ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
реклама
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Мальцев Ю.Ф., Богатин А.С. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Атом в магнитном поле. Эффект Зеемана. Ростов-на-Дону 2009 Методические указания разработали: Мальцев Ю.Ф. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей физики Богатая А.С.—кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой общей физики Печатается соответствии сретением кафедры общей физики физического факультета ЮФУ. Протокол № 12 от 26.05.2009 г. Атом в магнитном поле Магнитный момент атома. В сложном многоэлектронном атоме каждый из N электронов обладает орбитальным и спиновым механическим и магнитным моментами. При сложении моментов отдельных электронов в результирующий момент атома возможны два случая. 1. Орбитальный и спиновой моменты каждого электрона складываются в суммарный момент. Затем эти моменты объединяются в результирующий момент атома. Такой вид связи называется JJ-связью. Обычно такая связь наблюдается у тяжелых атомов. 2. Наиболее часто встречающаяся у легких и средних атомов LS -связь (связь Рассел - Саундерса) осуществляется по следующей схеме: А. Все орбитальные механические моменты отдельных электронов складываются в орбитальный момент который определяется квантовым числом L суммарного орбитального момента атома. Число L всегда является целым числом либо нулем. Б. Спиновые многоэлектронного моменты атома импульса всех складываются в электронов суммарный спиновой момент: При этом в атомах с четным числом электронов квантовое число S принимает все целые значения от нуля, когда спины электронов попарно компенсируют друг друга, до целого значения ½ N. Когда спины всех электронов направлены в одну сторону. При нечетном N квантовое число S может принимать все полуцелые значения от ½ - до -½N. В. Результирующий момент всего атома £, есть результат квантово- механического сложения моментов £L и £s которое сводится к правилу сложения квантовых чисел L и S. Все возможные значения результирующего момента атома определяются по формуле механического в которой квантовое число J имеет одно из следующих значений: У атомов с четным числом электронов число J целое, а у атомов с нечетным числом электронов — полуцелое. Проекцию результирующего механического момента атома на выделенное направление z находим по формуле пространственного квантования Здесь квантовое число mj принимает 2J+1 значений: Для обозначения квантовых чисел в многоэлектронном атоме используется условное обозначение определенном квантовом состоянии в виде терма атома в где под L подразумевается одна из следующих букв1: Терм содержит в себе сведения о значении трех квантовых чисел L, S и J. Например, для терма 45 D½ значения этих чисел следующие: и J=½, а для 5F2, соответственно, L = 3, S = 2 и J= 2. Число v = 2S + 1 называется мультиплетностью терма. В случае, когда S < L. это число дает количество подуровней, отличающихся значением числа J. Гиромагнитное отношение для суммарных механического и магнитного моментов многоэлектронного атома отличается как от орбитального 1 Не путать букву S с суммарным спиновым квантовым числом так и от спинового отношений. Соответствующий квантово-механический расчет приводит к следующей формуле для результирующего магнитного момента атома: в которой множитель зависящий от всех трех квантовых чисел L, S и J. называется фактором Ланде. Анализ соотношения для g показывает, что фактор Ланде может иметь значения меньше единицы и даже быть равным нулю (например, когда L = 3, a J=1) Последнее означает, что у многоэлектронного атома магнитный момент может быть равным нулю, даже если механический момент отличен от нуля. При расчетах полезно помнить, что результирующий спин S = 0, и g = 2. если L=0. g=1, если Проекция результирующего магнитного момента атома на выделенное направление z внешнего магнитного поля определяется по формуле Для заданного значения J существует 2J + 1 различных ориентаций магнитного момента атома по отношению к внешнему магнитному полю. Квантовая теория обосновывает правила отбора для квантовых чисел L, S и J при переходах атома из одного квантового состояния в другое. Существенно отличные от нуля вероятности имеют только такие переходы, в которых Эффект Зеемана. При помещении магнитного момента Pм во внешнее магнитное поле с индукцией В он приобретает дополнительную взаимодействия: энергию W за счет магнитного Поэтому, если изолированный атом в состоянии с квантовым числом J попадает в магнитное ноле, то энергия его уровня Е изменяется так, что это изменение ΔEj в зависимости от взаимной ориентации магнитного момента и поля в газе), соответствует одному из 2J+ 1 возможных значений В системе излучающих атомов (например, помещенной в магнитное поле, появятся атомы с различными энергиями исходного уровня. Эту ситуацию удобнее описать, рассмотрев расщепление энергетического уровня атома на 2J + 1 эквидистантных подуровня с расстоянием между соседними подуровнями где величину ΔЕ0= μбВ называют нормальным расщеплением энергетического уровня. Следствием этого является расщепление спектральных линий излучения газа атомов, помещенных в магнитное поле, которое впервые наблюдал П. Зееман в 1896 г. при исследовании свечения паров натрия в магнитном поле. Поэтому такой эффект расщепления спектральных линий в магнитном поле получил название эффекта Зеемана. Наиболее простой случай соответствует расщеплению одиночной линии, обусловленной переходами между энергетическими уровнями, для которых S = 0 . Для этого случая g = 1 и поэтому ΔЕ = ΔЕ0 при расщеплении каждого уровня. При внесении таких атомов в магнитное поле исходная спектральная линия с частотой ю0 расщепляется на три линии с частотами ω1 = ωо-Δωо, ωо, ω2=ωо+Δωо При этом смещение частоты называется нормальным смещением. Такое смещение пропорционально индукции внешнего магнитного поля, причем для В области видимого света это соответствует Δλо =0,02 нм. Рассмотренный случай расщепления спектральной линии на зеемановский триплет называется простым, или нормальным, эффектом Зеемана. Все три линии зеемановского триплета наблюдаются, если направление наблюдения перпендикулярно магнитному полю. При наблюдении вдоль поля несмещенная линия частотой ю0 не наблюдается. Это объясняется тем, что проекция спина фотона на направление магнитного поля может иметь только два значения: +1 и - 1. Поэтому в направлении магнитного поля излучаются только такие переходы, для которых Δmj=+1, что соответствует смещенным компонентам. На рис. 1 схематично изображен нормальный эффект Зеемана для перехода между уровнями с J=1 и J=0. Уровни с другими значениями J расщепляются на большее число подуровней. Так, например, Рис. I Нормальный эффект Зеемана уровень с J=2 расщепляется на пять подуровней. Однако и в этом случае, если для обоих уровней S=0, в магнитном поле будет наблюдаться расщепление спектральной линии только на три компоненты. Это объясняется тем, что для оптических переходов число mj подчиняется правилу отбора: Δmj = 0,± 1. Для переходов между уровнями с 5 не равным нулю у расщепленной спектральной линии оказывается больше трех компонент, а величина расщепления отличается от нормального смещения. Это связано с зависимостью фактора Ланде g от значения всех трех квантовых чисел L, S и J. Такое расщепление спектральных линий при помещении излучающих атомов в магнитное поле называется сложным, или аномальным, эффектом Зеемана. В качестве примера аномального эффекта Зеемана рассмотрим расщепление линии спектра натрия, обусловленное переходом .В отсутствие магнитного поля (В = 0) этому переходу соответствует спектральная линия с длиной волны λ0 = 589,6 нм и частотой Для терма фактор Ланде g1 = 2, а для терма этот фактор g2 = 4/3. В магнитном поле (В > 0) верхний уровень (J = 3/2) расщепляется на 2J+ 1 = 4 подуровня (рис.2) с энергетическим расстоянием между ними, равным Эти подуровни соответствуют четырем значениям магнитного квантового числа Энергии этих подуровней можно определить по формуле Нижний уровень (J=1/2) в магнитном поле расщепляется на 2J+ 1 = 2 подуровня, отстоящие друг от друга по шкале энергии на расстоянии двум значениям и соответствующие Энергии этих подуровней равны Рис. 2. Аномальный эффект Зеемана Следовательно, для оптических переходов с верхних подуровней на нижние частоты расщепленных магнитным полем спектральных линий находим из соотношения которое преобразуем к виду Здесь — расщепление, наблюдаемое в нормальном эффекте Зеемана. При расчетах следует иметь в виду, что квантовые правила отбора разрешают только такие переходы (см. рис.2), для которых Поэтому возможны лишь шесть переходов, изображенных условно стрелками: При этом у получающихся шести спектральных линий смещения частот относительно исходной частоты рассчитанные по формуле (5.64), равны Результаты проведенного расчета хорошо согласуются с экспериментальными данными. В сильном магнитном поле, когда магнитное расщепление линий становится больше спин-орбитального расщепления, связь между орбитальными и спиновыми магнитными моментами разрывается и в результате для любых переходов наблюдается нормальный зеемановский триплет. Это явление называется эффектом Пашена— Бака (1912). Атом кадмия - система с нулевым полным спином S = 0 . При отсутствии магнитного поля его энергетические уровни не расщеплены, и переход системы D→P дает в спектре излучения одну линию с длиной волны 643,8 нм, как показано на рисунке 3. Рис. 3. Расщепление атомных энергетических уровней в магнитном поле и разрешенные переходы В магнитном поле энергетические уровни разделяются на 2L + 1 компоненты, где L- квантовое число, характеризующее механический момент; следовательно, р -уровень расщепляется на 3 , a D -уровень - на 5 компонент. Правила отбора разрешают только такие переходы между этими уровнями, при которых: - магнитное квантовое число механического момента. Следовательно, в данном случае, наблюдается девять разрешенных переходов. Эти переходы можно сгруппировать в три группы по близким длинам волн и энергиям. Таким образом, в спектре атома в магнитном поле можно будет наблюдать расщепление спектральной линии (λ= 643,8 нм) на три линии, так называемые зеемановские триплеты. Наблюдаемый характер расщепления и поляризации зависит от направления наблюдения. В случае гак называемого нормального эффекта Зеемана при наблюдении в направлении, перпендикулярном магнитному полю получаются три линейно поляризованные компоненты: несмещенная π-компонента, поляризованная вдоль поля и две симметрично относительно нее расположенные σ-компоненты, поляризованные перпендикулярно полю (поперечный эффект Зеемана). В отсутствии анализатора можно увидеть три линии одновременно. Каждое кольцо, просматриваемое в отдельности при отсутствии магнитного поля, разбивается на три кольца при его появлении. При наличии анализатора две σ — компоненты видимы лишь в том случае, когда анализатор находится в вертикальном положении, тогда как π— компонента возникает при горизонтальном положении анализатора (поперечный эффект Зеемана). При наблюдении вдоль поля (поворачивая электромагнит на 90°) получается дуплет - две компоненты с круговой поляризацией, направленной в противоположные стороны. Независимо от положения анализатора теперь каждое кольцо, видимое без магнитного поля, в магнитном поле постоянно разделяется на два (продольный эффект Зеемана). σкомпонента получается для случая -компонента для случая На рисунке 4 представлена схема продольного и поперечного эффекта Зеемана. Рис. 4. Схема продольного и поперечного эффекта Зеемана При возвращении электромагнита в исходное положение, позволяющее наблюдать две σ - компоненты поперечного эффекта Зеемана, легко видеть, что размер разделения возрастает с увеличением интенсивности магнитного поля. Для количественного измерения данного разделения с позиции длины волны используется интерферометр Фабри-Перо. Эталон Фабри-Перо имеет разрешение 300000. Это позволяет определить изменение длины волны в 0,002 нм. Эталон Фабри-Перо представляет собой две параллельные пластины из стекла, покрытые с внутренней стороны частично отражающим слоем. Пусть две частично отражающие поверхности (1) и (2) на рисунке 5 находятся на расстоянии t друг от друга. Падающий под углом θ луч разделяется на границе. Разность хода двух смежных лучей (например, АВ и CD) равна где ВК - нормаль к CD При получаем: Для получения максимума интерференции необходимо выполнение условия: где m - целое число. Рис. 5. Отраженные и проходящие лучи в эталоне Фабри-Перо (t— расстояние между параллельными отражающими поверхностями (1) и (2) эталона) Если показатель преломления среды между пластинами n≠1, выражение преобразовывается в: Пусть параллельные лучи B, D, F и так далее(см. рис.3) фокусируются линзой с фокусным расстоянием f. Когда θ удовлетворяет выражению (1), в фокусной плоскости линзы возникают яркие кольца радиусом для малых значений углов θm. Поскольку При получаем: или Если m1 - порядок интерференции первого кольца, то m1< m2, поскольку Пусть где m1 - самое близкое целое к m0 (меньше, чем m0). Таким образом, для картины Р -того кольца имеем Подставив выражение (4) в выражения (2) и (3) и, заменив rр на rmр, для радиусов колец получим: Заметим, что разница между квадратами радиусов смежных колец величина постоянная: определяется графически из зависимости rр2 от р и экстраполяцией до Для двух компонент линии спектра с длиной волны λa, и λb, которые находятся очень близко друг к другу, можно определить εа и εb следующим образом: где m1,а и m1,b - порядок интерференции первого кольца. Отсюда, если кольца не накладываются друг на друга при m1,а = m1,b то разница в волновых числах между двумя компонентами составляет Далее, из выражений (5) и (6) получаем Подставив в выражение (8) для компонентов о и Ь, получаем и При подстановке этих выражений в (7), получаем разницу в волновых числах для a и b -компонент: Из выражения (6) видно, что разница между квадратами радиусов компоненты а равна разнице для компоненты b Отсюда следует, что: при любом значении Р. Аналогично, все значения: должны быть равными, независимо от Р. Используя δ и Δ как средние значения, получаем среднее значение разницы волновых чисел компонентов a и b, при n = 1 Из выражения (13) можно сделать вывод, что Δv не зависит от размеров радиусов колец или от четкости картины интерференции. Для излучающих переходов электронов в атомах изменение энергии атома равно: С другой стороны, изменение энергии ΔE пропорционально величине магнитной индукции В . Магнетоном Бора называется коэффициент пропорциональности между ΔЕ и В Соединив выражения (14) и (15), получим Выполнение работы. Общий вид установки представлен на рисунке Рис. 6. Экспериментальная установка для изучения эффекта Зеемана Рис. 7. Расположение оптических компонентов на оптической скамье Соберите установку. • Расположите электромагнит на вращающемся столе и закрепите его при помощи двух полюсных наконечников таким образом, чтобы оставалось достаточно большое пространство для кадмиевой лампы (9- 11 мм). Закрепите наконечники, чтобы они не двигались при появлении магнитного потока. Вставьте кадмиевую лампу между наконечниками так, чтобы она не касалась наконечников и подключите ее к источнику питания для спектральных ламп. Соедините параллельно катушки электромагнита через амперметр к источнику питания (20 В, 12 А). Конденсатор в 22000 мкФ должен быть соединен параллельно с выходом источника. • На оптической скамье с линейкой расположите следующие элементы согласно рисунку 7 (в скобках дано их примерное расположение в сантиметровых отметках): (80) телекамера CCD- типа, (73) линза L3 = +50 мм, (45) анализатор, (39) линза L2 = +300 мм, (33) эталон Фабри-Перо, (25) линза L1 = +50 мм, (20) ирисовая диафрагма. Линза L1 и линза с фокусным расстоянием f= 100 мм в эталоне Фабри-Перо дают почти параллельно идущий луч света, необходимый для создания интерференционной картины. В эталоне Фабри-Перо находится сменный светофильтр, через который проходит красная кадмиевая линия (643,8 нм). Линза создает интерференционную картину колец, наблюдаемых через линзу L3. Диаметр колец измеряется при помощи телекамеры CCD -типа. Телекамера с 8 мм линзами крепится на оптической скамье и может регулироваться по вертикали и горизонтали. Расположите вращающийся столик с электромагнитом, полюсные наконечники и кадмиевую лампу таким образом, чтобы центр отверстий в наконечниках находился на расстоянии 28 см над столом. Оптическая скамья со всеми составляющими должна быть расположена вблизи электромагнита на таком расстоянии, что при убранной ирисовой диафрагме и при направлении магнитного поля вдоль направления наблюдения (вдоль оптической скамьи) (рис. 7) выходное отверстие одного из наконечников совпадало с расположением удаленной ирисовой диафрагмы (20). Проверьте также, чтобы выходное отверстие находилось в плоскости фокуса линзы L1 . Включите лампу, не включая электромагнит. Передвигая незначительно эталон Фабри-Перо, или линзу L2 (вертикально или горизонтально), или изменяя наклон телекамеры получите интерференционная картину на экране компьютера. Картина должна располагаться в центре и быть четкой, симметричной и с правильными кругами. Для получения изображения зайдите в меню «File» («Файл») и выберите опцию «Capture Window» («Фотография окна»). Установки контраста, яркости и насыщения изображения регулируются в «Video Capture Filter» («Фильтр Изображения») в меню «Options» («Опции»). Эксперимент следует проводить в затемненной комнате. Задание 1. Изучение продольного эффекта Зеемана (нормального). 1. Подготовьте установку к выполнению эксперимента: удалите ирисовую диафрагму, поверните наконечники электромагнита так, чтобы их выходные отверстия располагались вдоль оптической оси (направления наблюдения), наблюдайте интерференционную картину, включите магнитное поле, для этого установите ток в катушках величиной 8 А, при этом каждое интерференционное кольцо должно разделиться на два кольца (дуплеты), убедитесь, что при изменении величины магнитного поля (измените ток в катушках электромагнита) расстояние между дуплетами меняется. Для определения значения индукции магнитного поля по значению двойного тока катушки используйте график В = f(I), представленный на рисунке 6, Рис. 8. Зависимость величины магнитной индукции в области расположения лампы от двойного тока катушки убедитесь, что интерференционная картина не изменяется при повороте плоскости пропускания анализатора, убедитесь, что свет поляризован по окружности, используя пластину λ/4. Для этого вставьте пластину между линзой L2 и анализатором. Если оптическая ось пластины λ / 4 совпадает с вертикалью, видно, как одно кольцо исчезает, если анализатор находится под углом в 45° к вертикали, в то время как другое кольцо исчезает при положении - 45°. 2. Проведите эксперимент: сфотографируйте картины (рис. 9) при различной напряжённости магнитного поля, выбрав «Still Image» («Фотоснимок») в меню «Capture» («Захват»). После этого меню автоматически сворачивается и в главном окне появляется изображение. Запишите значение силы тока катушки, при котором изображение было получено, используя опцию «Text» («Текст»). повторите вышеуказанную процедуру несколько раз для различных значений магнитного поля (при силе тока в 5А, 6А, 8А и 10А). На полученных изображениях определите радиусы колец при помощи опции «Circle» («Окружность») в меню «Measure», заполните таблицу 1 для пяти значений тока и четырех интерференционных колец. Таблица 1. I, А В, мТл Радиусы интерференционных колец* r1,а r1,b r2,а r2,b r3,а r3,b * - в обозначениях радиуса первый индекс - это номер кольца, второй индекс - обозначение σ -компоненты. Рис. 9. Снимок экрана (определение радиусов колец интерференции) 3. Проведите обработку экспериментальных данных: • для каждого значения В , используя формулы (10)(12), определите Δ и δ: • по формуле (13) определите Δv для пяти значений магнитного поля и заполните таблицу 2: Таблица 2. в, мТл Δv , М-' Расстояние между пластинами эталона Фабри-Перо • представьте графически данные таблицы 2, проведите линейную аппроксимацию данных и определите значение магнетона Бора (см. формулу 16). Сравните полученное значение с теоретическим: Задание 2. Изучение поперечного эффекта Зеемана (нормального). Подготовьте установку к выполнению эксперимента: поверните наконечники электромагнита так, чтобы их выходные отверстия располагались перпендикулярно направлению наблюдения, поставьте ирисовую диафрагму, наблюдайте интерференционную картину, включите магнитное поле, для этого установите ток в катушках величиной 8 А, при этом каждое интерференционное кольцо должно разделиться на компоненты, убедитесь, что при изменении величины магнитного поля (измените ток в катушках электромагнита) расстояние между компонентами меняется, убедитесь, что интерференционная картина изменяется при повороте плоскости пропускания анализатора: при повороте плоскости анализатора на 90° кольца разделяются либо на два кольца (дуплеты), либо на три (триплеты). 2. Проведите эксперимент, измерения для дуплетов и обработку экспериментальных данных аналогично заданию 1, пункты 2, 3. Контрольные вопросы 1. Что называется эффектом Зеемана? 2. Что называется поперечным/ продольным эффектом Зеемана (нормальным)? 3. На сколько компонент разделяются энергетические уровни атома в магнитном поле? 4. Что такое правила отбора? Сформулируйте правила отбора для магнитного квантового числа ML. 5. Чем отличаются σ - и π -компоненты спектральной линии? 6. Что собой представляет интерферометр Фабри-Перо? Какие функции он выполняет в данной работе? 7. Запишите условие максимума интерференции для двух лучей. 8. *Получите формулу (13). 9. Что такое магнетон Бора? ЛИТЕРАТУРА 1. Гольдин Л.Л., Новикова Г.И.//Введение в атомную физику.-М: «Наука»,1969. Сдано в набор 19.06.09 г. Подписано в печать 19.06.09 г. Заказ № 507. Тираж 150 экз. Формат 60*84 1/ 16. Печ. лист 1,43. Усл.печл. 1,32. Типография Южного федеральною университета 344090. г. Ростов-наДону, пр. Стачки, 200/1, тел (863) 243-41-66. 8
