Задания для самостоятельной работы слушателей - Og

Задания для самостоятельной работы слушателей ДПОП ПК
«Методика подготовки обучающихся к ЕГЭ»
1. В треугольнике АВС угол В равен 60, О – точка пересечения
биссектрис. Найдите величину угла АОС.
2. На гипотенузе АВ равнобедренного треугольника АВС выбраны

точки D и Е так, что ВЕ=ВС, АD=АС. Найдите DCE .
3. В равнобедренном треугольнике АВС

(АВ=ВС)
проведена

биссектриса АD. Известно, что ADC  ACB . Найдите углы треугольника
АВС.
4. В треугольнике АВС из вершины С проведены биссектрисы
внутреннего и внешнего углов. Первая биссектриса образует со стороной АВ
угол в 40. Какой угол образует с прямой АВ вторая биссектриса?

5. В треугольнике АВС: АВ=ВС=а, ABC   . Найдите радиусы
вписанной и описанной окружностей.
6. В треугольнике АВС: АВ=ВС=10, АС=12. Найдите радиусы
вписанной и описанной окружностей.
7. Стороны треугольника 6, 8, 10. Найдите радиусы вписанной и
описанной окружностей.
8. Стороны прямоугольного треугольника выражены целыми числами.
Докажите, что радиус вписанной окружности тоже выражается целым
числом.
9. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла
проведен перпендикуляр CD на гипотенузу и на нем, как на диаметре,
описана окружность, которая на катетах СА и СВ дает внутренние отрезки
СА1=12 и СВ1=18. Найдите катеты.
10. В прямоугольном треугольнике даны радиусы вписанной и
описанной окружностей r и R. Найдите его площадь.
11. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен ,
медиана, проведенная к гипотенузе, равна m. Найдите площадь треугольника.
12. Постройте прямоугольный треугольник, если даны отрезки, на
которые разбивает гипотенузу высота, проведенная из вершины прямого
угла.
13. Постройте треугольник по двум углам и радиусу R описанной
окружности.
14. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота CD из
вершины прямого угла. Известно, что AD=9, DB=16. найдите катеты
треугольника АВС.
15. В трапеции диагонали разбивают среднюю линию на три равные
части. Найдите отношение оснований этой трапеции.
16. Средняя линия трапеции равна 8 и делится диагональю на два
отрезка, разность между которыми равна 2. Определите основания трапеции.
17. Докажите, что во вписанном четырехугольнике внешний угол равен
противолежащему внутреннему.
18. Через точку А, середину дуги ВС, проведены хорды АD и АЕ,
пересекающие хорду ВС в точках F и К. Докажите, что четырехугольник
DFKE – вписанный.
19. Диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны и равны 6
и 8. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого служат
середины сторон данного четырехугольника.
20. Площадь четырехугольника равна 50м2. Через вершины его
проведены пряные, параллельные диагоналям. Вычислите площадь
четырехугольника, полученного от пересечения этих прямых.
21. Разбейте ромб прямыми, проходящими через вершину, на три
равновеликие части.
22. Для каких правильных п-угольников сторона больше радиуса
описанной окружности.
23. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если внешний
угол его равен 40.
24. В окружность радиуса R вписаны и около нее описаны правильные
п-угольники. Вычислите отношение их площадей для п=4; 6.
25. Прямая l, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает
две другие его стороны в точках К и N. Точки О1 и О2 – центры окружностей,
описанных вокруг треугольников АВС и КВN. Докажите, что точки О1, О2 и
В лежат на одной прямой.
26. Через точку Р пересечения общих внешних касательных двух
окружностей ω1(O1, r1) и ω2(O2, r2) (r1r2) проведена прямая l, пересекающая
окружность ω1 в точках А и В, а окружность ω2 – в точках С и D. Докажите,
что касательные к окружности ω1 в точках А и В параллельны касательным к
окружности ω2 в точках С и D.
27. В треугольнике АВС отрезок СD, D [AB], разбивает его на два
треугольника каждый из которых подобен данному треугольнику. Найдите
углы треугольника АВС, если известно, что угол А равен двум углам В.
28. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D так, что угол САВ
равен углу DCB. Известно, что АD=5, DB=4. Найдите ВС.
29 В треугольнике АВС высоты АА1 и СС1 пересекаются в точке Н.
Докажите, что биссектрисы углов НАС1 и ВСС1 перпендикулярны.
30. В треугольнике АВС высоты АА1 и СС1 пересекаются в точке Н.
Найдите угол между медианами НАС1 и ВСС1, проведенными из
вершины С1.
31. В треугольнике АВС с прямым углом при вершине С проведена
высота CD. Точки М и N – середины отрезков DC и DB. Докажите, что
прямые АМ и CN перпендикулярны.