В а р и а н т 2

Вариант 2
Вариант 34; 4.18; 4.136; 5.42; 6.200; 6.275.
x2  5x
 0.
2  8x
Решение. Перепишем неравенство в виде
1. Решите неравенство
x ( x  5)
 0.
4x  1
Решим это неравенство методом интервалов. Функция
f ( x) 
x( x  5)
.
4x  1
1
1
определена на множестве (; )  ( ;) и f ( x)  0 при x  5 или х = 0. На
4
4
1
1
интервалах (;5) , (5;0) (0; ) и ( ;) значения функции сохраняют свои
4
4
1
знаки. Определим их: f (1)  2  0, f ( )  0, f (1)  0, f (6)  0.
8
1
Ответ: (;5)  (0; ).
4
2. Решите уравнение
1
log 3 (2 x  1)  1.
3
Решение.
log 3 (2 x  1)  log 3 27 ,
2 x  1  27,
x  13.
Проверка показывает, что число 13 – корень уравнения.
Ответ: 13.
3. Найдите корни уравнения 2 sin x  2  0, принадлежащие отрезку 0;2 .
Решения.
2
sin x  
,
2
x  (1) k arcsin( 
2
)  k ; k  Z ;
2
x  (1) k 1 arcsin
2
 k ; k  Z ;
2
x  (1) k 1

4
 k ; k  Z .
Если k  0 , то корни отрицательны и поэтому не принадлежат заданному
5
отрезку. При k  1 корень
принадлежит заданному отрезку. При k  2
4
7
корень
также принадлежит заданному отрезку. Если k  3 , то корни
4
больше, чем 2 и поэтому не принадлежат заданному отрезку.
5 7
Ответ:
;
.
4
4
З а м е ч а н и е. Некоторые решения записаны здесь не потому, что автор их
рекомендует (в ряде случаев из комментариев видно, что скорее наоборот), а
потому, что очень многие шли именно этим путем и необходим анализ
сделанных ошибок.
4. Функция y  f (x) задана своим графиком
Укажите:
а) область определения функции;
б) при каких значениях х f ( x)  0, f ( x)  0 ;
в) в каких точках графика касательная к нему параллельна оси абсцисс;
г) при каких значениях х f ( x)  2;
д) наибольшее и наименьшее значения функции.
Решение. а) D( f )  [3;6];
б) f ( x)  0 при x  (3; 0,7)  (4,5;6);
f ( x)  0 при x  (0,7; 4,5);
в) касательные параллельны оси абсцисс в точках с абсциссами 0,7 и 4,5;
г) f ( x)  2; при  3  x  2 ;
д) max f ( x)  f (0,7)  3; min f ( x)  f (3)  4,5.
2. Найдите функции, производной которых является функция
f ( x)  2 x  x 2 .
Решение. Функция f ( x)  2 x  x 2 . непрерывна на всей числовой прямой и
поэтому существует ее первообразная
x3
F (x ) = x 
C.
3
2
Ответ: F (x) =
6.
x3
 x2  C .
3
Решите уравнение cos 2x  1  4 cos x.
Решение.
1  cos 2x  2  4 cos x.
2 cos 2 x  2  4 cos x;
cos 2 x  2 cos x  1  0;
cos x  1  2 или cos x  1  2.
Уравнение cos x  1  2 не имеет корней, так как cos x не принимает значений
больше 1. Следовательно,
cos x  1  2 ;
x   arccos(1  2 )  2n; n  Z ;
x  (  arccos( 2  1))  2n; n  Z .
Ответ:  (  arccos( 2  1))  2n; n  Z .
16 x  64 y ,
Решите систему упавнений  x 1
27  81y 1.
Решение. Проведем несколько равносильных преобразований:
7.
4 2 x  43 y ,
 3x 3
3
 34 y  4 ;
2 x  3 y ,

3x  3  4 x  4;
3

 x  2 y,

 3 y  4 y  7;
 2
 x  21,

 y  14.
Ответ: (-21,-14).
8. Решите уравнение
1  4 x  x2  x  1.
Решение. Уравнение равносильно системе
1  4 x  x 2  0,

 x  1  0,
1  4 x  x 2  ( x  1) 2 ,

которая в свою очередь равносильна системе
 x 2  3x  0,

 x  1.
Из двух корней 3 и 0 уравнения этим условиям удовлетворяет только число 3.
Ответ: 3.
З а м е ч а н и е. Так как все переходы были равносильны, проверка не нужна.
Не надо записывать проверку в чистовик “на всякий случай”. Если по логике
решения проверка не нужна, то ее проведение – уже недочет.
9. Решите неравенство 3 x  1  x  3.
Решение. По свойству модулей
 x  3  3x  3  x  3;
 x  3 x  x  6;
 x  3x,

3x  x  6;
 x  0,

 x  3.
Ответ: [0;3].
10. Найдите все значения х, при которых меньшее из чисел 3  2x и 1  x
меньше 1.
Решение. Условие min( 3  2 x, 1  x)  1 равносильно совокупности систем
1  x  3  2 x,
3  2 x  1  x,
или 

3  2 x  1
1  x  1;
x  2 или 0  x  2;
Ответ: (0;).
x  0.
З а м е ч а н и е. Вместо союза «или» нельзя ставить запятую или союз «и».
Отсутствие союза «или» в случаях, где он необходим, – повторяющаяся ошибка.
Оценка за решение этого задания не снижалась, если был получен ответ:
(0;2)  (2;), т. е. если выпускник считал, что случай, когда значения
функций равны, надо исключить.
Центр тестирования Министерства образования Российской Федерации
Тест по математике – 0
Вариант 10
Часть 1
К каждому заданию группы А дано несколько ответов, из которых только
один верный. Укажите в бланке ответов выбранный Вами номер правильного
ответа (поставив значок « х» в соответствующей клеточке бланка под
каждым номером задания).
1
2
А1. Найдите значение выражения 5 5  5  5 32 .
Решение. 25 – 2 = 23.
1) 23
2) 3
3) 1
4) 3 5
х
1
А2. Упростите выражение
(2  n 5 ) 2
2n
1
5
 5 n.
1
5
Решение. 2  n  5 n  2.
1) 0
2) 2
3) -2 n
1
5
1
5
4) -2 n  2
х
А3. Упростите выражение 4 log4 3  log 2 12  2 log 2 3 .
Решение. 3 + 2 + log 2 3  log 2 3  5 .
1) 8
2) 12
3) 6
4)
5
х
1
А4. Решите неравенство ( ) x  2  27.
3
Решение. 3  x  2  33 ,  x  2  3  x  1.
1) (1;) 2) (;5)
3) (;1)
х
4) (5;)
Замечание. В таких примерах лучше выбирать основание больше 1. Так меньше
возможностей ошибиться в вычислениях.
А5. Укажите промежуток убывания функции y  f (x) , заданной графиком
Решение.
1) [-2; 1]
2) [-1; 1]
x
3) (-2; -1)
А6. Упростите выражение
4) (-2; 3)
cos 2
3
 sin(
) .
cos   sin 
2
cos 2   sin 2 
 cos   cos   sin   cos   sin  .
cos   sin 
Решение.
1) sin 
X
2) -sin 
3) 2 cos  sin 
4) cos  sin 
А7. Найдите производную функции g ( x)  x 3  ln x  4 .
1
Решение. g ( x)  ( x 3 )  (ln x)  (4)  3x 2   0.
x
1) g ( x)  3 x 2 
1
4
x
2) g ( x)  3x 2 
1
x
3) g ( x)  3x 2  x
4) g ( x)  3x 2  x
Х
А8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
log 0,1 (2 x  5)  0 .
Решение. 2x  5  1  2x  4  x  2.
1) (-4; 0)
Х
2) (2; 4)
3) (0; 2)
4) (-7; -5)
А9. Найдите область определения функции g ( x) 
Решение.
12  4 x
 0,

 x
 x  0;
12  4 x
.
x
x 3
 0,

 x
 x  0.
0  x  3.
1) (;0)  (3;)
2) (0; 3)
3) (0;3]
х
4) (;3]  [0;)
xa
 0 можно решать как обычное неравенство, в
xb
том числе методом интервалов. Но лучше твердо усвоить, что оно выполняется
для тех и только тех значений х, которые находятся между числами a и b. А
xa
 0 выполняется для тех и только тех значений х, которые
неравенство
xb
меньше меньшего и больше большего из чисел a и b.
Замечание. Неравенство
А10. Найдите значение производной функции y  f (x) в точке x 0 .
Решение. y   tg 45  1.
1) -2
2) 2
3) -1
4) 1
х
А11. Найдите наименьшее значение функции f ( x)  x 5  5x 4 на отрезке [-1; 2]
Решение. 5 x 4  20 x 3  0  x  0 или х = 4. Второе значение не попадает в
заданный отрезок. Сравниваем значения функции на концах отрезка и в
критических точках: f (1), f (0) и f ( 2). Наименьшее из этих чисел -6, 0 и -48 и
есть наименьшее значение функции на отрезке.
1) 16
2) 0
3) -6
4)
-48
х
Замечание. Если Вы получили в качестве ответа число, присутствующее в
списке вариантов ответа, то это вовсе не означает, что Вы решили задачу
правильно. Может оказаться, что эту ошибку предвидели авторы теста. По
возможности проверьте еще раз правильность Ваших рассуждений и выкладок.
А12. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 –x2, y = 0, x = 1.
2
x3 2
8
1 5
2
Решение.  (4  x )dx  (4 x  ) |1  8   4   .
3
3
3 3
1
1) 2
1
3
2) 1
2
3
3) 2
2
3
4)
1
1
3
Х
А13. Решите уравнение 2 cos 2 x  3 sin x  0.
Решение.
2(1  sin 2 x)  3 sin x  0,
2 sin 2 x  3 sin x  2  0,
 3  9  16  3  5

,
4
4
1
sin x 
или sin x  2.
2
Второе значение отбрасываем, так как оно не удовлетворяет условию sin x  1 .
sin x 
Поэтому sin x 
1)


3
1

, x  (1) k  k , k  Z .
2
6
2)
 2k , k  Z
(1) k

6
3)
 k , k  Z


6
4)
 2k , k  Z
(1) k

3
 k , k  Z
Х
Часть 2
Для каждого задания группы В запишите в бланке правильный ответ (целое
число).
В1. Решите уравнение x  4  x  2  0.
x  4  x  2,
Решение.
x  4  x 2  4 x  4,
x 2  3x  0,
x1  0, x2  3.
Проверка. При x  0 получаем верное числовое равенство. При x  3
неверное. Ответ: 0.
cos 48 cos 22   sin 48 cos 68
В2. Найдите значение выражения
.
cos 2 13  sin 2 13
Решение.
cos 48 cos 22   sin 48 sin 22  cos( 48  22  )

 1.
cos 26 
cos 26 
Ответ: 1.
В3. Найдите точку минимума функции y  x 3 e x .
Решение.
y   3x 2 e x  x 3 e x ;
y   0  3x 2  x 3  0  x1  0, x2  3.
(;3)
х
-3
(-3; 0)
0
(0;   )
y
0
+
0
+
у
0
27
 3
e
убывает
min
возрастает
возрастает
Ответ: -3.
В4. Найдите наименьший корень уравнения 3 2 x 1  4  3 x  1  0 .
Решение.
3  32 x  4  3 x  1  0;
3 x  t; t  0;
3t 2  4t  1  0;
1
t  1 или t  .
3
1
 x  1.
3
Наименьший корень уравнения равен -1. Ответ: -1.
1) 3 x  1  x1  0; 2) 3 x 
В5. Катер прошел по течению реки расстояние от пункта А до пункта В за 3 ч, а
от В до А за 5 ч. За сколько часов проплывет от А до В плот?
Решение. х – скорость реки, а значит и плота, v – скорость катера, s –
s
s
 3,
 5 . Найдем v из каждого из
расстояние от А до В. По условию
vx
vx
s  3x
s  5x
s  3x s  5x
, v


этих условий: v 
;
3
5
3
5
5s  15 x  3s  15 x,
2s  30 x,
s
 15.
x
От А до В плот проплывет за 15 часов. Ответ: 15.
В6. Найдите число целых решений неравенства ( 2 x  5  3)(sin x  7 )  0 .
Решение.
7  4  2  sin x  7  0  2 x  5  3  0;
2 x  5  3,
 3  2 x  5  3,
 8  2 x  2,
 4  x  1.
Между -4 и -1 находятся целые числа -3 и -2. Ответ: 2.
В7. Найдите наибольшее целое значение параметра с, при котором решение
5 y  c  3x,
системы уравнений 
удовлетворяет условию 3x  7 y  1.
3 y  x  1
Решение.
3x  5 y  c,

 x  3 y  1;
Домножив первое уравнение на 3, а второе на -5, и сложив уравнения, получим
5  3c
4 x  3c  5  x 
.
4
Прибавим к первому уравнению второе, домноженное на -3. Получим
3c
4 y  c  3  y 
.
4
3x  7 y 
15  9c 21  7c

 9  4c.
4
4
9  4c  1,
8  4c ,
c  2.
Ответ: 1 .
В8. Высота правильной четырехугольной пирамиды 6, а двугранные углы при
основании равны 60о. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение. Пусть a – сторона четырехугольника. Двугранные углы при
основании равны 60о, поэтому сечение, проведенное через высоту и середину
стороны основания, - равносторонний треугольник. Отсюда апофема равна
также a. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой a, острым углом 60о и
3
 6 . Откуда
противолежащим катетом 6 имеет место соотношение a
2
a  4 3 . Площадь боковой поверхности пирамиды равна
1
4  a 2  2  (4 3 ) 2  96. Ответ: 96.
2
В9. В конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник,
32
вписан шар. Найдите объем конуса, если объем шара
.
3
Решение. Пусть r – радиус шара. Объем шара известен, поэтому
4 3 32
r 
 r 3  8. Так как центр окружности, вписанной в равносторонний
3
3
треугольник, находится в точке пересечения медиан, то высота конуса равна 3 r.
Радиус окружности, лежащей в основании конуса равен r 3 . Объем конуса
1
равен   3r 2  3r  3r 3  3  8  24. Ответ: 24.
3
Для каждого задания группы С в специальном бланке приведите решение и
укажите правильный ответ.
С1. Для каждого допустимого значения параметра a решите неравенство
log
3ctga
( x  1)  2 log
3ctga
( x  1) .
Решение. Так как логарифм сушествует только у положительных чисел, то
x  1  0, x  1  0  x  1. Основание логарифма положительно и отлично от 1.
Поэтому
 3ctga  0,

 3ctga  1.
Рассмотрим два случая.
1)
3ctga  1 , т. е. ctga 
1
3
или r  a  r 

3
 x  1  ( x  1) 2 ,

 x  1;
, k  Z.
 x 2  3x  0,

 x  1;
0  x  3,

 x  1;
1  x  3.
2) 0  3ctga  1 . т. е. 0  ctga 
1
3
или r 

3
 a  r 
4
, k  Z.
3
 x  1  ( x  1) 2 ,

 x  1;
 x 2  3x  0,

 x  1;
 x  (,0)  (3;),

 x  1;
x  3.
Ответ: 1  x  3 , если r  a  r 
3
,k  Z ;
4
,k  Z ;
3
3
нет решений в остальных случаях.
x  3 , если r 


 a  r 
С2. Решите уравнение 4 log 54 ( x 2  3x  3)  1  cos 4 (( x  2)  sin( 2 x  1)) .
Решение. Заметим, что выражение слева не может принимать значения меньше
1, а расположенное в правой части не может принимать значений больше 1.
Поэтому уравнение равносильно системе двух уравнений
4
log 54 ( x 2  3x  3)  1  1, cos 4 (( x  2)  sin( 2 x  1))  1.
log 5 ( x 2  3x  3)  0,
 4
cos (( x  2) sin( 2 x  1))  1;
Решим первое уравнение системы:
x 2  3x  3  1 ,
x 2  3x  2  0 ,
( x  1)( x  2)  0 ,
x1  1, x2  2.
Первый корень отбрасываем, так как он не удовлетворяет второму уравнению.
Второй корень является корнем второго уравнения, т. е. является решением
системы.
Ответ: 2.
Замечание. Для того, чтобы решить систему двух уравнений от одной
неизвестной необходимо решить каждое уравнение, а затем найти пересечение
полученных множеств корней уравнений. А можно решить одно из уравнений.
Те корни этого уравнения, которые являются корнями второго уравнения, и
образуют решение системы.
С3. Найдите целые корни уравнения ( x  4)( x  6)( x 2  5 x  6)  40 x 2 .
Решение.
( x  4)( x  3)( x  6)( x  2)  40 x 2 ;
( x 2  x  12)( x 2  4 x  12)  40 x 2 ;
( x 2  12) 2  5x( x 2  12)  36 x 2  0;
x 2  12  4 x или x 2  12  9 x;
x1  6; x 2  2; x3 
9  129
9  129
; x4 
.
2
2
Ответ: -6; 2.
Решение 2. После раскрытия скобок и приведения подобных получим
x 4  5 x 3  60 x 2  60 x  144  0.
Попробуем представить левую часть уравнения в виде произведения двух
квадратных множителей
x 4  5 x 3  60 x 2  60 x  144  ( x 2  ax  12)( x 2  bx  12) .
x 4  5x 3  60 x 2  60 x  144  x 4  (a  b) x 3  (ab  24) x 2  12(a  b) x  144.
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие
коэффициенты. Поэтому
a  b  5;

ab  24  60;
 12a  12b  60.

a  b  5;

ab  36;
a  4; b  9.
x 4  5x 3  60 x 2  60 x  144  ( x 2  4 x  12)( x 2  9 x  12);
x 4  5 x 3  60 x 2  60 x  144  ( x  6)( x  2)( x 
9  129
9  129
)( x 
).
2
2
Ответ: -6; 2.
Замечание. Метод неопределенных коэффициентов применен своеобразно:
свободные члены взяты равными -12 . На мысль искать квадратные множители
в таком виде наводит то, что свободный член исходного многочлена является
полным квадратом. Если бы свободные слагаемые квадратных множителей мы
взяли, равными +12, то пришли бы к системе, из которой следовало, что
необходима замена знака числа на противоположный. Метод решения
вскрывает механику составления предлагаемых в заданиях С3 уравнений.
Эффективно находить рациональные корни многочленов с целыми
коэффициентами, помогает
p
ТЕОРЕМА. Если несократимая дробь
- рациональный корень многочлена с
q
целыми коэффициента f ( x)  a 0 x n  a1 x n 1  ...  a n 1 x  a n , то числитель р этой
дроби делит свободное слагаемое a n , знаменатель q делит старший
коэффициент a 0 и для любого целого числа m имеем f (m ) делится на p-mq. В
частности f (1) делится на p-q, а f (1) делится на p+q.
p
p
p
Доказательство. По условию a0 ( ) n  a1 ( ) n 1  ...  a n 1 ( )  a n  0 . Отсюда
q
q
q
a0 p n  a1 p n 1 q  ...  a n 1 pq n 1  a n q n  0.
Из равенства a 0 p n  q(a1 p n 1  ...  a n 1 pq n  2  a n q n 1 и из того, что p и q не
имеют общих делителей, следует, что a 0 делится на q. Из равенства
(a 0 p n 1  a1 p n  2 q  ...  a n 1 q n 1 ) p  a n q n и из того, что p и q не имеют общих
делителей, следует, что a n делится на р.
Разделив f (x) на x-m, получим
f ( x)  ( x  m)(b0 x n 1  ...  bn 1 )  f (m). Подставив в уравнение
p
вместо х, и
q
освободившись от знаменателя, получим равенство
( p  mq)(b0 p n 1  b1 p n  2 q  ...  bn  2 pq n 2  bn 1 q n 1 )  q n 1 f (m)  0.
Т. е. q n1 f (m) делится на p-mq, где p-mq и q не имеют общих делителей. Отсюда
следует, что f (m ) делится на p-mq.
Следствие. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами делят его
свободное слагаемое.
Задача (С3 варианта 2). Найдите целые корни уравнения
( x  3)(6  x)( x  2)( x  4)  126 x 2  0.
Решение. Если у многочлена f( x) = ( x  3)(6  x)( x  2)( x  4)  126 x 2 есть целые
корни, то их надо искать среди делителей свободного слагаемого - числа 144:
1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 8, -8, 9, -9, 12, -12, 16, -16, 18, -18, 24, -24, 36, -36, 48,
-48, 72, -72, 144, -144. Ясно, что числа -3, -4, 2 и 6 - не корни уравнения.
Так как f(1) = 26 не делится на -6-1, то число – 6 исключаем из числа
подозреваемых. После аналогичной проверки всех подозреваемых останутся
лишь -1, 3 и -12. Из них числа -1 и -12 – корни.
Ответ: -1, -12.
Так как задачи С3, видимо, следует считать наиболее сложными в тесте
Математика-0, то рассмотрим, как еще можно решить некоторые из них.
Хорошее владение этими методами позволит не только подобрать наиболее
подходящий для конкретного примера, но и сочетать их с целью ускорения
отбора корней.
Задача (С3 варианта 1). Найдите целые корни уравнения
(6  x)( x  2)( x  3)( x  9)  24 x 2 .
Решение. Очевидно, что числа 6, 2, -3, -9 не являются корнями уравнения.
Выражение в правой части уравнения принимает только неотрицательные
значения, а функция f ( x)  ( x  6)( x  2)( x  3)( x  9) , записанная слева,
принимает отрицательные значения при x < -9 или -3 < x < 2 или x > 6 ,
поэтому корни уравнения могут быть лишь, если -9 < x < -3 или 2 < x < 6, и их
следует искать среди чисел -8, -7, -6, -5, -4, 3, 4. Оставим для проверки делители
числа 144 – свободного слагаемого: -8, -6, -4, 3, 4. Уравнению удовлетворяют
лишь -6; 3. Ответ: -6; 3.
Задача (С3 варианта 6). Найдите целые корни уравнения
(10  x)( 4  x)( x  5)( x  2)  220 x 2  0.
Решение. Несколько случаев, когда переменная принимает значение, при
котором один из множителей произведения делится на 11 – простой делитель
числа 220:
10 -х
Х
4–х
х
х +5
х
х+2
х
11
11
7
11
6
11
9
-1
22
-12
22
18
22
17
22
20
Из всех таких значений делителями числа 400 – свободного слагаемого
являются лишь -1 и 20, причем оба числа оказались корнями уравнения. Пусть
(6  x)( 4  x)( x  5)( x  2)  220 x 2  ( x  1)( x  20)( x 2  px  20).
При х = -2 получим -880 = (-1)(-22)(4 -2 р -20), р = 12. Поэтому
(6  x)(4  x)( x  5)( x  2)  220 x 2  ( x  1)( x  20)( x 2  12 x  20).
Корни квадратного множителя – числа иррациональные. Ответ: -1; 20.