010400 Функциональный анализ

1.Цели и задачи дисциплины
1.1.Цель, задачи дисциплины, ее место в подготовке бакалавра, специалиста (с учетом требований ФГОС)
Дисциплина «Функциональный анализ» входит в число базовых дисциплин математического и
естественнонаучного цикла ФГОС ВПО по специальности «Прикладная математика и информатика»
Цели: дать удобный инструмент для абстрактных интерпретаций, а также язык формально логических
построений и межнаучного общения; научить умению использовать средства функционального анализа при
использовании модельных задач экономики.
Задачи: Научить студентов языку функционального анализа, без которого невозможно обойтись в занятиях
математикой; быть поставщиком понятий и результатов, необходимых в других математических и
специальных курсах.
1.2.Требования к уровню усвоения дисциплины
Обучающийся должен знать основные понятия функционального анализа: теории метрических, линейных,
нормированных, банаховых, гильбертовых пространств, теории функционалов и операторов; технику
применения собственных значений и собственных векторов и использование спектра оператора; теорию вполне
непрерывных и самосопряженных операторов.
Обучающийся должен уметь выполнять операции над векторами линейных, нормированных, банаховых, и
гильбертовых пространств, над линейными операторами; использовать разложения Фурье; вычислять
собственные значения и находить собственные векторы линейных операторов.
Обучающийся должен владеть методами функционального анализа при математическом моделировании
различных задач экономики.
У обучающегося должны быть сформированы следующие общекультурные компетенции (ОК) и
профессиональные компетенции (ПК) : ПК-1 – обладать способностью демонстрации общенаучных базовых
знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов
теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой; ПК-2 – способностью приобретать новые
научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии;
ПК-11 – способностью приобретать и использовать организационно-управленческие навыки в
профессиональной и социальной деятельности
1.3.Связь с другими дисциплинами Учебного плана
Перечень действующих и предшествующих
дисциплин
Математический анализ
Дифференциальные уравнения
Перечень последующих дисциплин, видов
работ
Векторный анализ и теория поля
Комплексный анализ
2.Содержание дисциплины, способы и методы учебной деятельности преподавателя
Методы обучения – система последовательных, взаимосвязанных действий, обеспечивающих усвоение содержания
образования, развитие способностей студентов, овладение ими средствами самообразования и самообучения;
обеспечивают цель обучения, способ усвоения и характер взаимодействия преподавателя и студента; направлены на
приобретение знаний, формирование умений, навыков, их закрепление и контроль.
Монологический (изложение теоретического материала в форме монолога)
М
Показательный (изложение материала с приемами показа)
П
Диалогический (изложение материала в форме беседы с вопросами и ответами)
Д
Эвристический (частично поисковый) (под руководством преподавателя студенты рассуждают,
Э
решают возникающие вопросы, анализируют, обобщают, делают выводы и решают поставленную
задачу)
Проблемное изложение (преподаватель ставит проблему и раскрывает доказательно пути ее ПБ
решения)
Исследовательский (студенты самостоятельно добывают знания в процессе разрешения
проблемы, сравнивая различные варианты ее решения)
Программированный (организация аудиторной и самостоятельной работы студентов
осуществляется в индивидуальном темпе и под контролем специальных технических средств)
Другой метод, используемый преподавателем (формируется самостоятельно), при этом в п.п.
2.1.-2.4. дается его наименование, необходимые пояснения
И
ПГ
Приведенные в таблице сокращения обозначения педагогических методов используются составителем Рабочей
программы для заполнения п.п. 2.1., 2.2. и 2.3. в столбце «Методы».
10
1
Пятый семестр
Очная форма обучения
Лекции
Модуль 1 «Метрические пространства»
2
-
Тема «Метрические пространства».
Реализуемые
компетенции
в том числе в
интерактивной
форме, час.
Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание
Методы
110
1-2
Кол. час
Неделя
2.1.Аудиторные занятия (лекции, лабораторные, практические, семинарские)
М, П
ПК-1
М, П
ПК-2
М, П
ПК-11
М, П
ПК-1
М, П
ПК-2
М,П
ПК-11
М, П,
Д
М,П,Д
ПК-1
Э,И
ПК-11
Основные определения. Аксиомы метрического пространства.
Неравенства Коши-Буняковского, Гёльдера, Минковского.
3-4
2
-
Тема «Сходимость в метрических пространствах».
Открытые и замкнутые шары. Точки прикосновения. Замыкание
множеств. Предельные точки. Сходимость. Открытые множества.
Теоремы об открытых и замкнутых множествах.
5-6
2
-
Тема «Сепарабельность и полнота метрических пространств».
Определение сепарабельности. Наследуемость сепарабельности.
Определение полноты. Критерий полноты. Теорема о пополнении
метрического пространства.
7-8
2
1
Тема «Метод сжатых отражений».
Непрерывные операторы в метрических пространствах. Неподвижные
точки. Операторы сжатия. Теорема Банаха.
9
2
-
Тема «Компактные множества в метрических пространствах».
 – сети. Критерий компактности
n
Хаудорфа. Компактность в R .
Определение компактности.
1013
1011
2
1
Модуль 2 «Нормированные пространства»
2
-
Тема «Нормированные пространства».
1213
2
1418
14
6
3
Модуль 3 «Гильбертовы пространства»
М,Д,П
ПК-1
2
-
Тема «Гильбертовы пространства».
М,Д
ПК-2
Э,И
ПК-11
М,Д
ПК-1
Э,И
ПК-2
М,Д
ПК-11
ПК-2
Основные определения и простейшие свойства нормированных
пространств. Конечномерные пространства. Базисы. Сходимость.
1
Тема «Подпространства нормированных пространств».
Компактность. Полнота. Сепарабельность. Основные определения и
понятия. Теорема Рисса. Критерий компактности.
Скалярное произведение. Норма. Ортогональность.
15
2
1
Тема «Гильбертовы пространства».
Теорема Пифагора. Ортогональные разложения.
16
2
1
Тема «Разложение Фурье».
Разложение Фурье. Неравенство Бесселя.
17
2
-
Тема «Разложение Фурье».
Равенство Парсеваля. Замкнутость и полнота.
18
2
1
Тема «Линейные операторы».
Аддитивные, однородные и линейные операторы. Непрерывность.
Ограниченность. Норма. Распространение линейных операторов.
Точечная сходимость. Теорема Банаха-Штейнгауза.
Пятый семестр
Очная форма обучения
Практические занятия
1-9
18
3
Модуль 1 «Метрические пространства»
Д,И,Э
ПК-1
1
2
-
Тема «Основные функциональные метрические пространства».
Д, И
ПК-2
Э,И
ПК-11
И, Д
ПК-1
Э, Д
ПК-2
Метрические пространства
R, R n , R , Ca, b, L p , l p , m, s .
Определения и проверка аксиом.
2
Тема «Основные функциональные метрические пространства».
Метрические пространства L p , l p , m, s . Определения и проверка
2
аксиом.
3
2
-
Тема «Сходимость в основных метрических пространствах».
Сходимость в
4
2
-
R, R n , R , Ca, b, L p , l p , m, s .
Тема «Сепарабельность и полнота основных метрических
пространств».
Сепарабельность и полнота
R, R n , R  , C a, b.
5
2
1
Тема «Сепарабельность и полнота основных метрических
пространств» Сепарабельность и полнота L p , l p , m, s .
Д,И
ПК-11
6
2
1
Тема «Операторы сжатия».
Д,И
ПК-1
Д,И
ПК-2
Д,И
ПК-11
Использование теоремы Банаха для решения систем линейных
уравнений.
7
2
-
Тема «Компактность».
Примеры компактных множеств в основных функциональных
пространствах.
8
2
1
Тема «Компактные множества в метрических пространствах»
Понятие
 -сети. Разбор критерия компактности Хаудорфа.
9
2
-
Контрольная работа по модулю 1.
Э,И
ПК-1
1013
1011
6
1
Модуль 2 «Нормированные пространства»
Э,И
ПК-2
2
1
Тема «Основные нормированные пространства»
Д, И,
Э
ПК-11
12
2
Д,И,Э
ПК-1
Контрольная работа по модулю 2.
Э,И
ПК-2
Модуль 3 «Гильбертовы пространства»
Д,И,Э
ПК-11
Основные определения и простейшие свойства нормированных
пространств. Рассмотрение наиболее общеупотребительных
нормированных пространств. Подпространства в основных
нормированных пространствах.
Тема «Банаховы функциональные пространства»
Рассмотрение наиболее общеупотребительных банаховых пространств.
Подпространства в банаховых пространствах.
13
1418
12
2
14
2
-
Тема «Гильбертовы пространства. Линейные операторы»
Э,И
ПК-1
Э,И
ПК-2
Д,Э
ПК-11
Д,И
ПК-1
Д,И,Э
ПК-2
Рассмотрение конкретных примеров гильбертовых пространств.
Примеры линейных операторов в конечномерных и бесконечномерных
пространствах. Примеры пространств линейных операторов.
15
2
1
Тема «Линейные функционалы».
Пространства линейных функционалов для конкретных пространств.
Приложение теоремы Хана-Банаха.
16
2
1
Тема «Сопряженные и самосопряженные операторы. Вполне
непрерывные операторы».
Рассмотрение конкретных примеров сопряженных и самосопряженных
операторов. Интегральные самосопряженные оператора. Вполне
непрерывность интегральных операторов.
17
2
-
Тема «Спектр самосопряженного вполне непрерывного оператора».
Контрольная работа по модулю 3.
Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание
Реализуемые
компетенции
-
в том числе в
интерактивной
форме, час.
2
Кол. час
Неделя
18
Методы
Изучение конкретных видов операторов вышеуказанного типа.
М,Д,П
ПК-1
М,Д
ПК-2
М,Д
ПК-11
М,П
ПК-1
2429
2425
6
2
Шестой семестр
Очная форма обучения
Лекции
Модуль 1 «Линейные операторы»
2
1
Тема «Пространства линейных операторов».
2627
2
2829
2
3036
3031
6
1
Модуль 2 «Самосопряженные операторы»
Э,И
ПК-2
2
-
Тема «Сопряженные и самосопряженные операторы».
М,Д
ПК-11
3233
2
М,П,Д
ПК-1
3436
2
М,Д
ПК-2
Равномерная сходимость. Произведение операторов. Обратные
операторы. Критерии существования.
-
Тема «Линейные функционалы».
Общая форма линейных функционалов в гильбертовом пространстве.
Пространство линейных функционалов. Слабая сходимость. Критерий
слабой сходимости.
1
Тема «Теорема Хана-Банаха».
Выпуклые множества и выпуклые функции. Функционал
Минковского. Теорема Хана-Банаха.
Основные понятия и определения. Свойства сопряженных и
самосопряженных операторов.
-
Тема «Спектр самосопряженного оператора».
Собственные числа и собственные элементы самосопряженного
оператора. Спектр. Теоремы о спектре.
1
Тема «Вполне непрерывные операторы».
Определение, основные понятия и свойства. Критерий вполне
непрерывности.
3641
3637
6
2
Модуль 3 «Спектр оператора»
Э,И
ПК-11
2
1
Тема «Спектр самосопряженного вполне непрерывного оператора».
М,П
ПК-1
3839
2
М,Д
ПК-2
Э,И
ПК-11
Спектр. Теорема о диагонализации.
-
Тема «Интегральные уравнения».
Решение уравнения вида
4041
2
1
 A   x  y .
Тема «Интегральные уравнения»
Приложение к теории интегральных уравнений.
Шестой семестр
Очная форма обучения
Практические занятия
2429
24
12
2
Модуль 1 «Линейные операторы»
Э,И
ПК-1
2
1
Тема «Пространства линейных операторов».
М,Д
ПК-2
Э,И
ПК-11
М,Д
ПК-1
Э,И
ПК-2
М,П
ПК-11
Э,И
ПК-1
Равномерная сходимость. Произведение операторов.
25
2
-
Тема «Пространства линейных операторов».
Обратные операторы. Критерии существования.
26
2
-
Тема «Линейные функционалы».
Общая форма линейных функционалов в гильбертовом пространстве.
27
2
-
Тема «Линейные функционалы».
Пространство линейных функционалов. Слабая сходимость. Критерий
слабой сходимости.
28
2
-
Тема «Теорема Хана-Банаха».
Выпуклые множества и выпуклые функции. Функционал Минковского.
29
2
1
Тема «Теорема Хана-Банаха».
Теорема Хана-Банаха.
3035
30
12
1
Модуль 2 «Самосопряженные операторы»
Э,И
ПК-2
2
-
Тема «Сопряженные и самосопряженные операторы».
М,Д
ПК-11
Э,И
ПК-1
М,П,Д
ПК-2
Э,И
ПК-11
М,Д
ПК-1
Э,И
ПК-2
Основные понятия и определения.
31
2
-
Тема «Сопряженные и самосопряженные операторы».
Свойства сопряженных и самосопряженных операторов.
32
2
-
Тема «Спектр самосопряженного оператора».
Собственные числа и собственные элементы самосопряженного
оператора.
33
2
1
Тема «Спектр самосопряженного оператора».
Спектр. Теоремы о спектре.
34
2
-
Тема «Вполне непрерывные операторы».
Определение, основные понятия и свойства.
35
2
-
Тема «Вполне непрерывные операторы».
Критерий вполне непрерывности.
3641
36
12
3
Модуль 3 «Спектр оператора»
Э,И
ПК-11
2
-
Тема «Спектр самосопряженного вполне непрерывного оператора.
Интегральные уравнения».
М,П
ПК-1
М,Д
ПК-2
М,П
ПК-11
М,Д
ПК-1
М,Д
ПК-2
М,П
ПК-11
Спектр. Теорема о диагонализации. Решение уравнения вида
A   x  y . Приложение к теории интегральных уравнений.

37
2
1

Тема «Норма оператора. Слабо сходящаяся последовательность
функционалов»
Норма оператора. Точечно сходящаяся последовательность операторов.
Обратимый линейный оператор. Слабо сходящаяся последовательность
функционалов. Слабо компактное множество.
38
2
Тема «Сопряженный оператор»
-
Сопряженный оператор. Самосопряженный линейный оператор.
39
2
1
Тема «Инвариантное пространство. Слабо сходящаяся
последовательность функционалов»
Инвариантное пространство. Собственное число линейного оператора.
Слабо сходящаяся последовательность функционалов. Слабо компактное
множество.
40
2
1
Тема «Спектр самосопряженного вполне непрерывного оператора.
Инвариантное пространство».
Спектр. Теорема о диагонализации. Инвариантное пространство.
Собственное число линейного оператора
41
2
-
Тема «Компактный оператор. Слабо сходящаяся последовательность»
Кол. час
Неделя
2.2.Самостоятельная работа студента
Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, вопросы к
практическим и лабораторным занятиям; тематика рефератной работы;
курсовые работы и проекты, контрольные, рекомендации по использованию
литературы и ЭВМ и др.
Реализуе
мые
компете
нции
Компактный оператор. Компактное множество. Слабо сходящаяся
последовательность.
Пятый семестр
1-2
1
Изучение основных типов метрических пространств.
ПК-1
3-4
1
Обоснование выполнимости аксиоматики метрического пространства для
конкретных пространств.
ПК-2
5-6
2
Изучение сходимости в основных метрических пространствах.
ПК-11
7-8
2
Применение принципа сжатых отображений для нахождения решений
уравнений.
ПК-1
9-10
2
Применение понятия компактности. Подготовка к практическому занятию.
ПК-2
11-13
2
Индивидуальное задание по теме «Метрические пространства».
ПК-11
14-15
1
Изучение конкретных типов нормированных пространств.
ПК-1
16-18
2
Разложение пространств в прямую сумму подпространств. Подготовка к
практическому занятию.
ПК-2
1-18
13
Усвоение текущего учебного материала.
ПК-11
1-18
-
Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента.
ПК-2
Шестой семестр
24-25
Изучение конкретных типов линейных операторов.
ПК-1
26-27
1
Ограниченные операторы.
ПК-2
28-29
1
Функционалы. Сопряженные пространства.
ПК-11
30-31
1
Сопряженные и самосопряженные операторы.
ПК-1
32-33
1
Подготовка к практическому занятию.
ПК-2
34-35
2
Индивидуальное задание по теме «Самосопряженные операторы».
ПК-11
36-37
2
Спектр. Подготовка к практическому занятию.
ПК-1
38-39
2
Компактные операторы. Подготовка к практическому занятию.
ПК-2
40-41
2
Подготовка к контрольной работе.
ПК-11
24-41
12
Усвоение текущего учебного материала.
ПК-1
24-41
-
Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента.
ПК-2
2.3.Интерактивные технологии и инновационные методы, используемые в образовательном
процессе
Основаны на использовании современных достижений науки и информационных технологий. Направлены на
повышение качества подготовки путем развития у студентов творческих способностей и самостоятельности
(методы проблемного обучения, исследовательские методы, тренинговые формы, рейтинговые системы обучения и
контроля знаний и др.). Нацелены на активизацию творческого потенциала и самостоятельности студентов и могут
реализовываться на базе инновационных структур (научных лабораторий, центов, предприятий и организаций и
др.).
№
Наименование основных форм
Краткое описание и примеры,
Часы
использования в модулях темах, место
проведения
Разбор
конкретных ситуаций
Тема «Метод сжатых отражений» 1
семестр в модуле 1 на лекции; Темы
«Пространства линейных операторов»,
«Теорема Хана-Банаха» на практическом
занятии в модуле 1 1 семестр;
Тема « Подпространства нормированных
пространств» в модуле 2 1 семестр на
лекции; тема «Спектр самосопряженного
оператора» на практическом занятии
модуля2 1 семестра;
тема «Основные нормированные
пространства» в модуле 2 1 семестр на
практическом занятии;
тема «Разложение Фурье» в модуле 3 1
семестр на лекции;
тема «Линейные операторы» в модуле 3 1
семестр на лекции;
тема «Гильбертовы пространства.
Линейные операторы» в модуле 3 1
семестр на практическом занятии;
тема «Линейные функционалы» в модуле
3 1 семестр на практическом занятии;
тема «Сопряженные и самосопряженные
операторы. Вполне непрерывные
операторы» в модуле 3 1 семестр на
практическом занятии;
Ориентация
содержания на лучшие
отечественные аналоги образовательных
программ
Содержание дисциплины ориентируется
на образовательную программу
Московского государственного
университета им. М.В. Ломоносова,
кафедра математической кибернетики
22
3.Средства обучения
3.1.Информационно-методические
№
Перечень основной и дополнительной литературы, методических разработок;
с указанием наличия в библиотеке, на кафедре
Основная литература:
1.
Натансон И.П. Теория функций вещественного переменного. – Наука, 1974, стр. 54.
10
2.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. –
Наука, 1968, стр. 65.
12
3.
Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. – М.: Высшая
школа, 1982, стр. 44.
25
4.
Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. – М.: Наука, 1958, стр. 47.
5
5.
Треногин В.А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980, стр. 77.
7
Перечень основной и дополнительной литературы, методических разработок;
№
с указанием наличия в библиотеке, на кафедре
Дополнительная литература:
16
1.
Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977, стр. 79.
27
2.
Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. – М.: Наука, 1980, стр. 84.
3
3.
Вайнберг М.М. Функциональный анализ – М.: Просвещение, 1979, стр. 69.
11
4.
Лапенко Ю.П. Введение в функциональный анализ. Ростов-на-Дону, РГЭУ, 2002, стр.93.
17
3.2.Материально-технические
№ ауд.
Основное оборудование, стенды, макеты, компьютерная
техника, наглядные пособия и другие дидактические
материалы, обеспечивающие проведение лабораторных и
практических занятий, научно-исследовательской работы
студентов с указанием наличия
315
Учебное пособие по функциональному анализу.
Основное назначение (опытное,
обучающее, контролирующее) и
краткая характеристика использования
при изучении явлений и процессов,
выполнении расчетов.
Обучающее
4.Текущий контроль успеваемости и промежуточная аттестация
№
Тесты (демонстрационный вариант), темы курсовых работ/проектов, вопросы и задания для
текущего контроля, для подготовки к зачету, экзамену
4.1. Текущий контроль успеваемости
4.1.1. Тестовые задания
Образцы тестовых заданий по модулю 1 1-го семестра
1. Указать является ли метрическое пространство l p сепарабельным:
а) является
б) не является
2. Указать является ли множество бесконечно дифференцируемых на отрезке
метрическим пространством в метрике
а) является
Ca, b :
a, b функций полным
б) не является
3. Найти среди отображений A : R  R линейное:
2
а)
Ax  3x1  2 x2  1, x2  3
в)
Ax  4x1  x2  2,2x1  x2 
2
б)
г)
Ax  2x1  3x2 ,1,5x1  3x2 
Ax  2x1  x2 , x1  x2  2 .
Образцы тестовых заданий по модулю 21-го семестра
1 Указать является ли множество всех многочленов замкнутым подпространством банахова
пространства C a, b :
 
а) является
б) не является

2 Указать норму линейного функционала f : l2  R f  x   
n 1
а) 1
б)
1
3
в)
1
2
3. Найти среди отображений
A : l2  l2 компактный оператор
а)
Ax  x1 ,0, x3 ,0, x5 ,0,...
б)
Ax  0, x2 ,0, x4 ,0, x6 ,...
в)
Ax  x1 , x2 , x3 , x4 ,0,0,...
xn
:
2n
4.1.2.
Типы задач
Типы задач по модулю 1 1-го семестра
1.
1. Если E  X , а f - функция, заданная на Х, то сужением f на E называется функция g ,
определенная на множестве E и такая, что
g равенствами: f 0, 0  g 0, 0  0 ,
g  p   f  p  при p  E . Зададим в R 2 функции f и
f x, y   xy 2 / x 2  y 4 ,
при  x, y   0, 0  .
Доказать, что
и что
f
прямую в
f
ограничена на
разрывна в точке
R 2 , что g
g x, y   xy 2 / x 2  y 6 
не ограничена в любой окрестности точки
0, 0 ; тем не менее сужения каждой из функций f
и
g
0, 0
на любую
R 2 непрерывны!
2. Пусть
f
– непрерывное отображение метрического пространства Х в метрическое
пространство У. Пусть Е – замкнутое подмножество пространства У.
Доказать, что множество
3. Пусть
f
f 1 E  замкнуто в Х.
– непрерывная вещественная функция на метрическом пространстве Х. Пусть
Z  f  (нуль-множество функции f
Доказать, что множество
) есть множество всех
p X
в которых
f  p  0 .
Z  f  замкнуто.
Типы задач по модулю 2 1-го семестра
1. Если Е – непустое подмножество метрического пространства Х, то определим расстояние от
точки
x X
до множества Е равенством
 E  x   inf d  x, y .
yE
а) Доказать, что
 E x   0 тогда и только тогда, когда х принадлежит замыканию множества Е.
б) Доказать, что
E
– равномерно непрерывная функция на Х.
2. Пусть К и F – непересекающиеся подмножества метрического пространства Х, причем К
компактно, F замкнуто. Доказать, что существует число
  0 , такое, что d  p, q    , если
pK , qF .
Показать, что это утверждение может оказаться неверным, если ни одно из двух
непересекающихся замкнутых множеств не компактно.
3. Пусть А и В – непустые непересекающиеся замкнутые множества в метрическом пространстве
Х. Положим
f  p 
Показать, что
сегменте
f
 A  p
 A  p   B  p
 p  X .
– непрерывная функция на Х, множество значений которой содержится в
0,1; что f  p   0 в точках множества А и только в них; что f  p   1 в точках
множества В и только в них.
Типы задач по модулю 3 1-го семестра
1. Назовем отображение пространства Х в пространство У открытым, если
каково бы ни было открытое множество
V
f V  открыто в У,
в Х.
Доказать, что каждое непрерывное открытое отображение
R1 монотонно.
2. Пусть f и g – непрерывные отображения метрического пространства Х в метрическое
пространство У, и пусть Е – всюду плотное подмножество из Х.
f E  плотно в f  X  . Доказать, что если f  p   g  p  при всех p  E , то
f  p   g  p  при всех p  X .
Доказать, что
3. Показать, что определение равномерное непрерывности можно следующим образом
сформулировать, используя понятие диаметра множества: для каждого   0 существует 
такое, что diam f E   для любого E  X , для которого diamE   .
 
 0,
Типы задач по модулю 1 2-го семестра
1. Пусть Е – плотное подмножество метрического пространства Х, и пусть
непрерывная вещественная функция, заданная на Е.
Доказать, что
f – равномерно
f имеет непрерывное продолжение с Е на Х.
2. Доказать сепарабельность пространства
3. Доказать полноту
Rn .
Rn .
Типы задач по модулю 2 2-го семестра
1. Найти пополнение множества всех алгебраических чисел.
2. Найти пополнение всех аналитических функций на отрезке
3. Является ли множество всех многочленов степени не выше
a, b ?
C

0,1.
n замкнутым подпространством
Типы задач по модулю 3 2-го семестра

1. Найти норму линейного функционала
g : l2  R g  x   
n1
2. Является ли оператор
A :l 2 l 2 компактным:
1
1
 1

Ax   x1 , x2 , x3 , ..., xn ,...  .
3
n
 2

4.2. Промежуточная аттестация
4.2.1 Вопросы к экзамену
n  1xn
2n
Пятый семестр
1.
2.
Метрические пространства. Основные определения. Аксиомы метрического пространства.
Неравенства Коши-Буняковского, Гёльдера, Минковского.
3.
Метрические пространства
4.
5.
Сходимость в метрических пространствах. Открытые и замкнутые шары. Точки прикосновения.
Замыкание множеств. Предельные точки. Сходимость. Открытые множества. Теоремы об
открытых и замкнутых множествах.
6.
Сходимость в
7.
8.
Сепарабельность и полнота метрических пространств. Определение сепарабельности.
Наследуемость сепарабельности.
Определение полноты. Критерий полноты. Теорема о пополнении метрического пространства.
9.
Сепарабельность и полнота
10.
11.
12.
13.
Метод сжатых отражений. Непрерывные операторы в метрических пространствах.
Неподвижные точки. Операторы сжатия. Теорема Банаха.
Использование теоремы Банаха для решения систем линейных уравнений.
Компактные множества в метрических пространствах. Определение компактности.
R, R n , R , Ca, b, L p , l p , m, s . Определения и проверка аксиом.
R, R n , R , Ca, b, L p , l p , m, s .
R, R n , R , Ca, b, L p , l p , m, s .

– сети.
n
14. Критерий компактности Хаудорфа. Компактность в R .
15. Примеры компактных множеств в основных функциональных пространствах.
16. Нормированные пространства. Основные определения и простейшие свойства нормированных
пространств.
17. Конечномерные пространства. Базисы. Сходимость. Компактность. Полнота. Сепарабельность.
18. Подпространства нормированных пространств. Основные определения и понятия. Теорема Рисса.
Критерий компактности.
Шестой семестр
Подпространства в основных нормированных и банаховых функциональных пространствах.
Гильбертовы пространства. Скалярное произведение. Норма. Ортогональность. Теорема
Пифагора. Ортогональные разложения.
3. Разложение Фурье. Разложение Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Замкнутость
и полнота.
4. Линейные операторы. Аддитивные, однородные и линейные операторы. Непрерывность.
Ограниченность. Норма.
5. Распространение линейных операторов. Точечная сходимость. Теорема Банаха-Штейнгауза.
6. Пространства линейных операторов. Равномерная сходимость. Произведение операторов.
Обратные операторы. Критерии существования.
7. Линейные функционалы. Общая форма линейных функционалов в гильбертовом пространстве.
8. Пространство линейных функционалов. Слабая сходимость. Критерий слабой сходимости.
9. Пространства линейных функционалов для конкретных пространств.
10. Теорема Хана-Банаха. Выпуклые множества и выпуклые функции. Функционал Минковского.
Теорема Хана-Банаха.
11. Приложение теоремы Хана-Банаха.
12. Сопряженные и самосопряженные операторы. Основные понятия и определения. Свойства
сопряженных и самосопряженных операторов.
13. Спектр самосопряженного оператора. Собственные числа и собственные элементы
самосопряженного оператора. Спектр. Теоремы о спектре.
14. Интегральные самосопряженные операторы.
15. Компактные операторы. Определение, основные понятия и свойства. Критерий вполне
компактности.
16. Компактность интегральных операторов.
17. Спектр самосопряженного компактного оператора. Спектр. Теорема о диагонализации.
18. Интегральные уравнения. Решение уравнения вида A   x  y . Приложение к теории
интегральных уравнений.
4.2.2. Образцы экзаменационных билетов
Пятый семестр
1.
2.

1.
2.
3.
Принцип сжатых отображений.
Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
Задача.

Шестой семестр
1.
2.
3.
Теорема об обратном операторе.
Спектр операторов.
Задача.
5. Дополнения и изменения в рабочей программе на учебный год _____/______
Следующие записи относятся к п.п.
Автор
Зав. кафедрой
Принято УМУ ___________________________________ Дата _____________