смотреть - sch1-smorgon.grodno.unibel.by

ГУО «Общеобразовательная средняя школа №1 г. Сморгони»
Исследовательская работа по теме:
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Исполнители: ученики 7 «Г»
класса: Гришан Дарья, Урбанович
Анастасия,
Руководитель: Зеленко О.Н.
г. Сморгонь, 2010
1
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение
2. Цели и задачи исследовательской роботы
3. Произвольный треугольник
3.1 Условные обозначения
3.2 Таблица данных
3.3 Доказательства признаков равенства для произвольных
треугольников
4. Равнобедренный треугольник
4.1 Условные обозначения
4.2 Таблица данных
4.3 Доказательства признаков равенства для равнобедренных
треугольников
5. Прямоугольный треугольник
5.1 Условные обозначения
5.2 Таблица данных
5.3 Доказательства признаков равенства для прямоугольных
треугольников
6. Выводы
7. Список литературы.
2
1.ВВЕДЕНИЕ
Простейший из многоугольников—треугольник—играет в геометрии
особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся)
геометрия со времён «Начал» Евклида покоится на «трех китах»--трёх
признаках равенства треугольников. Лишь на рубеже XIX-XX веков
математики
научились
строить
геометрию
на
основе
более
фундаментального и общего, чем равенство треугольников, понятия
геометрического преобразования.
За
несколько
тысячелетий
геометры
столь
подробно
изучили
треугольники, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о
самостоятельном разделе элементарной геометрии.
В треугольнике АВС выделяют шесть основных элементов—три
внутренних угла А, В, С и три стороны АВ, ВС, АС. Можно утверждать,
что если шесть основных элементов одного треугольника, соответственно
равны шести основным элементам другого треугольника, то такие
треугольники равны. Однако, доказательство равенства всех шести
элементов процесс долговременный и трудоёмкий, поэтому выделяют три
основных признака равенства треугольников.
Легко заметить, для всех трёх признаков, для равенства треугольников,
необходимо равенство трёх пар соответствующих элементов. Объясняется
это тем, что треугольник обычно определяется заданием трёх его
элементов, хотя бы один из которых является отрезком. Если эти три
элемента задают треугольник, то выполняется и соответствующий признак
равенства треугольников. В качестве элементов треугольника могут
выступать не только стороны и углы треугольника, но и медианы,
биссектрисы и высоты этого треугольника.
Заметим, что в признаках равенства нельзя взять любую тройку
основных элементов, даже если один из них сторона или любой другой
элемент треугольника, который является отрезком. Именно поэтому
каждый предполагаемый признак необходимо доказывать.
3
2.ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ
Основная цель исследовательской работы: найти, сформулировать и
доказать признаки равенства треугольников.
Задачи: провести доказательства, предполагаемых признаков равенства
треугольников. Доказательство провести на основании:
 первого признака равенства треугольников: по двум сторонам и углу
между ними
 второго признака равенства треугольников: по стороне и двум
прилежащим углам
 третьего признака равенства треугольников: по трём сторонам
 признака равенства прямоугольных треугольников: по катету и
гипотенузе
 признака равенства прямоугольных треугольников: по двум катетам
 признака равенства прямоугольных треугольников: по катету и
прилежащему острому углу
 признака равенства прямоугольных треугольников: по катету и
противолежащему острому углу
 признака равенства прямоугольных треугольников: по гипотенузе и
острому углу
 определений понятий медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
4
3. ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
3.1 Введём условные обозначения.
Обозначим а,b,c—стороны треугольника, α—угол против стороны а, β-угол против стороны b, γ-- угол против стороны с.
ha—высота, проведённая к
стороне а, hb—высота, проведённая к стороне b, hс—высота, проведённая
к стороне с.
ma—медиана, проведённая к
стороне а, mb—медиана, проведённая к стороне b, mс—медиана,
проведённая к стороне с.
5
na—биссектриса, проведённая к
стороне а, nb— биссектриса, проведённая к стороне b, nс— биссектриса,
проведённая к стороне с.
3.2 Таблица данных для произвольных треугольников.
№
a
1.
+
b
+
+
+
5.
β
γ
ha
hb
+
+
7.
+
+
8.
+
ma
mb
mc
na
nb
nc
+
+
+
+
+
+
+
6.
hc
+
4.
9.
α
+
2.
3.
c
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1, 2, 3—Это три основных признака равенства треугольников. Мы
проведём доказательства 4-10 признаков.
6
Доказательства
3.3
признаков
равенства
для
произвольных
треугольников
Предположим, что треугольники могут быть равны по двум углам и
высоте проведённой из вершины третьего угла.
Дано: треугольники АВС и А1В1С1 ,угол А равен углу А1 , угол С равен
углу С1,
ВН и В1Н1 высоты, ВН=В1Н1.
Доказать: треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.
Доказательство:
Так как, сумма углов треугольника 180˚ и углы А, А1 и С, С1
соответственно равны, то углы АВС и А1В1С1 тоже равны.
Углы AНB и А1Н1В1 прямые, а угол А равен углу А1 по условию,
значит углы AВН и А1В1Н1 тоже равны. Значит, мы можем утверждать, что
∆AНB=∆А1Н1В1 по стороне и прилежащим углам. Следовательно,
АВ=А1В1.
У треугольников АВС и А1В1С1 АВ=А1В1 и прилежащие к этим
сторонам углы соответственно равны, поэтому ∆ABС=∆А1В1С1 по второму
признаку.
7
На основании этого доказательства мы можем сформулировать
следующий признак равенства треугольников: Если два угла и высота,
проведённая из третьего угла, одного треугольника соответственно равны
двум углам и высоте, проведённой из третьего угла, другого треугольника,
то такие треугольники равны.
Предположим, что треугольники могут быть равны по стороне и
проведённой к ней медиане и высоте.
Дано: треугольники АВС и А1В1С1 ,АС=А1С1 , ВМ и В1М1 медианы,
ВМ=В1М1,
ВН и В1Н1 высоты, ВН=В1Н1.
Доказать: треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники МВН и М1В1Н1. Они прямоугольные и у них
ВМ=В1М1, ВМ=В1М1 , значит, они равны по катету и гипотенузе. Отсюда
следует, что МН=М1Н1.
ВМ и В1М1 медианы. АМ=А1М1, как половины равных сторон. А значит
и АН=А1Н1.
Рассмотрим треугольники АВН и А1В1Н1. Они прямоугольные и у них
ВН=В1Н1 , АН=А1Н1, значит, они равны по двум катетам. Отсюда следует,
8
что углы А и А1 раны, АВ=А1В1. Зная , из условия, что АС=А1С1 , мы
можем утверждать, что треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1 по
первому признаку.
На основании этого доказательства мы можем сформулировать
следующий
признак
равенства
треугольников:
Если
сторона
и
проведённые к ней медиана и высота, одного треугольника соответственно
равны
стороне и проведённой к ней медиане и высоте, другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Предположим, что треугольники могут быть равны по двум сторонам и
медиане, проведённой к третьей стороне.
Дано: треугольники АВС и А1В1С1 ,АВ=А1В1 ,ВС=В1С1,
ВМ и В1М1
медианы,
ВМ=В1М1.
Доказать: треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.
Доказательство:
На продолжении медиан, ВМ и В1М1 отложим отрезки МК и М1К1
равные отрезкам ВМ и В1М1 соответственно. Рассмотрим ∆АМК и ∆СМВ.
9
У них АМ=МС, так как ВМ медиана, ВМ=МК по построению, углы АМК
и СМК равны, как вертикальные. Значит ∆АМК =∆СМВ по двум сторонам
и углу между ними. Следовательно, ВС=АК. Аналогично, В 1С1=А1К1.
Значит АК= А1К1.
Из выше доказанного, мы можем сделать вывод, что ∆АВК=∆А1В1К1 по
трём сторонам. А из этого следует, что углы АВК и А1В1К1 равны. Значит
∆АВМ=∆А1В1М1 по двум сторонам и углу между ними. Поэтому
АМ=А1М1, а так как ВМ и В1М1 медианы, то АС=А1С1. Мы доказали, что
три стороны ∆АВС соответственно равны трём сторонам ∆ А1В1С1, значит
они равны по третьему признаку.
На основании этого доказательства мы можем сформулировать
следующий признак равенства треугольников: Если две стороны и
медиана,
проведённая
к
третьей
стороне,
одного
треугольника
соответственно равны двум сторонам и медиане, проведённой к третьей
стороне другого треугольника, то такие треугольники равны.
Предположим, что треугольники могут быть равны по двум сторонам и
высоте, проведённой к третьей стороне.
Дано: треугольники АВС и А1В1С1 ,АВ=А1В1 ,ВС=В1С1, ВН и В1Н1
высоты,
ВН=В1Н1.
Доказать: треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.
10
Доказательство:
Рассмотрим треугольники АВН и А1В1Н1. Они прямоугольные, так как
ВН и В1Н1 высоты, АВ=А1В1, ВН=В1Н1 по условию. Значит ∆ АВН=∆
А1В1Н1 по катету и гипотенузе. Следовательно, АН=А1Н1.
Рассмотрим треугольники СВН и С1В1Н1. Они прямоугольные, так как
ВН и В1Н1 высоты, СВ=С1В1, ВН=В1Н1 по условию. Значит ∆ СВН=∆
С1В1Н1 по катету и гипотенузе. Следовательно, СН=С1Н1.
Из того, что АН=А1Н1 и СН=С1Н1 , следует: АС=А1С1. . Мы доказали,
что три стороны ∆АВС соответственно равны трём сторонам ∆ А1В1С1,
значит они равны по третьему признаку.
На основании этого доказательства мы можем сформулировать
следующий признак равенства треугольников: Если две стороны и высота,
проведённая к третьей стороне, одного треугольника соответственно
равны двум сторонам и высоте, проведённой к третьей стороне другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Предположим, что треугольники могут быть равны по стороне,
прилежащему углу и биссектрисе этого угла.
Дано:
треугольники
АВС
и
А1В1С1
,АВ=А1В1
биссектрисы,ВТ=В1Т1 , углы АВС и А1В1С1 равны
11
,
ВТ
и
В1Т1
Доказать: треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники
АВТ и А1В1Т1. Из того, что ВТ и В1Т1
биссектрисы, следует: углы АВТ и А1В1Т1 равны, как половины равных
углов. А так как, по условию, ВТ и В1Т1
и АВ=А1В1, мы можем
утверждать, что треугольники АВТ и А1В1Т1 равны по двум сторонам и
углу между ними. Значит углы А и А1 тоже равны.
На основании того, что углы А и А1, и углы АВС и А1В1С1
соответственно равны и АВ=А1В1, мы можем сделать вывод, что
треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1, по стороне и двум
прилежащим углам.
На основании этого доказательства мы можем сформулировать
следующий признак равенства треугольников: Если сторона, прилежащий
к ней угол и биссектриса этого угла, одного треугольника соответственно
равны стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе этого угла, другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Предположим,
что
треугольники
могут
быть
биссектрисе и высоте , проведённым, из этого угла.
12
равны
по
углу,
Дано: треугольники АВС и А1В1С1 ,углы АВС и А1В1С1 равны, ВТ и В1Т1
биссектрисы,ВТ=В1Т1, ВН и В1Н1 высоты, ВН=В1Н1 .
углы АВС и А1В1С1 равны
Доказать: треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.
Доказательство:
Рассмотрим
∆ТВН и ∆Т1В1Н1 , они прямоугольные. По условию:
ВТ=В1Т1, ВН=В1Н1, значит, ∆ТВН=∆Т1В1Н1 по катету и гипотенузе.
Следовательно, углы ВТН и В1Т1Н1 равны.
Рассмотрим ∆ТВС и ∆Т1В1С1. Углы ТВС и Т1В1С1 равны, как половины
равных углов (углы АВС и А1В1С1 равны, ВТ и В1Т1 биссектрисы). Значит
∆ТВС=∆Т1В1С1 по второму признаку. Поэтому углы ТСВ и Т1С1В1 равны,
ВС=В1С1.
Следовательно ∆АВС=∆А1В1С1 по второму признаку(ВС=В1С1, углы
АВС и А1В1С1 равны, углы ТСВ и Т1С1В1 равны) .
На основании этого доказательства мы можем сформулировать
следующий признак равенства треугольников: Если
биссектриса,
проведённые
из
этого
угла,
угол, высота и
одного
треугольника
соответственно равны углу, высоте и биссектрисе, проведённым из этого
угла, другого треугольника, то такие треугольники равны.
13
4. РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК.
Треугольник,
у
которого
две
стороны
равны,
называется
равнобедренным. Две равные стороны называются боковыми, а третья
сторона: основанием. Углы при основании тоже равны. Высота, медиана и
биссектриса, проведённые к основанию равнобедренного треугольника,
совпадают. Высоты, медианы и биссектрисы, проведенные к боковым
сторонам, соответственно равны.
Так как, у равнобедренного треугольника уже есть пара равных
элементов, то для признака равенства
равнобедренных треугольников
достаточно двух пар соответственно равных элементов треугольников.
Объясняется
это
тем,
что
равнобедренный
треугольник
обычно
определяется заданием двух его элементов, хотя бы один из которых
является отрезком. Если эти два элемента задают треугольник, то
выполняется и соответствующий признак равенства равнобедренных
треугольников. В качестве элементов треугольника могут выступать не
только стороны и углы треугольника, но и медианы, биссектрисы и высоты
этого треугольника.
Заметим, что в признаках равенства нельзя взять любую двойку
основных элементов, именно поэтому каждый предполагаемый признак
необходимо доказывать.
14
4.1 Введём условные обозначения.
Обозначим
а—боковая сторона,b—
основание, α—угол против боковой стороны а, β--угол против основания
b, ha—высота, проведённая к боковой стороне, hb—высота, проведённая к
основанию, ma—медиана, проведённая к боковой стороне, mb—медиана,
проведённая к основанию,
na—биссектриса, проведённая к боковой
стороне, nb—биссектриса, проведённая к основанию.
4.2 Таблица данных для равнобедренных треугольников.
№
A
1.
b
α
+
2.
β
ha
hb
ma
mb
nb
+
+
3.
na
+
+
+
Проведём доказательство признаков.
4.3
Доказательства
признаков
равенства
для
равнобедренных
треугольников
Предположим, что равнобедренные треугольники могут быть равны по
основанию и высоте , проведённой, к боковой стороне.
15
Дано: равнобедренные треугольники АВС и А1В1С1 ,АС=А1С1 , АН и
А1Н1,
высоты, АН=А1Н1.
Доказать: треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.
Доказательство:
Рассмотрим ∆АСН и ∆А1С1Н1. Они прямоугольные, так как, АН и А1Н1,
высоты. По условию: АС=А1С1 , АН=А1Н1 .Поэтому ∆АСН=∆А1С1Н1 по
катету и гипотенузе. Следовательно: углы С и С1 равны.
Рассмотрим ∆АВС и ∆А1В1С1. Они будут равны по второму
признаку(АС=А1С1 , углы С и С1 равны, а значит углы А и А1 тоже равны).
На основании этого доказательства мы можем сформулировать
следующий признак равенства равнобедренных треугольников: Если
основание
и
высота,
проведённая
к
боковой
стороне,
одного
равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и высоте,
проведённой к боковой стороне, другого равнобедренного треугольника,
то такие равнобедренные треугольники равны.
16
Предположим, что равнобедренные треугольники могут быть равны по
углу при основании и биссектрисе этого угла.
Дано: равнобедренные треугольники АВС и А1В1С1 ,углы ВАС и В1А1С1
равны,
АТ и А1Т1 биссектрисы, АТ=А1Т1.
Доказать: треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.
Доказательство:
Так как, углы ВАС и В1А1С1 равны, то и углы С и С1 тоже
равны(треугольники АВС и А1В1С1 равнобедренные), углы ТАС и Т1А1С1
равны, как половины равных углов (АТ и А1Т1 биссектрисы). А значит,
будут равны углы АТС и А1Т1С1, так как сумма углов треугольника 180˚.
Следовательно: ∆ТАС= ∆Т1А1С1 по второму признаку. Из равенства
следует, что АС=А1С1.
Значит ∆АВС= ∆А1В1С1 по второму признаку.
На основании этого доказательства мы можем сформулировать
следующий признак равенства равнобедренных треугольников: Если угол
при основании и биссектриса этого угла, одного равнобедренного
треугольника соответственно равны углу при основании и биссектрисе
этого
угла,
другого
равнобедренного
равнобедренные треугольники равны.
17
треугольника,
то
такие
Предположим, что равнобедренные треугольники могут быть равны по
боковой стороне и проведённой к ней медиане.
Дано: равнобедренные треугольники АВС и А1В1С1 ,АВ=А1В1, СМ и С1М1
медианы, СМ=С1М1.
Доказать: треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.
Доказательство:
Так как треугольники АВС и А1В1С1 равнобедренные, то АВ=ВС и
А1В1=В1С1, а значит ВС=В1С1.
Рассмотрим
∆МВС и ∆М1В1С1. Эти треугольники будут равны по
третьему признаку: СМ=С1М1 по условию, ВС=В1С1, ВМ=В1М1, как
половины равных сторон. Значит, углы В и В1 равны.
Следовательно: ∆АВС и ∆А1В1С1 по первому признаку.
На основании этого доказательства мы можем сформулировать
следующий признак равенства равнобедренных треугольников: Если
боковая сторона и медиана, проведённая к ней одного равнобедренного
треугольника
соответственно
равны
боковой
проведённой к ней другого равнобедренного
равнобедренные треугольники равны.
18
стороне
и
медиане,
треугольника, то такие
5. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК.
Треугольник,
в
котором
больший
угол
прямой,
называется
прямоугольным. Поскольку все прямые углы равны, то для равенства
прямоугольных треугольников достаточно двух пар соответственно
равных элементов.
На основании трёх основных признаков равенства треугольников
сформулированы и доказаны пять признаков равенства прямоугольных
треугольников. Перед нами стоит задача найти ещё несколько признаков
равенства прямоугольных треугольников.
5.1 Введём условные обозначения.
а,b—катеты, с—гипотенуза,α—угол против
катета а, β-- угол против катета b, hс—высота, проведённая к гипотенузе,
ma—медиана, проведённая к катету а, mb—медиана, проведённая к катета
b, mс—медиана, проведённая гипотенузе с, na—биссектриса, проведённая к
катету а, nb— биссектриса, проведённая к катету b, nс— биссектриса,
проведённая к гипотенузе с.
5.2 Таблица данных для прямоугольных треугольников.
№
а
b
1.
+
+
2.
+
3.
+
4.
+
α
β
hс
+
+
+
5.
6.
с
+
+
+
+
19
ma
mb
mс
na
nb
nс
7.
+
8.
+
+
+
1-5—это основные признаки равенства прямоугольных треугольников. Мы
приведём доказательства 6-8 признаков.
5.3 Доказательства признаков равенства для прямоугольных треугольников
Предположим, что прямоугольные треугольники могут быть равны по
катету и высоте проведённой к гипотенузе.
Дано: прямоугольные треугольники АВС и А1В1С1 ,АС=А1С1, СН и С1Н1
высоты, СН=С1Н1.
Доказать: треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.
Доказательство:
Рассмотрим ∆АНС и ∆А1Н1С1. Они равны по катету и гипотенузе
(АС=А1С1, СН=С1Н1 по условию). Из этого следует, что углы А и А1 тоже
равны. Следовательно: ∆АВС=∆А1В1С1 по катету и прилежащему углу.
На основании этого доказательства мы можем сформулировать
следующий признак равенства прямоугольных треугольников: Если катет
и высота, проведённая к гипотенузе одного прямоугольного треугольника
20
соответственно равны катету и высоте, проведённой к гипотенузе другого
прямоугольного
треугольника, то такие прямоугольные треугольники
равны.
Предположим, что прямоугольные треугольники могут быть равны по
катету и медиане, проведённой к другому катету.
Дано: прямоугольные треугольники АВС и А1В1С1 ,АС=А1С1, АМ и А1М1
медианы, АМ=А1М1.
Доказать: треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.
Доказательство:
Рассмотрим ∆АМС и ∆А1М1С1. Они равны по катету и гипотенузе
(АС=А1С1, АМ=А1М1 по условию). Из этого следует, что СМ=С1М1, а если
равны половины сторон, то равны и сами стороны. Значит СВ=С1В1.
Следовательно: ∆АВС=∆А1В1С1 по двум катетам.
На основании этого доказательства мы можем сформулировать
следующий признак равенства прямоугольных треугольников: Если катет
и медиана, проведённая к другому катету одного прямоугольного
треугольника соответственно равны катету и медиане, проведённой к
21
другому катету другого прямоугольного
треугольника, то такие
прямоугольные треугольники равны.
Предположим, что прямоугольные треугольники могут быть равны по
острому углу и биссектрисе этого угла.
Дано: прямоугольные треугольники АВС и А1В1С1 ,углы ВАС и В1А1С1
равны,
АТ и А1Т1 биссектрисы, АТ=А1Т1.
Доказать: треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.
Доказательство:
Рассмотрим ∆АТС и ∆А1Т1С1. Они равны по катету и прилежащему
углу (АТ=А1Т1, по условию, углы ТАС и Т1А1С1 равны, как половины
равных углов). Значит АС=А1С1.
Следовательно: ∆АВС=∆А1В1С1 по катету прилежащему углу.
На основании этого доказательства мы можем сформулировать
следующий признак равенства прямоугольных треугольников: Если
острый
угол
и
биссектриса
этого
угла,
одного
прямоугольного
треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе этого угла
другого
прямоугольного
треугольника,
треугольники равны.
22
то
такие
прямоугольные
6. ВЫВОДЫ
В нашей работе, на основании основных трёх признаков равенства
треугольников и пяти признаков равенства прямоугольных треугольников,
мы сумели доказать шесть дополнительных признаков для произвольных
треугольников, три для равнобедренных и три для прямоугольных
треугольников.
Если два угла и высота, проведённая из третьего угла, одного
треугольника соответственно равны двум углам и высоте, проведённой из
третьего угла, другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если сторона и проведённые к ней медиана и высота, одного
треугольника соответственно равны стороне и проведённой к ней медиане
и высоте, другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если две стороны и медиана, проведённая к третьей стороне, одного
треугольника
соответственно
равны
двум
проведённой
к третьей стороне другого
сторонам
и
медиане,
треугольника, то такие
треугольники равны.
Если две стороны и высота, проведённая к третьей стороне, одного
треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведённой
к третьей стороне другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если сторона, прилежащий к ней угол и биссектриса этого угла, одного
треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и
биссектрисе этого угла, другого
треугольника, то такие треугольники
равны.
Если угол, высота и биссектриса, проведённые из этого угла, одного
треугольника
соответственно
равны
углу,
высоте
и
биссектрисе,
проведённым из этого угла, другого треугольника, то такие треугольники
равны.
23
Если
основание и высота, проведённая к боковой стороне, одного
равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и высоте,
проведённой к боковой стороне, другого равнобедренного треугольника,
то такие равнобедренные треугольники равны.
Если
угол при основании и биссектриса этого угла, одного
равнобедренного треугольника соответственно равны углу при основании
и биссектрисе этого угла,
другого равнобедренного
треугольника, то
такие равнобедренные треугольники равны.
Если
боковая сторона и медиана, проведённая к ней одного
равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и
медиане, проведённой к ней другого равнобедренного треугольника, то
такие равнобедренные треугольники равны.
Если катет и высота, проведённая к гипотенузе одного прямоугольного
треугольника соответственно равны катету и высоте, проведённой к
гипотенузе
другого
прямоугольного
треугольника,
то
такие
прямоугольные треугольники равны.
Если катет и медиана, проведённая к другому катету одного
прямоугольного треугольника соответственно равны катету и медиане,
проведённой к другому катету другого прямоугольного треугольника, то
такие прямоугольные треугольники равны.
Если острый угол и биссектриса этого угла, одного прямоугольного
треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе этого угла
другого
прямоугольного
треугольника,
то
такие
прямоугольные
треугольники равны.
Для доказательства равенства мы брали три пары соответственно
равных элементов для произвольных треугольников и по две пары для
равнобедренных и прямоугольных треугольников. Конечно это не все
24
существующие признаки равенства, так как комбинаций из трёх элементов
треугольника значительно больше. Да и не любая тройка элементов может
сформулировать
признак.
Следовательно:
необходимо доказывать
25
каждое
предположение
Литература:
1. Савин А.П. «Энциклопедический словарь юного математика»--М.:
«Педагогика», 1989.
2. Гусев
В.А.,
Медяник
А.И.
«Задачи
по
геометрии»--М.:
«Просвещение», 1988.
3. Савин А.П.,
Станцо В.В., Котова А.Ю. «Я познаю мир.
Математика»-- ООО «Фирма «Издательство АСТ», 1998
4. Латотин Л.А., Чеботаревский Б.Д. «Математика 8»--Мн. «Народная
асвета», 2005
26