ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №19»
ТЕМА:
«ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ»
Методическая разработка
по математике
Выполнила Карпова А. А.
учитель математики
МОУ «СОШ №19»
Новочебоксарск 2007
Введение
Решение геометрических задач на построение в курсе планиметрии как один из
способов формирования целостного восприятия окружающего мира обучающимися
второй ступени.
Задачи на построение, являющиеся объектом моего исследования, указывают,
по каким данным, какими инструментами, какую геометрическую фигуру
требуется построить (начертить на плоскости) так, чтобы эта фигура
удовлетворяла определенным условиям.
Цель:
развитие геометрической зоркости, аналитических навыков, умения
применять полученные знания на практике для формирования адаптивных
качеств личности обучающихся 7-9 классов.
Задачи:
-обучать каждого школьника последовательному, логическому и планомерному
осмыслению окружающей действительности на основе рационального
планирования урочной деятельности и связи учебного материала с практикой;
-развивать эмоционально-положительное отношение обучающихся к изучению
геометрии, геометрическую зоркость, воображение, навыки анализа и синтеза на
основе дифференцированного подбора упражнений и применения компьютерной
техники;
-воспитывать
волевые
качества,
целеустремленность,
настойчивость,
самостоятельность обучающихся через различные методы решения задач на
построение.
Конечный результат:
-подведение обучающихся к навыкам основных построений с помощью
циркуля и линейки, отработка элементарных задач на построение;
развитие навыков самостоятельной деятельности, логического осмысления
конкретной ситуации, обучение
анализу и синтезу на основе
дифференцированного подбора упражнений и компьютерной техники.
Аналитическая часть
Анализируя свой опыт, я убедилась: мало уделяю внимания задачам на
построение, недостаточно отрабатываю основные умения и навыки. Между тем,
задачи на построение, будучи доступны и понятны семиклассникам, чрезвычайно
содержательны в математическом и логическом отношении – это хороший
материал для математического исследования в миниатюре.
Процесс решения задачи происходит по определенной схеме: анализ,
построение, доказательство, исследование. Эту схему я не рассматриваю как
безусловно необходимую и неизменную. С моей точки зрения, нецелесообразно
строго расчленять решение задачи на отдельные этапы и осуществлять их в
указанном порядке. Главное – реализовать познавательную значимость каждой
части. Геометрическая задача на построение есть синтез предметной задачи и
образовательных целей направленных на формирование целостного восприятии
действительности.
Основная роль отводится анализу, при проведении которого я даю полезные
советы, помогающие найти решение задачи. Если на чертеже не удается
непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и
исходными элементами, то ввожу в чертеж вспомогательные фигуры; соединяя уже
имеющиеся точки прямыми, отмечая точки пересечения имеющихся линий,
продолжая некоторые отрезки и т. д. Иногда советую проводить параллели или
перпендикуляры к прямым, уже имеющимся по условию задачи.
Учитывая теоретические и методические рекомендации специалистов,
возрастные особенности обучающихся, многоцелевую направленность уроков
геометрии, я пробую использовать свои приемы в системе обучения. В седьмом
классе тема «Решение задач на построение» изучается в третьей четверти. Задолго
до изучения темы «Решение задач на построение» постепенно подвожу
обучающихся к необходимости её освоения, используя для этого все программные
темы, связанные с изучением геометрических фигур, которые можно построить с
помощью циркуля и линейки. Беру дополнительные задачи на построение суммы
или разности отрезков, чтобы заложить основы подхода к алгебраическому методу
решения задач на построение.
Сообщая тему «Чем занимается геометрия? Первые понятия геометрии»,
находящуюся в новом учебнике И.Ф. Шарыгина, пытаюсь через геометрические
построения ответить на многие вопросы, интересующие обучающихся, например,
такие: «Когда появилась наука геометрия? Для чего необходимо изучение
геометрии? Где можно применить геометрические знания?» Мною разработан урок
обобщения и систематизации знаний на основе первой главы учебника «Геометрия
7-9» И.Ф. Шарыгина . Автор учебника даёт представление о разработке данной
темы посредством геометрических построений. В нем прослеживается целостность
мира, единство науки-геометрии и окружающей действительности.
Практическая часть
Когда в седьмом классе подхожу к изучению темы «Решение задач на
построение», то обучающиеся уже подготовлены к усложненному варианту работы
на уроке. Начинаю урок с большой схемы, которая дает представление об
общности вопросов изучаемой темы, находящихся в учебных пособиях
разрозненно. Моя задача подвести обучающихся к пониманию того, что на первой
ступени обучения они получили навыки основных построений с помощью циркуля
и линейки, в седьмом классе необходима отработка элементарных задач на
построение, а в восьмом и девятом классе на основе ранее изученного материала
решаются сложные задачи.
В седьмом классе исследовательская
работа проводилась по теме
«Элементарные построения» и
составлен проект по теме «Построение
треугольников по трём элементам». Работа началась с большой схемы, которая
дает представление об общности вопросов изучаемой темы, находящихся в
учебных пособиях разрозненно.
Элементарные задачи на построение
Э.11
.
Э.1.
Э.2.
Э.1
0.
.. Э.3.
Э.9.
Э.4.
Э.8.
Э.5.
Э.6.
Э.7.
Э.1. Построение деления отрезка на два равных отрезка.
Э.2. Построение биссектрисы угла
Э.3. Построение на данной прямой от заданной точки отрезка заданной
длины или сумму (разность) отрезков.
Э.4. Построение угла равного данному или суммы (разности) углов.
Э.5. Построение прямой, параллельной данной и проходящей через заданную
точку.
Э.6. Построение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через
заданную точку.
Э.7. Построение треугольника по трем сторонам.
Э.8. Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней двум углам.
Э.9. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Э.10.Построение прямоугольного треугольника по любым двум элементам.
Для того чтобы основательно реализовать возможности темы, я приучила
себя к использованию компьютерного сопровождения уроков.
Изучая
элементарные построения стараюсь использовать все механизмы человеческой
памяти. Известно такое утверждение: «Расскажи – и я забуду, покажи – и я
запомню, дай попробовать – и я пойму». Поэтому уроки геометрии не обходятся
без чертежей, схем, рисунков. В настоящее время особую роль играют
компьютерные технологии, и я постоянно пользуюсь компьютером для большей
наглядности изучаемого материала. На уроке рассказываю о каком-либо
построении, затем изложение подкрепляю мультипликацией, далее прошу
обучающихся озвучить картинки на экране. В завершение этой работы каждый
ученик, озвучивая свои действия, самостоятельно проводит построение. Используя
данный прием, за один урок можно изучить несколько элементарных построений и
сэкономить время для решения более сложных задач. В результате формирую
умение обучающихся вести рассуждения от простого к сложному, применять
полученные знания в разных ситуациях, ориентироваться в выборе нужного и
полезного. На примере задачи «Постройте треугольник по двум сторонам и
медиане, проведенной к одной из них» я применяю решение, которое рекомендую
обучающимся.
Дано:
Анализ
Допустим,
что
фигура
а, с –стороны треугольника
b – медиана треугольника,
проведенная к стороне с
построена,
это треугольник АВС. Заметим,
что
Построить треугольник
СМ – это половина ВС, тогда
известны три стороны треугольника АМС. Из этого вытекает следующее
построение.
План построения
1. Э.1.- делим отрезок с пополам, чтобы иметь сторону СМ из треугольника
АМС
2. Э.7. – треугольник АМС
3. Э.3. – на прямой СМ от точки М отрезок МВ=СМ
Теперь обучающиеся по ранее изученной схеме выполняют построения Э.1.,
Э.7. и Э.3.
Доказательство
ВС=СМ+МВ=c, АС=а, АМ=b по построению, значит, АВС - искомая фигура.
Исследование
С учетом Э.7. данная задача может иметь два решения или ни одного, если не
выполняются неравенства треугольника.
В данной задаче постоянно идет ссылка на ранее изученное, а значит,
возникает дополнительная стимуляция и указание на то, что необходимо ученику
знать. В такой ситуации мыслящий ребенок делает сам выводы, о своих пробелах в
знаниях. На первых уроках по теме «Задачи на построение» я часто возвращаюсь к
большой схеме и после решения каждой задачи её конкретизирую так, как в данном
примере:
Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них
Э.1.
Э.7.
Э.3.
В дальнейшем это позволит в старших классах оперировать сложными
понятиями, такими, как синтез и анализ задачи. Для проверки качества решения
приведенной ранее задачи я предлагаю аналогичную, но с измененным условием:
«Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей
стороне». Эта задача сложнее. В моей практике обучающиеся не справлялись с ней
самостоятельно, так как у семиклассников еще отсутствует навык решения задач на
построение. Необходимы подробный анализ и система вопросов:
1. Заметны ли необходимые для решения связи между искомыми и данными
элементами?
2. Какие дополнительные построения целесообразно ввести?
3. На какие элементарные построения разбивается решение?
Дано:
Допустим,
Анализ
что
фигура
b, с –стороны треугольника
m – медиана треугольника,
проведенная к стороне a
построена, это треугольник
АВС, где АС=b, AM=m, AB=c.
Единственная
связь
между
данными элементами Построить треугольник
это точка А, которая является
одним из концов всех данных отрезков. Целесообразно продолжить прямую АМ и
отложить на ней отрезок МА1, так как треугольник АА1С можно построить по
трем сторонам. Это следует из равенства треугольников АМВ и СМА1, то есть
СА1=АВ=с.
Теперь решение задачи
очевидно.
План построения
1. Э.3. – построим отрезок
АА1=2m.
2. Э.7. – треугольник АА1С.
3. Э.2. – найти точку М на
отрезке АА1.
4. Э.3. – на луче СМ отложить отрезок СВ=2СМ.
5. Соединим полученные точки треугольника
АВС.
Доказательство
АС=b, по построению. Так как АА1=2m, а М его середина, то АМ=m.
Треугольники АМВ и СМА1 равны по первому признаку равенства треугольников,
сторона СА1=b, значит, АВ=b. Данный треугольник искомый.
Исследование
С учетом Э.7. данная задача может иметь два решения или ни одного, если не
выполняются неравенства треугольника.
Использование одной задачи для решения типовых помогает организовать
самостоятельную работу обучающихся и использовать дифференцированный
подход в обучении. При решении вышеуказанных задач нетрудно заметить, что
условия их незначительно отличаются. Так, если в задания каждый раз вносить
небольшие изменения, можно получить серию задач, решаемых аналогично, но с
нарастающей трудностью. Надеюсь, что, решив первую задачу коллективно,
обучающиеся готовятся к индивидуальной деятельности. Справившись со второй
задачей, они могут приступить к самостоятельному решению третьей и так далее.
Данный прием позволяет развить навыки самостоятельной деятельности,
логического осмысления конкретной ситуации, обучить анализу и синтезу на
основе дифференцированного подбора упражнений и компьютерной техники.
Основными методами, применяемыми мною в ходе обобщения опыта, были
следующие: индуктивный, дедуктивный и исследовательский. Для этого я
использую:
- наблюдение (измерение, построение, моделирование) объектов с целью
выделения их свойств;
- анализ свойств объекта, в ходе которого нужно определить, какие из них
являются общими, отличительными, существенными;
- сравнение объектов или их свойств;
- установление или использование аналогии;
- абстрагирование от несущественных свойств объектов;
- синтез объектов или их свойств;
- обобщение, введение термина или символа для обозначения понятия;
- использование индуктивного умозаключения;
- определение и конкретизация понятий, приведение контрпримеров;
- использование определения понятия при решении задач;
- контроль за усвоением определения понятия.
При формировании навыков решения задач на построение значимость тех
или иных из перечисленных методов меняется в зависимости от возрастных
особенностей обучающихся, от содержания изучаемого материала и от формы
учебных занятий. Например, основным методом решения задач на построение в
седьмом классе является наглядно-индуктивный метод. Для обучения
семиклассников я применяю сравнение, наглядно-опытное обоснование фактов и
индуктивное их обобщение. В восьмом классе возрастает роль дедуктивных
методов обучения. Большую значимость приобретают определение понятий,
выведение следствий, применение аналогии. Это подготавливает хорошую
теоретическую основу для применения исследовательского метода в девятом
классе. При организации данной деятельности я систематизирую изученные
понятия, готовлю дифференцированные темы для творческих работ с применением
компьютерной техники, подбираю задачи, решение которых имеет практическую
направленность.
В моей методической деятельности главным объектом исследования является
урок. Я отдаю предпочтение комбинированным урокам, так как, учитывая
возрастные особенности обучающихся второй ступени, постоянно осуществляю
необходимую смену деятельности, по возможности стараюсь на уроке обратиться к
каждому ученику несколько раз, осуществляя постоянную обратную связь,
корректируя непонятное или неправильно понятое, ставлю отметку не за
отдельный ответ, а за несколько на разных этапах урока, активно использую
поурочный балл. Это приводит к развитию всех видов памяти, внимания и
воображения. Чтобы постоянно развивать мышление обучающихся, стремлюсь
интегрировать знания, связывая темы своего курса как с родственными, так и с
другими учебными дисциплин.
Например, на уроке в седьмом классе при изучении построения биссектрисы
использую следующий алгоритм работы:
1. Вопрос. Какую геометрическую фигуру называют биссектрисой? Какие у неё
есть свойства?
2. Ответ. Биссектриса – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.
Любая точка биссектрисы находится на одинаковом расстоянии от сторон
угла.
3. Задание. Используя определение и свойство биссектрисы, определим следующий
план построения: 1). Построение О.1. – в схеме оно находится в группе
основных построений: построим окружность произвольного радиуса с центром
О в вершине угла; 2) Получены две точки пересечения окружности и сторон
угла. Назовем их А и В. 3) Построение О.1.: окружность с центром А и
окружность с центром В радиусом равным отрезку АВ. 4) При пересечении
двух окружностей получены точки, одну из них назовем С. 5) Построение Л.2. –
из группы основных построений: луч ОС, который является результатом
построения, то есть биссектрисой. Объяснение построения биссектрисы
осуществляется с помощью наглядного представления иллюстрированных
действий через мультипликацию (Приложение на диске). На экране через
компьютерный проектор осуществляется показ видеоролика с пошаговым
построением геометрических фигур.
4. Доказательство истинности результата построения. Рассмотрим треугольники
ОАС и ОВС. Они равны по третьему признаку равенства треугольников.
Значит, угол АОС равен углу ВОС. Следовательно, ОС – биссектриса.
5. Закрепление. Троекратное повторение видеоролика мультипликации построения
биссектрисы угла. На этой основе восстановление плана построения, повторение
плана построения.
6. Практическое задание. Построить биссектрису с помощью циркуля и линейки.
Итак, осуществление данного алгоритма формирует память, воображение,
способствует культуре учебного труда, обучающихся приобретают навыки
самостоятельной творческой деятельности. Мотивацией служит нестандартная
наглядность с применением компьютерной техники.
ПРОЕКТ
О проекте
* Данный проект рассчитан на учащихся 7 класса.
* Проект направлен на изучение темы «Построение треугольника по трём
элементам».
* Проект позволяет не только подготовить учащихся к изучению темы
«Построение треугольника по трём элементам», но изучить тему «Элементарные
построения» опосредованно.
* Время выполнения проекта - 3 урока.
* Завершением проекта является урок-защита.
Цели и задачи проекта
Образовательные цели
1.Актуализировать знания по теме «Треугольники»
2.Уметь выполнять элементарные построения
Развивающие цели
Способствовать формированию:
1.Математической культуры
2.Информационной культуры
Воспитательная цель
Способствовать формированию коммуникативной культуры
Вопросы проекта
Основополагающий вопрос
Как решать задачи на построение?
Проблемный вопрос
Всегда ли можно по трём элементам построить треугольник равный данному?
Разработки
Уроки по теме: «Задачи на построение»
Уроки в проекте выполняли роль подготовительного, проектировочного и
практического этапов
-Конспект вводного урока
-Презентация 2 урока
-Дидактический материал 1
-Дидактический материал 2
-Дидактический материал 3
-Тест
-Ребусы
-Исторический материал
Таблица возможных методов и технологий
В данной таблице представлены различные варианты подготовительного этапа
вводного урока.
Цветом выделена применявшаяся ячейка.
- Таблица
Защиты проекта
Урок-защиты проходил по ИКТ
-Требования к выступающим
-Требования к слушателям
- Критерии оценивания буклета
- Критерии оценивания ученической
презентации
- Грамота
Заключение
Класс: 7 «Б». Количество учащихся: 24.
Количество учащихся, умеющих решать элементарные
задачи на построение.
1. Построение деления отрезка на два равных отрезка
----------24
2.Построение биссектрисы угла
----------24
3. Построение на данной прямой от заданной точки отрезка заданной длины или сумму
(разность) отрезков.
---- ---- 22
4.Построение угла равного данному или суммы (разности) углов.
----- 20
5.Построение прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку.-- -20
6 .Построение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через заданную точку
-----------20
Качество успеваемости и качество знаний по теме «Элементарные построения».
100%
80%
60%
Качество
знаний
40%
Качество
успеваемости
20%
0%
Результаты практической работы
по теме «Элементарные построения»
Количество учащихся 24
"3"
38%
"2" "5"
0% 21%
"5"
"4"
"3"
"4"
41%
"2"
Литература
1. Геометрия, 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений /Л.С.Атанасян,
В. Ф. Бутузов,
С. Б. Кадомцев и др-12 изд.- М. : просвещение. 2002г.
2.Наглядная геометрия :Пособие для общеобразовательных учебных заведений
/И.Ф. Шарыгин, Л.Н.Еганжиева, 5-еиздание, ДРОФА-2002г.
3.Газета издательского дома "Первое сентября" МАТЕМАТИКА, №11 2001 год
4.Газета издательского дома "Первое сентября" МАТЕМАТИКА, №13 2003 год
5.Газета издательского дома "Первое сентября" МАТЕМАТИКА, №2 2002 год
6. Журнал "Математика в школе" №7 2003 год.
7.http://www.76423s011.edusite.ru/DswMedia/treb.doc
8.http://education.kudits.ru/homeandschool
9.Мищенко Т. М. Тематические тесты по геометрии. 7 класс Экзамен 2005