Theoretical and Experimental Investigation of Grillages Vibration

К РАЗВИТИЮ МЕТОДОВ Н.К. СНИТКО В ДИНАМИКЕ СООРУЖЕНИЙ
Г.П. Арясов
(Таллиннский технический университет, Таллинн, Эстония)
TO DEVELOPMENT OF N.K. SNITKO IN DYNAMICS OF ENGINEERING
STRUCTURE
G.Aryassov
(Tallinn Technical University, Tallinn, Estonia)
1. ВВЕДЕНИЕ
Проф. Н.К.Снитко внес огромный вклад в развитие науки и техники в области динамики
сооружений. Большое внимание в его работах уделялось изучению вынужденных колебаний, в
частности, на действии повторной нагрузки. Так, используя общее выражение для вынужденных
колебаний с одной степенью свободы при действии любой силы, меняющейся по степенной
функциибыла дана формула перемещений от повторных импульсов в виде суммы членов,
учитывающих действие всех предшествующих импульсов 1. Позже проф. Н.К.Снитко, обобщая
свой метод для получения общего интеграла вынужденных колебаний системы с одной степенью
свободы, рассмотрел систему с двумя степенями свободы и дал для нее общий интеграл
применительно к линейным во времени нагрузкам 2,3.
Опираясь на методы, разработанные проф. Н.К.Снитко, такие задачи рассматривались и в работах
Е.С.Сорокина 4, И.М.Рабиновича 5, Я.Г.Пановко 6 и других. Например, Е.С.Сорокиным был
предложен несколько иной подход к решению задачи определения вынужденных перемещений
системы с одной степенью свободы при действии периодических импульсов. В отличие от других
работ, в которых сопротивление принималось по гипотезе вязкого трения, задача решалась с
учетом гистерезисных потерь. Проф. Г.К.Гольст, являющийся одним из учеников проф.
Н.К.Снитко, опираясь на его идеи рассматривал в своей докторской диссертации действие
повторной ударной нагрузки конечной и равной продолжительности на системы с одной и двумя
степенями свободы 7, а позднее и на системы с n степенями свободы при учете двух форм
собственных колебаний 8. Позднее и автор этого доклада, который считает себя принадлежащим
к научной школе проф. Н.К.Снитко, широко использовал и развивал идеи и методы Н.К.Снитко в
области динамики конструкций 9-12.
2. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Дискретная расчетная схема перекрестных балок представляет собой систему точечных масс
(фиг.1), сосредоточенных в узлах пересечений продольных и поперечных балок, с r=nm
степенями свободы, где n – число поперечных балок, m – число поперечных балок. Такие схемы с
успехом широко используются как в сейсмологии, так и в вибродиагностике13,14.
Принимаем, что нагрузка (фиг.2) прикладывается к этим
Поперечные
балки
массам. Такая постановка задачи не меняет общности
0.43m
F
F
решения, поскольку любую нагрузку можно привести к
m2
2
3
m3
местам сосредоточения масс 3. Основными факторами,
Продольные
0.43m
обуславливающими затухание в перекрестных балках,
F
F
балки
1
является конструкционное демпфирование в подвижных и
4
m1
m4
неподвижных соединениях и внутреннее трение. В работе
0.43m
0.725
0.725
0.725
учитывалось только внутреннее трение, которое
характеризуется коэффициентом вязкого трения , не
Фиг.1 Схема нагружения системы
зависящим от частоты циклических деформаций.
перекрестных балок
F
n
2n
F

(n+1) удар
Δt
Δt
F
P
F
P
Δt
(n+1) удар
Δt




t
...



Δt
а) повторная нагрузка одного знака

…
t
2n
(n+1) удар
б) повторная нагрузка разного знака
Фиг.2 Повторная прерывная нагрузка
Конструкционное трение во многом зависит от конкретного вида конструкции. Поэтому будем
принимать, что коэффициент  включает в себя и потери от конструкционного трения.
Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний с учетом сил сопротивления по теории
комплексного внутреннего трения Е.Сорокина 4 имеют вид
r
mk yk* (t )  (u  iv ) Ckj y k* (t )  Fk ,
(k =1, 2, 3, …, r),
(1)
j 1
где u 
1  2 4
1  2 4
, v

, y*k
2
1  4
–
комплексное перемещение
k – ой массы;
C kj –
коэффициент жесткости системы;  – коэффициент вязкого трения.
Учитывая возможность разложения нагрузки по формам главных колебаний, ввиду достаточно
малых сил сопротивления и их малого влияния на формы и частоты собственных колебаний,
можно применять решения, разработанные для системы с одной степенью свободы 1. После
(n+1) – го приложения нагрузки в (n+1) – ом интервале времени выражения для определения
перемещений имеют вид
r


2
y
F y
1

r  ki  j ji
j 1
*
* 
4

,
(2)
y k (t ) 
(
A

B
)

i
i

 2 i 1  2 r
2
1
 i  m j y ji

4
j 1


n

 



Ai*   exp   i (t    t ) (1) cos  i (t    t )  sin  i (t    t ),
2
 2



 0
n

 



Bi*   exp   i (t   ) (1) 1 cos  i (t   )  sin  i (t   )
2
 2



 0
где
*
i
yki – характеристики форм главных колебаний, при этом множители
 1
(3)
and  1
 1
в
*
i
A and B в случае однозначных повторных сил (фиг.2) всегда равны только единице
3. ПРИМЕР РАСЧЕТА
Согласно изложенной теории для вычислений на ЭВМ составлена программа на языке QUICK
BASIC. Приводим пример расчета системы перекрестных балок (фиг.1). Погонные массы
m x  m y  1.1927 kg/m,
продольных и поперечных балок
моменты инерции
I x  I y  0.03125108 m 4 , четыре равные массы
m1  m2  m3  m4  1.3775 kg,
сосредоточены в узлах пересечений балок (фиг.1). К массе
m1 (фиг.1) прикладывается
периодическая повторная нагрузка F1=29.7 H, продолжительность действия которой t = 0.08 с,
интервал между повторными приложениями  = 0.5 с. При расчете дискретной системы (фиг.1) на
свободные колебания получили частоты собственных колебаний:  1 = 28.6 с-1,  2 = 53.3 с-1,  3 =
104.0 с-1,  4 = 112.0 с-1 и характеристики форм главных колебаний:
1) y11 = 1 y12 = 1 y13 = 1 y14 = 1 ,
2) y21 = 1
y22 = 1 y23 = -1 y24 = -1 ,
3) y31 = 1 y32 = -1 y33 = 1 y34 = -1 ,
4) y41 = 1
y42 = -1 y43 = -1 y44 = 1.
Графики вынужденных колебаний первой массы (фиг. 3a,b,c) при различных значениях
коэффициента внутреннего трения  показывает, что силы сопротивления значительно снижают
перемещения.
Фиг.3 Вынужденные колебания массы m1 приучете всех форм колебаний
с различным внутренним трением: a -  = 0; b -  = 0.06; c -  = 0.2
Особенно
наглядно
видно влияние сопротивления для максимальных перемещений
(табл.1).Такое значительное влияние сил сопротивления на перемещения объясняется малой
продолжительностью t действия нагрузки по сравнению с интервалом приложения нагрузки
(фиг.2a и 2b).
Таблица 1 Амплитуды вынужденных колебаний при учете всех форм колебаний
Коэффициент
внутреннего
1-ый
трения 
0  t 
Интервал действия нагрузки
2-ой
3-ий
4-ый
  t  2
2  t  3
3  t  4
5-ый
4  t  5
0
0,06
0,2
0,4
2,3
1,71
1,60
1,24
1,91
1,42
1,37
1,24
1,53
1,47
1,22
1,22
2,08
1,50
1,37
1,24
0,9
1,31
1,37
1,24
В результате система большую часть времени периода  совершает свободные колебания,
которые затухают тем быстрее, чем больше сопротивление. Кроме того, перекрестные балки как
достаточно жесткая система имеют значительные по величине собственные частоты. Поэтому
учитывая принятую нами независимость внутреннего трения  от частоты циклических
деформаций, свободные колебания такой конструкции будут сравнительно быстро затухать.
Если увеличивать продолжительность действия нагрузки t, то при t > 2.5Т1, где T1  2 1 период первой частоты колебаний конструкции, то расчет сводится к статическому на действие
эквивалентной нагрузки F1, где  = 2 для внезапного нагружения и  = 1 в случае внезапного
разгружения. Если же продолжительность нагрузки t < 0.1Тn, где Tn  2  n - период
наивысшей частоты из спектра основных частот, то расчет сводится к расчету на
действиемгновенных импульсов. Если период между повторными приложениями нагрузки
  2T1  , то расчет ведется на действие одиночного импульса.Отсюда можно сделать вывод, что
0.1Tn  t  2.5T1 и t    2T1  перемещения при действии повторной нагрузки
при
определяются выражениями (2).
Для выяснения влияния высших форм (гармоник второго порядка) на перемещения проводим
расчет по формуле (2) с учетом только первых двух форм главных колебаний. Результаты этого
расчета, приведенные на фиг. 4a,b показывают, что они мало отличаются от результатов (фиг. 3),
где учитывались все r форм главных колебаний. Сравнение же амплитуд приведено в таблице 2.
Фиг.4 Вынужденные колебания массы m1 приучете двух форм главных колебаний
с различным внутренним трением: a -  = 0.06; b -  = 0.2
Таблица 2 Амплитуды вынужденных колебаний при учете двух форм колебаний
Коэффициент
внутреннего трения
0
0,06
0,2
0,4
Перемещения (см) при учете форм колебаний
всех r
первых двух
2,60
1,61
1,42
1,24
2,30
1,56
1,32
1,14
Однако при расчете резонансных колебаний, когда перемещения максимальные, недостаточно
учитывать только первые две формы. Необходимость учета высших форм колебаний вызывается
еще также тем обстоятельством, что частоты собственных колебаний перекрестных балок
образуют на спектре частот зоны сгущения и разрежения и не растут так быстро с увеличением
номера частоты.
4.ЧИСТО ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Из графиков вынужденных колебаний (фиг. 3a,b,c) видно, что по истечении некоторого времени
устанавливаются стационарные вынужденные колебания. В общем случае колебания, вызываемые
ударной периодической нагрузкой, не являются периодическими. Однако, для упрощения расчета
колебания можно представить как сумму периодического стационарного колебания с периодом
возмущающей нагрузки  и свободных колебаний [1].
Свободные колебания, обусловленные наличием начальных условий и действием возмущающей
силы, имеют место только для начального, переходного периода движения. Затем эти колебания
вследствие сил сопротивления затухают и, в конечном итоге, устанавливаются лишь чисто
вынужденные колебания. В этом случае, учитывая указанные выше упрощения и раскладывая
нагрузку по формам собственных колебаний, перемещение каждой массы дискретной схемы
(фиг.1) в любом интервале  действия нагрузки по каждой форме в отдельности, можно
представить



y ki 0   i y ki 0


 

2
y ki t   exp   i t    y ki 0 cos  i t 
 sin  i t   y*ki t 
i

 2
 




 
, (i, k=1, 2,3,…, r) (4)
где два первых слагаемых учитывают начальные условия движения в данном интервале, а третье
 
отражает действие нагрузки в этом интервале в пределах 0  t    . Чтобы обеспечить
чисто периодические, повторяющиеся в каждом интервале колебания приравняем перемещения и
скорости масс в начало и конце интервала по каждой форме в отдельности y ki 0  y ki   ,
y ki 0  y ki   , i , k  1, 2,3,..., r  . Тогда можно составить два уравнения, по каждой форме в
отдельности, из которых определяются начальные условия периодического движения системы.
Полные перемещения в любом интервале в случае нулевых начальных условий, получают вид



y ki 0   i y ki 0
r


 

2
y k t    exp    i t   y ki 0 cos  i t 
 sin  i t  
i
 2

i 1



, (k=1,2,3,…,r)
(5)



y ki 0    i y ki 0
r

 r * 
 



2
  exp    i t   y ki 0 cos  i t 
 sin  i t    y ki t
i
 2

i 1
 i 1


где первые два члена выражают свободные колебания системы, три последних – чисто
вынужденные периодические колебания. В случае действия разнозначной нагрузки (фиг.2в)
задача решается путем суммирования двух решений по формуле (5), но с учетом сдвига второй
периодической нагрузки относительно первой на интервал .
Результаты расчета чисто вынужденных колебаний перекрестных балок, изображенных на фиг.1
приведены на фиг.5а,в,с. Сравнение графиков на фиг.5 с графиками фиг.3 показывает их хорошее
совпадение, особенно в случае большого сопротивления. Это объясняется тем, что с увеличением
сопротивления уменьшается влияние свободных колебаний, определяемых первыми двумя
слагаемыми в формуле полного перемещения (4).
Для оценки точности применяемых дискретных расчетных схем в таблице 3 приведены
результаты расчетов свободных колебаний системы перекрестных балок (2х2) при учете
различного числа сосредоточенных масс. Здесь же даны и результаты точного решения,
выполненного по методу перемещений 2,14,15.
y ki t 
 
Фиг.5 Чисто вынужденные периодические перемещения с различными
коэффициентами внутреннего трения : a -  = 0; b -  = 0.06; c -  = 0.2
вынужденные колебания,вызванные действием нагрузки
чисто вынужденные периодические колебания
свободные колебания ,обусловленные начальными условиями
Таблица 3 Круговые частоты системы перекрестных балок 2х2 (с-1)
Дискретная схема при учете
4-х масс
16-ти масс
28,62
53,34
104,06
112,02
-
26,32
53,71
103,23
111,21
134,82
С
распределенной
массой (точное решение)
[10]
26,21
52,82
102,41
108,63
134,54
5.ВЫВОДЫ
Дискретная расчетная схема с достаточной степенью точности определяет вынужденные
колебания перекрестных балок при действии повторной прерывной нагрузки. При расчете
необходимо учитывать силы сопротивления, для характеристики которого
коэффициент
внутреннего трения  принимается общим для всей системы по первой форме колебаний.
Получены выражения для определения чисто вынужденных периодических колебаний, что
позволяет ограничиться рассмотрением только одного интервала  действия нагрузки. Особенно
удобно такое решение при резонансе, так как в этом случае достаточно учитывать одну форму
колебаний, по которой имеет место резонанс.
Наличие близких по своим значениям собственных частот перекрестных балок вызывает
необходимость учета высших форм колебаний. Однако, в некоторых
случаях
можно
ограничиться первыми двумя формами колебаний.
Составленные программы автоматизированного расчета на ЭВМ позволяет распространить их на
любые сложные системы перекрестных балок.
6. ЛИТЕРАТУРА
1. Снитко Н.К. Методы расчета сооружений на вибрацию и удар. Госстройиздат, 1953.
2. Снитко Н.К. Динамика сооружений. Госстройиздат, М., 1960.
3. Снитко Н.К., Акимов-Перетц Д.Д. Определение динамических усилийй и перемещений
перекрестных балок транспортеров при ударе падающих грузов. Информационный
бюллетень ВАТТ, Л., 1963.
4. Сорокин Е.С. Элементарная теория импульсного резонанса. Строительная механика и
расчетсооружений. Госстройиздат, №5, 1962, 27-33.
5. Рабинович И.М. К расчету сооружений на нагрузки, изменяющиеся по произвольному
периодическому закону. Исследования по теории сооружений, вып.9,1960.
6. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. Машгиз, М.,1964.
7. Гольст Г.К. К вопросу о повторных ударах. Известия высших учебных заведений,
Строительство и архитектура, Новосибирск, вып.3, 1963, 43-48.
8. Гольст Г.К. О колебаниях механической системы с конечным числом степеней свободы при
действии повторной прерывной нагрузки. Труды ТПИ, Таллинн, №293, 1970, 23-36.
9. G.Aryassov, T.Pappel, L.Teder. Theoretical Experimental Investigation of Grillages Vibration
under the Action of Repeated Loading. OST 99 Symp. On Machine Design, Stockholm, 1999,
pp.165-174.
10. G. Aryassov, T. Pappel, L. Teder, A Free Vibration Analysis of Grillages by Displacement
Method. BEM/FEM-2000, 18th Intern. Confer. Mathem. Modelling in Mechanics of Solid and
Structures by Boundary & FEM, St.-Petersburg, , 2000, V.2, pp.48-54