Лабораторная работа № 60 &quot

Министерство образования Республики Беларусь
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики
МАЯТНИК ОБЕРБЕКА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ХАРАКТЕРИСТИК ВРАЩАТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
Методические указания к лабораторной работе по физике
Минск 2008
УДК 531.38 (075.8)
ББК 22.213я7
И 98
Составители:
А.А. Иванов, С.И. Петренко
Рецензенты:
А.Г.Литвинко, А.А.Баранов
В работе содержатся основные теоретические сведения по
теме «Динамика вращательного движения твёрдого тела», описана
методика определения момента инерции крестообразного маятника,
момента сил трения.
Методические указания предназначены для самостоятельной
подготовки студентов к выполнению лабораторной работы.
© БНТУ, 2008
Цель работы:
1. Изучить характеристики и основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела.
2. Определить момент инерции крестообразного маятника.
3. Исследовать зависимость момента инерции системы от
распределения массы относительно оси вращения.
Приборы и принадлежности:
Маятник Обербека, набор грузов, штангенциркуль, линейка.
1. ДИНАМИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
Основные понятия и формулы
Абсолютно твёрдым телом называют тело, расстояние между
любыми двумя точками которого в условиях данной задачи можно
считать постоянным. Иначе говоря, это тело, форма и размеры
которого не изменяются при его движении. Всякое твёрдое тело
можно мысленно разбить на большое число частей, сколь угодно
малых по сравнению с размерами всего тела, и рассматривать его
как систему (совокупность) материальных точек, жёстко связанных
друг с другом.
Центром масс (инерции) называют точку, масса которой равна
массе всего тела, а положение определяется радиусом-вектором RC:
n

mi ri



m r  m 2 r2  ...  m n rn
RC  1 1
 i 1
,
(1)
m1  m 2  ...  m n
m


где mi и ri - массы и радиусы-векторы отдельных точек (частиц),
m – масса всего тела.
Произвольное движение тела можно представить как совокупность только поступательного движения центра инерции и
вращательного движения относительно центра инерции.
Поступательным называется движение, при котором любая
прямая, проведенная в теле, остаётся параллельной самой себе
(рис.1а). При поступательном движении все точки тела получают за
один и тот же промежуток времени равные по величине и
направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения
всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми.
Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела
(например, центра масс) для того, чтобы охарактеризовать
движение всего тела.
Второй закон Ньютона для движения центра масс твёрдого
тела записывается в виде

d (mVC ) 
 F внешн
(2)
dt


где VC - скорость центра масс, F внешн - геометрическая сумма
всех внешних сил, приложенных к телу.
При
вращательном
движении все точки тела
A
A
описывают окружности,
R1
A
m1
центры которых лежат на
одной прямой, называеR2
мой осью вращения.
B
B
m2
B
Окружности,
описываемые точками, нахоРиРис. 1а
Рис. 1б
дятся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения (рис. 1б). Ось вращения может
находиться как внутри тела, так и вне его.
Чтобы твёрдое тело с закреплённой осью привести во вращательное движение, необходимо хотя бы в одной из его точек

приложить внешнюю силу F , не проходящую через ось вращения
и непараллельную ей, другими словами, чтобы эта сила создавала
момент силы.

Моментом силы M относительно произвольной точки О
(неподвижного начала) называется векторное произведение
радиуса-вектора r , проведенного из этой точки к точке приложе
ния силы, на силу F :
  
M  r F
(3)
 

Момент силы M
перпендикулярен к плоскости, в ко
торой лежат радиус-вектор r

и сила F , и образует с ними правую тройку (при
наблюдении с конца вектора

видно, что вращение по
M

кратчайшему пути от r к

происходит против чаF
совой стрелки (рис. 2).
F
M

Ñ
r
l
Рис. 2

Модуль вектора M согласно определению векторного
произведения равен

M = r F sin ( r F ) = r F sin α = F l ,
(4)
где l = r sin α – длина перпендикуляра, опущенного из точки C на
прямую, вдоль которой действует сила, называется плечом силы
(рис. 2).
Моментом инерции I материальной точки относительно
некоторой оси называется скалярная величина, равная произведению массы материальной точки mi на квадрат расстояния ri от
этой точки до оси вращения
(5)
I  mi ri2 .
Момент инерции I твёрдого тела относительно той же оси
n
I
m r
i i
2
,
(6)
i 1
где mi и ri - масса i-той материальной точки и её расстояние до
оси вращения.
Момент инерции зависит не только от массы всего тела и её
распределения в теле, но также от его ориентации относительно
оси вращения и является величиной аддитивной.1
Аддитивность – свойство физических , геометрических и других
величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее
целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его
частям при любом разделении объекта на части. Пример: масса в
классической физике, энергия.
1
При непрерывном распределении массы относительно оси
вращения, момент инерции равен:
m
n
I  lim
m r   r
2
i i
mi0
n  i 1
2
dm .
(7)
0
Учитывая, что dm = ρ dV , где ρ – плотность вещества в объёме dV, формулу (7) можно записать в виде

I  r 2 dV .
(8)
V
Если тело однородно, т.е. его плотность ρ одинакова по всему
объёму, то

I   r 2 dV .
(9)
V
Момент инерции относительно оси вращения характеризует
инертность тела при вращении вокруг этой оси, т.е. является
величиной, аналогичной массе тела, которая является мерой
инертности тела при его поступательном
Î'
движении.
dr
Используя формулу (9), можно рассчиR
тать моменты инерции однородных тел праr
вильной геометрической формы.
b
В качестве примера рассчитаем моÎ
мент инерции сплошного однородного диска
(цилиндра) относительно оси, перпендикулярной к
Рис. 3а
плоскости диска и проходящей через его центр масс
(рис 3а). Разобьём диск на кольцевые слои толщиной
dr. Обьём такого слоя равен dV = b·2πr·dr, где b – толщина диска.
Подставим выражение для dV в уравнение
m
n
I  lim
m r   r
mi0
n  i 1
2
i i
0
2

dm  r 2 dV
V
и вынесем постоянные за знак интеграла:
R

I  2b r 3 dr  b
0
R4
2
Учитывая, что произведение плотности диска ρ на его объём
πR2b равно массе диска, получим:
mR 2
I
.
(10)
2
Î'
l
Î
Рис. 3б
Без расчёта приведём формулы момента инерции тонкого стержня длиной l
относительно оси, перпендикулярной к
стержню и проходящей через его середину (рис. 3б)
Î'
Î
Рис. 3в
ml 2
I
,
(11)
12
и момента инерции шара относительно оси, проходящей через его
центр масс (рис. 3в)
2mR 2
I
(12).
5
Теоретический расчёт моментов инерции тел произвольной
формы сложен, поэтому их определяют опытным путём.
Если для какого-либо тела известен его момент инерции I0
относительно оси, проходящей через центр масс, то момент
инерции относительно любой оси, параллельной первой, может
быть найден по теореме Штейнера. Момент инерции твёрдого
тела относительно произвольной оси (I) равен сумме моментов
инерции этого тела относительно оси, параллельной данной и
проходящей через центр инерции I0 и произведения массы тела на
квадрат расстояния между осями:
I = I0 + md ,
(13)
где m – масса тела; d – расстояние от центра масс до оси вращения.
Векторное произведение радиуса-вектора на её импульс

называется моментом импульса L этой материальной точки
относительно точки О:


(14)
L  r  mv  .
Моментом импульса тела относительно точки C называется

векторная сумма моментов импульса L всех частиц тела относительно этой точки:
n
 n 


(15)
L
Li  ri  miv i 


i 1
i
O'
Если материальная точка
вращается по окружности радиуса r
mv
(рис. 4), то момент импульса относиr
Ñ
тельно оси вращения ОО
L  mr v  mr 2  ,
так как v  ωr , где –  угловая скоO
рость.
Рис. 4
Если вокруг оси ОО′ вращается
система материальных точек с одной
и той же угловой скоростью , то
L
n
L
m r ω .
2
i i
i 1
Величину , как одинаковую для всех материальных
точек, можно вынести из-под знака суммы. Тогда получится
L=I,
(16)
n
где I 
m r
i i
2
- момент инерции тела относительно оси вращения.
i 1
вращения.
Основной закон динамики вращательного движения тела
имеет вид

dL 
 M внеш ,
(17)
dt

где dL / dt - производная по времени от момента импульса тела

относительно произвольного неподвижного начала,
М внеш -
геометрическая сумма моментов всех приложенных к телу
внешних сил относительно того же начала.
Основное уравнение динамики вращательного движения (17)
аналогично основному уравнению динамики поступательного

движения dp / dt  Fвнеш и поэтому уравнение (17) называют также
вторым законом Ньютона для вращательного движения.
С учётом (16) уравнение (17) можно представить в виде

d 
(18)
Iω  М внеш
dt
Если ось неподвижна (I=const), то уравнение (18) можно записать
так:

dω 
I
 М внеш
dt
 
или
(19)
Iε  М внеш ,
где ε – угловое ускорение.




Сравнивая формулы d mv  dt  Fвнеш и d Iω dt  M внеш

убеждаемся, что эти формулы аналогичны. Аналогом силы F ,
входящей в уравнение динамики поступательного движения,
является момент силы в случае вращательного движения твёрдого
тела, линейной скорости поступательного движения – угловая
скорость вращающегося тела, массы – момент инерции тела.
II. ВЫВОД РАБОЧЕЙ ФОРМУЛЫ
для определения момента инерции маятника Обербека
mãð
mãð
r
l
R
Î
mãð
mãð
T
h
Рис. 5
mg
На рис. 5 представлена принципиальная схема установки, с помощью которой производятся исследования. Четыре стержня укреплены на втулке под
прямым углом. На стержнях находятся
грузы массой mгр каждый. Втулки и
шкив насажены на общую ось. Ось закреплена в подшипниках так, что вся
система может вращаться вокруг горизонтальной оси. Передвигая грузы по
стержням, можно легко изменять момент инерции I системы. На
шкив намотана нить, к которой прикреплена платформа известной
массы. На платформу кладётся груз, нить натягивается и создаёт
вращающий момент
M=Tr,
(20)
где T – сила натяжения нити;
r – радиус шкива.
Силу T можно найти из уравнения движения платформы с
грузом
 

(21)
mg  T  ma
или в скалярном виде
mg +T=ma ,
(22)
где m – масса платформы с грузом, a – её ускорение.
Ускорение a связано с угловым ускорением ε соотношением
a
(23)

r
Из уравнений (20) и (22) получаем, что момент силы натяжения нити
M = T r = m ( g - a) r .
(24)
Кроме того, на маятник действует момент силы трения в оси
Mтр. С учётом этого, уравнение динамики вращения твёрдого тела
(19) имеет вид:
I ε = m ( g - a) r - Mтр .
(25)
В уравнение (25) входит ускорение a платформы. Это ускорение можно определить, измеряя время t, в течение которого
платформа с грузом опускается на расстояние h
2h
a 2 .
(26)
t
Тогда уравнение (25) принимает вид:
2h
I  m( g  )r  M тр
t
и для I получаем выражение
I
m( g 
2h
)r  M тр
t2

(27)
или с учётом (26)
I
m( g 
2h
)r  M тр
t2
.
2h
rt 2
(28)
II. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
Задание 1. Определить момент инерции тела и момент сил
трения.
Для этого:
а) установить грузы mгр на некотором расстоянии (R=10 см) от
оси маятника. Маятник должен находиться в равновесии;
б) установить высоту падения (45÷50 см) перемещением подвижного кронштейна;
в) изменять нагрузку нити m и измерять время t движения груза;
г) вычислить значения a,ε и M для каждой нагрузки по формулам:
2h
2h
a
a 2 ; 
M  m( g  2 ) r ;
;
r
t
t
д) построить график зависимости ε = f (M);
,ñ-2
}


Mòð
M
M,Í .ì
е) экстраполируя прямую до пересечения
с осью абсцисс, определяем Mтр;
ж) по графику определить момент инерции системы. Так как наклон прямой
1 
, то
tg  
I M
M
.
(29)
I

Задание 2. Исследовать зависимость момента инерции системы от распределения массы относительно оси
вращения.
Для этого:
а) установить высоту падения h = 45÷50 см;
б) грузы на стержнях закрепить на расстоянии R = 10 см от оси
вращения;
в) нагрузку на нить взять m ≈ 90 г;
г) измерить время движения груза;
д) груз на стержнях передвигать на 5 см и проделать опыт до конца
стержней;
е) для каждой длины R вычислить значения момента инерции без
учёта сил трения по формуле
2h
m( g  2 ) r 2 t 2
t
I
;
(30)
2h
ж) построить график зависимости I = f (R).
Домашнее задание:
а) для каждой длины R вычислить значение момента инерции с
учётом сил трения (считая силу трения во всех случаях одинаковой) по формуле (31) и сравнить с результатами, полученными по
формуле (30):
I
m( g 
2h
)r  M тр
t2
2h
rt 2
;
(31)
б) рассчитать теоретически момент инерции маятника, рассматривая его как систему, состоящую из шкива, 4 стержней и 4 грузиков
по формуле
I = Iшкива + 4Iст + 4Iгр
,
(32)
1
где Iшкива= mor 2,
2
mo – масса шкива;
Iстержня= Iо ст + mстержня· d 2 ,
(33)
где
Iо ст – момент инерции стержня относительно оси, проходя1
щей через центр масс Iо ст =
mст· l 2 ,
(34)
12
где l – длина стержня,
d – расстояние от оси вращения до центра масс стержня
Iгр = Iо гр + mгр· S 2 ,
(35)
где S – расстояние от центра масс грузика до оси вращения
Iо гр – момент инерции грузика относительно оси, проходящей
через его центр масс, который рассчитывается по формуле
 I 2 R2  r 2
I 0 гр  m

4
 12
где R- внешний радиус цилиндра,
r – внутренний радиус цилиндра,
l – высота цилиндра.
При данных размерах
I 0 гр  mгр  rгр2

,


(36)
С учётом (33), (34), (35) и (36) формула (32) принимает вид:
I=
1
1
1
mоr 2 + 4( mст· l 2 + mст· d 2) + 4( mгр· rгр 2 + mст· S 2) (37)
2
3
12
в) оценить в процентном отношении расхождение результатов
измерения с теорией для одного значения I (при R = 10 см) по
формуле
I теор  I эксп
(38)

 100%
I теор
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое центр инерции твёрдого тела?
2. От чего зависит и какой формулой выражается момент инерции
твёрдого тела?
3. Что такое момент силы, момент импульса относительно
неподвижного начала? Как определяется их направление?
4. Что такое момент инерции твёрдого тела и от чего он зависит?
5. Сформулировать теорему Штейнера.
6. Каковы особенности вращательного движения тела по
сравнению с поступательным?
7. Запишите основные уравнения динамики вращательного
движения тела и поясните физический смысл входящих в них
величин.
8.
Как определить момент сил трения в данной работе?
9.
Зависит ли момент инерции маховика и грузиков от силы
натяжения нити?
10. Как изменится угловое ускорение маховика, если грузы на
стержнях приблизить к оси вращения?
ЛИТЕРАТУРА
1. И.В.Савельев. Курс общей физики. Т.1. Москва. Гл. редакция
физ.-мат. литературы. 1989. §§ 36-39.
2. Т.И.Трофимова. Курс физики. Москва. «Высшая школа». 1985.
Стр. 28-37.
3. Лабораторный практикум по общей физике под ред.
Е.М.Гершензона и Н.Н. Малова. «Просвещение». 1985. Стр. 4143.
Учебное издание
МАЯТНИК ОБЕРБЕКА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ХАРАКТЕРИСТИК ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Методические указания к лабораторной работе по физике для
студентов строительных специальностей
Составители:
А.А. Иванов, С.И. Петренко