Топология малых размерностей - Санкт

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Топология малых размерностей
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Геометрия и топология
Федеральный ГОС ВО
Форма обучения: очная
Программу в соответствии с ФГОС ВО разработал
Г.н.с., профессор, д.ф.-м.н.
Ю.Д. Бураго
Санкт-Петербург
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
- Целью преподавания данной дисциплины — познакомить слушателей с
понятиями, задачами и классическими результатами маломерной топологии
(теории узлов, топологии трёх- и четырёхмерных многообразий). Особое внимание
в курсе уделяется развитию навыков самостоятельной работы с объектами
маломерной топологии.
- Задачей освоения дисциплины является изучение инвариантов узлов и
трёхмерных многообразий, структуры трёх- и четырёхмерных многообразий.
После освоения курса аспиранты должны уметь определять изотопность узлов,
диффеоморфность
достаточно
больших
трёхмерных
многообразий
и
гомеоморфность односвязных четырёхмерных многообразий.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых
ориентировано изучение дисциплины «Топология малых размерностей».
Код
ПК-2
Результат обучения (компетенция) выпускника ООП
Готовность применять методы теории гомотопий теоретико-прикладных
задачах математики и механики.
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Топология малых размерностей» и её вклад в формирование
результатов обучения (компетенций) слушателя:
- умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать
методы для решения теоретических задач.
- умение представить полученные научные результаты.
- знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе
дисциплины.
- умение применять освоенные теоретические методы в смежных
дисциплинах.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ УЧЕБНОГО ПЛАНА
АСПИРАНТУРЫ
Дисциплина «Топология малых размерностей» изучается в шестом семестре 3 курса
аспирантуры. Изучение данной дисциплины опирается на знания аспирантов в общих
курсах математического анализа, алгебры, римановой геометрии и топологии. Освоение
дисциплины «Топология малых размерностей» должна дать аспирантам возможность
выйти на уровень, который позволил бы им проводить исследования на переднем крае
геометрии, включая такие явления как коллапс.
3.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ПО
ВИДАМ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ
3.1 Виды учебной деятельности
Виды учебной работы
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа (СР)
Экзамен (Э)
Трудоемкость по семестрам
6 сем.
ач/нед
ач/сем
12
-
Общая трудоемкость освоения дисциплины
Итого, ач
12
В академических часах, ач
12
В зачетных единицах, ЗЕ
2
3.2 Разделы дисциплины и виды учебной работы
Изучаемый вопрос
1
Многочлен Александера узла.
2
Многочлен Джонса.
3
Инварианты Васильева узлов.
4
Теоремы Папакирьякопулоса.
5
Каноническое разложение трёхмерных
многообразий.
6
Теория Вальдхаузена.
7
Теорема Рохлина о сигнатуре.
8
Инвариант Кассона трёхмерных гомологических
сфер.
9
Разложение четырёхмерных многообразий на
ручки.
10 Четырёхмерные топологические многообразия.
Итого по видам учебной работы
Общая трудоемкость освоения дисциплины: а.ч./ЗЕ
Л, ач
1
1
1
1
1
ПЗ, ач
СР, ач
1
1
1
2
2
12
12/3 2Е
4. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ИХ СОДЕРЖАНИЕ
Разделы дисциплины
Содержание разделов
Многочлен Александера узла.
Модуль Александера. Порядковый идеал.
Многочлен Александера, его выражение
через матрицу Зейферта. Соотношение
Конвея.
Многочлен Джонса.
Скобки Кауфмана. Скейн-соотношения.
Гомологии Хованова.
Инварианты Васильева узлов.
Определение, теорема Васильева. Теорема
Концевича. Диаграммы Поляка — Виро и
теорема Гусарова.
Теоремы Папакирьякопулоса.
Лемма Дена. Теорема о петле. Теорема о
сфере.
Каноническое разложение трёхмерных
многообразий.
Теорема Шёнфлиса. Разложение в связную
сумму. JSJ-разложение.
Теория Вальдхаузена.
Несжимаемые поверхности.
Классификация достаточно больших
многообразий.
Теорема Рохлина о сигнатуре.
Инвариант Кассона трёхмерных
гомологических сфер.
Построение. Связь с инвариантом Рохлина.
Разложение четырёхмерных
многообразий на ручки.
Исчисление Кирби. Теоремы Уайтхеда и
Уолла. Пробки Акбулута.
Четырёхмерные топологические
многообразия.
Ручки Кассона. Теоремы Фридмана.
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Преподавании курса носит форму лекций с проверкой усвоения материала курса в форме
экзамена. Вместе с тем, в преподавании курса используются современные технологии,
такие как проблемное обучение, междисциплинарное обучение.
Традиционным для курса является широкое использование знаний аспирантов,
полученных ими в ходе освоения смежных теоретических курсов. Курс лекций
«Топология малых размерностей» базируется на знаниях, приобретенных слушателями на
предыдущих этапах обучения, в частности при изучении математического анализа,
алгебры, римановой геометрии и топологии.
6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
6.1 Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Топология малых
размерностей» является приобретение им знания:
- Определение и основные свойства многочлена Александера.
- Определение и основные свойства многочлена Джонса.
- Определение и основные свойства инвариантов Васильева узлов.
- Теоремы Папакирьякопулоса.
- Каноническое разложение трёхмерных многообразий.
- Построение и основные понятия теории Вальдхаузена.
- Доказательство теоремы Рохлина о сигнатуре.
- Определение и основные свойства инвариант Кассона трёхмерных
гомологических сфер.
- Конструкция разложения четырёхмерных многообразий на ручки.
- Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике.
6.2 Оценочные средства
Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Топология малых
размерностей» является посещение лекций и успешная сдача экзамена для приобретения
дополнительных знаний, полезных для успешной сдачи кандидатского экзамена по
специальности 01.01.04 Геометрия и топология и выполнения квалификационной работы и
последующей защиты кандидатской диссертации.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Рекомендованная литература
1. D. Rolfsen, “Knots and links”, Amer. Math. Soc., 1990.
2. J. Hempel, “3-manifolds”, Princeton Univ. Press, Univ. Tokyo Press, 1976.
3. R. C. Kirby, “The topology of 4-manifolds”, Springer-Verlag, 1989.
4. Н. Н. Савельев, “Лекции по топологии трехмерных многообразий. Введение в
инвариант Кассона”, УРСС, 2004.
Дополнительная литература
1. R. E. Gompf, A. I. Stipsicz, “4-manifolds and Kirby calculus”, Grad. Studies Math. 20, Amer.
Math. Soc., 1999.
2. W. D. Neumann, “Notes
on geometry and 3-manifolds”,
препринт
(http://www.math.columbia.edu/~neumann/preprints/budfinal.pdf).
3. S.Chmutov, S.Duzhin, J.Mostovoy, “Introduction to Vassiliev knot invariants”, препринт
(http://www.pdmi.ras.ru/~duzhin/papers/cdbook/).
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Лаборатория геометрии и топологии ПОМИ РАН, оснащенная необходимой техникой,
оборудованием и доступом к электронным ресурсам.
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
Фонд оценочных средств
Топология малых размерностей
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Геометрия и топология
Санкт-Петербург
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
- Целью преподавания данной дисциплины — познакомить слушателей с
понятиями, задачами и классическими результатами маломерной топологии
(теории узлов, топологии трёх- и четырёхмерных многообразий). Особое внимание
в курсе уделяется развитию навыков самостоятельной работы с объектами
маломерной топологии.
- Задачей освоения дисциплины является изучение инвариантов узлов и
трёхмерных многообразий, структуры трёх- и четырёхмерных многообразий.
После освоения курса аспиранты должны уметь определять изотопность узлов,
диффеоморфность
достаточно
больших
трёхмерных
многообразий
и
гомеоморфность односвязных четырёхмерных многообразий.
- Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование
которых
ориентировано
изучение
дисциплины
«Топология
малых
размерностей».
Код
ПК-2
Результат обучения (компетенция) выпускника ООП
Готовность применять методы теории гомотопий теоретико-прикладных
задачах математики и механики.
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Топология малых размерностей» и её вклад в формирование
результатов обучения (компетенций) слушателя:
 умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать
методы для решения теоретических задач.
 умение представить полученные научные результаты.
 знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе
дисциплины.
 умение применять освоенные теоретические методы в смежных
дисциплинах.
2. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
2.1. Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Топология малых
размерностей» является приобретение им знания:
- Определение и основные свойства многочлена Александера.
- Определение и основные свойства многочлена Джонса.
- Определение и основные свойства инвариантов Васильева узлов.
- Теоремы Папакирьякопулоса.
- Каноническое разложение трёхмерных многообразий.
- Построение и основные понятия теории Вальдхаузена.
- Доказательство теоремы Рохлина о сигнатуре.
- Определение и основные свойства инвариант Кассона трёхмерных
гомологических сфер.
- Конструкция разложения четырёхмерных многообразий на ручки.
- Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике.
2.2. Оценочные средства
Промежуточная аттестация производится в форме экзамена.
Вопросы экзамена:
1. Модуль Александера. Порядковый идеал.
2. Многочлен Александера, его выражение через матрицу Зейферта. Соотношение
Конвея.
3. Многочлен Джонса.
4. Скобки Кауфмана. Скейн-соотношения.
5. Гомологии Хованова.
6. Инварианты Васильева узлов.
Определение, теорема Васильева.
7. Теорема Концевича.
8. Диаграммы Поляка — Виро и теорема Гусарова.
9. Теоремы Папакирьякопулоса. Лемма Дена.
10. Теорема о петле. Теорема о сфере.
11. Теорема Шёнфлиса.
12. Разложение в связную сумму.
13. JSJ-разложение.
14. Несжимаемые поверхности.
15. Классификация достаточно больших многообразий.
16. Теорема Рохлина о сигнатуре.
17. Инвариант Кассона трёхмерных гомологических сфер.
Построение.
18. Инвариант Кассона трёхмерных гомологических сфер.
Связь с инвариантом Рохлина.
19. Исчисление Кирби.
20. Теоремы Уайтхеда и Уолла.
21. Пробки Акбулута.
22. Ручки Кассона.
23. Теоремы Фридмана.
Тесты:
1. Степень многочлена Александера трилистника равна
a. 1;
b. 2;
c. 3;
d. 4.
2. Многочлен 2t-1
a. является многочленом Александера узла трилистник;
b. является многочленом Александера узла восьмерка;
c. является многочленом Александера узла Печать Соломона;
d. не является многочленом Александера.
3. Степень многочлена Джонса трилистника равна
a. 1;
b. 2;
c. 3;
d. 4.
4. В лемме Дена говориться о кусочно-линейное отображение диска в
a. 2-мерное многообразие;
b. 3-мерное многообразие;
c. 4-мерное многообразие;
d. четномерную сферу.
5. Если группа узла равна Z то узел является
a. тривиальным;
b. трилистником;
c. восьмеркой;
d. Печатью Соломона.
6. Трехмерная сфера представляется в виде связной суммы этого числа неприводимых
слагаемых
a. 1;
b. 2;
c. 3:
d. 4.
7. Инвариант Кассона гомологической сферы Пуанкаре равен
a. -1;
b. -2;
c. 0;
d. 2.
8. Инвариант Рохлина многообразия
a. сравним с половиной инварианта Кассона по модулю 2;
b. сравним с половиной инварианта Кассона по модулю 3;
c. равен половине инварианта Кассона;
d. сравним с инвариантом Кассона по модулю 2.
9. Части JSJ разложения являются
a. либ атороидальными, либо расслоениями Зейферта;
b. либо атороидальными, либо асферическими;
c. либо асферическими, либо расслоениями Зейферта;
d. только расслоениями Зейферта.
10. Пробка Акбулата это
a. симплектическая структура на 4-мерном торе специального вида;
b. 2-мерное расслоение над 2-мерным тором специального вида;
c. компактное стягиваемое 4-мерное многообразие Штейна специального вида;
d. метрика специального вида на четырехмерном цилиндре.
Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Топология малых
размерностей» является посещение лекций и успешная сдача экзамена для приобретения
дополнительных знаний, полезных для успешной сдачи кандидатского экзамена по
специальности 01.01.04 Геометрия и топология и выполнения квалификационной работы и
последующей защиты кандидатской диссертации.