Задания к зачету I. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Задания к зачету
I. Арифметическая и геометрическая прогрессии
Вариант 1.
В квадрат вписана окружность, а в нее вписан второй квадрат. Во второй
квадрат вписана окружность, а в нее – третий квадрат и т.д. Доказать, что
стороны квадратов образуют геометрическую прогрессию. Найти сторону
одиннадцатого квадрата, если сторона первого квадрата равна 1.
Вариант 2.
Найти пятый член и сумму пяти членов геометрической прогрессии,
заданной ее членами b3=12, b6=-96.
Вариант 3.
Второй член арифметической прогрессии равен 5, а пятый равен 14. Найти
разность прогрессии.
Вариант 4.
Первый член геометрической прогрессии равен 1/3, знаменатель равен 1/3.
Найти число п членов прогрессии, если п-ый член ее равен 1/6561.
Вариант 5.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 2/3, а
второй член равен (-1/2). Найти восьмой член прогрессии.
Вариант 6.
В арифметической прогрессии, состоящей из четырех целых чисел,
наибольший член равен сумме квадратов остальных трех членов. Найти
члены этой арифметической прогрессии.
Вариант 7.
Некоторые члены арифметических прогрессий
17, 21, 25, 29, … и 16, 21, 26, 31, … одинаковы. Найти сумму первых
ста одинаковых членов.
Вариант 8.
Последовательность х1, х2, х3, …, хп, … обладает тем свойством, что
разность хп+1 – хп есть (п+1) – й член геометрической прогрессии с первым
членом а и знаменателем q. Выразить х2, х3, х4, …, хп через х1, а, q и п.
Вариант 9.
Каждый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии
отличается постоянным множителем k от суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, начинающейся со следующего члена. Какие
значения может принимать k.
Вариант 10.
Даны числа a, b, c, d, e такие, что a, b, c – три последовательных члена
арифметической прогрессии; b, c, d – последовательные члены
геометрической прогрессии и c, d, e составляют гармоническую
прогрессию. Доказать, что a, c, e – три последовательных члена
геометрической прогрессии.
II. Вычислить
Вариант 1. log 1 49
7
Вариант 2. log 5
2
1
3
0,16
Вариант 3. lg 0,001  2lg10000  100,5
2 6 log2 3  10 3 lg 3
Вариант 4.
 log5 3 16
 1 

 125 
log 5
log 36
4 log 7
Вариант 6. 81 3  27 9  3 9
Вариант 5. 
Вариант 7. log 8 16  log 8 32
Вариант 8.
lg 81
lg 27
Вариант 9. Дано: lg 3  m , lg 5  n . Найти log 15 30
Вариант 10.
lg128
lg16
III. Вычислить методом математической индукции,
что для любого п натурального справедливо
Вариант 1. 12  2 2  ...  п 2 
п(п  1)( 2п  1)
6
Вариант 2. 12  2 2  32  ...  (1) п1 п 2  (1) п1 
п(п  1)
2
Вариант 3.  1  3  5  7  9  ...  (1) п (2п  1)  (1) п п
Вариант 4. 1  2  2 2  ...  2 п1  2 п  1
Вариант 5. 1  2  ...  п 
Вариант 6.
п(п  1)
2
1
1
1
п

 ... 

1 5 5  9
(4п  3)( 4п  1) 4п  1
Вариант 7. 1  4  2  7  3  10  ...п(3п  1)  п(п  1) 2
1
2
Вариант 8. 1   ... 
1
3
Вариант 9. 1   ... 
1
2
п 1
1
3 п 1
 2

1
2 п 1
3п  1
2  3 п 1
Вариант 10. 1  3  5  ...  (2п  1)  п 2
IV. Построить график функции
Вариант 1. у  9  х
Вариант 2. у  1  sin
x
2
Вариант 3. у  log 2 х  1
Вариант 4. у  0,5 х 1  2
Вариант 5. у  1 
1
х
Вариант 6. у  х 2  2 х
Вариант 7. у  2  х
Вариант 8. у  3 
х
х
Вариант 9. у  соs x
Вариант 10. y  x  2
3
Контрольные вопросы к зачету
Арифметическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия.
Разложение бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов.
Основные свойства логарифмов.
Линейная функция, квадратичная функция, кубическая функция.
Степенная функция: с натуральным показателем, с целым отрицательным
показателем, с дробным показателем.
7. Показательная функция.
8. Логарифмическая функция.
9. Тригонометрические функции.
10.Обратные тригонометрические функции.
11.Элементарные преобразования графиков функций.
12.Графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак
модуля.
13.Принцип математической индукции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко Алгебра и элементарные функции
(справочник). Киев: Наукова думка, 1976.
2. И.Х. Сивашинский Элементарные функции и графики
3. А.Г. Цыпкин Справочник по математике. М.: Наука, 1980.
4. И.И. Гайдуков Абсолютная величина. М.: Просвещение, 1964.
5. И.Х. Сивашинский Задачник по элементарной математике. М.: Наука,
1966.
Дополнительная
6. Е.Е.Вересова, Н.С.Денисова, Т.Н.Полякова Практикум по решению
математических задач М.:Просвещение, 1979.
7. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУЗы
/под редакцией М.И.Сканави. М.: Высшая школа, 1978.
8. И.Х. Сивашинский Задачи по математике для внеклассных занятий М.:
Просвещение, 1968.
9. Школьные учебники.