программа курса «теория вероятностей

ПРОГРАММА КУРСА «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
I. Основные понятия
1.1 Назначения вероятностей в простых примерах. Случайный эксперимент. Пространство
элементарных исходов. Определение события. Операции над событиями: объединение,
пересечение, дополнение одного события до другого, противоположное событие.
Достоверное и невозможное события.
1.2 Сигма-алгебра (поле) событий. Вероятностная мера. Аксиоматика на вероятностном
пространстве.
1.3 Геометрическая вероятность. Задача о встрече.
1.4 Классическая схема вычисления вероятностей. Комбинаторные схемы с учетом и без
учета порядка – выборка без возвращения, выборка с возвращением.
1.5 Гипергеометрическое распределение.
II. Вероятности сложных событий
2.1 Условные вероятности и независимость событий. Связь независимости
несовместности. Независимость в совокупности.
2.2 Вычисление вероятностей сложных событий: формулы произведения и сложения.
2.3 Полная группа событий. Число полных групп. Формула полной вероятности.
2.4 Формула Байеса. Оценка наиболее вероятной гипотезы.
и
III. Биномиальные схемы
3.1 Схема Бернулли. Формула Бернулли. Биномиальное распределение. Полиномиальное
распределение.
3.2 Форма распределения Бернулли. Наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли.
3.3 Аппроксимация гипергеометрического распределения биномиальным распределением.
3.4 Простейший поток событий. Распределение Пуассона. Примеры.
3.5 Аппроксимация
биномиального
распределения
распределением
Пуассона.
Погрешность аппроксимации.
IV. Случайные величины
4.1 Случайная величина. Распределение случайной величины. Дискретные случайные
величины. Вырожденное, Бернулли, биномиальное, геометрическое, Пуассона,
гипергеометрическое распределения вероятностей.
4.2 Дискретная и абсолютно непрерывная функция распределения вероятностей. Свойства
функции распределения.
4.3 Функции плотности распределения. Абсолютно непрерывные распределения:
равномерное, показательное, Гамма, Эрланга.
4.4 Нормальное распределение. Свойства нормального распределения: связь со
стандартным нормальным распределением. Свойства функции распределения. Правило
«трех сигм».
4.5 Числовые характеристики случайных величин: мода, медиана, моменты.
4.6 Математическое ожидание и его свойства. Неравенство Йенсена.
4.7 Дисперсия и ее свойства. Неравенство Йенсена.
4.8 Мат. ожидание и дисперсия известных распределений.
V. Закон больших чисел и предельные теоремы
5.1 Неравенства Чебышёва, неравенство Маркова, неравенство Чебышева-Бьенеме.
5.2 Сходимость случайных величин. Примеры.
1
5.3 Закон больших чисел в форме Чебышева, Хинчина. ЗБЧ в применении к схеме
Бернулли.
5.4 Слабая сходимость (по распределению). Центральная предельная теорема в форме
Ляпунова. Следствия ЦПТ, теорема Муавра – Лапласа. Неравенство Берри – Эссеена.
5.5 Следствия для изучения асимптотического поведения случайных величин: точность
оценки мат. ожидания, репрезентативность выборки.
V. Многомерные случайные величины
6.1 Многомерные, двумерные случайные вектора. Функция распределения случайного
вектора, ее свойства. Абсолютно непрерывные многомерные распределения.
6.2 Двумерная случайная величина. Функция распределения, функция плотности.
Двумерная таблица распределения дискретных случайных величин.
6.3 Определения независимости случайных величин: через совместное распределение,
через функцию распределения совместного распределения. Независимость случайных
величин с дискретным распределением.
6.4 Корреляция и зависимость. Коэффициенты ковариации и корреляции. Их свойства.
6.5 Двумерное и многомерное нормальное распределение.
Список литературы
1. Курс лекций.
2. Вентцель Е.С. Курс теории вероятностей. М., Наука, 1988.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая
школа, 1998.
4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей.- М.: Наука, 1982.
5. Чернова Н.И. Курс лекций по теории вероятностей для ЭФ НГУ.
6. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. М., МГУ, 1972.
7. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика.
М., ИНФРА-М, 2001
8. Кендалл М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. М., Наука, 1973.
2