму,
которые наиболее часто встречаются в ГИА 9-ых классов и ЕГЭ в 11-ых
классов.
3) Подобрать как можно более разнообразные задачи по мере увеличения их
сложности с решениями и ответами, необходимые при подготовке к
экзаменам в девятых и в одиннадцатых классах.
4) Рассмотреть в своей работе основные моменты в работе с текстовыми
задачами: методику решения текстовых задач в школьном курсе
математики, некоторые приёмы и методы, принимаемые на уроках.
5
5) Выявить роль задач на движение в процессе обучения математики.
Гипотеза: Я предполагаю, что новые подходы, формы, направления
работы над задачей более успешно позволяют организовать процесс
решения текстовых задач.
6
Задачи на движение по суше.
« Решение математической задачи, как правило,
предполагает изобретение специально ведущего
к поставленной цели рассуждения и тем самым
становится – пусть весьма скромным – творческим
актом.»
А.Я.Хинчин.
Процесс обучения решению задач начинается в начальной школе.
Ученикам знакомы многие типы задач. В 5,6 классах круг задач расширяется,
вводятся задачи на проценты, на составление уравнений, умение решать задачи
совершенствуется. В процессе работы над текстовыми задачами я стараюсь
добиться у учащихся умения чётко представлять ситуацию, о которой
говориться в задаче, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость
между величинами, участвующими в данной задаче, например, между
скоростью, временем и расстоянием; работой, продолжительностью и временем
и т.п. Все задачи на составление уравнений можно решать по схеме:
1. Анализ и краткая запись условия задачи. Построение чертежа, если он
необходим.
2. Выявление оснований для составления уравнения.
3. Составление уравнения.
4. Решение уравнения.
5. Исследования корней уравнения.
6. Запись ответа.
Умение решать задачу несколькими способами является одним из признаков
хорошей подготовки школьников по математике. Обучение поискам
нескольких способов решения задачи – это одна из форм учебной работы по
развитию математического мышления школьников, их общего развития.
Выше изложенные принципы работы над задачей рассмотрим подробнее
на конкретных примерах далее.
В 5 классе закрепляем полученные знания начальной школы.
 S=Vt
 V=S/t
 t=S/V
7
 если движение происходит из одной точки в разные стороны, то скорости
и расстояния складываются;
 если движение происходит навстречу друг другу, то скорости и
пройденные расстояния складываются.
Перед решением задачу составляем таблицу. А при составлении таблицы
обязательно обращаем внимание на следующее, если речь идёт о двух телах:
1. При составлении столбика «время»
 вышли они одновременно или нет?
 какое тело находилось в пути дольше и на сколько часов?
 какое тело находилось данное время в пути или это общее время?
2. При заполнении столбика «расстояние»
 какое тело прошло заданное расстояние или это общее расстояние.
В зависимости от этого пройденное расстояние проставляем или
напротив каждого тела, или объединяем два тела.
 Какое тело прошло большее расстояние и на сколько, или они
прошли одинаковое расстояние.
На эти же самые пункты обращаем внимание, если речь идёт не о двух телах,
а об одном теле, движение которого разбито на части.
Решение задач на движение двух тел в противоположных направлениях.
Задача 1. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях
вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч, а другой 4 км/ч.
Какое расстояние будет между ними через 3 часа?
? км
4 км/ч
3ч
6 км/ч
3ч
Решение
1 пешеход
2 пешеход
Скорость
6 км/ч
4 км/ч
1 способ: (6+4)*3=30 (км)
Время
3 ч.
3 ч.
Расстояние
?
?
?
8
2 способ: 6*3+4*3=30 (км)
Ответ: 30 км.
Задача 2. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях
вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч, а другой 4 км/ч.
Через сколько времени пешеходы удалятся друг от друга на 30 км?
30 км
4 км/ч
6 км/ч
Решение
1 пешеход
2 пешеход
Скорость
6 км/ч
4 км//ч
Время
xч
хч
Расстояние
6х
30 км
4х
1 способ: 6х+4х=30
х=3 Пешеходы удалятся друг от друга на 30 км через 3 часа.
2 способ: (6+4)*х=30
х=3 Ответ: 3 часа.
Задача 3. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях
вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч. Через 3 часа
пешеходы удалились друг от друга на 30 км. Определите скорость другого
пешехода.
30 км
х км/ч
6 км/ч
3ч
3ч
Решение
(До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём
спрашивается в вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем
9
фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам
даёт уравнение.»
1 пешеход
Скорость
6 км/ч
Время
3ч
2 пешеход
х км/ч
3ч
Расстояние
6*3 км
км
3х км
30
1 способ: 6*3+3х=30
х=4
2 способ: (без помощи уравнения)
(30-18):3=4
Ответ: 4 км/ч.
Решить самостоятельно задачу 4. По данным таблицы составьте задачи на
движение двух тел в противоположных направлениях при одновременном
начале движения из одного пункта. Найдите неизвестные величины.
Задача
1
Движущиеся тела Велосипедисты
Скорость первого
20 км/ч
тела
23 км/ч
Скорость второго
2ч
тела
Общее
время
?
движения
Путь, пройденный
?
первым телом
?
Путь, пройденный
вторым телом
Тела удалились на
2
Лыжники
12 км/ч
9 км/ч
хч
3
Катера
х км/ч
14 км/ч
5ч
4
Поезда
50 км/ч
х км/ч
6ч
12х км
?
?
9х км
12х+9х=63
?
120 км
?
540 км
В следующих заданиях составить уравнение и решать задачу.
Задача 5. Из одного и того же пункта одновременно в противоположных
направлениях вышли два пешехода. Через 2 часа расстояние между ними стало
16 км. Найдите скорость второго пешехода, если скорость первого была 5 км/ч.
(ответ: 10+2х=16; 3 км/ч)
10
Задача 6. Из одного и того же пункта одновременно в противоположных
направлениях вышли два пешехода. Через 3 часа расстояние между ними стало
27 км. Найдите скорость второго пешехода, если скорость первого была 4 км/ч.
(ответ: 12+3х=27; 5км/ч)
Задача 7. Из одного и того же пункта в противоположных направлениях
выехали одновременно две автомашины. Скорость одной из них 55 км/ч,
скорость другой – 65км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет
600 км? (ответ: 55х+65х=600; 5ч.)
Решение задач на встречное движение двух тел.
Задача 1. Одновременно из двух пунктов навстречу друг другу вышли два
пешехода. Через 3 часа они встретились. Какое расстояние до встречи прошёл
каждый пешеход и какое расстояние было между пунктами, если один пешеход
шёл со скоростью 6 км/ч, а другой – со скоростью 4 км/ч?
? км
4 км/ч
3ч
6 км/ч
3ч
Решение
1 пешеход
2 пешеход
Скорость
4 км/ч
6 км/ч
Время
3ч
3ч
Расстояние
?
?
a. 4*3=12 (км) – прошёл 1 пешеход
b. 6*3-18 (км) – прошёл 2 пешеход
c. 12+18=30 (км) – расстоянии е между пунктами
Ответ: 12 км; 18 км; 30 км.
Задача 2. Из двух пунктов, находящихся на расстоянии 30 км, одновременно
навстречу друг другу вышли два пешехода. Один из них проходит в час 6 км, а
другой 4 км. Через сколько часов пешеходы встретятся и какое расстояние
пройдёт каждый из них до встречи.
11
30 км
? км
7 км
4 км/ч
6 км/ч
хч
хч
Решение:
1 пешеход
Скорость
4 км/ч
Время
хч
2 пешеход
6 км/ч
хч
Расстояние
4х
30
6х
км
км
км
1) 6х+4х=30 х=3 (3 ч.)
2) 4*3=12 (км)
3) 6*3 (км)
Ответ: 3 ч; 12 км;18 км
Задача3. Из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км, одновременно
навстречу друг другу вышли два пешехода. Через 3 ч пешеходы встретились.
Скорость одного пешехода 4 км/ч. Найдите скорость другого.
Решение.
30 км
4 км/ч
х км/ч
3ч
1 пешеход
2 пешеход
4*3+3х=30
3х=30-12
х=6 (км/ч)
Ответ: 6 км/ч
Скорость
4 км/ч
х км/ч
3ч
Время
3ч
3ч
Расстояние
4*3 км
30 км
3х км
12
Решать самостоятельно задачу 4: по данным таблицы составьте задачи на
встречное движение двух тел при одновременном начале движения из двух
пунктов. Найдите неизвестные величины.
Задача
Движущиеся тела
Скорость первого тела
Скорость второго тела
Время движения до
встречи
Расстояние между
пунктами
Путь, пройденный
первым телом
Путь, пройденный
вторым телом
Уравнение
1
Бегуны
7 м/с
8 м/с
2
Лодки
12 км/ч
9 км/ч
3
Катера
15 км/ч
х км/ч
4
Поезда
Х км/ч
47 км/ч
хс
хч
5ч
4ч
120 м
84 км
160 км
360 км
7х м
?
15*5 км
?
8х м
7х+8х=120
?
?
х*5
?
?
?
В следующих заданиях составить уравнения и решить задачу.
Задача 5. Из двух городов навстречу друг другу вышли одновременно два
поезда. Скорость одного из них 70 км/ч, скорость другого – 80 км/ч. Через
сколько часов они встретятся, если расстояние между городами 900 км? (ответ:
70х+80х=900; 5ч.)
Задача 6. Из двух городов, расстояние между которыми 162 км, одновременно
навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость одного на 3 км/ч
больше скорости другого. Встреча произошла через 6ч после их выезда. С
какой скоростью ехал каждый велосипедист? (ответ: 6х+6(х+3)=162; 12 км/ч)
Задача 7. Из городов А и В, расстояние между которыми 240 км, одновременно
навстречу друг другу выехали два поезда. Встретились они через 2,4 часа.
Скорость одного поезда больше скорости другого на 10 км/ч. Найдите скорость
каждого поезда.
(ответ: 2,4(х+10)+2,4х=420; 82,5 км/ч; 92,5 км/ч)
Решение задач на движение двух тел в одном направлении.
13
Задача 1. Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два
пешехода. Первый пешеход идёт со скоростью 6 км/ч, а другой – со скоростью
4 км/ч. Какое расстояние будет между пешеходами через 5 часов?
Решение:
? км
4 км/ч
1 пешеход
Скорость
6 км/ч
5 ч.
6 км/ч
Время
5ч
Расстояние
? 6*5 км
30
2 пешеход
4 км/ч
5ч
?
4*5 км
км
1) 6*5=30 (км) – прошёл первый пешеход
2) 4*5=20 (км) – прошёл второй пешеход
3) 30-20=10 (км) - расстояние между пешеходами через 5 часов.
Ответ: 10 км.
Задача 2. Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два
пешехода. Первый пешеход идёт со скоростью 6 км/ч, а второй – со скоростью
4км/ч. Через сколько часов второй пешеход отстанет от первого на 10 км?
Решение:
х ч 4 км/ч
10 км
х ч
1 пешеход
2 пешеход
Скорость
6 км/ч
4 км/ч
Время
хч
хч
6 км/ч
Расстояние
6х км, на 10>,чем
4х км
Составив таблицу, выясняем, что это задача на сравнение и уравнение
составляем, проговорим фразу: «из большего отнимаем меньшее, получаем
разницу».
6х-4х=10
14
2х=10
х=5 Ответ: второй пешеход отстанет от первого на 10 км через 5 часов.
Задача 3. Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два
пешехода. Скорость первого пешехода 6 км/ч. Через 5 ч второй пешеход отстал
от первого на 10 км. С какой скоростью шёл второй пешеход?
Решение:
5ч
10 км
х км/ ч
5ч
6км/ч
1 пешеход
Скорость
6 км/ч
Время
5ч
2 пешеход
х км/ч
5ч
Расстояние
6*5 км, на
10>,чем
5х км
Задача на сравнение: 5*6-5х=10
……………
х=4
Ответ: второй пешеход шёл со скоростью 4 км/ч
Задача 4. Одновременно из двух пунктов вышли два пешехода. Первый
пешеход, идущий со скоростью 6 км/ч, через 5 ч догнал второго, идущего со
скоростью 4 км/ч. Какое расстояние между пешеходами было первоначально?
Решение:
5 ч.
6 км/ч
4 км/ч
х км
1 пешеход
2 пешеход
Скорость
6 км/ч
4 км/ч
1) 6*5=30 (км) – прошёл первый пешеход
2) 4*5=20 (км) – прошёл второй пешеход
Время
5ч
5ч
Расстояние
? 6*5 км
? 4*5 км
15
3) 30-20-=10 (км) – первоначальное расстояние между пешеходами.
Ответ: 10 км.
Задача 5. Первый пешеход, идущий со скоростью 6 км/ч, догоняет второго,
идущего со скоростью 4 км/ч. Через сколько часов первый пешеход догонит
второго, если первоначально расстояние между ними было 10 км и они вышли
одновременно?
Решение:
6 км/ч
4 км/ч
10 км
1 пешеход
2 пешеход
х ч
Скорость
6 км/ч
4 км/ч
Время
хч
хч
Расстояние
6х, на 10км>, чем
4х
6х-4х=10
2х=10
х=5 Ответ: первый пешеход догонит второго через 5ч.
В следующих заданиях составить уравнение и решить задачу.
Задача 6. Из двух пунктов в одном направлении выехали два велосипедиста.
Скорость одного из них 11 км/ч, а скорость другого – 13 км/ч. Через сколько
часов первый велосипедист догонит второго, если расстояние между пунктам
12 км?
(Ответ: 13х-11х=12; 6 км/ч)
Задача 7. Из Саратова в Москву вышел пассажирский поезд со скоростью 55
км/ч, а через 2 часа вслед за ним отправился скорый поезд со скоростью 66
км/ч. На каком расстоянии от Москвы второй поезд догонит первый, если
расстояние от Саратова до Москвы 855 км?
(Ответ: 66х=55(х+2); 195км)
Задача 8. Со станции вышел поезд, скорость которого 48 км/ч, а через 1,25 ч за
ним вышел второй поезд, скорость которого 56 км/ч. На каком расстоянии от
станции отправления второй поезд догонит первый?
(Ответ: 48(х+1,25)=56х; 420 км)
16
Задачи на движение по воде.
Ученик с 5 класса должен знать:
 Скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости
течения реки.
 Скорость против течения равна разности собственной скорости и
скорости течения реки.
 Скорость по озеру равна собственной скорости.
 Собственная скорость равна половине суммы скорости по течению и
скорости против течения.
Краткая запись всех задач оформляется, как, обычно, в таблицу. В начале
изучения таких задач выясняем, что, когда плывём по течению, течение нам
помогает плыть, поэтому мы к своей скорости прибавляем скорость течения,
против когда плывём против течения, течение нам мешает плыть, поэтому мы
из своей скорости вычитаем скорость течения. У основной массы класса такие
задачи не вызывают затруднений, поэтому, подробное решение и оформление
таких задач не будем. Как обычно, два столбика заполняем по условию задачи,
третий по первым двум. И этот столбик нам даёт уравнение. Дальше смотрим, к
какому типу относится задача: на сравнение или на сложение величин, если это
необходимо.
Задача 1. Катер прошёл 20 км по течению реки и такой же путь обратно,
затратив на весь путь 1 ч 45 мин. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите
время катера в пути.
Пусть х км/ч – собственная скорость катера. Какое из уравнений соответствует
условию задачи.
1)
2)
3)
4)
20/(х+2)=1,45
20/(х-2)-20/(х+2)=1,45
20/(х-2)+20/(х+2)=7/4
20/(2-х)+20(2+х)=7/4
Решение:
По течению
Скорость
х+2 км/ч
Время
20/(х+2) ч
1
ч
45
мин
Путь
20 км
17
Против течения
х-2 км/ч
20/(х-2) ч
20 км
Эта задача на сложение величин. Переводим минуты в часы, 1 ч 45 мин.=7/4 ч.,
получаем уравнение:
20/(х+2)+20(х-2)=7/4. Ответ: 3
Задача 2. Катер прошёл 3 км по течению реки на 30 минут быстрее, чем 8 км
против течения реки. Собственная скорость катера 15 км/ч.
Пусть х км/ч – скорость течения реки. Какое из уравнений соответствует
условию задачи?
1)
2)
3)
4)
3/(15-х)-8(15+х)=0,5
8/(15-х)-3(15+х)=0,5
8/(х-15)-3(х+15)=0,5
8/(15-х)+3(15+х)=30
Решение:
По течению
Против течения
Скорость
х+15 км/ч
15-х км/ч
Время
3/(15+х) ч, на 30 мин.< чем
8/(15-х) ч
Путь
3 км
8 км
Эта задача на сравнение, из большего отнимаем меньшее, получаем разницу,
так как 30 мин это 0,5 ч , то получаем:
8/(15-х)-3/(15+х)=0,5
Ответ: 2
В следующих заданиях составить уравнение.
Задача 3. Катер прошёл 30 км по течению реки и 13 км против течения,
затратив на весь путь 1 ч 30 мин. Какова собственная скорость катера, если
скорость течения реки равна 2 км/ч?
(Ответ: 30/(х+2)+13/(х-2)=1,5)
Задача 4. Туристы проплыли на байдарке против течения реки 6 км и
вернулись обратно. На все путешествие они затратили 4 ч 30 мин. Какова
собственная скорость байдарки, если скорость течения реки 1 км/ч?
(Ответ:6(х+1)+6(х-1)=4,5)
18
Тренировочные текстовые задания для 9 класса (1 часть текста)
Задача 1. За три часа мотоциклист проехал а км. Скорость велосипедиста в 2
раза меньше скорости мотоциклиста. Какое расстояние проедет велосипедист
за 5 ч?
1.
2.
3.
4.
5а/6 км
6/(5а) км
15/(2а) км
2а/15 км
Решение:
Второй и третий столбик заполняем по условию задачи.
Скорость
Мотоциклист
Велосипедист
Время
3ч
5ч
Расстояние
а км
Т.к. v=s/t, то скорость мотоциклиста а/3 км/ч, а скорость велосипедиста в 2
раза меньше скорости мотоциклиста, то скорость велосипедиста (а/3):2=а/6.
Так как s=vt, то велосипедист прошёл (а/6)*5=(5а)/6.
Мотоциклист
Велосипедист
Скорость
а/3 км/ч
а/6 км/ч
Время
3ч
5ч
Расстояние
а км
(5а)/6
Ответ: 1.
Задача 2. Скорость велосипедиста от посёлка до станции была на 1 км/ч
больше, чем на обратном пути. На обратный путь он затратил на 2 минуты
больше. Расстояние между пунктами 7 км. Найдите первоначальную скорость
велосипедиста.
Пусть х – скорость велосипедиста от посёлка до станции. Какое из уравнений
соответствует условию задачи?
1)
2)
3)
4)
7/(х+1)-7/х=1/30
7/(х-1)-7/х=1/30
7/(х-1)+7/х=2
7/(х-1/30)-7/х=1
Решение:
19
От посёлка до
стан.
Обратная путь
Скорость
х км/ч
Время
7/х ч
Расстояние
7 км
х-1 км/ч
7/(х-1) ч, на 2
7 км
мин>, чем
Задача на сравнение. Минуты переводим на часы. 2 мин.=2/60 ч=1/30 ч.
Получим уравнение:
7/(х-1)-7/х=1/30.
Ответ: 2.
Решаем самостоятельно;
1.Расстояние между двумя станциями равно 420 км. Два поезда вышли из них
одновременно и встретились через 3 часа. Найдите скорость каждого поезда,
если у одного она на 20 км/ч больше, чем у другого.
Обозначьте буквой х большую из скорости поездов и составьте уравнение по
условию задачи.
1)
2)
3)
4)
3х+3х=20=420
3х+3(х-20)=420
420/х+420/(х-20)=3
420/х+420/(х-20)=20
Ответ: 2
2.Автомобиль проезжает расстояние между двумя городами за 5 часов, а поезд
– за 4 часа. Скорость автомобиля на 25 км/ч меньше скорости поезда. Найдите
скорость поезда.
Обозначьте скорость поезда буквой х и составьте уравнение по условию задачи.
1)
2)
3)
4)
4х=5х-25
4(х-25)=5х
4/х=5/(х-25)
4х=5(х-25)
Ответ: 4
20
Тренировочные текстовые задачи для 11 класса.
Задания В12.
1.Моторная лодка прошла 80 км от пункта А до пункта В и после трёхчасовой
стоянки вернулась обратно, затратив на весь путь 12 часов .Найдите скорость
лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ
дайте в км/ч.
Пусть х км/ч – скорость лодки в неподвижной воде
По течению
Против течения
Скорость
х+2 км/ч
х-2 км/ч
Время
80/(х+2)
80(х-2)
Путь
80 км
80 км
80/(х+2)+80/(х-2)=12-3
9х^2-160х-36=0
х=-2/9 – не удовлетворяет условию задачи
х=18 км/ч
Ответ: 18.
2. Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А.
Пробыв в пункте В 45 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт
А в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки,
если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.
Решение: Легко понять, что плыла байдарка всего 16-10-11/3=42/3 (ч)
Составим по условию задачи уравнение и решаем 15/(х+3)+15/(х-3)=14/3
14х2-90х-56=0
х1=7 км/ч
х2= -4/7 км/ч – не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 7
3. Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый весь путь проехал с
постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью,
меньшей скорости первого на 16 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью
96 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем.
21
Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 57 км/ч.
Ответ дайте в км/ч.
Решение: Поскольку речь в задаче идёт о половинах пути, весь путь удобно
принять за 2. Тогда половина пути 1 и х км/ч – скорость первого автомобиля.
2/х=1/(х-16)+1/96
х2-112х+32*96=0
х1=64 км/ч
х2=48 км/ч
По условию подходит большее значение скорости, равное 64 км/ч.
Ответ: 64
22
Заключение.
1.Мною внимательно изучена литература, методические пособия,
положительный опыт по использованию методов решения текстовых задач на
движение на уроках математики в начальном и в среднем звене.
2.В разработке определена роль решения задачи в обучении и воспитании
учащихся в средней общеобразовательной школе. Эта методика оказывает
весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку
она требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза,
конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения.
Решение задач
развивает мышление. Мало того, решение задач
способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует
пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, даёт возможность
испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением.
3.Изучена методика работы над задачей на движение с помощью уравнений
 Через х обозначаем меньшую величину или то, о чём спрашивается в
вопросе задачи.
 Краткую запись оформляем в виде таблицы, схемы.
 По условию задачи заполняем 2 столбика задачи, третий столбик
заполняем, третий столбик нам даёт уравнение.
 Смотрим, к какому типу относится задача (на сложение величин, на
сравнение и т.п.) в зависимости от этого составляем уравнение.
 Найдя х, смотрим, ответили мы на вопрос задачи, или нет, если нет, то
решаем и находим ответ.
4.Разработаны зачётные карточки для проверки умений решать задачи на
движение по классам.
5.Разработаны тренировочные тестовые задания по решению задач на
движение для 9 класса и текстовые задачи для 11 класса.
В результате изученной темы было выяснено, что существует множество
различных задач. Естественно, все их виды рассмотреть невозможно. Также мы
научились правильно анализировать условия задачи и решать их разными
методами (путём составления уравнений и систем уравнений, путём
составления таблиц и т. д.) и разными способами: алгебраическим и
арифметическим (старинным). Арифметические способы решения текстовых
задач имеют больший развивающий потенциал, чем универсальный -
23
алгебраический способ решения. В наше время предпочтение отдаётся
алгебраическому способу.
Данная проблема до конца не решена, необходимо искать новые формы,
подходы, направления, новые методические обоснования для более успешного
формирования умения решать текстовых задач.
24
Использованная литература.
1. А.С.Чесноков «Дидактические материалы по математике. 5 класс» /
А.С.Чесноков, К.И.Нешков - М. ; «Классикс Стиль», 2008
2. А.С. Чесноков «Дидактические материалы по математике для 6 класса» /
А.С. Чесноков, К.И. Нешков. - М. ; «Академкнига/учебник», 2010
3. В.И.Жохов «Дидактические материалы по алгебре для 8 класса» /
В.И.Жохов, Ю.Н.Макарычев - М. ;«Просвещение», 2008
4. Бантова М.А. «Методика обучения математике в 1-3 классах.» / Бантова
М.А. - М. ;«Просвещение», 2004
5. Ф.Ф.Лысенко « Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2010» / Ф.Ф.Лысенко,
С.Ю.Кулабухова - Ростов – на – Дону. ; « Легион – М», 2009
6. И.Р.Высоцкий «Самое полное издание типовых вариантов реальных
заданий ЕГЭ 2010. Математика» / И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин и др. – М. ;
«АСТ Астрель»,2010
7. И.В.Ященко «Математика ЕГЭ Тематическая рабочая тетрадь» / Э
И.В.Ященко, С.А.Шестаков, П.И.Захаров – М. ; «Экзамен», 2010
8. Истомина Н.В. «Методика обучения математике в начальных классах» /
Н.В.Истомина - Ярославль ; «Линка – пресс»,2004
9. Л.В.Кузнецова «Сборник задач для письменного экзамена к итоговой
аттестации в 9 кл.» / Л.В.Кузнецова и др. – М. ; «Дрофа»,2002
10.Л.В.Кузнецова «Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой
аттестации в 9кл.» / Л.В.Кузнецова и др. - М. ; «Просвещение»,2007
11.Издательский дом «Первое сентября» Учебно – методическая газета
«Математика» №23 - 2005
12.О.В.Узорова «Познавательный задачник по математике для начальной
школы» / О.В.Узорова, Н.Е.Нефедова – М. ; «АСТ Астрель»,2005 г.
13.М.И.Моро «Учебник математики для 4 класса часть 2» / М.И.Моро, М.А.
Бантова - М. ; «Просвещение»,2009
14.Тесты по математике для 9 класса. 2008 – 2010 годы.
15.Ф.А.Орехов «Тешение задач методом составления уравнений» /
Ф.А.Орехов - М. ; «Просвещение»,1971
16.Л.И.Звавич «Контрольные и проверочные работы по алгебре 7-9 классы»
/ Л.И.Звавич, Л.Я.Шляпочник - М. ; «Дрофа»,1996
17.М.Н.Кочагина «Математика 9 класс. Подготовка к итоговой аттестации» /
М.Н.Кочагина, В.В.Кочагин - М. ; «Эскимо»,2008 г.
18.М. Е. Козина «Нетрадиционные уроки. Математика 5-11 кл.» / М. Е.
Козина, М.Е.Фадеева - Волгоград,2008 г.
25
Приложение 1.
Зачётные карточки по темам.
Движение по суше
5 класс
1 вариант
1.Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли два поезда,
причем скорость одного из них 102,5 км/ч, а скорость другого на 8,2 км/ч
меньше, чем скорость первого. Через сколько часов после начала движения
поезда встретятся, если расстояние между городами 492 км?
2.Из одного поселка одновременно в противоположных направлениях выехали
«Волга» и «Москвич». Скорость «Москвича» 65 км/ч. А «Волга» проезжает на
17 километров в час больше. На каком расстоянии друг от друга будут машины
через 3 часа?
3.Один мальчик пробегает на коньках 9,1 м/с, а другой 6,4 м/с. Через сколько
секунд первый мальчик опередит второго на 27 м, если они одновременно
побегут из одного места в одном и том же направлении?
2 вариант
1.Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли два поезда.
Скорость одного из них 83,5 км/ч, а скорость другого на 8,6 км/ч больше. Через
сколько часов после начала движения поезда встретились, если расстояние
между городами 439 км?
2.Из деревни одновременно выехали два мотоциклиста в противоположных
направлениях. Скорость одного мотоциклиста 55 км/ч, а второй проезжает в
час на 8километров больше. На каком расстоянии друг от друга будут
мотоциклисты через 4 часа?
3.Одна девочка плывет со скоростью 1,75 м/с, а другая - со скоростью 1,5 м/с.
Через сколько секунд первая девочка обгонит вторую на 7 м, если они
одновременно поплывут из одного пункта в одном направлении?
Ответы
1.
2.
3.
1 вариант
Через 2,5 ч.
444
Через 10 с
2 вариант
Через 2,5 ч.
472
Через 28 сек.
26
6 класс
1 вариант
1.Из двух городов, расстояние между которыми 162 км, одновременно
навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость одного на 3 км/ч
больше скорости другого. Встреча произошла через 6ч после их выезда. С
какой скоростью ехал каждый велосипедист?
2.Из Саратова в Москву вышел пассажирский поезд со скоростью 55 км/ч, а
через 2 ч вслед за ним отправился скорый поезд со скоростью 66 км/ч. Через
сколько часов после своего выхода скорый поезд догонит пассажирский?
3.Из пункта А в противоположных направлениях выехали два велосипедиста,
скорость одного из них в 1,2 раза больше cкорости другого. С какой скоростью
ехал каждый велосипедист, если через 2 часа расстояние между ними было 66
км.
2 вариант
1.Из города А и В, расстояние между которыми 240 км, одновременно
навстречу друг другу выехали два поезда. Встретились они через 2,4 ч.
Скорость одного поезда больше скорости другого на 10 км/ч. Найдите скорость
каждого поезда.
2.Из Харькова в Москву вышла машина со скоростью 50 км/ч. Через 2 ч вслед
за ней выехал мотоциклист со скоростью 75 км/ч. Через сколько часов после
своего выезда мотоциклист догонит машину?
3.Из пуикта А в противоположных направлениях выехали велосипедист и
мотоциклист. Скорость мотоциклиста в 3 раза больше скорости велосипедиста.
С какой скоростью ехал велосипедист, если через 1,5 ч между ними было 69 км.
Ответы
1.
2.
3.
1 вариант
15 км/ч.; 12 км/ч.
Через 10 ч
15 км/ч.;18 км/ч.
2 вариант
45 км/ч.;55 км/ч.
Через 4ч
15 км/ч.; 45 км/ч.
27
7 класс
1 вариант
1.Пассажирский поезд за 4 часа прошёл такое же расстояние, какое товарный за
6 часов. Найдите скорость пассажирского поезда, если известно, что скорость
товарного на 20 км/ч. меньше.
2.Путь от А до В автомобиль проезжает проезжает с определённой скоростью
за 2ч 30 мин. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч.проедет путь на 15
км больший, чем расстояние от А до В. Найдите расстояние от А до В.
3.Почтальон дошёл от почты до дома и вернулся обратно, затратив на весь путь
54 минуты. От почты до дома он шёл со скоростью 4 км/ч, а обратно со
скоростью 5 км/ч. Чему равно расстояние от почты до дома?
2 вариант
1.Велосипедист ехал 2 часа по лесной дороге и 1 час по шоссе, всего он проехал
40 км. Скорость его на шоссе была на 4 км/ч больше, чем скорость на лесной
дороге. С какой скоростью велосипедист ехал по шоссе и с какой по лесной
дороге?
2.Из села на железнодорожную станцию велосипедист ехал со скоростью 12
км/ч. Возвращался он со скоростью 15 км/ч и затратил на боратный путь на
полчаса меньше. Сколько километров от села до станции?
3.Из двух пунктов, расстояние между которыми 245 км, одновременно
навстречу друг другу выехали автобус и автомобиль. Они встретились через 2
часа 20 минут. С какой скоростью ехал каждый из них, если известно, что
скорость автомобиля на 15 км/ч больше скорости автобуса?
Ответы
1.
2.
3.
1 вариант
60 км/ч
125 км
2 км
2 вариант
13 км/ч;9 км/ч
30 км
45 км/ч;60 км/ч
28
8 класс
1 вариант
1.Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а
обратно вернулся по другой, которая была короче первой на 7 км. Хотя на
обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он всё же на
обратный путь затратил времени на 10 мин меньше, чем на путь из А в В. С
какой скоростью ехал велосипедист из А в В?
2.Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой,
находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого на 10 км/ч больше
скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 час
раньше второго. Определите скорость каждого автомобиля.
3.Пассажирский поезд был задержан на станции М на 6 мин. Чтобы прибыть в
К без опоздания, машинист увеличил скорость поезда на перегоне МК на 5
км/ч. Сколько времени затрачивает поезд на прохождение перегона МК по
расписанию, если длина перегона 120 км?
2 вариант
1.Расстояние из А в В длиной 60 км мотоциклист проехал по шоссе, а обратно
возвратился по просёлочной дороге, которая короче первой на 5 км, уменьшив
скорость на 10 км/ч. С какой скоростью ехал мотоциклист из А в В, если
известно, что на путь по просёлочной дороге он затратил на 6 мин больше, чем
на путь по шоссе?
2.Расстояние в 60 км Петя проехал на велосипеде на 1 час быстрее Васи.
Найдите их скорости, если скорость Пети на 3 км/ч больше.
3.Товарный поезд был задержан в пути на 18 мин, а затем на расстоянии в 60 км
наверстал это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную
скорость поезда.
Ответы
1.
2.
3.
1 вариант
18 км/ч
80 км/ч; 70 км/ч
1,6 ч
2 вариант
60 км/ч
15 км/ч; 12км/ч
40 км/ч
29
9 класс
1 вариант
1.Расстояние между двумя городами 90 км. Два велосипедиста одновременно
выезжают из одного города и направляются в другой. Найдите скорости
велосипедистов, если первый делает в час на 1 км больше другого и прибывает
в конечный пункт на 1 час раньше.
2.Из города А в город В, расстояние между которым 120 км, выехали
одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости
второго, поэтому он прибыл в город В на 2 часа раньше. Определите скорости
велосипедистов.
3.Велосипедист должен был проехать 48 км, чтобы успеть к поезду. Однако он
задержался с выходом на 48 минут. Чтобы приехать на станцию вовремя, он
ехал со скоростью. На 3 км/ч большей, чем планировал первоначально. С какой
скоростью ехал велосипедист?
2 вариант
1.Два велосипедиста отправляются навстречу друг другу одновременно из двух
пунктов, расстояние между которыми равно 54 км, и встречаются через 2 часа.
Определите скорость каждого велосипедиста, если скорость у одного из них на
3 км/ч больше, чем у другого.
2.Из пунктов А и В одновременно навстречу друг друга вышли два пешехода.
Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в
пункт В на 1 час раньше, чем второй в пункт А. Найдите скорости пешеходов,
если расстояние между пунктами А иВ равно 20 км.
3.Поезд был задержан у семафора на 16 мин и ликвидировал опоздание на
перегоне в 80 км, увеличив скорость на 10 км/ч. С какой скоростью должен был
ехать поезд по расписанию?
Ответы
1.
2.
3..
1 вариант
9 ч; 10 ч
15 км/ч; 12 км/ч
15 км/ч
2 вариант
12 км/ч
15 км/ч
5 км/ч; 4 км/ч
30
Движение по водному пути.
5 класс
1 вариант
1.Скорость теплохода в стоячей воде (собственная скорость) 207/8 км/ч.
Скорость течения реки 11/8 км/ч. Определите скорость теплохода по течению
реки и против течения.
2.Скорость катера по течению 40,2 км/ч. Собственная скорость катера 37,4
км/ч. Найдите скорость течения и скорость катера против течения.
3.Катер, двигаясь против течения, за 6 ч прошёл 177,6 км. Найдите
собственную скорость катера, если скорость течения 2,8 км/ч.
2 вариант
1.Скорость теплохода в стоячей воде (собственная скорость) 235/6 км/ч,
скорость течения реки 11/6 км/ч. Определите скорость теплохода по течению
реки и против течения.
2.Скорость лодки против течения 0,8 км/ч. Собственная скорость лодки 3,5
км/ч. Найдите скорость течения и скорость лодки по течению.
3.Теплоход, двигаясь против течения за 4 ч прошёл 104,8 км. Найдите
собственную скорость катера, если скорость течения 2,7 км/ч.
Ответы
1.
2.
3.
1 вариант
22 км/ч; 196/8 км/ч
3 км/ч;34,4 км/ч
32,4 км/ч
2 вариант
25 км/ч; 224/6км/ч
2,7 км/ч;6,2 км/ч
28,9 км/ч
6-7 классы
1 вариант
1.Моторная лодка шла 0,4 ч по озеру, и 0,3 ч по течению реки, скорость течения
которой 2 км/ч. Всего моторная лодка прошла 9 км. Найдите её собственную
скорость.
31
2.Катер проходит по течению реки за 5 ч такое же расстояние, как за 6 ч 15 мин
против течения. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения
реки равна 2,4 км/ч.
3.Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошёл по реке расстояние,
равное 15 км, по течению и такое же расстояние против течения. Найдите
скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.
2 вариант
1.Катер шёл 0,6 ч против течения реки, скорость течения которой 2,5 км/ч и 0,4
ч по озеру. Всего катер прошёл 17 км. Найдите собственную скорость катера.
2.Бакенщик может проплыть по течению на лодке за 3 ч такое же расстояние,
как за 3 ч 40 мин против течения. Найдите скорость течения реки, если
скорость лодки в стоячей воде равна 5 км/ч.
3.Моторная лодка прошла 7 ч по течению реки и 6 ч против течения.
Определите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч
и за все путешествие лодка прошла 132 км.
Ответы
1.
2.
3.
1 вариант
12 км/ч
21,6 км/ч
2 км/ч
2 вариант
18,5 км/ч
0,5 км/ч
2 км/ч
8 класс
1 вариант
1.Скорость моторной лодки в стоячей воде 10 км/ч. Время, затраченное на
движение лодки на 24 км по течению и на 24 км против течения, равно 5ч.
Найдите скорость течения реки.
2.Катер прошёл 30 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на
весь путь 1 ч 30 мин. Какова собственная скорость катера, если скорость
течения реки равна 2 км/ч?
3.Моторная лодка, двигаясь по течению реки, проходит от пристани А до
пристани В расстояние, равное 24 км, на полчаса быстрее, чем то же расстояние
32
против течения. какую скорость развивает лодка в стоячей воде, если скорость
течения реки равна 2 км/ч?
2 вариант
1.Скорость моторной лодки в стоячей воде 15 км/ч. Время, затраченное на
движение лодки на 36 км по течению и на 36 км против течения, равно 5 ч.
Найдите скорость течения реки.
2.Туристы проплыли на байдарке против течения реки 6км и вернулись
обратно. На все путешествие они затратили 4 ч 30 мин. Какова собственная
скорость байдарки. Если скорость течения реки 1 км/ч?
3.Лодка прошла 7км по течению реки и вернулась обратно, затратив на
обратный путь на 24 мин больше, чем на путь по течению реки. Зная, что
скорость течения реки равна 1 км/ч, найдите скорость лодки в стоячей воде.
Ответы
1.
2.
3.
1 вариант
2 км/ч
28 км/ч
14 км/ч
2 вариант
3 км/ч
3 км/ч
3 км/ч
9 класс
1 вариант
1.Моторная лодка прошла 10 км по озеру и 4 км по против течения реки,
затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость лодки, если
скорость течения реки равна 4 км/ч.
2.Группа туристов отправляется на лодке от лагеря по течению реки с
намерением вернуться обратно через 5 ч. Скорость течения реки 2 км/ч,
собственная скорость лодки 8 км/ч. На какое наибольшее расстояние по
реке они могут отплыть, если перед возвращением они планируют
пробыть на берегу 3 ч?
3.Моторная лодка отправилась по реке от одной пристани к другой и
через 2,5 часа вернулась обратно, затратив на стоянку 20 км/ч., а
расстояние между пристанями 20 км.
2 вариант
1.Катер прошёл 15 км по течению реки и 4 км по озеру, затратив на весь
путь 1 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения
реки равна 4 км/ч.
33
2.Рыболов отправляется на лодке от пристани против течения реки с
намерением вернуться назад через 5 ч. Перед возвращением он хочет
побыть на берегу 2 ч. на какое наибольшее расстояние он может
отплыть, если скорость течения реки 2 км/ч, а собственная скорость
лодки 6 км/ч?
3.Расстояние между двумя пристанями по реке равно 21 км. Моторная
лодка отправилась от одной пристани к другой и через 4 ч вернулась
назад, затратив 24 мин на стоянку. Найдите собственную скорость
моторной лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
Ответы
1.
2.
3.
1 вариант
15 км/ч
7,5 км
4 км/ч
2 вариант
16 км/ч
8 км
12 км/ч
11 класс.
1.Моторная лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась в пункт
отправления, затратив на обратный путь на 2 ч меньше времени. Найдите
скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ
дайте в км/ч.
Решение: Примем скорость лодки в неподвижной (стоячей) воде за х км/ч,
тогда её скорость по течению (х+1) км/ч, а против течения (х-1) км/ч.
120/(х-1)-120/(х+1)=2
120(х+1)-120(х-1)=2(х2-1)
2х2-2=240
х=11 Ответ: 11.
2.Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 315 км и после
стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если
скорость теплохода в неподвижной воде равна 18 км/ч, стоянка длится 6 ч, а в
пункт отправления теплоход возвращается через 42 ч после попытки из него.
Ответ дайте в км/ч.
Решение: Скорость течения х км/ч. Скорость теплохода по течению (18+х)
км/ч, а против течения – (18-х) км/ч
34
315/(18+х) – время теплохода по течению
315/(18-х) – время теплохода против течения
315/(18+х)+315/(18-х)=42-6
36х2-324=0
х2=9
х=3
Ответ: 3
3.Теплоход отошёл от пристани одновременно с плотом и прошёл вниз по реке
42 км. Сделав остановку на 1 час, он двинулся обратно вверх по реке. Пройдя
12 км, он встретился с плотом. Во сколько раз собственная скорость теплохода
больше скорости течения реки, если скорость течения реки равна 4 км/ч?
Решение: х – собственная скорость теплохода
Скорость
Время
Путь
По течению
х+4 км/ч
42/(х+2)
42 км
Против течения
х-4 км/ч
12/(х-2)
12 км
К моменту встречи теплохода с плотом плот прошёл 30 км за 30/4 =7,5 часов.
Получаем уравнение: 42/(х+4)+1+12/(х-4)=7,5
13х2-108х+32=0
х1=2,75
х2 =8 По смыслу задачи скорость теплохода больше скорости течения, тогда
скорость теплохода равна 8, то есть в 2 раза больше скорости течения.
Ответ: 2.
7.Теплоход проходит от пристани А до пристани В по течению реки за 3 ч, а
против течения за 4 ч. За сколько часов проплывёт это расстояние плот?
Решение: Пусть х км/ч – собственная скорость теплохода, у км/ч – скорость
течения реки, S км – расстояние от пристани А до пристани В.
По условию S=3(х+у), S=4(х-у), требуется найти S/у
3(х+у)=4(х-у), х=7у, S=3(х+у)=24у, тогда S/у=24
Ответ: 24
35
4.Расстояние между двумя городами 180 км. Рейсовый автобус проходит это
расстояние на 27 минут медленнее маршрутного такси. Если скорость автобуса
увеличить на 10 км/ч, а маршрутного такси уменьшить на 10 км/ч, то они будут
проходить это расстояние за равное время. Определите первоначальную
скорость автобуса.
Решение: х км/ч –первоначальная скорость автобуса, у км/ч – скорость
маршрутного такси.180/х – время автобуса, 180/у – время такси. Из условия
следует, что автобус был в пути на 27 мин дольше. 180/х-180/у=27/60=9/20
После изменения скорости автобус прошёл 180 км – за 180/(х+10) ч, а
маршрутное такси – за 180/(у-10) Из условии следует, что 180/(х+10)=180/(у10) Решаем систему уравнений. у=х+20 и 20/х – 20/(х+20)=1/20 отсюда: х+20х=(х2+20х)/400; х2+20х-8000=0
х1=-100 х2=80 По смыслу задачи х>0, значит искомое значение скорости
автобуса равно 80 км/ч. Ответ: 80.
5.Велосипедист ехал из А в В со скоростью 15 км/ч, а возвращался назад со
скоростью 10 км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста на всём участке?
Решение: Решим задачу с помощью «лишнего» неизвестного. Пусть – х км –
расстояние от А до В, тогда х/15+х/10=х/6 ч затрачено на путь туда и обратно.
Вычислим среднюю скорость, поделив пройденный путь на время движения:
2х:х/6=2х*6/х=12 (км/ч)
Ответ: 12