Неинерциальные системы отсчета

ТЕМА 5. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
5.1. Силы инерции
Системы отсчета, относительно которых тело, свободное от
внешних воздействий, покоится либо движется прямолинейно и
равномерно, называются инерциальными системами отсчета (ИСО).
Тот факт, что в отсутствие внешних воздействий скорость тела остается
неизменной, означает, что в ИСО выполняется второй закон Ньютона. Любая
система отсчета, движущаяся относительно инерциальной с ускорением,
является неинерциальной (НСО). Опыт показывает, что в НСО второй закон
Ньютона не выполняется; в качестве иллюстрации этого рассмотрим
следующие примеры.
1. На тележке, покоящейся на горизонтальной поверхности, находится
a)
б)
N

w
N

w
F
mg
mg
Рис. 5.1
шарик (рис. 5.1,а). Эту тележку можно рассматривать как инерциальную
систему отсчета, в которой m g  N  0 . В соответствии со вторым законом
Ньютона ускорение шарика относительно тележки также равно нулю. Если
же действовать на тележку постоянной силой, она будет двигаться с
ускорением w (рис. 5.1,б). Опыт показывает, что с таким же по модулю
ускорением, направленным в противоположную сторону, будет двигаться
относительно тележки шарик. Легко видеть, что в этом случае, когда тележка
представляет собой неинерциальную систему отсчета, второй закон Ньютона
не выполняется. Действительно, сумма сил m g и N по-прежнему равна нулю,
однако шарик движется относительно тележки с ускорением.
2. Пусть в вагоне, движущемся равномерно и прямолинейно, к потолку
на нити подвешен шарик (рис. 5.2,а). В этом случае, когда вагон представляет
собой инерциальную систему отсчета, равнодействующая силы тяжести и
натяжения нити равна нулю; в соответствии со вторым законом Ньютона
ускорение шарика относительно вагона также равно нулю. Если же вагон
движется прямолинейно с ускорением w , нить образует с вертикалью на угол
 (рис. 5.2,б). В этой ситуации, когда вагон следует рассматривать
1
как неинерциальную систему отсчета, равнодействующая сила отлична от

б)
a)
W
T
T

Fin

mg
mg
Рис. 5.2
нуля, однако вопреки второму закону Ньютона ускорение шарика
относительно вагона по-прежнему равно нулю.
На рис. 5.3 изображена неподвижная нештрихованная система отсчета
K и штрихованная система K ' , движущаяся относительно нештрихованной
параллельно оси OX с ускорением w (понятно, что системы K и K '
представляют собой инерциальную и неинерциальную системы отсчета).
Положение точки O' относительно неподвижной точки O характеризуется
радиус-вектором R , положение частицы в системах K и K ' определяется
радиус-векторами r и r ' . На рис. 5.3 видно, что r  r ' R . Продифференцируем
это равенство по времени дважды:
Y
K
Y'
K'
W

r
r'
O
R
X
X'
O'
Рис. 5.3
d r d R d r' d 2 r d 2 R d 2 r'
,


 2  2 .
dt
dt
dt ' dt 2
dt
dt '
Поскольку в механике Ньютона предполагается, что t '  t , имеем:
(5.1)
d 2 r d 2 R d 2 r'
 2  2 .
dt 2
dt
dt
Введем следующие обозначения:
2
d2R
d 2 r'
d2r
,
,

w
 a' .

a
dt 2
dt 2
dt 2
(5.2)
Сделав в (5.1) замену (5.2), получим:
a  w  a '  a'  a  w
(5.3)
(здесь a и a ' - ускорение частицы в системах K и K ' ). Далее умножим
равенство (5.3) на массу частицы:
(5.4)
ma '  ma  m w .
По второму закону Ньютона ma  F , где F - сила, действующая на частицу в
системе K . С учетом этого равенство (5.4) примет вид:
ma '  F  m w .
Таким образом, в неинерциальной системе отсчета K ' частица ведет
себя так, как если бы на нее кроме силы F действовала еще одна сила,
которая далее будет именоваться силой инерции:  mw  F in . Используя это
обозначение, придем к равенству ma'  F  F in , что по форме соответствует
записи второго закона Ньютона.
Следовательно, введение силы инерции позволяет описывать движение
частицы в неинерциальной системе уравнениями, аналогичными равнениям в
случае инерциальной системы отсчета. По существу силы инерции
называются фиктивными силами; это обусловлено отсутствием реального
воздействия на рассматриваемое тело со стороны других тел, которое
явилось бы причиной их возникновения. Поэтому использование сил
инерции вовсе не обязательно; любую задачу механики можно решить и в
инерциальной системе отсчета, например – в лабораторной или в
гелиоцентрической. Учет сил инерции оправдан лишь в том случае, когда
решение задачи в неинерциальной системе отсчета получается существенно
проще.
Характерной
особенностью
сил
инерции
является
их
пропорциональность массе тела, и в этом отношении силы инерции сходны с
гравитационными силами. Действительно, представим себе, что мы
находимся в удаленной от всех внешних тел закрытой кабине, движущейся
относительно инерциальной системы отсчета с постоянным ускорением  g
(т.е. в направлении, противоположном направлению ускорения свободного
падения). Тогда на тело внутри кабины будет действовать сила инерции
F in  m g . Однако точно такая же сила гравитации F g  m g будет действовать
на это тело, если кабина неподвижна и находится вблизи поверхности Земли.
Не имея возможности «выглянуть» из кабины, никакими опытами внутри нее
мы не сможем установить, чем же вызвана эта сила – равноускоренным
движением кабины либо гравитационным притяжением Земли. На основании
подобных рассуждений был сформулирован принцип эквивалентности сил
инерции и гравитации, который использовался Эйнштейном в качестве
3
основополагающей идеи релятивистской теории гравитации (ОТО).
5.2. Центробежная сила инерции
Пусть на поверхности Земли, которую будем считать инерциальной
системой, установлен диск, способный вращаться вокруг вертикальной оси.
На диске вдоль его радиуса расположен стержень, один конец которого
закреплен на оси. По стержню как по направляющей может скользить без
трения шарик, прикрепленный к одному из концов пружины. Другой конец
пружины, масса которой очень мала по сравнению с массой шарика,
закреплен на оси. Если диск не вращается, пружина не
деформируется; если же раскрутить диск, пружина растянется, причем ее
удлинение l удовлетворяет равенству
kl  m 2 r ,
(5.5)
где k - коэффициент жесткости пружины, l - ее удлинение, m - масса
шарика,  - угловая скорость вращения, r - радиус окружности, описываемой
шариком. Это равенство следует из второго закона Ньютона для шарика в
системе отсчета, связанной с Землей. Действительно, произведение kl в
левой части равно модулю силы упругости пружины, в правой части имеется
произведение массы шарика на модуль нормального ускорения. В системе
отсчета, связанной с диском, второй закон Ньютона в виде (5.5) не
выполняется, поскольку при отличной от нуля силе упругости ускорение
шарика относительно диска равно нулю. Это противоречие можно устранить,
если считать, что на шарик кроме силы упругости действует также равная ей
по модулю противоположно направленная сила инерции (центробежная сила
инерции):
Fin  m 2 r .
(5.6)
Центробежная сила инерции, возникающая во вращающихся системах
отсчета, как и сила инерции при их поступательном движении, является
фиктивной силой. Строго говоря, наша планета Земля вследствие суточного
вращения также представляет собой неинерциальную систему отсчета.
Найдем модуль центробежной силы, действующей на тело массой 1 кг, у
экватора, где земной радиус ( Rз ) имеет максимальной значение 6,38∙106 м.
Поскольку угловая скорость суточного вращения
2
 7,27  10 5 рад/с,
24  3600
по формуле (5.6) имеем: Fin  1  (7,25  10 5 ) 2  6,38  10 6  0,034 Н, что составляет

0,34% силы гравитации. Поэтому в подавляющем большинстве практических
расчетов этой силой пренебрегают и учитывают ее лишь в тех случаях, когда
требуется большая точность.
В качестве иллюстрации рассмотрим влияние центробежной силы
инерции на свободное падение тел вблизи земной поверхности. Кроме силы
гравитационного притяжения ( Fg ), направленной строго к центру Земли, на
4
падающее тело действует центробежная сила инерции (рис. 5.5). Вследствие
r


Fin

Fg

mg
Рис. 5.5
этого сила тяжести, действующая на тело, представляет собой сумму этих
сил и образует с направлением к центру Земли угол  : FT  Fg  Fin . Так как
FT  m g , такой же угол образует и вектор ускорения свободного падения.
Угол  найдем по теореме синусов:
F
sin  sin 
(5.7)

 sin   in sin  .
Fin
mg
mg
Здесь  - угол между направлением к центру Земли и плоскостью экватора
(географическая широта). Учитывая, что Fin  m 2 r , r  Rз cos , имеем:
sin  
m 2 R3 cos   sin 
2m 2 R3 cos   sin 
 2 R3 sin 2
.
 sin  
 sin  
mg
2mg
2g
Понятно, что численное значение ускорения свободного падения, входящего
в последнюю формулу, зависит от географической широты. Для получения
численной оценки угла  подставим в (5.7) вместо g значение 9,81 м/с2,
соответствующее широте 45 0 , а также   7,27  10 5 рад/с, R3  6,38∙106м. В
результате получим, что sin   0,0018 sin 2 . Отсюда следует, что угол  имеет
максимальное значение в точках земной поверхности на широте 450
(   6 угловых минут); на экваторе и полюсах   0 0 .
5.3. Сила Кориолиса
В предыдущем разделе мы рассматривали центробежную силу
инерции, действующую на тело, неподвижное относительно вращающейся
системы отсчета. Если же тело движется, кроме центробежной силы на него
действует также сила Кориолиса.
Пусть горизонтально расположенный диск вращается с постоянной
угловой скоростью  (рис. 5.6). По поверхности диска вдоль окружности
радиуса R равномерно движется со скоростью  ' привязанная нитью к оси
частица. Поскольку модуль линейной скорости точек диска, расположенных
5

R
n

'
FK
Рис. 5.6
на окружности радиуса R , равен R ,
относительно неподвижной системы отсчета
модуль скорости частицы
  R  ' ,
(5.8)
а ее нормальное ускорение an 
2
R
(5.9)
n
(здесь n - единичный вектор, направленный от частицы вдоль радиуса к
центру окружности). В результате подстановки в (5.9) правой части (5.8)
имеем:
( 'R) 2
( ' ) 2
 2R2
an 
n  an 
n
n  2 '  n .
R
R
R
(5.10)
Первое слагаемое в правой части (5.10) представляет собой нормальное
ускорение частицы во вращающейся системе отсчета:
an ' 
( ' ) 2
n.
R
(5.11)
Умножив равенство (5.10) на массу частицы, с учетом (5.11) получим:
ma n  ma n '  m 2 Rn  2m '  n .
(5.12)
Согласно второму закону Ньютона, произведение man в левой части (5.12)
представляет собой силу натяжения нити: man  F . С учетом этого находим,
что man '  F  m 2 Rn  2m ' n .
Таким образом, во вращающейся системе отсчета кроме силы
натяжения на частицу действуют две силы инерции. Первая из них – это
уже известная нам центробежная сила: Fin  m 2 Rn . Вторая сила, которая
обусловлена движением частицы относительно вращающегося
диска,
называется силой Кориолиса: FK  2m ' n . Легко видеть, что вектор этой
силы можно представить с использованием векторного произведения:
(5.13)
FK  2m  ',  .
Действительно, модуль векторного произведения  ',  равен  '   sin 90 0   '  ,
а его направление противоположно вектору n .
Равенство (5.13) получено для частного случая, когда вектор  ' и
вектор скорости точки диска, обусловленной его вращением, сонаправлены.
Можно показать, что при любом направлении вектора  ' относительно
поверхности диска формула для силы Кориолиса получается такой же. Из
 
 
6
этой формулы следует, что сила Кориолиса всегда перпендикулярна оси
вращения и вектору  ' ; поэтому она не совершает работу и может изменить
лишь направление вектора  ' , но не его модуль.
Опыт показывает, что сила Кориолиса оказывает вполне реальное
воздействие на тела, движущиеся по земной поверхности или вблизи ее. При
свободном падении тела сила Кориолиса отклоняет его к востоку (на рис.
5.7,а вектор угловой скорости для наглядности перенесен в точку, где
a)

N
б)

FK

'

'
'

S
Рис. 5.7
находится тело). При падении тела на южном и северном полюсах Земли
угол между векторами  ' и  равен соответствен 00 и 1800 (рис. 5.7,б).
Поскольку сила Кориолиса в этом случае имеет нулевое значение,
отклонение падающего тела также равно нулю.
Силу Кориолиса необходимо учитывать при стрельбе на дальние
расстояния и вводить соответствующие поправки. В частности, при выстреле
из орудия, направленного на север, снаряд отклоняется к востоку, если
б)

a)
'

'

FK


FK
'
FK


'
FK

Рис. 5.8
орудие находится в северном полушарии. Если же орудие размещается в
южном полушарии, при выстреле в северном направлении снаряд
отклоняется к западу (рис. 5.8,а). При стрельбе вдоль экватора на восток сила
Кориолиса приподнимает снаряд, при выстреле на запад – прижимает его к
Земле (рис. 5.8,б).
7