Параллельность прямых и плоскостей

10 класс
лекция по геометрии
Ноздрачева Т.П.
Параллельность прямых и плоскостей.
Параллельность прямых, прямой и плоскости.
Взаимное расположение прямых в пространстве.
План:
1. Параллельные прямые в пространстве.
2. Скрещивающиеся прямые.
3. Параллельность трех прямых.
1-2. Параллельные прямые в пространстве. Скрещивающиеся прямые.
Введем понятие параллельных прямых в пространстве.
рис.1
р
Определение 1. Две прямые в пространстве
называются параллельными, если они лежат в
одной плоскости и не имеют общих точек. (рис.1)
Обозначение: a || b.
a || b, a и с не параллельны,
a и d не параллельны.
d
a
α
c
рис. 2
b
Если прямые пересекаются
1
(рис.3) или
параллельны2 (рис.1), то они лежат в одной
1
2
Следствие 2 из аксиом.
Определение 1.
06.11.2012 22:48
Стр. 1
Параллельность прямых и плоскостей
2
плоскости. В пространстве две прямые могут располагаться так, что они не
лежат в одной плоскости, то есть не существует такой плоскости, которая
проходит через обе прямые. Ясно, что такие прямые не пересекаются и не
параллельны.
рис.4
Определение 2. Две прямые в пространстве
называются скрещивающимися,
если
они
не
лежат в одной плоскости. (рис.4)
Задача 1. Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих
точек, то они параллельны?
Задача 2. Даны две параллельные прямые a и b. Точки А и А1 лежат на
прямой a, точки В и В1 – на прямой b. Верно ли утверждение: прямые АВ и
А1В1 лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.
№ 34 (а,в,д)
2
10 класс
лекция по геометрии
Ноздрачева Т.П.
Теорема (о параллельных прямых). Через любую точку пространства,
не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и
притом только одна.
рис.5
Доказательство: Пусть М не лежит
на
прямой a (рис.
плоскость
5).
Прямая a и
точка М определяют
единственную
. В этой плоскости проведем через точку М прямую b ,
параллельную
прямой a .
параллельная a и
параллельных
Если
проходящая
существует
через
точку М ,
прямых c и a определяют
еще
то
некоторую
одна
по
прямая c ,
определению
плоскость.
Эта
плоскость содержит прямую a и точку М , то есть совпадает с плоскостью .
Следовательно, в плоскости
через точку М проходят две прямые,
параллельные прямой a , что противоречит аксиоме о параллельных прямых
в планиметрии. Теорема доказана.
В стереометрии часто используется понятие параллельных отрезков.
Определение 3. Два отрезка называют параллельными, если они лежат
на параллельных прямых.
Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой.
М
CD || МК, DK || AB, a || AB
С
В
К
а
D
06.11.2012 22:48
А
рис.6
Стр. 3
Параллельность прямых и плоскостей
4
Замечание.
Многие
свойства
взаимного
расположения
прямых,
известных из курса планиметрии, в стереометрии не имеют места.
Например, на плоскости прямая, пересекающая одну из параллельных
прямых, пересекает и другую. В пространстве это утверждение, вообще
говоря, неверно.
№ 36.
Задача 3. Через точку М, не лежащую на прямой а, проведены две
прямые, не имеющие общих точек с прямой а. Докажите, что по крайней
мере одна из этих прямых и прямая а являются скрещивающимися
прямыми.
Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух
прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту
плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти две прямые
скрещиваются.
D
А
И
В
C
рис. 7
Задача 4. Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b,
параллельную прямой а. Докажите, что прямые b и с скрещиваются.
№ 38.
3. Параллельность трех прямых.
Прежде, чем говорить о параллельности трех прямых, докажем лемму о
пересечении плоскости параллельными прямыми. Она часто применяется в
последующем изложении теории и в практике решения задач.
4
10 класс
лекция по геометрии
Ноздрачева Т.П.
Лемма – вспомогательная теорема, необходимая для доказательства
другой теоремы.
Лемма (о пересечении плоскости параллельными прямыми).
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и
другая прямая пересекает эту плоскость.
рис.8
Доказательство:
Параллельные
Пусть a || b и a пересекает α в
прямые a и b определяют
точке М
некоторую
(рис
8).
плоскость β.
Плоскости α и β имеют общую точку М, а, следовательно, имеют и общую
прямую р, проходящую через точку М по аксиоме 33. Через точку М можно
провести только одну прямую a, параллельную b. Следовательно, р не
параллельна b. Прямые b и р не параллельны и лежат в одной плоскости β,
следовательно, пересекаются в некоторой точке B. Прямая b имеет с
плоскостью α общую точку B и не лежит в плоскости α (иначе по признаку
скрещивающихся
прямых a и b были
бы
скрещивающимися).
Следовательно, прямая b пересекает плоскость α. Лемма доказана.
№ 21.
№ 20
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую,
на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
3
06.11.2012 22:48
Стр. 5
Параллельность прямых и плоскостей
6
Теорема (свойство транзитивности параллельных прямых).
Если две
прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a ∥ c и b ∥ c,
то a ∥ b).
рис. 9
Доказательство:
Заметим,
что
Пусть a || c и b || c (рис.9).
прямые a и b по
теореме
о
параллельных прямых не могут пересекаться, так
как, если бы у них была одна общая точка, то через эту точку можно было
бы провести единственную прямую, параллельную прямой c. То есть они бы
совпадали. Докажем, что прямые a и b лежат в одной плоскости. Пусть М
принадлежит прямой b. Проведем плоскость
через прямую a и точку M и
докажем, что b лежит в плоскости . Если b пересекает плоскость , то по
лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми c пересекает
плоскость , и а пересекает плоскость . Мы пришли к противоречию, так
как а лежит в
. Итак, a лежит в
, b лежит в
и a и b не имеют
общих точек, следовательно a || b. Теорема доказана.
Задача 5. (устно) Могут ли скрещивающиеся прямые a и b быть
параллельными прямой с? Дайте обоснование ответа.
Задача 6. Прямая EF, не лежащая в плоскости параллелограмма ABCD,
параллельна стороне АВ этого параллелограмма. Выясните взаимное
расположение следующих прямых: а) EF и CD; б) EF и BC; в) АВ и ED;
г) АС и BD; д) ВС и FD.
Задача 7. Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием
ЕК, не лежащие в одной плоскости. а) Выясните взаимное расположение
прямых CD и EK. б) Вычислите периметр трапеции, если известно, что в нее
можно вписать окружность и что AB = 22,5 см, EK = 27,5 см.
6
10 класс
лекция по геометрии
Ноздрачева Т.П.
Параллельность прямой и плоскости.
План:
1. Признак параллельности прямой и плоскости.
2. Некоторые свойства.
1. Признак параллельности прямой и плоскости.
Если две точки плоскости лежат в данной плоскости, то по аксиоме 2
все точки прямой лежат в данной плоскости. Отсюда следует, что если
прямая не лежит в данной плоскости, то прямая и плоскость либо имеют
общую точку, то есть пересекаются, либо не имеют ни одной общей точки.
a лежит в
a не лежит в , a
= М.
рис.10
рис. 11
Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если
они не имеют общих точек.
рис. 12
а
а ||
Рассмотрим признак параллельности прямой и плоскости.
Теорема (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая,
не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой,
лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
06.11.2012 22:48
Стр. 7
Параллельность прямых и плоскостей
8
рис. 13
Доказательство: Пусть b лежит
в , a || b и a не лежит в
(рис.13).
Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна . Тогда
прямая a пересекает плоскость , а значит, по лемме о пересечении
плоскости параллельными прямыми прямая b также пересекает плоскость
. Но это невозможно, так как прямая b лежит в плоскости
a не пересекает плоскость
Итак, прямая
поэтому она параллельна этой плоскости.
Теорема доказана.
Вопросы:
1) Сколько прямых, параллельных плоскости, можно провести через
точку, не лежащую на плоскости?
2) Будет ли прямая, параллельная плоскости, параллельна любой
прямой этой плоскости?
8
10 класс
лекция по геометрии
Ноздрачева Т.П.
3) Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой
плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой
плоскости?
4) Верно ли утверждение: две прямые, параллельные некоторой
плоскости, параллельны между собой. Ответ обоснуйте.
№ 23.
Рассмотрим еще три утверждения, в которых показано расположение
плоскости параллельно одной из скрещивающихся или параллельных
прямых.
2. Некоторые свойства.
Теорема (Свойство скрещивающихся прямых). Через каждую из двух
скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой,
и притом только одна.
рис.14
Следующие два утверждения часто используются при решении задач и
легки в доказательстве.4
В качестве упражнения слушателям предлагается доказать теорему и данные утверждения
самостоятельно.
4
06.11.2012 22:48
Стр. 9
Параллельность прямых и плоскостей
10
10. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную
другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения
плоскостей параллельна данной прямой. (рис.15)
рис.15
20. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной
плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости,
либо лежит в этой плоскости. (рис.15)
№ 27.
№ 30.
№ 32.
№ 33.
10
10 класс
лекция по геометрии
Ноздрачева Т.П.
Оглавление
Параллельность прямых, прямой и плоскости.....................................................................................1
Взаимное расположение прямых в пространстве. ...........................................................................1
1-2. Параллельные прямые в пространстве. Скрещивающиеся прямые. ..................................1
3. Параллельность трех прямых. ...................................................................................................4
Параллельность прямой и плоскости. ...............................................................................................7
1. Признак параллельности прямой и плоскости. ........................................................................7
2. Некоторые свойства. ...................................................................................................................9
06.11.2012 22:48
Стр. 11