Модели ИИСС «Уравнения и неравенства»

Модели ИИСС «Уравнения и неравенства»
1. Координатная окружность (демонстрационная)
Модель демонстрирует определение синуса и косинуса при помощи координатной
окружности. Согласно этому определению, если расположить центр окружности радиуса
1 в начале координат и выбрать на этой окружности произвольную точку, то косинусом
угла между радиус-вектором, проведённым к этой точке, и осью абсцисс будет абсцисса
данной точки, а синусом того же угла – ордината.
Нажмите кнопку Старт. Слева вы увидите, как перемещается точка по координатной
окружности, справа – графики синуса (синяя линия) и косинуса (зелёная линия). Кнопки
Стоп и Сброс управляют анимацией. Изменить координаты точек можно, перемещая их
по координатному полю при помощи мыши. Для этого щёлкните мышью по нужной точке
и, не отпуская кнопку мыши, переместите точку в требуемое место.
2. Решение логарифмических уравнений (демонстрационная)
В интерактивной модели демонстрируются способы решения простейших
логарифмических уравнений: функционально-графический, метод потенцирования, метод
введения новой переменной.
Нажмите кнопку Старт, чтобы начать анимацию, Стоп – чтобы приостановить её и Сброс
– чтобы вернуть анимацию в исходное состояние.
3. Решение уравнений (тренажер)
Введите в верхнее поле ввода уравнение в виде f (x) = g (x), например, sin x = x2 – 2x + 3.
Нажмите кнопку Enter или Решить. Подождите некоторое время. Будет построен график
правой и левой частей уравнения, зелёными точками будут отмечены корни, записаны
корни уравнения. Чтобы ввести новое уравнение, нажмите кнопку Сброс. Если вы
сделаете ошибку при вводе, в нижнем окне появится соответствующее сообщение.
4. Метод деления отрезка пополам (тренажер)
Интерактивная модель демонстрирует один из наиболее распространенных способов
нахождения нулей функции на отрезке (и решения алгебраических уравнений) – метод
деления отрезка пополам.
Введите функцию в поле ввода в правом верхнем углу модели. Задайте границы отрезка
[a; b], на котором ищутся нули, при помощи полей численного ввода. Нажмите кнопку
Сделать шаг. Программа определит, является функция на отрезке [a; b] монотонной и
непрерывной. Если функция не является непрерывной, то в окне вывода будет выдано
сообщение об этом; вам будет предложено уточнить границы отрезка, на котором ищутся
нули. То же самое произойдет, если предполагаемых нулей функции на данном отрезке
будет слишком много (примером является поиск нулей функции y = cos x на отрезке [–2;
2]). Продолжайте нажимать кнопку Сделать шаг. Следите на графике функции и в окне
вывода за тем, как изменяются границы отрезков, на которых ищутся нули. Через
несколько шагов нули будут найдены с точностью до сотых. Кнопка Сброс возвращает
модель в исходное состояние.
5. Решение показательных уравнений
Показательными уравнениями называют уравнения вида
где a –
положительное число, отличное от 0, и уравнения, сводящиеся к этому виду. В
интерактивной модели демонстрируются способы решения простейших показательных
уравнений.
Нажмите кнопку Старт, чтобы начать анимацию, Стоп – чтобы приостановить её и Сброс
– чтобы вернуть анимацию в исходное состояние.
6. Решение неравенств графическим методом
Введите в верхнее поле ввода неравенство в виде f (x) ? g (x), где знаком «?» обозначена
какая-либо из операций сравнения «<», «<=», «>», «>=», например, sin(x)>=2*exp(x).
Нажмите кнопку Enter или Решить. Подождите некоторое время. Будет построен график
правой и левой частей неравенства, штриховкой по оси абсцисс будет отмечено решение.
В нижней части модели выводятся приблизительные решения с точностью до 0,1.
Чтобы ввести новое неравенство, нажмите кнопку Сброс. Если вы сделаете ошибку при
вводе, в нижнем окне появится соответствующее сообщение.
7. Метод интервалов
Интерактивная модель демонстрирует один из методов решения дробно-рациональных
неравенств – метод интервалов. Общий вид левой части неравенства записан в левой
части модели. В правой части неравенства находится 0. Между этими частями могут
стоять знаки «>», «<», «=», «≥», «≤»; выбор нужного знака осуществляется при помощи
соответствующего переключателя. Задайте параметры C, ai, bi, αi, βi (для 1 ≤ i ≤ 3).
Графическая иллюстрация к методу интервалов появится в верхней части модели. Точки,
входящие в решение неравенства, будут выделены зелёным цветом. Формульную запись
решения можно увидеть в окне вывода в нижней части модели.
8. Колебания в электрической цепи.
Колебания в электрической цепи происходят по закону синуса или косинуса. Так, в цепи
изображенной в правом верхнем углу модели, заряд на обладках конденсатора изменяется
по закону q = CU + (q0 – CU) cos ωt, где C – емкость конденсатора, U – напряжение на
источнике тока, L – индуктивность катушки,
– угловая частота колебаний в цепи.
Установите параметры колебательного контура и нажмите Старт. В левой части модели
начнут строиться графики q (t) и I (t). Текущие значения t, q и I появятся в нижней части
окна вывода. Кнопка Стоп приостанавливает анимацию, кнопка Сброс возвращает модель
в исходное состояние.
9. Функция синус
Интерактивная модель демонстрирует график тригонометрической функции y = A sin (ax
+ b) + B. Введите значения коэффициентов функции в численные поля ввода и нажмите
кнопку Построить. На экране появится синусоида.
Можно задать координату некоторой точки из области определения функции (в единицах
π). На экране появится значение функции в этой точке.
10. Функция косинус
Интерактивная модель демонстрирует график тригонометрической функции y = A cos (ax
+ b) + B. Введите значения коэффициентов функции в численные поля ввода и нажмите
кнопку Построить. На экране появится косинусоида.
Можно задать координату некоторой точки из области определения функции (в единицах
π). На экране появится значение функции в этой точке.
11. Простейшие тригонометрические уравнения
Модель позволяет в интерактивном режиме решать простейшие тригонометрические
уравнения. Введите в верхнее поле ввода уравнение вида A f (ax + b) = B (например,
2*tg(3*x+4)=0.5) и нажмите кнопку Решить. Через некоторое время в среднем поле
появится ответ.
В качестве функции f можно вводить sin, cos, tg и ctg. Если вы допустили ошибку при
вводе, то в нижнем поле появится сообщение об ошибке. Чтобы очистить поле ввода,
нажмите Сброс.
12. Решение тригонометрических неравенств
Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, в которые входят
тригонометрические функции и их композиции. Решениями тригонометрических
неравенств являются, как правило, серии интервалов, отстоящих друг от друга на
некоторое число. В интерактивном режиме выбирается, какая тригонометрическая
функция входит в неравенство, и задаются коэффициенты. Программа автоматически
находит решение неравенства и рисует его графически.
Чтобы перейти в демонстрационный режим, щёлкните по кнопке с кинопроектором.
Нажмите кнопку Старт, чтобы начать анимацию, Стоп – чтобы приостановить её и Сброс
– чтобы вернуть анимацию в исходное состояние. Для возвращения в интерактивный
режим нажмите на кнопку с изображением руки.
13. Тригонометр
Модель демонстрирует определение основных тригонометрических функций при помощи
координатной окружности. Также, модель позволяет в интерактивном режиме решать
простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.
Для демонстрации значений основных тригонометрических функций выберите режим
«Значения основных тригонометрических функций». С помощью выпадающего списка
выберите необходимую тригонометрическую функцию. Угол можно задавать тремя
способами:
1. Вбивать значение угла в поле для ввода.
2. Изменять значение угла в поле для ввода с помощью.
3. Изменить координату точки, перемещая их по координатному полю при помощи мыши.
В режиме «Решение тригонометрических уравнений/неравенств» можно выбирать
основные тригонометрические функции для решения простейших уравнений и
неравенств,
а
также
вид
уравнения/неравенства.
Предусмотрено
решение
уравнений/неравенств для табличных значений тригонометрических функций.
14. Графер (виртуальный практикум)
Программа «Графер» предназначена для построения и преобразования графиков функций
различного вида. Она обеспечивает демонстрацию связи формулы и графика функций.
Для школьников использование модели облегчает изучение графиков функций,
обеспечивает наглядность и простоту в использовании. Для преподавателей модель может
служить хорошим средством для подготовки к занятиям, для создания наглядных пособий
и так далее.
Построение графиков функций можно производить в декартовой и полярной системах
координат. Пользователь может самостоятельно задать функцию вида y = f (x),
параметрического вида y = f (t), x = g (t) или полярную функцию r = r (t). Имеется набор
«стандартных» функций: степенных, тригонометрических и гиперболических. К графикам
функций можно строить касательные.
Модель даёт возможность производить над функциями и их графиками различные
преобразования: смещение графика функций относительно координатных осей, сжатие,
растяжение, зеркальное отображение относительно осей координат. Можно производить
взаимные преобразования нескольких функций, такие как сложение функций, умножение
и деление одной функции на другую, преобразование вида f (g (x)). При этом
соответствующие преобразования одновременно влияют как на графическое изображение
функции, так и на её аналитический вид.
Имеются различного рода графические возможности, предназначенные для оформления
графиков функций, для придания им более наглядного вида. Можно ставить надписи,
отмечать точки, отрезки, интервалы и многое другое.
Так как для построения функций используются численные, а не аналитические методы,
возможны некоторые неточности построения в сложных критических точках.
Инструкция для ученика.

Введение

Пользовательский интерфейс

Практическая работа

Как построить график функции



Как изменить параметры графика функции

Построение элементарных графиков функций

Как изменить масштаб координатной плоскости

Как удалить, сохранить данные, извлечь сохранённые данные

Преобразования графиков и их функций
Как добавить вспомогательную информацию

Схематические надписи и рисунки

Формулы

Кнопки «На задний план» и «На передний план»
Дополнительные графические возможности Графера