Геометрические задачи на экстремум без использования

Геометрические задачи на экстремум без использования
производных и их экономическая интерпретация (несколько
примеров)
Авторы: Аладьин В., Неделько А., 9 уфм А класс, Мурманский Политехнический лицей.
Научный руководитель: Бродский И. Л., профессор Мурманского областного ИПК
работников образования, кандидат технических наук.
Предисловие научного руководителя.
Подавляющее большинство результатов при решении экономических задач на
оптимум так или иначе связаны с нахождением наибольших и наименьших значений
функций на некоторых заданных множествах. Во многих случаях там, где это удаётся, задачи
на отыскивания экстремумов функций решаются классическими методами с использованием
обыкновенных и частных производных. Однако существуют способы нахождения
экстремумов без использования производных, в частности, в задачах, допускающих простую
геометрическую интерпретацию экономико-математической модели.
Следует отметить, что геометрическая интерпретация очень широко рассматривается
как в зарубежной, так и в отечественной учебной литературе по рыночной экономике.
Однако рисунки используются авторами, в основном, в качестве иллюстраций, убедительно
объясняющих связи между изучаемыми параметрами. В приведённой работе геометрия
используется как способ вывода формул.
Факт неиспользования математического анализа при достаточном уровне строгости
получения результатов в виде конкретных математических утверждений и зависимостей,
связанных с экстремумами, имеет вполне определённое научно-методическое значение,
позволяя рассматривать эти результаты уже в основной школе.
Задачи, решённые в настоящей работе, поставлены научным руководителем, однако
найденные решения, сопутствующие поиску эвристические рассуждения (оставшиеся за
кадром) и оформление работы принадлежат исключительно юным авторам, оставившим
руководителю лишь скромную функцию редактора.
И. Л. Бродский.
I.
Оптимальные
розничные
цены
при
линейной функции
A
спроса в условиях монополии продавца.
1. Пусть в равнобедренный прямоугольный треугольник
ABC (рис.1) вписан прямоугольник DEFC ; a-длина
E
D
катета. Каково отношение CF : FB , если площадь
Рис. 1
прямоугольника DEFC имеет наибольшее значение из
всех возможных?
Решение:
a-x
Пусть CF  x ; тогда EF  FB  a  x ; площадь S
прямоугольника CDEF : S  x(a  x ) , S   x  ax (1); как
a-x
x
видно из последней формулы (1), S есть квадратная
C
F
B
функция x с корнями x1  0; x2  a . График функции
(1)-парабола с ветвями «вниз» и с вершиной
S
a
при x  x0  . Таким образом,
2
Рис. 2
2
a
Smax =a/4
CF  FB 
, вписанный прямоугольник
2
0
a
2
a
x
наибольшей площади – квадрат (показан пунктиром). Его площадь S max 
Ответ: CF : FB  1 : 1 .
a2
.
4
Замечание 1.
Если вписанный прямоугольник – квадрат, то точки D и E такие, как точка F , являются
серединами соответствующих сторон треугольника ABC .
Замечание 2.
Пусть требуется вписать прямоугольник наибольшей площади DEFC в прямоугольный
неравнобедренный треугольник ABC (рис. 3), у которого CB  a , B   . Тогда (рис.3):
A
S  x ( a  x ) tg  =  x 2 tg   axtg . Функция S снова
квадратная, и её максимум опять достигается в точке
Рис. 3
a
x  . И снова приходим к серединам сторон:
2
E
D
CF  FB ; CD  AD и BE  AE .
Результаты пункта 1 могут быть сформулированы
(a-x)tga
как:
Теорема 1.
a B
C
F
Для того, чтобы прямоугольник CDEF , вписанный в
a-x
прямоугольный треугольник ABC , имел
наибольшую площадь, необходимо и достаточно, чтобы он (прямоугольник) был ограничен
катетами и средними линиями треугольника ABC .
Следствие 1.
Пусть a и b - длины катетов прямоугольного треугольника ABC . Тогда стороны
a
b
прямоугольника наибольшей площади – соответственно
и , его площадь равна
2
2
ab 1
S max 
 S ABC , т.е. наибольшая площадь вписанного в прямоугольный треугольник
4
2
прямоугольника равна половине площади треугольника.
Замечание 2.
Теорема 1 может быть легко обобщена на случай произвольного треугольника и вписанного
в него параллелограмма, однако это обобщение не потребуется для экономического
моделирования.
2. Пусть в прямоугольный треугольник ABC (рис.4) вписана двухступенчатая
фигура CDEFGG1C . Стороны этой фигуры параллельны соответствующим катетам
треугольника ABC . Каково должно быть
A
отношение CE 1 : E 1G 1 : G 1 B , чтобы площадь
двухступенчатой фигуры была наибольшей?
E
Рис. 4
D
Ответом на этот вопрос служит
Теорема 2. Для того, чтобы площадь S
двухступенчатой фигуры CDEFGG1C была
наибольшей, необходимо и достаточно, чтобы
F
G
H
имело место соотношение CE 1  E 1G 1  G 1 B .
Доказательство: Достаточность.
Дано: S  S max , доказать: CE 1  E 1G 1  G 1 B .
B
C
E
G
Пусть, например, E 1G 1  G 1 B . Тогда оставив
точку E 1 на её месте , перенесём точку G 1 в
середину отрезка E 1 B . Тогда, согласно Замечанию 2, площадь прямоугольника E 1 FGG1
увеличится, а значит увеличится и площадь всей ступенчатой фигуры, что противоречит
условию S  S max . Противоречие.
Необходимость.
Дано: CE 1  E 1G 1  G 1 B (2). Доказать, что S  S max . Пусть S  S max . Тогда построим
двухступенчатую фигуру CDEFGG1C , для которой S  S max . В этом случае либо новые
точки совпадают со старыми, имеющими те же обозначения , либо не совпадают. В первом
случае условия теоремы выполняются. Во втором случае положение точек можно улучшить
и получить S  S max , что невозможно. Теорема доказана.
Следствие 2.
Пусть a и b - длины катетов. Тогда наибольшая площадь вписанной двухступенчатой фигуры
a b ab
2 ab 2
 S ABC .
равна (рис.4): S max  3   
, или S max  
3 3 3
3 2
3
3. Рассмотрим n-ступенчатую фигуру, вписанную в прямоугольный треугольник ABC (рис.5).
Справедлива
Теорема 3. Если площадь вписанной n-ступенчатой
A
B1
фигуры S максимальна, то BB11  B11 B21  ...  Bn1C
C1
B2
(3).
Рис. 5
C2
Доказательство.
Допустим противное, и соотношение (3) не
выполняется. Пусть, например, B21 B31  B31 B41 .
Bn-1
Cn-1
Bn
Выделим прямоугольный треугольник B1DB4 ,
C
n
C
B1
B2
Bn-1B n B
являющийся частью трапеции B41 B4 B1 B11 .
Согласно Теореме 1 о наибольшей площади
двухступенчатой фигуры, заменив отрезки B21 B31 и
1
B3 B14 на равные между собой, мы увеличим площадь двухступенчатой фигуры, что
невозможно по условию теоремы( S  S max ). Теорема доказана.
Замечание 3.
Если вписанная ступенчатая фигура (рис. 5) имеет наибольшую возможную площадь, то по
Теореме 3 BB 11  B11 B12  ...  B1n C ,а по теореме Фалеса BB1  B1 B2  ...  Bn C и
CC1  C1C2  ...Cn A .
Следствие 3.
n
Наибольшая площадь вписанной n-ступенчатой фигуры составляет S max  S ABC 
.
n 1
Замечание 4.
Если неограниченно увеличить число ступеней вписанной фигуры, то её площадь будет
неограниченно приближаться к площади треугольника ABC :
n
1
 lim S ABC 
 S ABC .
lim S max  lim S ABC 
n 
n 
n  1 n 
11 n
Q
Qm
Q0
4. Дадим экономическую интерпретацию приведённых
результатов. Рассмотрим задачу о розничной цене
единицы товара в условиях монополии. Пусть в рамках
не/кого конкретного рынка монополист реализует свою
продукцию, спрос на которую определяется линейной
функцией, график которой дан на рис.6. Здесь Q -
Рис. 6
Q
P
0
P0
P
P
m
количество реализуемого товара в зависимости от розничной цены P его единицы. График
ограничен точками Q m и Pm , экономический смысл которых – максимальная потребность в
товаре(если товар бесплатный) и предельная цена Pm за единицу товара, выше которой никто
добровольно товар покупать не станет. Представляет практический интерес оптимальная
розничная цена Popt , доставляющая предпринимателю наибольшую прибыль, а также
соответствующее количество товара, подлежащего реализации (а значит – размеры
оборотных средств, если речь идёт о регулярной деятельности предпринимателя). Пусть P0 себестоимость единицы товара, а P - его розничная цена. Тогда прибыль П от продажи
товара найдётся как произведение разности ( P  P0 ) цены и себестоимости единицы товара
на количество реализованного товара Q ( P ) :
П  ( P  P0 )Q( P ) (4)
Геометрический смысл прибыли здесь – площадь прямоугольника вписанного в
прямоугольный треугольник P0Q0 Pm (рис.6). Согласно пункту 1 максимальной прибыли
соответствует оптимальная розничная цена, которой соответствует середина отрезка P0 Pm :
P  Pm
Popt  0
(5).
2
*) В литературе, следуя традициям западных экономистов, обычно на оси ординат
располагают цену P (price), а на оси абсцисс – количество товара Q (quantity). Для
российского читателя более привычной является естественно-научная традиция, согласно
которой на оси абсцисс откладывается причина, на оси ординат – следствие.(прим. руков.).
Максимальная прибыль, согласно Следствию 2, составляет
1
1 1
П max  S P0Qo Pm (рис.6), или П max   Q0  ( Pm  P0 ) ; Q0 найдётся из подобия
2
2 2
(Q0 P0 ) ( P0 Pm )
(Q O )( Po Pm )

, откуда Q0  (Qm P0 )  m
; подставляя
Qm Pm и P0Q0 Pm :
(QmO ) (OPm )
(OPm )
( P  P0 )
1 Q
Qm , откуда П max   m ( Pm  Po ) 2 (6).
значения отрезков, получим Q0  m
Pm
4 Pm
5. Теперь рассмотрим стратегию “ценовой дискриминации”, проще говоря, стратегии, когда
продавец первую часть товара реализует по более высокой цене P1 , а затем когда все, кто
хотели купить товар по этой цене, его уже купили, продавец производит однократную
уценку, начинает продавать товар по более низкой цене P2 . Найдем оптимальные значения
P1 и P2 . Пусть некоторые цены P1 и P2 ( P1  P2 )
Q
установленные продавцом (хозяином)
Рис. 7
соответственно до и после уценки. Тогда
Q0
полученной прибыли отвечает площадь
ступенчатой фигуры (рис.7) . Легко видно, что
прибыль продажи товара по цене P1 составит
Q
2
( P1  P0 )Q1 , прибыль от продаж остатка равна
(Q2  Q1 )  ( P2  P1 ) итого
Q1
П  ( P1  P0 )Q1  ( P2  P0 )(Q2  Q1 ) (8)
P
P
P
P
P
0
2
1
m
Значению П легко дать геометрическую
интерпретацию: это – площадь двухступенчатой
фигуры (см. рис. 7) . Как было показано, оптимальными являются цены P1 и P2 такие, что
1
( P1 P2 )  ( Pm P1 )  ( Pm  P0 ) ,
3
Qm
2 P  P0
2
( Pm  P0 )  m
(9)
3
3
P  2 P0
1
P2  P0  ( Pm  P0 )  m
(10).
3
3
Максимальная прибыль равна максимальной площади вписанной двухступенчатой фигуры.
2
1 Q
Согласно Следствию 2, П max  S P0Q0 Pm   m ( Pm  P0 ) 2 (11)
3
3 P0
2 Q
Оптимальное количество : Qopt   m ( Pm  P0 )
(12)
3 Pm
Конечно, намерения продавца совершить уценку до-поры-до-времени – его коммерческая
тайна! 
6Подобным же образом можно рассчитать оптимальные цены при многократной уценке
товара. Например, если мы желаем сделать три уценки, приходим к модели
четырёхступенчатой фигуры: n=4. Согласно Теореме 3, приходим к четырём оптимальным
ценам (рис. 8).
1
2
Q
P1  ( Pm  P0 ) ; P2  ( Pm  P0 ) ;
5
5
Qm
3
4
(Pm-P0 )Qm
P3  ( Pm  P0 ) ; P4  ( Pm  P0 ) .
Q0 =
5
5
Pm
Q0
Количество товара всего:
Рис. 8
4
4 Q
Qopt  Q0   m ( Pm  P0 ) максимальная
Q
opt
5
5 Pm
прибыль, характеризующаяся площадью
четырёхступенчатой фигуры, которая,
согласно Следствию 3, составляет:
4 1
2 Q
P
П max   Q0 ( Pm  P0 )   m ( Pm  P0 ) 2 .
0
P
P
P
P
P4
P
5 2
5 Pm
3
2
m
1
0
P1  P0 
II. Розничная цена и себестоимость продукции производителя-монополиста.
Рассмотрим функцию Q  Q( P ) , заданную на
Q
Q
m
M1
M
Q1
A
D
Q1
C
A
отрезке O, Pm . Об этой функции известно, что
она монотонно убывает на отрезке O, Pm  от
некоторого наибольшего значения Q0 = Qm
при P  0 , до нуля при P  Pm . Дана точка
Рис. 9
B
B
P0  (O, Pm ) и соответствующее ей значение
Qm  Q( P0 ) . Пусть в криволинейный треугольник
P
0
P0
P0
P
1
P
1
P
m
Po MPm вписан прямоугольник P0 ABP1
наибольшей площади. Этот прямоугольник
определяется некоторым значением P1 .
Рассмотрим точку P0  P0 ( Po  (O, P0 ) ). Пусть
1
1
P01 A1 B 1 P11 -прямоугольник наибольшей площади, вписанный в криволинейный треугольник
P01 M 1 Pm . Докажем, что в этом случае P01  P1 .
Доказательство.
По условию площадь P01 A1 B 1 P11 - наибольшая для всех прямоугольников вписанных в
“новый” криволинейный треугольник P01 M 1 Pm , значит она больше площади P0CBP1 . Или
(рис. 8) Q11 ( P11  P01 )  Q1 ( P1  P0 ) , с другой стороны, по условию площадь P0 DB 1 P11 меньше
площади P0 ABP1 , или Q11 ( P11  P0 )  Q1 ( P1  P0 ) , получим систему неравенств:
1 1
1 1
1

Q1 P1  Q1 P0  Q1 P1  Q1 P0
1
1 1
1
1
1
1
 Q1 P0  Q1 Po  Q1 P0  Q1 Po  Q1 ( P0  P0 )  Q1 ( P0  Po ) .
 1 1
1

Q1 P1  Q1 P0  Q1 P1  Q1 P0
А так как по условию P0  P0 `, то P  P0 - положительное число, и деление на него не
1
1
меняет знак неравенства: Q1  Q1 . А так как функция Q  Q( P ) монотонно убывающая, то
1
Q1  Q1  P1  P1 , что и требовалось доказать.
2.Дадим экономико-математическую интерпретацию полученных результатов. Пусть
Qm BPm -кривая спроса на продукцию продаваемую монополистом (рис.8). Экономический
смысл кривой спроса допускает гипотезу о том, что эта кривая- график монотонно
убывающей функции (чем дороже, тем меньше покупают). Q m -наибольшая возможная
1
1
реализация продукции бесплатно, Pm -наибольшая розничная цена, выше которой никто не
заплатит. P0 -себестоимость единицы продукции, а P1 -оптимальная розничная цена. Это
значит, что прибыль П  ( P1  P0 )Q1 достигает при P  P1 , своего наибольшего значения.
Геометрически это означает, что при P  P1 , площадь прямоугольника P0 AAPP1 достигает
наибольшего значения.
1
Допустим, предпринимателю удалось снизить себестоимость единицы продукции: P0  P0 .
Вопрос: что делать с розничной ценой?
Ответ на этот вопрос даёт
Теорема 4:
Если снизить себестоимость продукции в условиях монополии, то оптимальная розничная
цена также снизится.
Доказательство следует из результатов предыдущего пункта.
В заключение сделаем несколько замечаний.
Снижение себестоимости товара чаще всего – творческая задача, связанная с
изобретательством, рационализацией, научной организацией труда и т. п.
Вместе с тем, снижение себестоимости гармонизирует отношения покупателя и
производителя, создавая выгоды сторонам: снижение розничной цены – благо для
покупателя, а рост прибыли(этот очевидный факт легко строго обосновать) – благо для
производителя.
Отметим лёгкость, изящество и строгость полученных здесь экономикоматематических результатов. Задача об однократной уценки товара была ранее решена с
помощью отыскивания максимума функции двух переменных 4. Читатель может
убедиться, насколько это сложнее(не говоря уже о случае многократной уценки) 5
Наконец, правомерность использования гипотезы о линейном характере кривой
спроса. Конечно, всякий раз серьёзный предприниматель должен проводить
соответствующие исследования, прежде чем устанавливать розничную цену на товар.
Однако, по крайней мере линейные функции спроса существуют, о чём говорят статические
исследования проводимые авторами 4.
Авторами данной работы в данное время также проводятся соответствующие маркетинговые
исследования, результаты которого мы надеемся опубликовать.
Литература.
1.
Экономическая школа (П. А. Ватник, В. В. Гальперин, Д. В. Голиков и др.)
Журнал “ Экономическая школа ”, Вып.1, 1991, вып.2, 1992, вып.3, 1993.
2. Современная микроэкономика: анализ и применение. Д. Н. Хайман, изд. “ Финансы и статистика”
1992.
3. Parkin M., King D. Economics. Addison-Westley Publishing Company, 1992.
4. Лунцевич Н. В., Мирошниченко Ю.С. Задачи о скользящей розничной цене. Рукопись:
тезисы доклада на НТК ”Юность севера”, Мурманск 1998.
Бродский И. Л. Выгода и начала анализа. Мурманск, 1994.
В. Аладьин
А. Неделько