Индивидуальные домашние задания по физике

ОБОЗНАЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В МЕХАНИКЕ И ИХ РАЗМЕРНОСТИ
t – время, с;
S – путь, м;
v, v – вектор скорости и его модуль, м/с;
а, а – вектор ускорения и его модуль, м/с2;
φ – угол поворота, рад;
ω – модуль угловой скорости, с-1;
ε – модуль углового ускорения, с-2;
T – период вращения, с;
F, F – сила и ее модуль, Н;
m – масса, кг;
p, p – импульс и его модуль, кг·м/с;
M – модуль момента силы, Н·м;
I – момент инерции, кг·м2;
L, L – момент импульса и его модуль, кг·м2/с,
k – коэффициент жесткости пружины, Н/м;
μ – коэффициент трения;
A – работа, Дж;
N – мощность, Вт;
W – полная анергия, Дж;
Wп – потенциальная энергия, Дж;
Wк – кинетическая энергия, Дж.
I.
ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ
Введение
Целью решения задач данного раздела является установление математических соотношений между различными характеристиками движения, такими как перемещение, пройденный
путь, скорость, ускорение, время._
Положение материальной точки в пространстве определя-ется
радиус-вектором r , зависимость которого от времени является
кинематическим уравнением движения точки:
r = r(t)
(1.1)
Скорость есть производная от радиус-вектора по времени:
v = dr/dt
(1.2)
Ускорение точки есть производная от скорости по времени
или вторая производная от радиус-вектора по времени:
a = dv/dt = d2r/dt2
(1.3)
При решении задач кинематики уравнения (1.1) – (1.3) используются в скалярной форме. Чтобы осуществить такой перевод,
следует определить, какой из видов движения (прямолинейное,
криволинейное, вращательное) рассматривается в данной конкретной задаче. Рассмотрим особенности использования уравнений (1.1) – (1.3) для каждого на этих видов движения.
Прямолинейное движение. В этом случае координатную ось
целесообразно выбрать в направлении движения, а положение
точки характеризовать координатой х, равной расстоянию движущейся точки от начала отсчета. Кинематическое уравнение (1)
примет вид:
x = x (t)
(1.4)
Мгновенная скорость
v = dx / dt
(1.5)
Мгновенное ускорение
a = dv / dt = d2x / dt2
(1.6)
Уравнение равномерного движения
x = x0 + vt,
или при x0 = 0
x = vt.
Уравнение равнопеременного движения
x = x0 + v0t + at2/2
(1.7)
(1.8)
(1.9)
где x0 – расстояние от движущейся точки до начала отсчета в момент времени t = 0, v0 – скорость точки в этот момент времени.
Скорость равнопеременного движения
v = v0 + at
(1.10)
Исключая время из (1.9) и (1.10), можно получить:
2ax = v2 - v02.
(1.11)
Криволинейное движение. Для задания движения точки в
этом случае можно пользоваться двумя способам. В одном из них
указывается траектория точки и уравнение движения точки по
кривой:
S = S(t)
(1.12)
При этом мгновенная скорость выражается так же, как и в случае прямолинейного движения:
v = dS / dt,
(1.13)
а направление мгновенной скорости в каждой точке траектории
совпадает с направлением касательной к траектории в этой же
точке.
Для нахождения мгновенного ускорения a его рассматривают
состоящим из двух составляющих:
тангенциального ускорения aτ, характеризующего изменение
скорости по модулю и направленного по касательной к траектории:
aτ = dv / dt,
(1.14)
нормального ускорения an, характеризующего изменение
скорости по направлению и направленного к центру кривизны
траектории
an = v2 / R
(1.15)
где R радиус кривизны траектории. Полное ускорение
a = an + aτ
или a = √ an2 + aτ2.
(1.16)
При другом способе описания криволинейного движения указываются уравнения движения точки, выражающие зависимость
координат точки от времени. В случае плоского движения достаточно указать два уравнения:
x = x (t),
y = y (t)
(1.17)
Уравнение траектории у = y(x) в этом случае находится исключением времени из уравнений (1.17). Проекции скорости
на оси координат
vx = dx / dt,
vy = dy / dt.
(1.18)
Полная скорость выражается через проекции соотношением:
v = √ vx2 + vy2.
(1.19)
Проекции полного ускорения на оси координат
ax = dvx / dt = d2x / dt2, ay = dvy / dt = d2y / dt2.
(1.20)
Полное ускорение
a = √ ax2 + ay2.
(1.21))
Вращательное движение вокруг неподвижной оси
Любая точка вращающегося тела описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Поворот радиус-вектора точки за время t определяет угол поворота φ всего тела. Зави-
симость φ от t называется кинематическим уравнением вращения:
φ = φ (t).
(1.22)
Мгновенная угловая скорость
ω = dφ / dt.
(1.23)
Мгновенное угловое ускорение
ε = dω / dt = d2φ / dt2.
(1.24)
Уравнения равномерного вращения
φ = ωt; ω = const; ε = 0.
(1.25)
Уравнения равнопеременного вращения
φ = ω0t + εt2/2.
(1.26)
Угловая скорость равнопеременного вращения
ω = ω0 + εt.
(1.27)
Исключив время из уравнений (1.26) и (1.27), можно получить:
2εφ = ω2 - ω02.
(1.28)
Следует отметить, что формулы (1.22)–(1.28) аналогичны формулам (1.4)–(1.11) для прямолинейного движения точки.
Связь между линейными и угловыми величинами выражается
формулами:
длина пути (дуги), пройденного точкой,
S = φR,
(1.29)
где φ – угол поворота тела; R – радиус вращения тoчки.
Линейная скорость точки
v = ωR.
(1.30)
Ускорения точки
aτ = εR,
(1.31)
an = ω2R.
(1.32)
Приведенные выше соотношения дают возможность по известному закону движения рассчитать и построить траекторию движения тела, найти скорость и ускорение. Если же известны ускорение или скорость как функции времени и начальные условия, то
можно найти закон движения тела.
Задачи
1.1. Движение материальной точки задано уравнением
x = 4t + 8t2 - 16t3 м.
Определить момент времени, в который скорость точки равна
нулю. Каким будет ускорение в этот момент времени?
Ответ: 0,5 с; - 32 м/с2.
1.2. Уравнение прямолинейного движения материальной точки
имеет вид:
x = 2t - 4t2 + t3 м.
Определить скорость точки в тот момент времени, когда ускорение равно нулю. Построить графики зависимости координаты,
скорости и ускорения от времени для этого движения.
Ответ: 3,3 м/с.
1.3. Движения двух материальных точек заданы уравнениями:
x1 = 9t + 12t2 - 8t3 м; x2 = 10t - 4t2 + t3 м.
_
В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковы?
Найти скорости точек в этот момент времени. Построить графики
зависимости скорости и ускорения этих точек от времени
Ответ: 0,59 с; 13 м/с; 6,3 м/с.
1.4. Движение точки по кривой задано уравнениями:
x = 2t3 м
и
y = 6t м.
Найти уравнение траектории точки, ее скорость и полное
ускорение в момент времени 0,8 с.
Ответ: у= 6 3 x 2 ;
7,7 м/с; 9,6 м/с2.
1.5. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности,
радиус которой 0, м, задается уравнением
an = 1 + 6t + 3t2 м/с2.
Определить нормальное, тангенциальное, полное ускорения
точки для момента времени 5 с.
Ответ: 106 м/с2; 0,9 м/с2; 106,1 м/с2
..1.6. Тело брошено под углом α к горизонту. Найти этот угол,
если дальность полета по горизонтали в четыре раза больше максимальной высоты подъема. Определить нормальную и тангенциальную составляющие ускорения тела в момент падения на землю
и радиус кривизны траектории в этой точке, если начальная скорость тела 20 м/с.
Ответ: 45°; 7 м/с2; 7 м/с2; 57 м.
1.7. Камень, брошенный под углом 30° к горизонту, дважды
был на одной высоте: через время 1с и 1,5 с после начала движения. Определить скорость, с которой камень бросили, и максимальную дальность полета.
Ответ: 25 м/с; 53,1 м.
1.8. С самолета, летящего горизонтально, сброшен груз на высоте 1000 и со скоростью 50 м/с. На каком расстоянии от цели по
горизонтали его сбросили, сколько времени он летел до цели?
Под каким углом к горизонту он упал на землю? Каков радиус
кривизны траектории в момент падения?
Ответ: 700 м; 14 с; 6500 м.
I.9. Камень брошен с башни высотой 80 м в горизонтальном направлении со скоростью 30 м/с. Определить скорость, тангенциальную и нормальную составляющие ускорения камня в конце полета. Найти радиус кривизны траектории камня в момент падения
Ответ: 50 м/с; 8 м/с2; 6 м/с2; 69 м.
1.10. Тело брошено под углом 60° к горизонту со скоростью
20 м/с. Через сколько времени и на какой высоте тело будет двигаться под углом 45° к горизонту?
Ответ: 0,7 с; 9,45 м.
1.11. Камень бросают горизонтально с горы, уклон которой равен 30°. Определить, с какой скоростью был брошен камень, если
он упал на склон на расстоянии 10 м от точки бросания.
Ответ: 8,5 м/с.
1.12. Мяч падает на наклонную плоскость вертикально с высоты 2 м и упруго отражается от нее. На каком расстоянии от места
падения снова ударится о ту же плоскость? Угол наклона плоскости к горизонту равен 30°.
Ответ: 6 м.
1.13. Материальная точка движется по окружности с радиусом 0,2 м с постоянным тангенциальным ускорением 0,04 м/с2 .
Определить, через какое время после начала движения нормальное ускорение точки станет в три раза больше тангенциального
ускорения. Чему равно при этом полное ускорение?
Ответ: 3,9 с; 0,12 м/с2.
1.14. Материальная точка начинает движение по окружности
радиусом 0,2 м с постоянным тангенциальным ускорением
0,02 м/с2. Через какой промежуток времени вектор полного ускорения образует с вектором скорости угол, равный 60°?
Ответ: 4,12 с.
1.15. Материальная точка, начав двигаться равноускоренно по
окружности с радиусом I м, прошла за 10 с путь 50 м. С каким
центростремительным ускорением двигалась точка спустя 5 с
после начала движения? Каким было полное ускорение точки при
этом? Какой угол образует вектор полного ускорения и радиус
окружности в этот момент времени?
Ответ: 25 м/с2; 25,5 м/с2; 1°.
1.16. С какой скоростью нужно бросить вертикально тело с высоты 40 м, чтобы оно упало: а) на 1 с раньше, чем в случае свободного падения, 6) на 1 с позднее?
Ответ: 12,4 м/с; 8,5 м/с.
1.17. Диск с радиусом 0,4 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением
φ = 12 + 3t + 2t2 + t3 рад.
Найти нормальное, тангенциальное, полное ускорение точки на
окружности диска для момента времени 2 с. Какой угол составляет при этом вектор полного ускорения с радиусом колеса?
Сколько оборотов сделает колесо за это время?
Ответ: 211 м/с2; 6,4 м/с2; 211,1 м/с2; 1°; 10,8 об.
1.18. Колесо радиусом 0,2 м вращается так, что зависимость
угла повороте радиуса колеса от времени дается уравнением
φ = 1 + 4t + t2 + 2t3 рад.
Найти полное ускорение точек колеса, лежащих на ободе, к
концу второй секунды. Какой угол образует вектор полного
ускорения с радиусом колеса?
Ответ: 205 м/с2; 1°.
I.19. Колесо с радиусом 0,1 и вращается так, что зависимость
угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением:
φ = 5 + t + 2t2 + t3 рад.
Для точек, лежащих на ободе колеса, определить угловую скорость, угловое ускорение, нормальное, тангенциальное и полное
ускорение к концу второй секунды. Какой угол образует вектор
полного ускорения и вектор линейной скорости?
Ответ: 21 рад/с; 16 рад/с2; 44,1 м/с2; 1,6 м/с2; 44,2 м/:2; 89°.
1.20. Колесо, радиус которого 0,2 м, вращается так, что зависимость углового ускорения от времени задается уравнением
ε = 6 + 5t2 рад/с2.
Определить полное ускорение точек обода колеса через 5 с после
начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время.
Ответ: 2,3·I05 м/с2; 53,4 об.
1.21. Определить радиус маховика, если при вращении скорость точек на его ободе 6 м/с, а скорость точек, находящихся на
0,15 м ближе к оси – 5,5 м/с. С некоторого момента времени маховик начинает двигаться равнозамедленно и за 60 с останавливается. Сколько оборотов сделает маховик до остановки?
Ответ: 15,9 об.
1.22. Материальная точка вращается c частотой 20 об/с. С некоторого момента времени материальная точка стала двигаться
равнозамедленно и до остановки сделала 2100 оборотов. Найти
угловое ускорение и время, за которое точка остановилась.
Ответ: 1,2 рад/с2; 210 с.
1.23. Материальная точка начинает вращаться с постоянным
угловым ускорением 0,02 рад/с2. Через какой промежуток времени после начала вращения вектор полного ускорения образует с
вектором скорости угол 45°?
Ответ: 7,14 с.
1.24. На диск, который может вращаться около горизонтальной
оси, намотана нить. К концу нити привязан груз. Двигаясь равноускоренно, груз за время 5 с от начала движения опустился на
3 м. Определить угловое ускорение диска, если его радиус 0,04 м,
а также нормальное и полное ускорение диска в конце пятой секунды осле начала вращения.
Ответ: 6 рад/с2; 36 м/с2; 36 м/с2.
1.25. Шкив с радиусом 0,2 м приводится во вращательное движение грузом, подвешенным на нити, сматывающейся со шкива.
В начальный момент времени груз был неподвижен, а затем стал
опускаться с ускорением 0,02 м/с2 . Определить угловую скорость
шкива в момент времени, когда груз пройдет путь 1 м. Определить полное ускорение точек шкива в этот момент времени.
Какой угол образует радиус шкива и вектор полного ускорения?
Ответ: 1 рад/с; 0,2 м/с2;
ДИНАМИКА ЧАСТИЦ
Введение
При решении задач по динамике частиц рекомендуется придерживаться такой последовательности:
1. Сделать чертеж, указать на нем все действующие на частицу силы.
Если частица не является свободной, на ее движение наложены
ограничения – связи, то действие тел, осуществляющих связи, заменить
соответствующими силами – реакциями связи.
2. Записать уравнение движения частицы, выражающееся обычно
вторым законом Ньютона. В случае постоянной массы это уравнение
имеет вид
F = ma = m · d2r/dt2,
где F – равнодействующая всех сил, приложенных к частице,
F = ΣFi,
m – масса тела, а a – его ускорение.
(2.1)
(2.2)
В случае переменной массы связь между F, m и a выражается
уравнением Мещерского:
F + v · dm/dt = ma,
(2.3)
где v · dm/dt – реактивная сила, а
v – относительная скорость
отделяющейся массы.
3. Перейти к скалярной форме уравнения (2.1). Если приложенные
к телу силы действуют не вдоль одной прямой, то, выбрав в плоскости
действия сил две взаимно перпендикулярные оси, спроектировать на
них все силы и записать уравнение (2.1) в проекциях на выбранные оси.
Целесообразно в случае прямолинейного движения одну из осей направить вдоль ускорения a, другую – перпендикулярно вектору a. Тогда
получим два скалярных уравнения:
ΣFix = ma;
ΣFiy = 0.
(2.4)
(2.5)
F = dp/dt
(2.6)
(2.7)
В случае криволинейного движения одну из осей направить вдоль
тангенциального ускорения aτ (т.е. по касательной к траектории) другую – вдоль нормального ускорения an.
При решении некоторых типов задач удобно использовать другую
форму второго закона Ньютона:
или
Fdt = dp,
где p = mv – импульс тела; Fdt – импульс силы.
Среднее значение модуля силы
<F> = Δp/Δt = (p2 - p1)/(t2 - t1).
(2.8)
При решении задач важно помнить, что законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. В большинстве задач
удобно рассматривать движение частиц относительно Земли. Систему
отсчета, связанную с Землей, можно считать практически инерциальной. Инерциальной тогда является любая система, которая относительно Земля движется поступательно и без ускорения.
Система отсчета, связанная с ускоренно движущимся телом, – не
инерциальная. При использовании законов Ньютона для решения задач
в таких системах необходимо ввести силы инерции.
Задачи
2.1. Паровоз по горизонтальному пути развивает постоянную
силу тяги 150 кН. На участке пути длиной 500 м скорость поезда
возросла с 36 км/ч до 54 км/ч. Определить силу сопротивления
движению, если масса поезда равна 106 кг.
Ответ: 25кН.
2.2. Чему равна средняя сила сопротивления воздуха, если
тело массой 50 г, брошенное вертикально вверх со скоростбю 30
м/с, достигает высшей точки через 2,5' с?
Ответ: 0,1 Н.
2.3. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью 20 м/с, остановилась через 40 с. Найти коэффициент трения
шайбы о лед,
Ответ; 0,05.
2.4. Тело скользит с вершины неподвижной наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом. Определить его скорость в конце спуска и время спуска, если высота наклонной плоскости 10 м, а коэффициент трения 0,05.
Ответ: 13,5 м/с; 2,96 с.
2.5. Какой путь пройдут санки по горизонтальному участку
после спуска с горы высотой 15 м, имеющей уклон 30°? Коэффициент трения на обоих участках пути одинаков и равен 0,2.
Ответ: 49 м.
2.6. Определить коэффициент трения между наклонной плоскостью и движущимся по ней телом, если известно, что это тело,
имея начальную скорость 5 м/с и двигаясь вверх по наклонной
плоскости, проходит путь 2 м. Угол наклона плоскости 30°.
Ответ: 0,14.
2.7. Груз массой 100 кг перемещают равномерно по горизонтальной поверхности, прилагая силу, направленную под углом 30°
к горизонту. Найти эту силу, если коэффициент трения 0,3.
Ответ: 291 Н.
2.8. Какую горизонтальную силу необходимо приложить к телу, находящемуся на наклонной плоскости, составляющей угол
30° с горизонтом, чтобы оно двигалось вверх по наклонной плоскости с ускорением 0,1 м/с2 . Масса тела 2 кг, коэффициент трения
0,2.
Ответ: 17,9 Н.
2.9. Для равномерного подъема груза массой 100 кг по наклонной плоскости с углом наклона 30° надо прилагать силу 600 Н. С
каким ускорением будет двигаться груз вниз, если его отпустить?
Ответ: 4 м/с2 .
2.10. Тело скользит по наклонной плоскости с углом наклона
45°. Пройдя расстояние 40 см тело приобретает скорость 2 м/с.
Чему равен коэффициент трения?
Ответ: 0,29.
2.11. Какую массу балласта нужно сбросить с равномерно опускающегося аэростата, чтобы он начал равномерно подниматься с
той же скоростью? Масса аэростата с балластом 1200 кг, силу сопротивления воздуха считать одинаковой и при подъеме и при
спуске, подъемную силу читать равной
Н.
Ответ: 800 кг.
2.12. Конькобежец движется со скоростью 10 м/с по окружности радиусом 30 м. Под каким углом к горизонту он должен наклониться, чтобы сохранить равновесие?
Ответ: 72°.
2.13. С какой максимальной скоростью может ехать мотоциклист по горизонтальной плоскости, описывая дугу радиусом
100 м, если коэффициент трения резины о почву 0,4? На какой
угол от вертикали он при этом отклоняется?
Ответ: 20 м/с; 22°.
2.14. Груз, подвешенный на нити длиной 60 см, двигаясь равномерно, описывает в горизонтальной плоскости окружность. С какой скоростью движется груз, если во время его движения нить
образует с вертикалью постоянный угол 30°?
Ответ: 1,3 м/с.
2.15. Горизонтально расположенный диск проигрывателя вращается с частотой 78 об/мин. На него поместили небольшой предмет. Предельное расстояние от предмета до оси вращения, при
котором предмет удерживается на диске, равно 7 см. Каков коэффициент трения между предметом и диском?
Ответ: 0,48.
2.16. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в
вертикальной плоскости. Найти массу камня, если известно, что
разность между максимальной и минимальной силами натяжения
веревки равна 10 Н.
Ответ: 0,5 кг.
2.17. В вагоне поезда, движущегося горизонтально с постоянным ускорением 3 м/с , висит на проволоке груз массой 2 кг.
Определить силу натяжения проволоки и угол ее отклонения от
вертикали, если груз неподвижен относительно вагона. Задачу
решить в инерциальной и неинерциальной системах отсчета.
Ответ: 21 Н; 17°.
2.18. Груз массой 45 кг вращается на канате длиной 5 м в горизонтальной плоскости, совершая 16 об/мин. Какой угол с вертикалью образует канат и какова сила его натяжения?
Ответ: 40°; 0,63 кН.
2.19. При каком ускорении разорвется трос, прочность которого на разрыв равна 15 кН, при подъеме грузя массой 500 кг?
Ответ: 20 м/с2.
2.20. На наклонной плоскости длиной 13 м и высотой 5 м лежит груз массой 26 кг. Коэффициент трения равен 0,5. Какую силу надо приложить к грузу вдоль плоскости, чтобы втащить груз?
Чтобы стащить груз?
Ответ: 220 Н; 20 Н.
2.21. На концах нити, перекинутой через неподвижный блок,
подвешены тела массой по 0,24 кг каждое. Какой добавочный груз
надо положить на одно из тел, чтобы каждое из них прошло за 4 с
путь, равный 1,6 м?
Ответ: 0,01 кг.
2.22. На нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами 0,3 и 0,2 кг. С каким ускорением движутся грузы? Какова сила натяжения нити во время движения?
Ответ: 2 м/с2; 2,4 Н.
2.23. Скорость движения поездов на закруглениях радиусом
800 м равна 20 м/с. На сколько внешний рельс должен быть выше
внутреннего, если ширина колеи I,5 м?
Ответ: 77 мм.
2.24. Спутник обращается по круговой орбите на высоте от поверхности Земли, равной земному радиусу. Каков период обращения спутника?
Ответ: 3,9 ч.
2.25. Шайба, пущенная вверх по наклонной плоскости с углом
наклона 45°, со временем останавливается и соскальзывает вниз.
Время спуска в два раза больше времени подъема. Определить
коэффициент трения.
Ответ: 0,6.
3. ДИНАМИКА ТВЕРД0Г0 ТЕЛА
Введение
Методика решения задач на динамику движения твердого
тела по существу не отличается от приведенной в предыдущем
разделе. После тщательного анализа всех сил, действующих на
систему, точек их приложения и выяснения характера движения
тела записывается уравнение движение тела.
Если тело движется поступательно, то уравнением движения
тела является уравнение движения его центра масс:
F = maс,
(3.1)
где F – равнодействующая всех внешних сил, действующих
на тело; m – его масса; aс – ускорение центра масс.
Если тело совершает вращательное движение, то уравнение
движения представляет собой основное уравнение динамики вращательного движения:
M = Iε
(3.2)
или в более общем случае
Mdt = d(Iω)
(3.3)
где M – результирующий момент всех внешних сил, действующих на тело в течение времени dt; I – момент инерции тела;
L=Iω – момент импульса; ω и ε – угловая скорость и угловое
ускорение тела соответственно.
В задачах по курсу общей физики обычно рассматривают вращение тела лишь вокруг неподвижной оси и все векторы, характеризующие это движение (L, М, ω, ε), направлены вдоль оси вращения. Выбрав ось вращения за ось проекций, уравнения (3.2 и
3.3) можно писать в скалярном виде. При этом знаки величин
определяются следующим образом. Если некоторой направление
вращения (по часовой стрелке или против нее) выбрать за положительное, то величины L, М берутся со знаком плюс, если с
конца этих векторов вращение тела видно в положительном направлении, в противном случае – со знаком минус. Знак величины
ε всегда совпадает со знаком М. Если движение тела ускоренное,
то знаки всех четырех величин совпадают; при замедленном движении две пары величин ω, L и ε М имеют противоположные
знаки.
Момент силы относительно оси вращения
M = Fl,
(3.4)
где l – кратчайшее расстояние от оси сращения до линии
действия силы – плечо силы, или
M = Fr sinα
(3.5)
где r – расстояние от оси вращения до точки приложения
силы; α – угол между направлением силы и радиус-вектором r,
проведенным от оси вращения к точке приложения силы.
Момент импульса твердого тела
L = Iω
(3.6)
Момент инерции относительно оси вращения:
материальной точки
I = mr2;
(3.7)
твердого тела
n
I =  mi ri2 ,
(3.8)
i 1
где ri расстояние элемента массы mi до оси вращения, или в
интегральной форме
I =  r 2 dm.
(3.9)
m
Моменты инерции некоторых тел:
1) сплошного однородного цилиндра (диска) относительно
оси цилиндра
I = (1/2)mR2,
(3.10)
где R – радиус цилиндра; m – его масса;
2) полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом R1 и
внешним радиусом R2 относительно оси цилиндра
I = m(R12 + R22)/2,
(3.11)
для тонкостенного полого цилиндра R1 ≈ R2 ≈ R
I ≈ mR2;
(3.12)
3) однородного шара радиусом относительно оси, проходящей через его центр,
I = (2/5)mR2;
(3.I3)
4) однородного стержня относительно оси, проходящей через
его середину перпендикулярно его длине l,
I = (1/12) ml2.
(3.14)
Момент инерции тела относительно произвольной оси
(теорема Штейнера)
I = Ic + md2,
(3.15)
где Ic – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси; d – расстояние между осями; m – масса тела.
Если тело совершает сложное движение, то его можно свести
к сумме более простых движений – вращательного относительно
какой-либо оси и поступательного со скоростью оси. Обычно ось
вращения выбирают так, чтобы она проходила через центр масс
тела. Уравнениями движения твердого тела в этом случае являются второй закон Ньютона для движения центра масс тела (3.1)
и основное уравнение динамики вращательного движения (3.2).
Если тело (цилиндр, шар) катится по плоскости, то между линейными величинами, характеризующими движение центра масс (vc,
ac) и угловыми величинами (ω, ε), определяющими вращательное
движение тела, существуют соотношения:
vc = ωR;
(3.16)
ac = εR,
(3.17)
где R – радиус цилиндра, шара.
Задачи
2
3
3.1. Тело состоит из 8 одинаковых ша- 1
4
риков с массами m, расположенных по вершинам куба, ребро которого равно a. Найти
7
6
момент инерции относительно оси, проходящей через ребро куба (рис.3.1).
5
8
Ответ: I = 8ma2
3.2. В молекуле водорода H2 расстояние между атомами
0,753·10-10 м, масса атома
водорода - 1,6598·10-27 кг.
Определить момент инерции молекулы относительно оси,
перпендикулярной к расстоянию между атомами и
проходящей
через его середину.
Ответ: I = 4,6·10 -48 кг·м 2.
3.3. Определить момент инерции земного шара, если известно, что момент импульса земного шара равен 7,2·1033 кг·м2/с.
Ответ: I = 10 -38 кг·м2.
3.4. Определить момент инерции
тонкого однородного стержня длиной l
O
α
и массой m относительно оси, составляющей с направлением стержня угол
α и проходящей через его центр. ДиаO'
Рис.3.2.
метр стержня ничтожно мал по сравнению с длиной (рис.3.2).
Ответ: I = (1/2)ml2sin2α.
3.5. Найти момент инерции тонкого кольца радиусом 0,2 м и
массой 0,1 кг относительно оси, лежащей в плоскости кольца и
проходящей через его центр.
Ответ: I = 4·10 -3 кг·м2.
3.6. Два однородных тонких стержO
C
ня AB и CD длиной 0,4 м с массами
0,9 кг и 0,4 кг, скреплены под прямым
углом. Определить момент инерции систе- A
B
мы относительно оси OO', проходящей
через конец стержня AB параллельно
стержню CD (рис.3.3).
Ответ: I = 0,112 кг·м2 .
D
Рис.3.3.
3.7. Два шара радиусами по 5·10-2 м O'
закреплены на концах тонкого стержня,
масса которого значительно меньше массы шариков. Расстояние
между центрами шариков 0,5 м. Масса каждого шарика 1 кг.
Найти момент инерции этой системы относительно оси, проходящей через центр одного из шаров 1) перпендикулярно стержню,
2) параллельно стержню.
Ответ: 1) I = 0,252 кг·м 2, 2) I = 0,002 кг·м2.
3.8. Определить момент инерции полого шара с массой 0,5 кг
относительно касательной. Внешний радиус шара 0,02 м, внутренний 0,01 м.
Ответ: I = 2,9·10 -4 кг·м 2.
3.9. Два маленьких шарика массами 4·10-2 кг и 0,12 кг соединены стержнем длиной 0,2 м, масса которого ничтожно мала. Система вращается около оси, проходящей через центр инерции системы. Частота вращения 3 об/с. Определить момент импульса системы.
Ответ: L = 2,26·10 -2 кг·м2/с.
3.10. Однородный сплошной цилиндр висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях.
Цилиндр опускается без толчка. За сколько времени цилиндр
опустится на расстояние 0,5 м?
Ответ: t = 0,4 с.
3.11. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении
уменьшило свою скорость за 1 мин от 5 об/с до 3 об/с. Момент
инерции колеса равен 2 кг·м2. Найти:
колеса; 2) тормозящий момент.
1) угловое ускорение
Ответ: ε = 0,21 1/с2;
M = 0,42 Н·м.
3.12. На барабан массой 9 кг намотан шнур, к концу которого
привязан груз массой 2 кг. Найти ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром, трение не учитывать.
Ответ: a = 3 м/с2.
3.13. К ободу однородного диска радиусом 0,2 м приложена
постоянная касательная сила F = 98 Н. При вращении на диск
действует момент сил трения 5 Н·м. Найти массу диска, если диск
вращается с постоянным угловым ускорением 100 1/с2.
Ответ: m = 7,5 кг.
3.14. Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости от времени дается уравнением ω = A +Bt , где
B = 8 1/с2. Найти касательную силу, приложенную к ободу колеса.
Трение не учитывать.
Ответ: F = 40 Н.
3.15. Шар скатывается по касательной плоскости длиной 7 м и
углом наклона 30°. Определить скорость шара в конце наклонной
плоскости.
Ответ: v = 7 м/с.
3.16. Маховое колесо, имеющее вместе с валом момент инерции 200 кг·м2, вращается, делая 3 об/с. Через 2 мин после того,
как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно
остановилось под влиянием сил трения в подшипниках. Считая
трение постоянным, определить момент сил трения.
Ответ: M = 32 Н·м.
3.17. Блок, имеющий форму диска, с массой 0,4 кг вращается
под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами 0,3 кг и 0,7 кг. Определить силы натяжения нити по обе стороны блока.
Ответ: F1 = 457 Н; F2 = 3,92 Н.
3.18. Вал с массой 50 кг и радиусом 0,1 м вращается по инерции, делая 8 об/с. К цилиндрической поверхности вала прижали
тормозящую колодку с силой 39,2 Н и через 10 с вал остановился.
Найти коэффициент трения.
Ответ: 0,32.
3.19. Однородный цилиндр массой 1 кг висит в горизонтальном положении на двух наложенных на него невесомых нитях.
Цилиндр опускается без толчка. Какое натяжение испытывает при
опускании цилиндра каждая из нитей?
Ответ: F = 1,6 Н.
3.20. Тонкостенный цилиндр с диаметром 0,3 м и массой
12 кг вращается согласно уравнению φ = 4 - 8t +0,2t3. Определить действующий на цилиндр момент сил через 3 с после
начала вращения.
Ответ: M = 0,972 Н·м.
3.21. Маховик в виде диска массой 50 кг и радиусом 0,2 м был
раскручен до частоты вращения 460 об/мин, а затем предоставлен
самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент сил трения, считая его постоянным, если: 1) маховик остановился через 50 с; 2) маховик сделал до полной остановки 200 оборотов.
Ответ: 1) М = -I Н·м,
2) М = -I Н.м.
3.22. Шар с массой 10 кг и радиусом 0,2 м вращается вокруг
оси, проходящей через центр. Уравнение вращения шара имеет
вид: φ = 5 + 4t2 - t3. По какому закону меняется момент сил,
действующий на шар? Какова величина момента сил через 1 с
после начала движения?
Ответ: M = 0,32 Н·м.
3.23. Маховик, массу которого 5 кг можно считать распределенной, по ободу радиусом 0,2 м, свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, с частотой
720 об/мин. При торможении маховик останавливается через промежуток времени, равный 20 с. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.
Ответ: М = 0,75 Н м.
N = 120 об.
3.24. К ободу колеса радиусом 0,5 м и с моментом инерции
20 кг·м2 приложен постоянный момент сил 50 Н·м. Найти: 1)
угло-вое ускорение колеса; 2) линейную скорость на ободе колеса
к концу 10 с (начальную скорость считать равной нулю).
Ответ: ε = 2,5 1/с2; v = 12 м/с.
3.25. Шар и сплошной цилиндр с одинаковыми массами и
одинаковыми радиусами, двигаясь с одинаковой скоростью, вкатываются вверх по наклонной плоскости. Какое тело поднимется
выше? Найти отношение высот подъема.
Ответ: 1,007.
4. РАБОТА, МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ
Введение
При решении задач разд.4 необходимо знать, что в механике
работа совершается в том случае, если действие силы приводит к
перемещению каких-либо тел. Известно, что сила F на элементарном перемещении dr совершает элементарную работу dA, определяемую скалярным произведением:
dA = F·dr.
(4.1)
Работа силы F на пути l выражается интегралом:
A = ∫lF·dr,
(4.2)
где интеграл берется вдоль кривой l.
Встречаются случаи, когда работу нужно вычислять при прямолинейном движении. Учитывая, что
dr = dx·i + dy·j + dz·k ,
выражение. (4.1) можно представить в виде:
dA=F·idx+F·jdy+F·kdz=Fdxcosα1+Fdycosα2+Fdzcosα3, (4.3)
где α1, α2, α3 – углы, которые векторы F составляют соответственно с ортами i, j, k координатных осей. При движении по прямой, например, вдоль оси 0Х, элементарная работа
dA = Fdxcosα.
(4.4)
Работа силы на участке от x1 до x2 в этом случае определяется:
A=
x2
x
Fcosdx .
(4.5)
1
Задачи на вычисление работы постоянной силы обычно не
составляют большого труда. Работа постоянной силы F на перемещении L ее точки приложения называется скалярное произведение этих векторов:
A = F·Lcosα,
(4.6)
где α – угол между направлением силы и перемещения (скорости).
Если на тело действует несколько сил, каждая из которых совершает над ним работу, то вся произведенная работа вычисляется как алгебраическая сумма отдельных работ:
n
A   Ai
(4.7)
i 1
Если в задаче необходимо вычислить работу переменной силы, то зачастую используется метод дифференцирования и интегрирования. При прямолинейном движении вдоль оси X сила мо-
жет зависеть от координаты x, от компоненты скорости vx = v и
от времени t. В случае зависимости силы F(x) от координаты x,
когда |cosα| = 1, элементарная работа:
dA = F(x)dx.
(4.8)
Работа на участке [x1,x2]
A=
x2
x
1
F ( x)cosdx .
(4.9)
Если в задаче сила зависит от компоненты скорости vx = v,
то при расчете работы в этом случае необходимо найти закон изменения скорости v от времени t, т.е. решить основную задачу
динамики, применяя второй закон Ньютона.
Элементарная работа
dA = F(v) dx = F(v) v dt.
(4.10)
По второму закону Ньютона
m(dv/dt) = F(v) + ΣFi,
(4.11)
где ΣFi – алгебраическая сумма проекций на направление движения отдельных сил, действующих на данное тело. Решая уравнение (4.11) с учетом начальных условий, находят закон изменения скорости v = v(t).
Интегрирование позволяет вычислить искомую работу:
t2
A = t F (t )v (t )d. t
(4.12)
1
Аналогично по формуле (4.12) решаются задачи в случае зависимости силы от времени F = F(t).
Для оценки работы, которую совершает или может совершить
та или иная машина (механизм) в единицу времени, вводится понятие мощности. В случае прямолинейного движения мощность,
развиваемая постоянной силой F, направленной под углом α и
направлению перемещения, определяется по формуле:
N = A/t
(4.13)
N
=
F·v·cosα
=
Fr·v,
(4.14)
где Fr = F·cosα – проекция силы на направление
перемещения; v – модуль скорости тела.
Если в задаче нужно определить среднее значение мощности,
то под v следует понимать среднюю скорость движения. Если же
нужно найти мощность в некоторый момент времени – мгновенную мощность, то за v принимают мгновенное значение скорости в этот момент. К мгновенной мощности относятся максимальная и минимальная мощности. Можно записать, что средняя мощность за время Δt
N = ΔA/Δt .
(4.15)
Мгновенная мощность:
N = dA/dt ,
(4.16)
где dA – работа, совершаемая за время dt.
При решении задач механики на вычисление работы необходимо понимать, что всякая материальная система может совершать лишь ограниченное количество работы. Понятие работы тесно связано с изменением формы движения материи. В качестве
единой меры различных форм движения материи в физике вводится величина, подучившая название энергии. В различных процессах и явлениях, обусловленных проявлением того или иного
вида движения материи, энергию можно выразить через комбинации физических величин, характеризующих частные свойства материи и ее движения. Часто энергию тела, соответствующую механическим формам движения материи, называют механической
энергией.
Энергия характеризует способность материальной системы
совершать работу при переходе из одного состояния в другое. В
зависимости от того, с какой формой движения материи связано
свойство тела совершать работу, говорят о различных видах энергии.
М е х а н и ч е с к а я энергия – это величина, которая показывает, какую максимальную работу может совершить тело (система тел) за счет изменения своего механического состояния.
Механическая энергия делится на кинетическую и потенциальную.
Энергия, связанная с движением тела, называется кинетической. При поступательном двоении тела кинетическая энергия
Wк = mv2/2,
(4.17)
где m – масса тела; v – его скорость.
В некоторых задачах механики работу можно вычислить, используя теорему об изменении кинетической энергии физической
системы, состоящей из материальных точек. Согласно этой теореме, работа всех сил, действующих на такую систему, равна изменению кинетической энергии этой системы:
A = ΔWк
(4.18)
Потенциальная энергия – это часть механической энергии,
обусловленная взаимным расположением тел или частей тела и их
взаимодействием друг с другом. Потенциальная энергия определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной. При решении задач обычно эту постоянную выбирают так,
чтобы значение потенциальной энергии тела на бесконечности (от
источника силы) было равно нулю.
В задачах механики потенциальную энергию тел на Земле
условно считают равной нулю. Потенциальная энергия тела, поднятого вблизи поверхности Земли на высоту h:
Wп = mgh,
(4.19)
где m – масса тела; g – ускорение свободного падения.
Потенциальная энергия упруго деформированного тела
Wп = kx2/2,
(4.20)
где k – коэффициент упругости, определяемый отношением упругой силы к величине x упругой деформации.
Работа сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле:
A = Wп1 - Wп2.
(4.21)
Связь между силой поля и потенциальной энергией тела в
поле имеет вид:
F = -  Wп,
(4.22)
т.е. сила равна градиенту потенциальной энергии с противоположным знаком.
Если в задаче рассматривается неконсервативная система, то
при решении таких задач необходимо учитывать, что изменение
полной механической энергии системы равно алгебраической
сумме работ всех внешних и внутренних неконсервативных сил:
неконс
W2 - W1 = Aвнешн + Aвнутр
.
(4.23)
Решение задач механики, в которых требуется определить работу, мощность и энергию при вращательном движении твердых
тел, основано на тех же принципах, что и решение задач в случае
поступательного движения.
Элементарная работа при повороте твердого тела на угол dφ
составляет;
dA = Mdφ
(4.24)
где M – момент сил относительно оси вращения. Полная работа при вращательном движении.
φ
A = . 2 M dφ
(4.25)
φ1
Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,
N = Mω
(4.26)
где ω – угловая скорость.
Кинетическая энергия вращающегося тела
Wк = Iω2/2,
(4.27)
где I – момент инерции тела относительно оси вращения.
Кинетическая энергия твердого тела при его произвольном
движении складывается из кинетической энергии поступа-
тельного движения и кинетической энергии вращательного
движения:
Wк = mvc2/2 + Iω2/2, (4.28)
где vc – скорость поступательного движения центра масс;
I – момент инерции тела относительно оси вращения.
Задачи
4.1. Вагонетку массой 3 т поднимают по рельсам в гору, угол
наклона которой к горизонту равен 30°. Какую работу совершила
сила тяги на пути 50 м, если известно, что вагонетка двигалась с
ускорением 0,2 м/с2 ? Коэффициент трения 0,1.
Ответ: A = 900 Дж.
4.2. Две пружины одинаковой длины, имеющие, соответственно, жесткость, равную 9,8 Н/см и 19,6 Н/см, соединены между
собой концами (параллельно). Какую работу нужно совершить,
чтобы растянуть пружины на 1 см? Чему будет равна эта работа,
если пружины будут соединены между собой только одним концом (последовательно)?
Ответ: A1 = 0,147 Дж, A2 = 0,037 Дж.
4.3. Самолет массой 3 т для взлета должен иметь скорость
360 км/ч и длину разбега 600 м. Какова должна быть минимальная
мощность мотора, необходимая для взлета самолета? Силу сопротивления движению считать пропорциональной силе нормального
давления, средний коэффициент сопротивления равен 0,2. Движение при разгоне самолета считать равноускоренным.
Ответ: Nmin = 3 МВт.
4.4. Поезд массой 764 т начинает двигаться под уклон и за
время 50 с развивает скорость 18 км/ч. Уклон составляет , коэффициент сопротивления 0,005. Определить среднюю мощность
локомотива, считая силу сопротивления пропорциональной силе
нормального давления.
Ответ: Nср = 200 кВт.
4.5. Сначала тело поднимают из шахты глубиной h1 = R/2 (где
R радиус Земли) на поверхность Земли, а затем на высоту h2 = h1
= R/2 от поверхности Земли. В каком случае работа больше?
Ответ: A1/A2 = 9/8, т.е. A1 > A2.
4.6. Шайба, масса которой 50 г, соскальзывает без начальной
скорости по наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние 50 см,
останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая
всюду коэффициент фите 0,15.
Ответ: A = -0,05 Дж.
4.7. Тело массой 1 кг брошено вверх с начальной скоростью
10 м/с. Высота подъема тела 4 м. Найти работу силы сопротивления воздуха.
Ответ: Ac = -10 Дж.
4.8. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением S = 2t2 + 4t + 1. Определить работу силы
за 10 с с начала ее действия и зависимость кинетической энергии
от времени.
Ответ: A = 960 Дж; Wк = m(8t2 + 16t + 8).
4.9. По наклонной плоскости высотой 0,5 м и длиной склона 1
м скользит тело массой 3 кг. Тело приходит к основанию наклонной плоскости со скоростью 2,45 м/с. Найти: 1) коэффициент
трения тела о плоскость, 2) количество теплоты, выделенное при
трении. Начальная скорость тела равна нулю.
Ответ: μ = 0,22, Q = 5,7 Дж.
4.10. Работа, затраченная на толкание ядра, брошенного
под углом 30° к горизонту, равна 216 Дж. Через сколько
времени и на каком расстоянии от места бросания ядро упадет
на землю? Масса ядра 2 кг. Сопротивлением воздуха
пренебречь.
Ответ: t = 1,5 с, S = 19,1 м.
4.11. Камень брошен вверх под углом α = 60° к плоскости горизонта. Кинетическая анергия камня в начальный момент времени Wк0 = 20 Дж. Определить кинетическую Wк и потенциальную
Wп энергии камня в высшей точке его траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: Wк = 5 Дж, Wп = 15 Дж.
4.12. Потенциальная энергия частицы имеет вид: а)
Wп=ax3+bx2+cz, б) Wп = ахуz, где а, b, c – постоянные. Определить
силу F, действующую на частицу.
Ответ: а) F = -[(3ax2+2bx)ex + cez],
б) F = -a(yzex + xzey + xyez).
4.13. Найти работу подъема груза по наклонной плоскости,
если масса груза 100 кг, длина наклонной плоскости 2 м, угол
наклона 30°, коэффициент трения и груз движется с ускорением 1
м/с2 .
Ответ: A = 1350 Дж.
4.14. Материальная точка с массой 2 кг двигалась под
действием некоторой силы согласно уравнению x=10 - 2t+t2 - 0,2t3.
Найти мощность, затрачиваемую на движение точки в моменты
времени t1 = 2 с и t2 = 5 с.
Ответ: N1 = 3,2 Вт, N2 = 56 Вт.
4.15. Камень массой 300 г бросили с башни горизонтально с
некоторой начальной скоростью. Спустя время 1 с скорость камня
составила с горизонтом угол 30°. Найти кинетическую анергию
камня в этот момент.
Ответ: Wк = 58 Дж.
4.16. К телу, масса которого 4 кг, приложена направленная
вертикально вверх сила 46 Н. Определить кинетическую энергию
тела в момент, когда она окажется на высоте 10 м над землей. В
начальный момент тело покоилось на поверхности земли.
Ответ: Wк = 98 Дж.
4.17. Самолет массой 5 т при горизонтальной полете двигался
с постоянной скоростью 360 км/ч. Затем он поднялся на высоту
2 км. При этом скорость самолета, уменьшилась до 200 км/ч. Найти работу, затраченную мотором на подъем самолета. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: A = 8,1·I07 Дж.
4.18. Мaxoвик вращается по закону, выражаемому уравнением φ = 2 +16t - 2t2. Момент инерции маховика 50 кг·м2. Найти закон, по которому меняются вращающий момент и мощность. Чему равна мощность в момент времени 3 с?
Ответ: М = const, N = 3200 - 800t , N3 = 800 Вт.
4.19. Однородный шар массой m и радиусом R скатывается без
скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Найти кинетическую энергию шара через t секунд после
начала движения.
Ответ: Wк = (5/14)mg2t2.
4.20. Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия шара 14 Дж. Определить кинетическую энергию поступательного и вращательного движения
шара.
Ответ: 10 Дж, 4 Дж.
4.21. Маховик в виде диска массой 50 кг и радиусом 20 см
был раскручен до угловой скорости 480 об/мин и затем предоставлен самому себе. Под влиянием трения маховик остановился.
Найти момент, сил трения, считая его постоянным, если маховик
до полной остановки сделал 200 об.
Ответ: М = -1 Н·м.
4.22. Маховик, момент инерции которого 40 кг·м2, начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента силы М = 20 Н·м. Равноускоренное вращение продолжалось в течение 10 с. Определить кинетическую энергию, приобретенную маховиком.
Ответ: 500 Дж.
4.23. Маховик в виде диска массой 60 кг и радиусом 30 см
находится в состоянии покоя. Какую работу А нужно совершить,
чтобы сообщить маховику угловую скорость 10 об/с? Какую
работу пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск
имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?
Ответ: А1 = 7110 Дж, А2 = 28 400 Дж
4.24. Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия шара 14 Дж. Определить кинетическую энергию поступательного и вращательного движения
шара.
Ответ: Wкпост = 10 Дж, Wквр = 4 Дж.
4.25. Два неупругих шара массами 2 кг и 3 кг двигаются со
скоростями соответственно 8 м/с и 4 м/с. Найти работу деформации шаров в двух случаях: 1) меньший шар нагоняет больший,
2) шары двигаются навстречу друг другу.
Ответ: А1 = 9,5 Дж; А2 = 86,4 Дж
5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМУЛЬСА, МОМЕНТА
ИМПУЛЬСА, ЭНЕРГИИ
Введение
Значительная часть задач, приведенных в разделах "Динамика
частицы" и "Динамика твердого тела", помимо "силового" метода,
основанного на составлении уравнений движения с помощью законов Ньютона, допускает применение метода, использующего
законы сохранения таких мер движения, как импульс, момент импульса и энергия. Во многих случаях эти два метода решения задач равноправны. Иногда использование законов сохранения позволяет значительно упростить решение.
Однако в целом ряде случаев, когда характер сил взаимодействия F= F(t) неизвестен, этот метод является единственно
возможным. Законы сохранения позволяют по известным параметрам в начальном состоянии системы определить параметры ее
движения в любом другом состоянии. Такая ситуация имеет место, например, при кратковременных взаимодействиях (ударах,
взрыве).
Использование законов сохранения при решении задачи требует тщательного анализа ее условия для выбора такой системы
тел, к которой эти законы применимы.
Закон сохранения импульса системы можно применять к любым замкнутым системам. При этом характер изменения и природа внутренних сил не представляются существенными. Однако
при решении задач важно учитывать, что импульс системы сохраняется также и в системах, для которых равнодействующая внешних сил F=ΣFвнешн равна нулю. Уравнение, выражающее закон
сохранения импульса, является векторным:
p = Σpi = const,
(5.1)
где р и pi - импульс системы и импульсы тел, входящих в эту
систему, соответственно. Выбрав оси координат X и Y уравнение
(5.1) можно записать в скалярной форме:
px = Σpix = const
py = Σpiy = const
(5.2)
где рх и рy - суммы проекций импульсов всех тел системы.
Если в выбранной системе ΣFi ≠ 0, но сумма проекций внешних
сил на какую-либо ось (например X) равна нулю (Fx = ΣFix = 0),
то проекция импульса системы на это направление сохраняется:
рх = const
(5.3)
Закон сохранения момента импульса во вращательном движении (как и закон сохранения импульса) позволяет исключить из
рассмотрения внутренние силы. Поэтому его применение особенно удобно в тех задачах, где характер изменения со временем сил
взаимодействия сложен или вообще неизвестен.
Закон сохранения момента импульса можно применять к системе при условии, что она является либо замкнутой системой,
либо результирующий момент всех внешних сил, приложенных к
системе, равен нулю:
L = Iω = const
(5.4)
При этом внешние силы могут и не уравновешиваться.
Если движение точки или системы точек происходит в центральном поле сил и другие внешние силы на систему не действуют, момент импульса сохраняется относительно центра поля.
Закон сохранения энергии (универсальной меры движения)
имеет место в любых замкнутых (изолированных) системах:
W = const
(5.5)
где W - полная анергия системы, складывающаяся из кинетической энергии движения системы как целого, потенциальной
энергии взаимодействия и внутренней энергии системы. В механике важным является частный случай этого закона, когда в системе сохраняется механическая энергия системы:
W = Wк + Wп = const
(5.6)
Условием выполняемости этого зaкона является отсутствие
действия в системе неконсервативных (диссипативных) сил, к которым в механике относятся силы трения и силы, возникающие
при пластических деформациях.
В заключение, отметим, что, составляя уравнения, выражающие законы сохранения, следует помнить, что такие физические
величины, как импульс и энергия, являются величинами относительными и зависят от выбора системы отсчета. Поэтому, составляя уравнения, выражающие законы сохранения этих величин,
необходимо рассматривать движение в одной и той же инерциальной системе отсчета.
Задачи
5.1. Два. одинаковых шара, подвешенных на нитях l = 0,96 м,
касаются друг друга. Один из шаров отклоняется на угол α = 10°
и отпускается. Определить скорость шаров после соударения.
Удар считать идеально неупругим.
Ответ: 0,257 м/с
5.2. Пуля массой m попадает в деревянный брусок массой M,
подвешенный на нити длиной l (баллистический маятник), и застревает в нем. На какой угол α отклонится маятник, если скорость пули равна v?
Ответ: cosα = 1 - m2v2/2gl(M + m)2
5.3. Диск с массой М, радиусом R, на ободе которого стоит
человек с массой m, совершает вращательное движение. Во
сколько раз увеличится угловая скорость вращения диска, если
человек переместится на расстояние r = R/2 ближе к центру диска? Человека считать материальной точкой.
Ответ: ω2/ω1 = 2(M + 2m)/(2M + m)/
5.4. На краю покоящейся тележки массой M стоят два человека, масса каждого из которых равна m. Пренебрегая трением,
найти скорость тележки после того, как оба человека друг за другом спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью u относительно тележки.
Ответ: v2 = (Mv1 + mu)/M.
5.5. Частица 1 испытала лобовое упругое соударение с покоившейся до удара частицей 2. Найти отношение масс частиц,
если после столкновения они разлетелись в противоположных
направлениях с одинаковыми по модулю скоростями.
Ответ: m2 = 3m1
5.6. Два одинаковых шара на нитях l = 0,98 м и касаются
друг друга. Один из шаров отклоняется на угол α =10º и отпускается. Определить максимальную скорость второго шара после соударения. Удар считать идеально упругим.
Ответ: v2 = 0,54 м/с.
5.7. Обруч движется по горизонтальной поверхности со скоростью v. На какое расстояние может вкатиться обруч на наклонную плоскость, составляющую угол α с горизонтом, за счет своей кинетической энергии?
Ответ: S = v2/gsinα.
5.8. Груз массой 0,5 кг падает с некоторой высоты на плиту
массой 1 кг, укрепленную на пружине, обладающей жесткостью
k = 9,8·102 Н/м. Определить наибольшее сжатие пружины, если в
момент удара груз обладал скоростью 5 м/с. Удар неупругий.
Ответ: x ≈ 8,2·10-2 м.
5.9. Две одинаковые тележки движутся дpyг за другом по
инерции (без трения) с одной и той же скоростью v0. На задней
тележке находится человек массой т. В некоторый момент времени человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью u относительно своей тележки. Имея в виду, что масса каждой тележки
равна M, найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после этого.
Ответ: v x  Mv 0  mu , v x1 
1
M
Mv 0  m (u  v 0 )
.
m M
5.10. Налетев на пружинный буфер, вагон массой 16 т, двигавшийся со скоростью 0,6 м/с, остановился, сжав пружину на 8 см.
Найти общую жесткость пружин буфера.
Ответ: 9·I05 Н/м
5.11. Отец (60 кг) и дочь (20 кг) стоят на абсолютно гладком
льду. Отец бросает дочери мяч массой 1 кг. Горизонтальная составляющая скорости мяча 5 м/с. Какова будет скорость скольжения дочери после того, как она поймает мяч? С какой скоростью
будет скользить отец?
Ответ: vд = 0,238 м/с, vот = -0,083 м/с.
5.12. Из затвора автоматического пистолета вылетает пуля
массой 10 г со скоростью 300 м/с. Затвор пистолета массой 200 г
прижимается к стволу пружиной, жесткость которой 25 кН/м. На
какое расстояние отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.
Ответ: 4,24 см.
5.13. Движущийся со скоростью 3 м/с шар массой 5 кг сталкивается с шаром массой 2 кг, движущимся ему навстречу со скоростью 4 м/с. Считая удар центральным и абсолютно неупругим,
определить, какое количество теплоты выделится при ударе.
Ответ: 35 Дж.
5.14. Из орудия массой 2 т производится выстрел снарядом
массой 3 кг. Какую кинетическую энергию получает орудие при
отдаче, если кинетическая энергия снаряда при вылете из ствола
составляет 1,5 МДж?
Ответ: 2,25·I03 Дж.
5.15. На краю покоящейся тележки массой М стоят два человека, масса каждого из которых равна т. Пренебрегая трением,
найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут
одновременно с одной и той же горизонтальной скоростью и относительно тележки.
Ответ: v = 2mu/M.
5.16. Две муфты с массами 0,1 кг и 0,2 кг движутся навстречу
друг другу по гладкому горизонтальному проводу, изогнутому в
виде окружности, с постоянными нормальными ускорениями
an1 = 4 м/с2 и an2 = 9 м/с2 соответственно. Найти нормальное ускорение составной муфты, образовавшейся после столкновения.
Ответ: 1,77 м/с2.
5.17. Груз массой 10 кг скользит вниз по наклонной плоскости
с ее верхнего конца, расположенного на высоте 50 см. Длина, плоскости составляет 1 м. Груз достигает нижнего края плоскости,
приобретая скорость, равную 2 м/с. Какая работа была совершена
против сил трения? Чему равна средняя сила трения при скольжении груза?
Ответ: 29 Дж; 29 Н.
5.18. Вагон массой 20 т двигался со скоростью 1 м/с. Налетев
на пружинный буфер, он остановился, сжав пружинный буфер на
10 см. Определить жесткость пружины.
Ответ: 2·106 Н/м.
5.19. Из орудия, жестко закрепленного на платформе, производят выстрел вдоль полотна железной дороги под углом 30° к горизонту. Определить скорость отката платформы, если скорость
снаряда при вылете 480 м/с, масса платформы с орудием 18 т, мacca снаряда 60 кг. Трением пренебречь.
Ответ: 1,384 м/с.
5.20. Платформа в виде диска радиусом R = 1,5 м и массой
М = 180 кг вращается по вокруг вертикальной оси с частотой
п1 =10 об/мин. В центре платформы стоят человек мессой
т2 = 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Ответ: v = 0,942 м/с.
5.21. Снаряд массой 10 кг, летящий горизонтально со скоростью 200 м/с, разорвался в верхней точке траектории на две части.
Меньшая часть массой 3 кг полетела со скоростью 400 м/с вперед
под углом 60° к горизонту. Найти скорость и направление полета
большей части снаряда после разрыва.
Ответ: 248,98 м/с.
5.22. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с
ней вращается по инерции. Частота вращения n1 = 0,5 1/с. Момент
инерции тела человека относительно оси вращения I0 = 1,6 кг·м2. В
вытянутых руках человек держит по гире, каждая массой m = 2 кг.
Расстояние между гирями l1 = 1,6 м. Определить частоту вращения n2, когда человек опустит руки, и расстояние между гирями
l2 = 0,4 м, Моментом инерции скамьи пренебречь.
Ответ: (n2 = 1,18 1/с).
5.23. Деревянный стержень массой 1 кг и длиной l = 0,4 м
может вращаться около оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню. В конец стержня попадает пуля массой
10-2 кг, летящая перпендикулярно оси и стержню со скоростью
v = 200 м/с. Определить угловую скорость, которую получит стержень, если пуля застрянет в теле.
Ответ: ω = 30 1/с.
5.24. Человек массой 60 кг находится на неподвижной платформе массой 100 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом R = 5 м
вокруг оси вращения? Скорость человека относительно платформы v = 1,1 м/с. Радиус платформы r = 10 м. Платформу считать
однородным диском, а человека точечной массой.
Ответ: n = 0,008 1/с.
5.25. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит мяч рукой,
масса мяча m = 0,4 кг, мяч летит в горизонтальном направлении
со скоростью v = 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от вертикальной оси скамьи. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, пой-
мавшим мяч, если суммарный момент инерции человека и скамьи
I = 6 кг ?
Ответ: ω = 1,02 1/с.
6. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В МЕХАНИКЕ
ЭЛЕМЕНТЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КИНЕМАТИКИ
Введение
Осн овн ой ц ел ь ю решения задач по указанным разделам
является закрепление теоретических положений, рассматриваемых в соответствующих разделах курса физики. Студент должен
хорошо разбираться в принципиальном отличии инерциальной
системы отсчета от неинерциальной, знать инварианты преобразования Галилея для инерциальных систем.
В неинерциальных системах законы механики Ньютона справедливы в том случае, если учитывать, что кроме сил взаимодействия между телами действуют еще и силы инерции, которые зависят от характера движения самой неинерциальной системы отсчета. Ддя нахождения сил инерции следует, прежде всего, провести ее анализ, т.е. выяснить, что является объектом изучения,
знать кинематические параметры движения неинерциальной системы относительно инерциальной.
Дня решения задачи необходимо установить, каким физическим законам подчиняется описываемые в задаче явления.
Основными типами неинерциальных систем, рассматриваемых в курсе физики, обычно являются: 1) системы, движущиеся
относительно какой-либо
инерциальной системы (например,
Земли) поступательно прямолинейно и ускоренно; 2) системы,
вращающиеся с постоянной угловой скоростью.
Силы инерции Fин должны бить такими, чтобы вместе с силами взаимодействия F сообщать телу ускорение a', каким оно обладает в неинерциальной системе отсчета, т.е. ma' = F + Fин, где F
= ma, (a – ycкорение тела в инерциальной системе отсчета).
1. Сила инерции при ускоренном поступательном движении
системы отсчета Fин = -ma0, где a0 ускорение неинерциальной
системы.
2. Сила инерции, действующая на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета, Fц = -mω2R.
3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системe отсчета, Fк = 2m[v,ω].
Таким образом, в общем случае ma = F + Fин + Fц + Fк.
Задачи по специальной теории относительности по существу,
иллюстрируют выводы, основанные на применении преобразований Лоренца, которые студент должен хорошо знать. Ниже приводятся основные формулы перехода от одной (нештрихованной)
инерциальной системы отсчета к другой (штрихованной).
1. Преобразования координат Лоренца:
x
x   vt 
1v 2 c 2
; y = y'; z = z'; t 
t   x (v c 2 )
1v 2 c 2
.
2. Релятивистский закон сложения скоростей:
u
v v
1  vv  c 2
3. Длина l тела, движущегося со скоростью v относительно
некоторой системы отсчета, связана с его длиной l0 в системе,
неподвижной относительно тела, соотношением: l  l 0 1  v 2 c 2
(скорость v совпадает с прямой l, в перпендикулярном скорости v направлении, размеры тела не изменяются).
4. Промежуток времени τ в системе, движущейся со скоростью v относительно наблюдателя, связан с промежутком времени τ0 в неподвижной для наблюдателя системе соотношением:

0
1v
2
c
2
.
5. Релятивистская формула кинетической энергии тела
Wкин = m0c2(
1
1v 2 c 2
- 1).
6. Связь между массой и энергией
ΔW = Δm·c2.
Задачи
6.1. Платформа массой М начинает двигаться по горизонтальным рельсам со скоростью v. При какой минимальной длине платформы груз массой m, лежащий на переднем крае не упадет с
платформы, если коэффициент трения между грузом и платформой k?
Ответ: l Mv2/2kg(m + M)
6.2. Однородный стержень длиной l, находящийся в вагоне,
может свободно вращаться перпендикулярно горизонтальной оси,
проходящей через один из его концов. На какой максимальный
угол от вертикали отклонится стержень и каков его период колебаний относительно положения равновесия, если вагон начнет двиT  2
2l
3(a02
 g 2 )1 2
.
гаться горизонтально с ускорением а0, направленным перпендикулярно оси вращения?
Ответ: φmax = arctg(a0/g);
6.3. Мотоциклист движется по горизонтальной плоскости, описывая окружность радиусом R = 90 м. Коэффициент трения колес о
почву k = 0,4. На какой угол α от вертикали должен отклониться
мотоциклист при скорости v1 = 15 м/с? С какой максимальной
скоростью он может ехать по заданной окружности?
Ответ: α = 14º; vmax = 19 м/с.
6.4. Определить собственную длину стержня, измеренную в
системе, относительно которой стержень покоится, если в лабораторной системе отсчета, связанной с измерительными приборами,
его скорость v = 0,8с, а длина l = 1 м. Угол между стержнем и
направлением движения θ = 30°.
Ответ: 1,53 м.
6.5. Собственное время жизни частицы отличается на 1,5% от
времени жизни по неподвижным часам. Определить v/с.
Ответ: 0,172.
6.6. Тело массой 2 кг движется со скоростью 2·108 м/с в системе К', которая сама движется относительно системы К со
скоростью 2·108 м/с. Определить: 1) скорость тела относительно
системы К; 2) его массу в этой системе.
Ответ: 2,77·108 м/с; 5,2 кг.
6.7. Воспользовавшись инвариантностью интервала, определить, какое расстояние пролетел π-мезон с момента рождения до
распада, если время его жизни в этой системе отсчета Δt = 5·10-6 с,
а собственное время жизни (по часам движущимся с мезоном)
Δt0 = 2,2 мкс.
Ответ: 1,35 км.
6.8. Определить скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее ньютоновский импульс в 5 раз.
Ответ: 0,98с.
6.9. С какой скоростью будет двигаться электрон, если он прошел ускоряющую разность потенциалов 1,2 MB?,
Ответ: 2,86 Мм/с.
6.10. Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого 1 ГэВ.
Ответ: 5,34·1019 Н·с.
6.11. Проплывая под мостом вверх по течению, лодочник потерял запасное весло. Через некоторое время он обнаружил пропажу,
повернул обратно и через 1 ч после поворота догнал весло в 3 км
ниже моста. Какова скорость течения.
Ответ: 1,5 км/ч.
6.12. Во сколько раз замедляется ход времени при скорости
движения 240000 км/ч?
Отрет: 1,67.
6.13. Мю-мезон существует около мкс (по истечении этого
срока 90% мю-мезонов претерпевают распад). С какой скоростью
должен двигаться мю-мезон, чтобы пролететь, не распадаясь, рacстояние 30 км?
Ответ: 299940 км/с.
6.14. Какую длину имеет эталон метра, расположенный вдоль
ракеты для наблюдателя, относительно которого эта ракета летит
со скоростью 0,8с?
Ответ: 60 см.
6.15. Каким станет угол между диагоналями квадрата, когда он
будет двигаться со скоростью 270000 км/с в направлении, параллельном одной из его сторон?
Ответ: 48º.
6.16. На ракете, скорость которой относительно Земли
225000 км/с, установлен ускоритель электрона, сообщающий им
скорость 240000 км/с относительно ракеты в направлении ее движения. Какова скорость электронов в системе "Земля"?
Ответ: 290000 км/с.
6.17. Скорость ракеты относительно Земли 225000 км/с. Ракета
"выстреливает" электронами в направлении, противоположном ее
движению, со скоростью 240000 км/с. Какова скорость электронов
в системе Земля?
Ответ: -37500 км/с.
6.18. Нейтрон летит со скоростью 0,9с. За ним на расстоянии
3 м вдогонку летит другой нейтрон со скоростью 0,95с. Через сколько времени произойдет столкновение? Какова скорость второго
нейтрона в системе первого нейтрона?
Ответ: 0,2 мкс; 0,35 с.
6.19. С какой скоростью должен лететь протон, чтобы его релятивистская масса равнялась массе покоя α-частицы (т.е. четырем массам покоя протона)?
Ответ: 0,97с.
6.20. В теории относительности справедлив закон импульса:
d(mv) = Fdt.
Вывести выражения второго закона Ньютона для случаев:
1) сила перпендикулярна скорости v;2) сила F и скорость v направлены по одной прямой.
Ответ: m(dv/dt); [m0/(1 - v2/c2)3/2]·(dv/dt) .
6.21. Определить кинетическую энергию электрона при скорости v = 0,75с по классическим и релятивистским формулам
(m = 9 10-31 кг)
Ответ: 2,3 1014 Дж, 4 10-14 Дж;
6.22. На сколько увеличится масса электрона после прохождения им ускоряющей разности потенциалов в 106 В?
Ответ: 1,8 10-30 кг.
6.23. Доказать, что при малых скоростях (v<<c) релятивистская формула кинетической энергии переходит в классическую.
6.24. При какой скорости масса движущегося электрона вдвое
больше его массы покоя?
Ответ: 2,6 108 м/с.
6.25. Масса движущегося электрона вдвое больше его массы
покоя. Найти кинетическую энергию электрона.
Ответ: 8,2 10-14 Дж.