Задачи по математике

Математика 1
№ М – 2012.1 Размен
Допустим, что в некоторой стране в ходу такие денежные купюры: рубль, три, пять и
двадцать пять. Можно ли разменять 25 руб. на рублевые, трехрублевые и пятирублевые
купюры так, чтобы получить 10 купюр?
№ М – 2012.2 Раздача слонов
Остап Бендер в городе Фуксе организовал раздачу слонов населению. На раздачу явилось 28 членов профсоюза и 37 не членов, причем Остап раздавал слонов поровну всем
членам профсоюза и поровну – не членам. Оказалось, что существует лишь один способ такой раздачи (так, чтобы раздать всех слонов). Какое наибольшее число слонов
могло быть у О. Бендера?
№ М – 2012.3 Неравенство
При каких натуральных n верно, что 2 n  2n  1 .
Указание: Примените метод математической индукции.
№ М – 2012.4 Котенок
Котенок залез до середины по лестнице, приставленной к стенке, после чего лестница
поехала по полу. По какой кривой будет двигаться котенок?
№ М – 2012.5 Колодец
Вдоль прямого шоссе стоят шесть домов через 100 метров друг от друга. Где вырыть
колодец, чтобы сумма расстояний от него до домов была наименьшей?
№ М – 2012.6 Корабли
По морю с постоянными скоростями и в постоянных направлениях идут два корабля. В
8.00 расстояние между ними 7,5 мили, в 8.55 – 3,5 мили, в 9.05 – 2,9 мили. В какое время корабли будут находиться ближе всего друг к другу и каким это расстояние будет?
Указание: С помощью векторов запишите квадрат расстояния между кораблями
как функцию от t и докажите, что получится квадратный трехчлен.
№ М – 2012.7 Что больше
Что больше: 378  375 или 376  377 .
№ М – 2012.8 Кто раньше
Автомобиль и велосипедист выехали одновременно из А в В. Проехав треть пути, велосипедист остановился и тронулся лишь тогда, когда автомобилю осталось пройти треть
пути до В. Автомобиль, доехав до В, без остановки повернул обратно в А. Кто приедет
раньше: автомобиль в А или велосипедист в В?
Математика 2
№ М – 2012.9 Формулы Виета
Известно, что можно найти корни квадратного трехчлена без непосредственного решения уравнения используя формулы Виета, связывающие комбинации корней с коэффициентами трехчлена. Получите аналогичные формулы для кубического многочлена
x3  ax 2  bx  c . Можно ли написать аналогичные формулы для уравнения любой степени?
№ М – 2012.10 Фальшивая монета(золотая)
Дано 8 золотых монет. Одна из них фальшивая (более легкая, чем остальные). С помощью двух взвешиваний на обыкновенных двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету.
№ М – 2012.11 Система неравенств
cx  1  0,
Найдите все значения c , при которых система неравенств 
не имеет решения.
 x  c  0.
№ М – 2012.12 Фальшивая монета (обычная)
Из 11 одинаковых внешне монет 6 монет настоящие и 5 – фальшивые. Все настоящие
монеты одного веса и все фальшивые тоже одного веса; вес фальшивой монеты отличается от веса настоящей на 1г. Из 11 монет выбрали одну. Как с помощью весов с двумя
чашками и стрелкой, показывающей, на сколько граммов вес одной чашки отличается
от веса другой, за одно взвешивание узнать, настоящая монета или фальшивая?
№ М – 2012.13 Один общий корень
Найдите все значения c , при которых уравнения x 2  cx  1  0 и x 2  x  с  0 имеют
ровно один общий корень.
№ М – 2012.14 Черепахи
В безжизненной пустыне по прямой дороге ползут три черепахи. Одна черепаха говорит: «Впереди меня нет черепах, сзади меня идут две черепахи». Другая черепаха говорит: «Впереди меня идет одна черепаха и позади меня идет одна черепаха», а третья
черепаха говорит: Впереди меня идут две черепахи, а позади меня еще одна черепаха».
Как такое может случиться?
№ М – 2012.15 Два числа
Разность двух чисел равна 48, разность между средним арифметическим и средним
геометрическим этих чисел 18. Найдите эти числа.
Решите уравнение:
№ М – 2012.16 Корни уравнения
( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  15 .
Математика 3
№ М – 2012.17 Максимальное значение
Пусть U  Ax n  Bx  m , где A, B  произвольные положительные вещественные числа.
а) Чему равно минимальное значение U ?
б) Каковы относительные вклады первого и второго членов в минимальное значение U ?
№ М – 2012.18 Неравенство
x2
Решить неравенство x 
 5 . Будем решать данное неравенство так: «освободимx2
ся» от общего знаменателя, умножив неравенство на x  2 :
x( x  2)  x 2  5( x  2) ,
или
x 2  2 x  x 2  5 x  10 ,
 7 x  10, x 
Получился неверный результат (Правильный
10
.
7
10
 x  2 ). Где допущена ошибка?
7
№ М – 2012.19 Область определения функции
Найти область определения функции, заданной выражением
lg x  2 .
№ М – 2012.20 Показательное неравенство
Решить неравенство 2 2 x  3  2 x  2  32  0 .
№ М – 2012.21 Преобразовать
Преобразовать cos( 2 arcsin x) .
№ М – 2012.22 Упростить
2

1
1 
Упростить выражение y  2( x 2  x 4  1) 3 ( x 2  1) 1  2  3 ( x 2  1) 1  2  , где x  1.
x
x 



№ М – 2012.23 Разложение рациональной функции
Доказать, что один из корней следующей целой рациональной функции:
36 x 3  12 x 2  5 x  1
равен сумме двух других и затем разложить эту функцию в произведение линейных относительно x множителей.
Математика 4
№ М – 2012.24 Показательное уравнение
Решить уравнение 3 x 1  111 x .
№ М – 2012.25 Преобразование иррациональных выражений
Доказать равенства:
1)
20  14 2  3 20  14 2  4 ,
3
3 1
2)
3)
3 1
3
3
95 3
95 3
,
26  15 3  7  4 3 .
№ М – 2012.26 Обратный порядок цифр
Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к искомому числу прибавить 36, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.
№ М – 2012.27 Экзамен по математике
На вступительном экзамене по математике 15% поступающих не решили ни одной задачи, 144 человека решили задачи с ошибками, а число верно решивших все задачи относится к числу не решивших вовсе, как 5:3. Сколько человек экзаменовалось по математике в этот день?
№ М – 2012.28 По реке идет пароход
От пристани в город отправилась лодка со скоростью 12 км/ч, а через полчаса после нее
в том же направлении вышел пароход со скоростью 20 км/ч. Каково расстояние от пристани до города, если пароход пришел туда на 1,5 ч раньше лодки?
№ М – 2012.29 Квадраты цифр числа
Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то
получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.
№ М – 2012.30 Кошки – мышки
Кошка, гнавшаяся за мышкой вдоль длинного коридора, догнала ее через a секунд после начала погони. Первоначальное расстояние между ними  м. Если при таком же
начальном расстоянии мышка с перепугу побежала бы не от кошки, а навстречу ей, то
была бы схвачена через b секунд. Полагая, что в том и другом случае кошка и мышка
прилагали бы максимальные усилия, найти средние скорости каждой из них.
Математика 5
№ М – 2012.31 Дроби
Беру две дроби, из которых одна вдвое больше другой. Каждую дробь возвожу в квадрат, результаты складываю, получаю некоторую сумму. Теперь каждую из первоначальных дробей возвожу в куб, результаты складываю и замечаю, что опять получилась
та же сумма. Найдите эту пару дробей.
№ М – 2012.32 Двузначное число
Какое двузначное число меньше суммы квадратов его цифр на 11 и больше их удвоенного произведения на 5?
№ М – 2012.33 Население города
Население города ежегодно увеличивается на 1
наличного числа жителей. Через
50
сколько лет население утроится?
№ М – 2012.34 Многочлен
Многочлен x 4  4 представить в виде произведения двух многочленов второй степени.
№ М 2012.35 Вычислить
Вычислить
1
1
1
1
1



 ... 
.
1 2 2  3 3  4 4  5
49  50
№ М 2012.36 Газель – гепард
Газель бежала в 60 прыжках от преследующего ее гепарда, причем гепард делал каждый раз по 2 прыжка, когда газель делала 3, но при этом 3 прыжка гепарда равнялись 7
прыжкам газели. Сколько прыжков сделал каждый из них, прежде чем гепард настиг
газель?
2.37 Минимум функции

1
 
1
Найти минимум функции g (t1 , t2 )    t2   t1  2 
t2 
 t1
 
e
при t1  0 и t2  0 .
№ М 2012.38 Окно
Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом
(см. рис. 1). Периметр окна равен L м. При каком радиусе полукруга окно будет пропускать наибольшее количество света?
A
O
C
Рис. 1
B
Математика 6
№ М 2012.39 Освещенность точки
На прямолинейном отрезке AB (см. рис. 2),
соединяющем два источника света: A (силой p ) и B (силой q ), найти точку M ,
M
A
освещаемую слабее всего, если AB  a .
(Освещенность обратно пропорциональна
квадрату расстояния от источника света).
B
Рис. 2
№ М 2012.40 Простейшие размножаются
Представим такую ситуацию: пусть простейшая – амëба, которая размножается простым деление пополам, совершает это деление за 1 мин. Если положить в пустой стакан
одну амëбу и засечь время, то окажется, что стакан заполнится полностью через 1 час.
А за какое время стакан заполнится, если первоначально в стакан поместить сразу две
амëбы?
№ М 2012.41 Оптимальный путь
В обычной комнате с размерами: ( a  длина, b  ширина, c  высота) на боковой стене
на расстоянии 1 м от потолка и таком же расстоянии от меньшей боковой стены, т.е.
почти в верхнем углу, сидит таракан. Ему требуется перебраться в противоположный (в
смысле диагонали потолка) угол комнаты в аналогичную по расположению точку.
Укажите кратчайшую траекторию его передвижения.