Преобразования плоскости и их применение к решению задач

Тимошенко Тамара Андреевна
Программа и материалы элективного курса для учащихся 10-11
классов «ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ»
Пояснительная записка
Актуальность темы «Преобразования плоскости» очевидна, так как одной из
важнейших идей, лежащих в основе построения курса геометрии, является идея
геометрических преобразований, которую обосновал выдающийся немецкий
математик Ф. Клейн (1872 г.). Групповая точка зрения на геометрию оказала
положительное влияние на развитие геометрии, как науки, и ее приложения.
Групповая точка зрения на геометрические свойства фигур широко используется в
физике, химии, биологии, технике. Это сближает математику с данными областями
наук. Методы геометрических преобразований позволяют решать большой класс
задач элементарной геометрии: задачи на доказательство, построение, вычисление,
нахождение геометрических мест точек.
Цель данного курса: углубление и расширение знаний учащихся о
преобразованиях плоскости, усвоение ими конкретных знаний по истории
математики и основаниям геометрии;
По прохождению данного курса учащиеся должны:
1. знать понятие отображения, его основные виды;
2. знать понятие преобразования;
3. знать определение движения и его основное свойство;
4. знать определение композиции преобразований, уметь читать и выполнять
композицию;
5. иметь представление об аналитических уравнениях движения;
6. знать классификацию движений по роду;
7. знать определение видов движений;
8. знать определение гомотетии и подобия и их свойства;
9. иметь представление об аналитических уравнениях преобразований подобия и
гомотетии.
10. уметь применять метод геометрических преобразований к решению задач
элементарной геометрии.
Тематическое планирование
№
п/п
1.
2.
3
4
5
6
Темы занятий
Понятие
отображения,
основные
виды.
Понятие
преобразования. Свойства преобразований плоскости. Группа
преобразований.
Движения плоскости. Понятие движения и его свойства.
Аналитические представления движения.
Классификация движений плоскости. Поворот, параллельный
перенос, симметрия, скользящая симметрия. Группа движений
плоскости.
Преобразование подобия и его свойства. Гомотетия.
Группа
подобий.
Аналитические
представления
преобразования подобия.
Решение задач элементарной геометрии на построение,
Количество
часов
2
2
4
2
4
6
доказательство и
преобразований.
вычисление
методом
геометрических
Итого
20
Текст пособия
Понятие преобразования плоскости. Группа преобразований
плоскости
Определение 1. Если каждому элементу A множества P поставить в
соответствие один определенный элемент A' множество Q , то говорят, что задано
отображение множества P в множестве Q .
Элемент A' называется образом элемента A , который в свою очередь
называется прообразом элемента A' . Если отображение обозначить буквой ƒ, то
пишут так:
f
A' , а также ƒ: P  Q .
ƒ  A  A' , или ƒ: A  A' , или A 
Совокупность образов всех элементов множества P называется образом
множества P и обозначается f P  . Очевидно, f P  Q .
Определение 2. Отображение ƒ: P  Q называется отображением P на
множество Q , если образ множества P есть множество Q , т.е. f P  Q .
Определение 3. Отображение ƒ: P  Q называется взаимно однозначным,
P имеют разные образы, т. е
если разные элементы множества
A, B  P,A  B  f A  f B.
Определение 4. Взаимно однозначное отображение множества P на себя
называется преобразованием множества P .
Если множество P - плоскость, то имеем преобразование плоскости P .
Определение 5. Взаимно однозначное отображение плоскости на себя
называется преобразованием плоскости.
Определение 6. Пусть f и q - два каких-либо преобразования множества
плоскости P . Преобразование h называется произведением (композицией) f и q
(обозначение: h  q  f - первый сомножитель справа!), если оно заключается в
последовательном выполнении преобразования f , а затем преобразования q , т.е.
Произведение
A  P h A  q f A или
A  P q f A  q  f A.
преобразований ассоциативно, т.е.  f  q  h  f  q  h .
Определение 7. Преобразование  плоскости P такое, что A  P A  A
называется тождественным. Тождественное преобразование удовлетворяет
соотношению: f  f      f  f .
Определение 8. Пусть на плоскости P задано
Преобразование f 1 плоскости P называется обратным для
f 1  A  A ' тогда и только тогда, когда A  f A '  .
Заметим, что f 1  f  f  f 1   .
преобразование f .
f , если A P ,
Определение 9. Совокупность G преобразований плоскости называется
группой преобразований, если:
1). для любых f и q из совокупности G их произведение q  f принадлежит G ;
2). для любого f из G обратное преобразование f 1 принадлежит G .
Примеры отображений приведены на рисунках 1-6.
Q
Движения плоскости и их свойства
Определение 10. Движением плоскости называется такое преобразование
плоскости, при котором сохраняется расстояние между любыми двумя точками.
Если движение обозначить f , то определение (10) в формальной записи имеет вид:
A, B  AB  A' B ' , где A '  f  A, B '  f B  .
Движению плоскости можно дать и другое определение, которое
эквивалентно определению 10.
Определение 11. Пусть на плоскости даны две прямоугольные декартовы
системы координат Oi j и O ' i' j ' с одним и тем же масштабом. Движением
плоскости называется преобразование плоскости, которое каждой точке 
плоскости с координатами x и y относительно первой системы Oi j ставит в
соответствие точку  ' с такими же координатами x и y относительно второй
  

 


системы O ' i' j ' .
Если системы координат одной ориентации, то движение называется
движением I рода (рис. 7), в противном случае движение называется движением II
рода. (рис. 8).
y
y
M
x
M
O
x
O
x
y
M
O
M
y
x
O
рис. 7
Можно показать, что координаты
координаты x , y прообраза
следующими формулами
'
x ,y
'
 относительно
рис. 8
образа  ' выражаются через
системы
координат
Oi j 
 x '  x cos   y sin   a
,
 '
 y  x sin   y cos   b

cos   sin 
 1
sin   cos 
(1)
где  - величина угла между векторами i ' и i ' , т.е.    i ' ,i '  , а a, b - координаты

 

точки O ' относительно системы координат Oi j .
Формулы (1), взятые с верхними знаками определяют движение I рода,
взятые с нижними – движение II рода. Эти формулы называются формулами
движений плоскости.
Частными видами движений являются осевая симметрия, центральная
симметрия, параллельный перенос, вращение (поворот), скользящая симметрия и
тождественное преобразование плоскости.
Определение 12. Симметрией относительно прямой  (оси симметрии)
называется движение плоскости, которое:
1). каждую точку прямой  преобразует в себя;
2). каждую точку A   преобразует в точку A ' такую, что AA'  и середина отрезка
AA' лежит на  . Обозначается осевая симметрия S  (рис. 9)
y
A’
L
A’
i
K=K
O
x
j
A
A
рис. 9
рис.10
Если осью симметрии служит ось абсцисс прямоугольной декартовой
системы координат O ' i j , то формулы осевой симметрии имеют вид (рис. 10):
 x '  x
 '
 y   y
(2)
Если за ось симметрии выбрана ось ординат, то формулы S  имеют вид:
 x '   x
 '
 y  y
(3)
 x '   x
 '
 y   y
(4)
где A' x ' , y '  - образ точки Ax, y  .
Определение 13. Симметрией относительно точки O (центр симметрии)
называется движение плоскости, которое всякую точку A  O преобразует в такую
точку A ' , что точка O является срединой отрезка AA' , а точку O преобразует в
себя. Обозначается   (рис. 11.). Если за начало прямоугольной декартовой
системы взять центр O симметрии   , то формулы   имеют вид:
где A' x ' , y '  - образ точки Ax, y  .
y
A
x
j
O
i
A
рис. 11.
Определение 14. Параллельным переносом на вектор a называется
движение плоскости, которое всякую точку A преобразует в точку A' ,
характеризующуюся равенством AA'  a (рис. 12).
Обозначение: Ta .
Формулы параллельного переноса плоскости относительно системы O ' i j ,
имеют вид:
 x '  x  a
 '
 y  y  b
(5)
где a  a, b - вектор параллельного переноса, A' x ' , y '  - образ точки Ax, y  .
y
A
a
A
j
a
x
i
O
рис. 12
Определение 15. Вращением (или поворотом) вокруг точки O на угол 
называется такое преобразование плоскости, при котором: 1) O  O ; 2)
'
произвольная точка A  O переходит в точку A такую, что:
'
'
а) OA  OA ; б) AOA   (рис. 13).
Здесь и далее   AOA означает величину заданного ориентированного угла
AOA ' .
Обозначение: R . Если система выбрана так, что O является точкой,
вокруг которой совершается поворот плоскости (рис. 14), то формулы поворота
плоскости имеют вид:
'
 x '  x  cos   y  sin 
 '
 y  x  sin   y  cos 
(6)
А
А
O
A
A
j
O
i
рис. 13
рис. 14

Заметим, что центральная симметрия   есть поворот R на 180 .
Определение 16. Скользящей симметрией называется произведение осевой
симметрии с осью  и параллельного переноса на вектор a , который параллелен
оси  : т.е. если  || a, то Ta  S  - скользящая симметрия.
Теорема. Всякое движение I рода есть либо тождественное преобразование, либо
параллельный перенос, либо поворот плоскости. Всякое движение II рода есть либо
осевая симметрия, либо скользящая симметрия.
Определение 17. Точка называется инвариантной (или неподвижной) точкой
преобразования f , если при преобразовании f она отображается на себя.
Прямая называется инвариантной прямой преобразования f , если она
отображается на себя.
Если при этом каждая точка прямой остается неподвижной, то прямая
называется осью преобразования.
Можно доказать, что множество всех движений плоскости образует группу,
подгруппой которой является множество всех движений I рода. Движения II рода
группу не образуют.
Движения обладают следующими свойствами:
1 движение отображает отрезок на отрезок;
2  движение отображает точки, лежащие на одной прямой, в точки, также
лежащие на одной прямой;
3 движение отображает прямую на прямую, полуплоскость на полуплоскость;
4  движение сохраняет параллельность прямых;
5  движение отображает луч на луч;
6  движение сохраняет величину угла;
7  движение отображает многоугольник на многоугольник со сторонами и
углами соответственно той же величины, что и у данного многоугольника;
8  движение отображает окружность на окружность того же радиуса;
Справедлива также следующая теорема: если ABC и A ' B ' C ' - два треугольника
и если AB  A' B ' , AC  A ' C ' , BC  B ' C ' , то существует единственное движение
плоскости, отображающее точки A, B, C соответственно на точки A ' B ' C ' .
Определение 18. Фигура Ф называется равной фигуре Ф’ (Ф=Ф’), если
существует движение, при котором фигура Ф преобразуется в фигуру Ф’.
Подобия, свойства подобий
Определение 19. Преобразование плоскости называется подобием, если для
любых двух точек A и B плоскости и их образов A ' и B ' имеет место
соотношение:
A ' B '  k  AB
где  - положительное число, называется коэффициентом подобия.
Определение 19 эквивалентно также следующему определению.
Определение 20. Пусть на плоскости даны две прямоугольные декартовы
  

системы координат Oi j и O ' i' j ' , причем i '    i, j '    j . Подобием плоскости
называется преобразование плоскости, которое каждой точке  плоскости с
координатами x и y относительно первой системы Oi j ставит в соответствие
 


точку  ' с такими же координатами x и y относительно второй системы O ' i' j ' .
Если системы координат одной ориентации, то подобие называется подобием
I рода, в противном случае подобие называется подобием II рода.
Можно показать, что формулы подобия имеют вид:
 x '  x cos   y sin   a
 cos    sin 

  2
,
(7)
 '
 sin    cos 
 y  x sin   y cos   b
при этом верхние знаки соответствуют подобиям I рода, в
противном случае подобие называется подобием II рода.
Определение 21. Фигура Ф называется подобной фигуре Ф’ (Ф~Ф’), если
существует преобразование подобия, при котором фигура Ф преобразуется в
фигуру Ф’. Свойства 1  6  движений выполняются и для подобий. Кроме того, для
подобий выполняется свойство 7  при подобии многоугольник отображается в
одноименный
ему
многоугольник,
углы
которого
равны,
стороны
пропорциональны соответственным сторонам данного многоугольника.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Если стороны треугольника A ' B ' C ' пропорциональны соответственным
сторонам треугольника ABC ,
то существует и притом единственное
преобразование подобия, отображающее точки A, B, C соответственно на
точки A' , B ' , C ' .
Частным случаем подобия является гомотетия.
Определение 22. Гомотетией с центром О и коэффициентом
  O называется отображение плоскости на себя, при котором образом
произвольной точки  является такая точка  ' , что '     .
Исходя из определения 22 можно установить ряд свойств гомотетии:
1 точка и ее образ в данной гомотетии лежат на одной прямой с центром
гомотетии;
2  гомотетия отображает точки, лежащие на одной прямой, в точки, лежащие также
на одной прямой.
3 если гомотетия отображает точки A, B соответственно в точки A ' , B ' , то
A' B '    AB и AB || A' B
'
Из свойства 3 следует, что гомотетия является подобием с коэффициентом  ,
поэтому все свойства подобия выполняются и для гомотетии.
Если гомотетия с центром в начале прямоугольной декартовой системы
координат Oi j отображает точку x, y  в точку  ' x ' , y '  , то так как
 
'     , то формулы гомотетии будут иметь вид:
 x '  x
 '
 y  y
Используя формулы движений и подобий и их свойства, можно решать
методом преобразований большое количество задач элементарной геометрии на
вычисление, доказательство и построение.
Задачи для самостоятельного решения
Симметрия относительно точки
1.
Даны прямая, отрезок и точка О. Построить отрезок так, чтобы его
концы принадлежали данным прямой и отрезку, а точка О была бы его серединой.
2.
В треугольнике ABC проведены медианы АА1, ВВ1 и СC1, пересекающиеся
в точке М. Точки P1Q и R являются соответственно серединами отрезков AM,
BM и СМ. Доказать, что  A 1 B 1 C 1 = PQR.
3.
Построить треугольник по двум сторонам и медиане к третьей стороне. В
каких пределах может изменяться длина медианы, если длины сторон
треугольника равны а и b?
4.
Точки М, N и К являются серединами отрезков, одним концом которых является вершина треугольника ABC, а другим - точка пересечения его медиан. Доказать, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения
прямых, содержащих точки М, N и К, параллельных соответствующим сторонам
треугольника ABC, равен треугольнику ABC.
5.
Даны две окружности и точка Р. Построить параллелограмм так, чтобы
его вершины принадлежали данным окружностям, а точка Р являлась
пересечением диагоналей параллелограмма.
6.
Прямая, содержащая точку пересечения диагоналей параллелограмма
ABCD, отсекает на его сторонах отрезки BE и DF. Доказать, что эти отрезки
равны.
7.
Разделить параллелограмм на две равновеликие части.
8.
Из концов диаметра ВС окружности с центром О проведены две равные
хорды ВА и CD так, что ВА и CD не пересекаются и лежат по разные стороны от
ВС. Доказать, что ОА и 0D принадлежат одной прямой и DO = ОА.
9.
Около
окружности
описан
шестиугольник
с
параллельными
противолежащими сторонами. Доказать, что противолежащие стороны этого
шестиугольника равны.
10.
Противолежащие стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF попарно
параллельны и равны. Какую часть площади шестиугольника составляет площадь треугольника АСЕ?
11.
На окружности даны точки А и В, на прямой l дана точка М. Найти на
окружности такую точку X, чтобы прямые АХ и ВХ пересекали прямую l в точках,
находящихся на равных расстояниях от точки М.
12.
Через точку М угла ABC, не принадлежащую его сторонам, провести секущую так, чтобы получился треугольник наименьшей площади.
13.
Около окружности описан восьмиугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны. Доказать,
что противолежащие стороны
восьмиугольника попарно равны.
14.
Даны треугольник ABC и некоторая точка Х. Построить параллелограмм BXCY, а затем другой параллелограмм YXAZ. Доказать, что существует гомотетия, переводящая точку X в точку Z, и найти ее коэффициент и
центр.
15.
В данный четырехугольник вписать параллелограмм при условии, что две
вершины параллелограмма фиксированы и принадлежат: а) противолежащим
сторонам; б) смежным сторонам четырехугольника.
16.
Медиана СМ треугольника ABC образует со сторонами АС и ВС соответственно углы  и . Какой из этих углов больше, если АС < ВС?
Симметрия относительно прямой
17.
Построить пятиугольник, имеющий: а) одну ось симметрии; б) более
одной оси симметрии.
18.
Через данную точку провести прямую, пересекающую две данные прямые
под равными углами.
19.
Построить треугольник по стороне, разности двух других сторон и углу,
заключенному между первой стороной и большей из двух других сторон.
20.
Построить треугольник по двум сторонам и разности противолежащих им
углов.
21.
Внутри острого угла дана точка М. Построить треугольник МАВ наименьшего периметра, вершины А и В которого лежат на сторонах угла.
22.
Построить выпуклый четырехугольник ABCD, имеющий только одну
ось симметрии - прямую BD.
23.
Можно ли построить такой пятиугольник, диагональ которого лежит на его
оси симметрии? Ответ обосновать.
24.
Доказать, что в выпуклом многоугольнике с нечетным числом вершин и
имеющем оси симметрии, ни одна из диагоналей не может лежать на оси симметрии.
25.
Построить треугольник по углу, прилежащей стороне и разности двух других
сторон.
26.
Построить треугольник по заданной ненулевой разности двух его углов и
длинам сторон, противолежащих этим углам.
27.
Даны две концентрические окружности. Построить ромб, отличный от
квадрата, чтобы: а) две вершины принадлежали одной окружности, а две другие
вершины - другой; б) три вершины принадлежали одной окружности, а одна другой.
28.
Построить треугольник ABC по трем данным серединным перпендикулярам р, q и r к его сторонам.
29.
В данную окружность вписать треугольник, стороны которого параллельны
трем данным прямым.
30.
Около треугольника ABC описана окружность, пересекающая биссектрису
угла С в точке М. Из ортоцентра Н треугольника проведен перпендикуляр HD к
биссектрисе так, что точка D принадлежит lc. Доказать, что CD : СМ = cos С.
31.
Около окружности с центром О описан четырехугольник ABCD. Доказать,
что АОВ + C0D = 180°.
32.
В данную окружность вписать пятиугольник, стороны которого параллельны
пяти данным прямым.
33.
На биллиардном столе прямоугольной формы лежит шар. В каком
направлении необходимо произвести удар по шару, чтобы, отразившись от всех
бортов, шар прошел через свое первоначальное положение?
34.
Доказать, что точка пересечения прямых, которые содержат боковые стороны равнобокой трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середины
оснований трапеции принадлежат одной прямой.
35.
Доказать, что прямая, содержащая середины двух параллельных хорд
окружности, проходит через ее центр.
36.
Окружность F1 пересекает концентрические окружности F2 и F3 соответственно в точках А, В и С, D. Доказать, что хорды АВ и CD параллельны.
37.
Три равные окружности имеют общую точку. Доказать, что окружность,
проведенная через вторые точки пересечения данных трех окружностей,
равна данным.
38.
На плоскости даны четыре равные окружности, проходящие через одну
точку и пересекающиеся вторично в шести точках. Доказать, что четыре окружности, проходящие через каждые три из этих шести точек, взятых по одной на
каждой из данных окружностей, пересекаются в одной точке.
39.
На плоскости даны прямая и точка, не лежащая на ней. Найти геометрическое место центров правильных треугольников, одна вершина которых
находится в данной точке, а другая - на данной прямой.
40.
На плоскости даны прямая и точка, не принадлежащая ей. Найти геомет-
рическое место третьих вершин правильных треугольников, одна вершина
которых находится в данной точке, а другая - на данной прямой.
Поворот
41.
Построить квадрат ABCD по его центру О и точкам М и N, которые принадлежат соответственно прямым АВ и ВС (ОМ не равно ON).
42.
Построить такой равносторонний треугольник, чтобы одна его вершина
совпала с данной точкой О, а две другие принадлежали двум данным
окружностям.
43.
Через данную внутри окружности точку провести хорду данной длины.
44.
На сторонах ВС, СА и АВ равностороннего треугольника ABC даны
соответственно точки М, N и Р. Известно, что ВМ : МС = CN : NA = АР : РВ
= k.
а) Доказать, что MNP — равносторонний треугольник,
б) Вычислить MN,если ВС = a, k = 2.
45.
Ha сторонах АВ и ВС треугольника ABC как на основаниях построены одинаково ориентированные квадраты ABMN и ВСОР. Обозначим их центры через О1
и О2, середину стороны АС - через К, середину отрезка МР - через L. Доказать,
что четырехугольник O1LO2K — квадрат.
46.
На сторонах АС и ВС треугольника ABC вне его построены равносторонние
треугольники АСВ1 и ВСА1. Найти углы треугольника МА1О, где М - середина
стороны АВ, точка О — центр треугольника АСВ1.
47.
На продолжении сторон прямоугольного треугольника ABC отложены отрезки АР и АЕ, равные соответственно катетам АВ и АС треугольника ABC. Доказать, что прямая, содержащая медиану AM треугольника ABC, перпендикулярна
отрезку DE.
48.
Дан квадрат ABCD. Через центр этого квадрата проведены две взаимно
перпендикулярные прямые, отличные от прямых АС и BD. Доказать, что фигуры,
являющиеся пересечением этих прямых с квадратом, равны.
49.
Через центр О правильного треугольника ABC проведены две прямые,
образующие между собой угол в 60°. Доказать, что отрезки этих прямых,
заключенные внутри треугольника, равны.
50.
Построить равносторонний треугольник так, чтобы одной его вершиной
была точка Р, другая принадлежала прямой а, третья — прямой b.
51.
На сторонах АВ и АС треугольника ABC вне его построены квадраты
ABNM и ACQP. Доказать, что МС  BP.
52.
Даны два одинаково ориентированных квадрата MP0R и MUVW.
Доказать, что отрезки PU и RW равны и перпендикулярны.
53. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC построены квадраты с центрами D
и Е, причем точки С и D расположены по одну сторону от АВ, а точки А и Е - по
разные стороны от ВС. Доказать, что угол между прямыми АС и DE равен 45°.
54.
Построить квадрат ABCD по его центру О и двум точкам М и N, принадлежащим прямым ВС и CD (ОМ не равен ON).
Параллельный перенос
55.
Даны четыре различные точки А, В, С и D. Провести через них соответственно четыре параллельные прямые а, b, с и d так, чтобы ширина полосы между
прямыми а и b была равна ширине полосы между прямыми c и d .
56.
Построить трапецию по ее диагоналям, углу между ними и одной из сторон.
57.
Доказать что если прямая, проходящая через середины оснований трапеции, образует равные углы с прямыми, содержащими ее боковые стороны, то
трапеция равнобочная.
58.
Две равные окружности касаются внешним образом в точке К. Секущая,
параллельная линии центров, пересекает окружности последовательно в точках А,
В, С и D. Доказать, что величина угла АКС не зависит от выбора секущей.
59.
Определить площадь трапеции, все стороны которой известны.
60.
На окружности с центром О даны такие три точки А, В и С, что
АОВ=ВОС=60°. Доказать, что расстояние от точки В до произвольного
диаметра окружности равно или сумме, или абсолютному значению разности
расстояний от точек А и С до этого диаметра.
61.
Через точку М, лежащую вне окружности , провести прямую т, пересекающую  в двух точках А и В, так, чтобы АВ = ВМ.
62.
Прямые, которым принадлежат боковые стороны трапеции, перпендикулярны. Доказать, что длина отрезка, концами которого являются середины оснований трапеции, равна полуразности длин оснований.
63.
Сумма длин оснований трапеции равна 21 см, а длины диагоналей равны 13
и 20 см. Вычислить площадь трапеции.
64.
Расстояние между центрами двух пересекающихся
окружностей равных радиусов равно d. Прямая,
параллельная линии центров, пересекает первую окружность в точках А и В, вторую - в точках С и D. Найти длину отрезка АС (смотри
рисунок).
65.
Построить четырехугольник ABCD, зная длину его сторон и длину отрезка
MN, соединяющего середины сторон АВ и DC.
66.
Диагонали трапеции с основаниями а и b взаимно
Какие значения может принимать высота трапеции?
Гомотетия
67. Доказать, что в произвольном треугольнике ABC точка
М пересечения медиан, точка Н пересечения высот и центр О
описанной окружности принадлежат одной прямой (прямая
Эйлера).
68.
Дан угол ABC и внутри него точка М. Провести через
перпендикулярны.
точку М прямую так,
чтобы отрезок ее, заключенный внутри
делился точкой М в отношении 1 : 2.
угла ABC,
69.
Доказать, что если через точку касания двух окружностей провести
произвольную прямую, то она пересечет окружности вторично в таких точках,
что радиусы, проведенные в эти точки, параллельны.
70. Даны три параллельных, попарно не равных отрезка MN, PQ и RS, причем
лучи MN, PQ и RS сонаправлены. Доказать, что три точки пересечения пар
прямых МР и NQ, MR и NS, PR и QS принадлежат одной прямой; точки
пересечения пар прямых MQ и NP, QR и PS, MR и NS также принадлежат одной
прямой (смотри рисунок).
71. Две окружности касаются внутренним образом в точке А. Секущая а
пересекает окружности в расположенных последовательно точках М, N, P, Q
(смотри рисунок). Доказать, что MAN = PAQ.
72. Длины отрезков, одним концом которых является общая точка, а другим точка прямой, разделены в одном и том же отношении. Доказать, что точки
деления принадлежат одной прямой.