09-14-03

Тема 14. Элементы геометрии Лобачевского
09-14-03. Перпендикуляры и углы на модели Пуанкаре
Теория
3.1.* Будем понимать под неевклидовым углом фигуру, образованную двумя
неевклидовыми лучами с общим началом.
Определим перпендикулярность неевклидовых прямых следующим образом.
Две неевклидовы прямые взаимно перпендикулярны, если образующиеся при
их пересечении углы равны.
Каждый из углов, образующихся при пересечении неевклидовых перпендикулярных
прямых, называют неевклидовым прямым углом. Прямой неевклидов угол принимают
равным 90 .
Разберем, как на модели Пуанкаре проводить неевклидовы перпендикуляры к
неевклидовой прямой.
Пример 1. Пусть даны неевклидова прямая a , которая изображается лучом с
вершиной O , перпендикулярным прямой p , и точка A (рисунок 1). Опустим из точки A
на прямую a неевклидов перпендикуляр. Для этого радиусом OA опишем
полуокружность с центром в точке O . Она изображает неевклидову прямую b ,
проходящую через точку A и перпендикулярную данной неевклидовой прямой a
(рисунок 2).
Для доказательства надо установить что угол  , образованный неевклидовыми
лучами BM и BA , равен своему смежному углу, образованному лучами BO и BA .
При симметрии относительно полуокружности b луч BM преобразуется в луч BO , а
точки неевклидова луча BA остаются при этом неподвижными. Следовательно, угол 
равен своему смежному углу при неевклидовой прямой a , и поэтому неевклидовы
прямые a и b перпендикулярны.
Пример 2. Пусть теперь неевклидова прямая a изображается полуокружностью
радиуса r с центром O на прямой p (рисунок 3). Чтобы из точки A опустить неевклидов
перпендикуляр на неевклидову прямую a , на луче OA найдем точку A1 , для которой
r
с
 OA
помощью теоремы Фалеса (рисунок 4). Затем евклидов отрезок OA1 можно отложить на
луче OA (рисунок 5).
После этого через точки A и A1 проведем полуокружность с центром на прямой p ,
то есть неевклидову прямую b (рисунок 6). Пусть B — точка пересечения ее с
полуокружностью a . Точка B1 , симметричная точке B относительно окружности a ,
OA  OA1  r 2 . Отрезок OA1 можно построить как четвертое пропорциональное
OA1
r
удовлетворяем условию OB  OB1  r 2 . Так как OB  r , то OB1  r . Следовательно B1  B .
Таким образом, дуга BA преобразуется при симметрии относительно окружности a в
дугу BA1 . Но это значит, что неевклидов угол ABC равен своему смежному углу A1 BC , а
потому неевклидова прямая b перпендикулярна неевклидовой прямой a .
3.2.* Рассмотрим на модели Пуанкаре неевклидов угол  . Пусть одна сторона угла
является лучом BA евклидовой прямой a , которая перпендикулярна прямой p , а другая
сторона угла — это дуга b полуокружности с центром O на прямой p (рисунок 7).
Построим полуокружность c с центром на прямой p , которая проходит через точки
O и B (рисунок 8). При симметрии относительно окружности с дугой b прямая AK
переходит в окружность с дугой c , а луч BA переходит в дугу BO полуокружности c .
Так как при симметрии относительно b точки дуги BL переходят в себя, то неевклидов
угол ABL переходит в неевклидов угол OBL . Следовательно, от неевклидова луча BL
отложен угол OBL, который равен углу ABL .
Если неевклидов угол ABL имеет градусную меру  , причем   90 , то неевклидов
угол ABO имеет градусную меру (2 ) .
3.3.* Построим на модели Пуанкаре неевклидов угол, градусная мера которого равна
45 .
Рассмотрим прямой неевклидов угол, как на рисунке 9.
Проведем с центром в точке O и радиусом OA полуокружность, как на рисунке 10, и
рассмотрим неевклидовы углы CAL и OAL .
Если теперь будем удваивать угол CAL , как рассмотрено в предыдущем пункте, то в
этом случае построение, приведенное на рисунке 8, будет выглядеть так, как на
рисунке 10. Следовательно, неевклидовы углы CAL и OAL равны. Так как градусная мера
суммы этих углов равна 90 , то каждый из неевклидовых углов CAL и OAL имеет
градусную меру 45 .
3.4.* Рассмотрим на модели Пуанкаре неевклидов острый угол BAK , как на
рисунке 11. Покажем, что проекцией его стороны AK на сторону AB является только
часть стороны AB .
Неевклидовыми перпендикулярами к неевклидовой прямой AB являются
полуокружности с центром O . Из этих полуокружностей пересекают неевклидову
сторону AK угла BAK только такие, радиусы которых не меньше OA и меньше OD
(рисунок 12). Следовательно, в неевклидовой геометрии проекцией стороны AK угла на
сторону AB является отрезок AD с исключенной точкой D .
Можно доказать, что аналогичным свойством обладает любой острый угол на
плоскости Лобачевского.
3.5.** Градусную меру неевклидова угла в модели Пуанкаре можно определить с
помощью касательных к евклидовым дугам окружностей, изображающих стороны
неевклидова угла.
Пример 3. Рассмотрим прямой неевклидов угол, который был изображен на
рисунке 1.
Проведем к евклидовой окружности с центром O и радиусом OB касательную в
точке B (рисунок 13).
За градусную меру неевклидова угла MBK принимают градусную меру евклидова
угла MBP . Так как BP  MO , то MBP  90 . Следовательно, неевклидов угол MBK
прямой, что и было установлено в пункте 3.1.
Пример 4. Рассмотрим половину неевклидова прямого угла — угол LAO на
рисунке 10.
К евклидовой окружности с центром B и радиусом BA проведем касательную AM и
к евклидовой окружности с центром O и радиусом OA проведем касательную AK
(рисунок 14). Так как OAB  45 по построению, приведенному в пункте 3.3, а
MA  AB , KA  AO , то KAM  OAB  45 . Поэтому за градусную меру неевклидова
угла LAO принимают градусную меру евклидова угла KAM , то есть 45 . Это вполне
соответствует тому, что неевклидов угол LAO равен половине прямого неевклидова угла.
Пример 5. Рассмотрим на рисунке 15 неевклидов угол BAC , который получен
следующим образом: луч DB проведен перпендикулярно прямой p , точка O выбрана
так, что OAD  30 , и с центром O и радиусом OA проведена полуокружность m .
Построим касательную AK к окружности m . Так как AK  AO , то BAK  60 .
Поэтому за градусную меру неевклидова угла BAC принимают 60 .
Покажем, что если построить угол, в три раза больший угла BAC , то получим
развернутый угол.
Сначала рассмотрим симметрию относительно окружности m . Луч DB при этой
симметрии переходит в полуокружность n с центром на прямой p , проходящую через
точки O и A (рисунок 16). Так как треугольник OAP равносторонний, то центр
полуокружности n совпадает с точкой p . Отсюда можем получить, что при симметрии
относительно полуокружности m неевклидов угол BAC переходит в равный ему
неевклидов угол OAC .
Рассмотрим теперь симметрию относительно окружности n . Так как окружность m
проходит через центр P окружности n , то при этой симметрии окружность m перейдет в
прямую DB (рисунок 17).
Отсюда можем получить, что при симметрии относительно полуокружности n
неевклидов угол OAC переходит в равный ему неевклидов угол DAO . Таким образом,
сумма трех неевклидовых углов, равных углу BAC , составляет 180 .
3.6.** Построим неевклидов треугольник с углами 90 , 45 и 30 .
Проведем сначала OA  p . Затем отложим на прямой p отрезок OK , равный отрезку
OA , и проведем полуокружность с центром K и радиусом KA . В результате получим
неевклидов угол OAL , равный 45 (рисунок 18).
Проведем теперь через точку O прямую m параллельно прямой AK до пересечения
с дугой AL в точке B . Затем с центром в точке O и радиусом OB проведем
полуокружность, пересекающую луч OA в точке C . В результате получим прямой
неевклидов угол ACB (рисунок 19).
Докажем, что в неевклидовом треугольнике ABC угол ABC равен 30 . Для этого
рассмотрим полностью окружность с центром K и радиусом KA (рисунок 20). Так как
AO  KL и AKO  45 , то отсюда AO  OK  OD , AKD  90 . Так как OB AK , то
отсюда OF  KD , KF  FD . Следовательно, в треугольнике BKD медиана BF является
высотой. Поэтому BD  BK  KD , то есть треугольник BKD равносторонний. Значит,
BKD  60 , откуда KBO  30 .
Рассмотрим теперь касательные BQ к дуге BA и BP к дуге BC (рисунок 21). Тогда
BQ  BK , BP  BO , откуда и следует, что PBQ  OBK  30 .
Таким образом, мы построили неевклидов треугольник ABC , сумма внутренних
углов которого меньше 180 .
Можно доказать, что сумма внутренних углов любого неевклидова треугольника
меньше 180 и может быть сколь угодно малой. На рисунке 22 показано, что если
рассмотреть неевклидов угол малой величины с вершиной B и выбрать точки A и C на
его сторонах близко к граничной прямой p , то все углы неевклидова треугольника ABC
будут иметь малую величину.
Контрольные вопросы
1.* Какие неевклидовы прямые называют перпендикулярными?
2.* Как на модели Пуанкаре из данной точки опустить неевклидов перпендикуляр на
данную неевклидову прямую?
3.* Как на модели Пуанкаре удвоить заданный неевклидов угол?
4.* Как на модели Пуанкаре данный неевклидов угол разделить пополам?
5.** Как на модели Пуанкаре можно определить градусную меру неевклидова угла?
6.* Как на модели Пуанкаре построить неевклидов треугольник с углами 90 , 30 и
30 ?
Задачи и упражнения
1.* К неевклидовой прямой a восстановите неевклидов перпендикуляр в данной на
ней точке A .
2.* Даны две пересекающиеся неевклидовы прямые a и b . Постройте проекцию
прямой b на прямую a .
3.** Даны две непересекающиеся неевклидовы прямые a и b . Постройте
прямоугольную проекцию прямой b на прямую a .
4.* На рисунке 23 изображен неевклидов угол BAC в 45 . Отложите равный ему
угол, одна из сторон которого совпадает с неевклидовым лучом AC .
5.** Постройте неевклидов треугольник, все углы которого по 30 .
Ответы и указания
Задача 3  . Даны две непересекающиеся неевклидовы прямые a и b . Постройте
прямоугольную проекцию прямой b на прямую a .
Указание. Сначала рассмотрите случай, когда прямая a изображается евклидовым лучом,
а прямая b – полуокружностью как на рисунке 2. В этом случае надо провести
полуокружности с центром O и радиусами OA и OB . Проекцией неевклидовой прямой b
на неевклидову прямую a будет отрезок A1 B1 с исключенными точками A1 и B1 .
Задача 4  . На рисунке 3 учебника изображен неевклидов угол BAC в 45 . Отложите
равный ему угол, одна из сторон которого совпадает с неевклидовым лучом AC .
Указание. Через точку A проведите неевклидов перпендикуляр к неевклидовой прямой
AB .
Задача 5  . Постройте неевклидов треугольник, каждый угол которого равен 30 .
Указание. Постройте сначала неевклидов треугольник ABC с углами 90 , 30 и 15 .
Для этого постройте евклидов треугольник KAO с катетами AO  p и KO на прямой p ,
в котором угол K был бы равен 30 . Затем постройте геометрическое место точек, из
которых отрезок KO виден под углом 15 . Пусть окружность радиуса KA с центром в
точке K пересечет его в точке B . Вершину C вы найдете, построив дугу радиуса OB с
центром O до пересечения с катетом OA (рис. 4). В неевклидовом треугольнике ABC
угол A равен 30 , угол C равен 90 и угол B равен 15 , так как точка B принадлежит
дуге построенного ГМТ. Если теперь построить точку A1 , симметричную точке A
относительно окружности с центром O и радиусом OB , то точки A , B и A1 окажутся
вершинами неевклидова треугольника с углами в 30 .