Найдите все значения x, которые удовлетворяют неравенству

Задание с параметром на ЕГЭ 2007 г.
На сайте А.В Шевкина уже рассматривались вопросы оценки работ ЕГЭ по математике
и указывалось, на недопустимость однозначного подхода к решению нестандартных для
школьного курса математических задач. В качестве примера были приведены задания из
группы С демонстрационного варианта ЕГЭ: http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=560
Относительно недавно школьники выполняли так называемый «пробный» ЕГЭ. Как
выяснилось, высказанные в упомянутой статье соображения учтены не были. Вернемся еще
раз к заданию C3 демверсии ЕГЭ 2007 г., так как его клоны были предложены школьникам.
Однако на этот раз сконцентрируем внимание на самой формулировке задания. «C3.
Найдите все значения x, которые удовлетворяют неравенству (2a – 1)x2 < (a + 1)x + 3a
при любом значении параметра a, принадлежащем промежутку (1; 2)».
Предполагаемое составителями решение (см. статью М.К.Потапова и А.В.Шевкина)
довольно изящно, в то же время альтернативное решение М.К.Потапова и А.В.Шевкина
более естественно для школьников. Драматизм ситуации заключается в том, что составители,
а вслед за ними и авторы упомянутой статьи, решали не ту задачу, которая была
сформулирована, а задачу, условие которой получается из данного перестановкой слов. Была
решена задача «Найдите все значения x, которые при любом значении (или при всех
значениях) параметра a из промежутка (1; 2) удовлетворяют неравенству
(2a – 1)x2 < (a + 1)x + 3a». Заметим, что в могучем русском языке не только перестановка
слов, но даже перестановка запятой (все мы помним еще со школы «Казнить нельзя
помиловать») часто кардинально изменяет смысл предложения. Так произошло и здесь.
Приведу решение задачи С3, как ее прочитал я, а читатель может сравнить его с
упомянутыми решениями, зайдя на сайт А.В.Шевкина. Но сначала напомню, что решить
неравенство с параметром – это значит, для каждого допустимого значения параметра
указать все соответствующие ему значения x, удовлетворяющие этому неравенству, или,
если использовать более привычную для школьников терминологию, то просто решить
неравенство для каждого допустимого значения параметра. В задаче «Найдите все значения
x, которые удовлетворяют неравенству (2a – 1)x2 < (a + 1)x + 3a при любом значении
параметра a, принадлежащем промежутку (1; 2)» решить неравенство нужно не для всех
допустимых, а только для тех значений параметра, которые входят в интервал (1; 2).
Решение. Заметим, что при любом значении параметра a из промежутка (1; 2)
старший коэффициент 2a – 1 квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства
(2a–1)x2–(a+1)x–3a<0 равносильного данному, является положительным числом, а
свободный член трехчлена отрицателен. Значит, во-первых, трехчлен имеет два различных
корня, а во-вторых, все значения x, которые удовлетворяют неравенству, т.е., попросту
говоря, являются его решениями, расположены между корнями. Найдем корни:
x1;2 =
x1 =
a  1  (a  1)2  12a(2a  1) a  1  25a 2  10a  1 a  1  (5a  1)
.


2(2a  1)
2(2a  1)
2(2a  1)
a  1  (5a  1) 4a  2
a  1  (5a  1)
6a
3a

 1 , x2 =


.
2(2a  1)
4a  2
2(2a  1)
2(2a  1) 2a  1
Запишем ответ.
Неравенству
(2a – 1)x2 < (a + 1)x + 3a при любом значении параметра a,
принадлежащем промежутку (1; 2), удовлетворяют все значения x такие, что
3a
1  x 
.
2a  1
Организаторы ЕГЭ окутали содержание заданий завесой таинственности, поэтому
следующее задание из пробного экзамена приводится со слов выполнявшего его ученика, что
не исключает некоторых несущественных расхождений.
С3. Найдите все значения x, которые удовлетворяют неравенству x2 + 4a > (2a – 3)x +10
при любом значении параметра a, принадлежащем промежутку (1; 2).
Решение.
Заменим данное неравенство равносильным квадратным неравенством x2 – (2a–3)x +4a–10>0.
При любом значении параметра a из данного интервала (1;2) свободный член приведенного
квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства, отрицателен. Значит, во-первых,
этот квадратный трехчлен имеет два различных корня, а во-вторых, решение квадратного
неравенства состоит из значений x, которые либо меньше меньшего, либо больше большего
из этих корней.
Найдем корни квадратного трехчлена.
2a  3  (2a  3) 2  4(4a  10) 2a  3  4a 2  28a  49

.
x1;2 =
2
2
2a  3  4a 2  28a  49
2a  3  4a 2  28a  49
, x2 =
.
2
2
Таким образом, при любом значении параметра a, принадлежащем промежутку (1;2),
значениями x, которые удовлетворяют неравенству x2 + 4a > (2a – 3)x + 10 являются все

2a  3  4a 2  28a  49   2a  3  4a 2  28a  49 

числа из объединения  ;
; .

 

2
2

 

Приведу теперь формулировку задания C3 демоверсии ЕГЭ, которая исключает
разночтения. «Найдите все значения параметра a, при которых интервал (1; 2) входит в
множество решений неравенства (2x – 1)a2 < (x + 1)a + 3x». Однако в такой формулировке
решение составителей перестанет претендовать на оригинальность.
В заключение исправим формулировку и решим задачу С3, которая встретилась на
пробном ЕГЭ.
Найдите все значения параметра a, при которых интервал (1; 2) входит в
множество решений неравенства a2 + 4x > (2x – 3)a + 10.
Если бы это неравенство было в нашем учебнике алгебры и начал анализа для 11
класса, то или в учебнике, или в методических рекомендациях учителя нашли бы следующее
решение.
Решение.
Заменяем данное неравенство равносильным ему линейным неравенством (2a–4)x<a2+3a–10.
Раскладывая на множители, получаем 2(a – 2)x < (a – 2)(a + 1).
При a = 2 решений нет.
a 1
a 1
При a > 2 имеем x 
. При рассматриваемых значениях a значение
больше 2,
2
2
значит, интервал (1; 2) входит в множество решений неравенства.
a 1
При a <2 имеем x 
. Чтобы интервал (1; 2) входил в множество решений, должно
2
a 1
 1 , т.е. должно быть a  1. Учитывая условие случая, имеем
выполняться неравенство
2
1  a <2.
Ответ: интервал (1; 2) входит в множество решений неравенства a2 + 4x > (2x – 3)a + 10
при a > 2 и при 1 a < 2.
x1 =