и т.д.

Термех
Скачано с http://www.killtermeh.ru
Статика   
Равнодействующая двух пересекающихся сил– R  F1  F2 ; диагональ параллелограмма
 n 
2
2
R  F1  F2  2F1F2 cos  . Равнодействующая сходящихся сил R   Fi . Проекции сиi 1
лы на оси координат (для плоской системы сил): Fx=Fcos; Fy=Fcos. Модуль силы:
Fy
F
F  Fx2  Fy2 ; направляющие косинусы: cos  x ; cos  ; разложение на составF






F
ляющие: F  Fx  i  Fy  j , Для пространственной системы: F  Fx  i  Fy  j  Fz  k ,
Fy
F
F
Fx=Fcos; Fy=Fcos; Fz=Fcos; F  Fx2  Fy2  Fz2 ; cos  x ; cos  ; cos   z .
F
F
F
Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси: Rx=Fix;
Ry=Fiy; Rz=Fiz; R  R 2x  R 2y  R 2z . Условия равновесия сист. сходящихся сил: гео
метрическое:  Fi  0 , аналитические: Fix=0; Fiy=0; Fiz=0. Условие равновесия пар

 
 
сил:  M i  0 . Момент силы относительно точки: M 0 (F)  R  F – векторное произве
дение. Модуль векторного произведения: M 0 (F)  RFsin= Fh. Плоская система сил:

M 0 (F)  Fh, >0 – против час.стр.; <0 – по час.стр.
i j k
 
 
M 0 (F)  R  F  x y z =(yFz – zFy) i +(zFx – xFz) j +(xFy – yFx) k , проекции момента
Fx Fy Fz



силы на оси координат: М0x( F )=yFz – zFy; М0y( F )=zFx – xFz; М0z( F )=xFy – yFx.
Условия равновесия пл. сист. сил: аналитич.:  Fkx  0;  Fky  0;  M O (Fk )  0 , или



 M A (Fk )  0;  M B (Fk )  0;  M C (Fk )  0 , А,В,С – точки не на одной прямой, или
 M A (Fk )  0;  M B (Fk )  0;  Fkx  0 , ось "х" не перпендикулярна отрезку АВ.
Закон Кулона (закон Амонта – Кулона): Fсцmax  f сц  N . Сила трения скольжения:
Fтр  f  N . tgсц=fсц; tgтр=f. Мтр= fkN – момент трения качения. Момент силы относи


тельно оси: M Z (F)  M Z (Fxy )  M O (Fxy )  Fxy h . Моменты силы относительно осей ко


ординат: Мx( F )=yFz – zFy; Мy( F )=zFx – xFz; Мz( F )=xFy – yFx. Статические инварианты:
2
2
2
2
1-ый – квадрат модуля главного вектора:
 I1= Fo = Fx +Fy +Fz ; 2-ой – скалярное произв.
главного вектора на гл. момент: I2= FO  M O =FxMx+FyMy+FzMz.
 
M
F
I
Проекция гл. момента на направление гл. вектора M *  O O  2 . Мmin=M*
FO
I1








Главный вектор FO  Fx i  Fy j  Fz k и главный момент M O  M Ox i  M Oy j  M Oz k ,
M Ox  ( yFz  zFy ) M Oy  (zFx  xFz ) M Oz  ( xFy  yFx )


уравнения центральной оси:
.
Fx
Fy
Fz
Условия равновесия простр. сист.сил: Fkx=0; Fky=0; Fkz=0; Mx(Fk)=0; My(Fk)=0;
Mz(Fk)=0. Условия равновесия для системы параллельных сил (||z): Fkz=0; Mx(Fk)=0;
Термех
Скачано с http://www.killtermeh.ru
My(Fk)=0. Координаты центра ||-ых сил: x C 
xC 
 p kx  x k
; yC 
 Fkx  x k
 Fkx
. Координаты центра тяжести:
 p ky  y k ; где Р=р . Центр тяжести плоской фигуры:
k
P
P
 x k  Fk , x  1 xdF . Центр тяжести: дуги окружности с центральным углом
xC 
C

F
F ( F)
sin 
2 sin 
2: x C  R
; кругового сектора: x C  R
.

3

Статический момент площади плоской фигуры – Sx=yiFi= Fyc; Sy=xiFi= Fxc.
Объем тела вращения V=2xcF; площадь поверхности вращения F=2xcL.
Fx F x
Центр тяжести плоской фигуры с вырезанной частью: x c  1 1 2 2 .
F1  F2
Кинематика
s=f(t) –естественный способ задания движения, прямолинейное движение: х=f(t).
Координатный способ: x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t). Уравнение траектории: f(x,y,z)=0.



 
Векторный способ: радиус-вектор r  r (t ) = x  i  y  j  z  k , модуль r  x 2  y 2  z 2 ,
 x
направляющие косинусы: cos(x, r )  и т.д. Переход от координатного способа к естеr

t
 d r 
2
2
2
 r;
ственному: s   x  y  z dt . Скорость точки. Вектор скорости: v 
dt
0


dy
dz 
dx
dy
dz
 dx
v
 i   j   k . Проекции скорости: v x 
 x , v y 
 y , v z 
 z .
dt
dt
dt
dt
dt
dt
v

Модуль скорости: v  v 2x  v 2y  v 2z , направляющие косинусы: cos(x, v)  x и т.д.
v
ds
 ds  
 s , v    ,  – орт касательной. Движение в полярной
Естественный способ: v 
dt
dt
системе координат: r=r(t) – полярный радиус, =(t) – угол. Проекции скорости на радиальное направление v r  r , поперечное направление v p  r   , модуль скорости


 dv d 2 r  
2
2 2
v  r  r  .; x=rcos, y=rsin. Ускорение точки. a 

 v  r . Проекции
dt dt 2
dv
уск.-я: a x  x  v x  x и т.д. Модуль уск.-я: a  a 2x  a 2y  a 2z , направляющ. косинуdt
 a
сы: cos(x, a )  x , и т.д. Проекции уск. на радиальное напр-ние a r  r  r   2 , поперечa
 

  2r , модуль уск-я a  a 2r  a 2p . a  a n  a  . Модуль нормальное напр-ние a p  r  
v2
,  – радиус кривизны траектории, модуль касательного уско
dv d 2 s  
рения a  
 2 , a n  a  ,  a  a 2n  a 2 . Прямолинейное движение: = , аn=0,
dt dt
ного ускорения: a n 
Термех
Скачано с http://www.killtermeh.ru
a=a. Равномерное криволинейное движение: v=const, a=0, a=an. s=s0+vt, при s0=0 v=s/t.
Равномерное прямолинейное движение: а=a=an=0.
a t 2
4) Равнопеременное криволинейное движение: a=const, v=v0+at, s  s 0  v 0 t 
.
2
d
n
d d 2 
 
 .
  ,  
Угловая скорость:  
. Угловое ускорение тела:  


dt
30
dt dt 2
Равномерное вращение: =const, =t, =/t, равнопеременное вращение: =0+t;
t 2
  
  0 t 
. Скорости и ускорения точек вращающегося тела: v    r .
2
v=rsin() = (CM), (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения.
  
i j k



  
Формулы Эйлера: v    r   x  y  x  i ( y z  z y)  j(z x   x z)  k ( x y   y x ) ,
x
y z
vx=yz – zy; vy=zx – xz; vz=xy – yx. Если ось вращения совпадает с осью z, то vx= –

 
         
y; vy=x. Ускорение: a    r    v    r    (  r ) . Вращательное уск. a вр    r ,

    
авр=rsin, центростремительное уск. a ц    v    (  r ) , ац=2R. Полное ускорение: a  (a ц ) 2  (a вр ) 2  R  2  4 . Угол, между полным и центростремительным
a вр

ускорениями: tg  ц  2 . Плоское движение твердого тела.
a

 


Уравнения плоского движения: xA= f1(t), yA= f2(t),  = f3(t), Скорость v B  v A    rAB ;






v B  v A  v BA , vBA= BA, vAcos = vBcos. Мгновенный центр ск-ей – Р: v B    PB .




dv B dv A d 

 d rAB
vA vB
vB


 rAB   
, 
. Ускорения: a B 
,

dt
dt
dt
dt
PA PB
PB
a вр




ц
 вр ц

2
вр
a B  a A  a BA  a A  a BA  a BA . a BA    BA , a BA    BA , tg  цBA  2 ,
a BA 
aA

a BA  AB  2  4 . Мгновенный центр уск-ий – Q;   arctg 2 , AQ 
,
2
4

 
a B QB
. Сферическое движение твердого тела. Уравнения сферического движения:

a A QA
=f1(t); =f2(t); =f3(t)  – угол прецессии,  – угол нутации,  – угол собственного вра
 d
щения — углы Эйлера. Угловое ускорение:  
. Скорости точек при сферич. движ.:
dt
  
v    r , модуль v=rsin=h, h– расстояние от точки до мгновенной оси вращения.
  
i j k



  
v



r





i
(

z


y
)

j
(

x


z
)

k
( x y   y x ) .
Формулы Эйлера:
x
y
x
y
z
z
x
x
y z
Скачано с http://www.killtermeh.ru
Термех

 
    
Ускорения: a    r    v , вращательное ускорение a вр    r модуль вращат. уск.

авр=rsin=h1, h1– расст. от точки до вектора  , осестремительное ускорение

 
a ос    v , аос=2h. Движение свободного тв.тела. Ур-ия движ.св.тв.тела: xA=f1(t);
yA=f2(t); zA=f3(t); =f4(t); =f5(t); =f6(t) (углы Эйлера). Скорость точки св.тв.тела:
 
 



    
 
v  v A    r . Ускорение точки св.тв. тела: a  a A  a ос  a вр  a A    (  r )    r .
Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей:






 dx  dy  dz
 
  d d O
di  
di
dj
dk
  O  r , v 

 ( x  y  z)  ( i
 j k );
 e  i
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt




 dx  dy  dz 



 d O 
v
 e  ( i x  j y  kz)  ( i
 j  k ) , i x  j y  kz  r ;
dt
dt
dt
dt
 dx  dy  dz 


 
   
  

i
 j k
 i v rx  j v ry  kv rz  v r ; v  v O  e  r  v r ; v e  v O  e  r ,
dt
dt
dt
 
 

v  v e  v r , v  v e2  v 2r  2 v e v r cos( v e , v r ) . Теорема о сложении ускорений 



 dv d 2  O
d2 i
d2 j
d 2k
a

 ( 2 x  2 y  2 z) 
dt
dt 2
dt
dt
dt
теорема Кориолиса:



2
2
2
d x d y d z
d i dx d j dy dk dz
 ( i 2  j 2  k 2 )  2(


)
dt dt dt dt dt dt
dt
dt
dt





de 
d2 i d di
d  
di  

(
)

(


i
)


i






i



(


i ) и т.д.
e
e
e
e
e
dt
dt
dt
dt 2 dt dt
d 2O 
 aO;
1)
dt 2



  
 
  
 
d2 i
d2 j
d2k
x

y

z

[


i



(


i
)]

x

[


j



(

e
e
e
e
e
e  j )]  y 
2) dt 2
dt 2
dt 2

  

  
 
 [ e  k  e  (e  k )]  z   e  r  e  (e  r );
 d2x  d2 y  d2z 



3) i 2  j 2  k 2  i  a rx  j  a ry  k  a rz  a r ;
dt
dt
dt



 dx  dy  dz




 
d i dx d j dy dk dz 
4)


 e  ( i
 j  k )  e  ( i v rx  j v ry  kv rz )  e  v r ,
dt dt dt dt dt dt
dt
dt
dt
 
  
  
 



   ос 
a  a O   e  r  e  (e  r )  a r  2(e  v r ) ; a вр
e   e  r ; a e   e  ( e  r ) .
  




 ос  
^
a e  a О  a вр
e  a e . a  a е  a r  a c , a c  2 e  v r ; ас= 2|evr|sin(e vr).
 

Сложное движение тверд. тела. Правило параллелограмма угловых ск-ей:   e   r .
d
 


d
  1  2  ...  n . Угл. ск-сть. прецессии 1 
, угл. ск-сть нутации  2 
,
dt
dt


d  
 2   2   2  2
  cos 
угл. ск. собственного вращ-ия 3 
.   1   2  3 ,   
dt
   cos – кинематичеx   cos    sin  sin ; y   sin    sin  cos ; z  
ские уравнения Эйлера.
Термех
Скачано с http://www.killtermeh.ru
Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей.
vB vA
v  vB

 A
,
BC AC
AB
1 2
v
v
v  vA



. 2) Вращения направлены в разные стороны.   B  A  B
,
BC AC AB
BC AC
AB





 = 2—1, 1  2 
. 3) Пара вращений 2  1 ; vA=vB, v=1AB – момент паBC AC AB
ры угловых скоростей. Винтовое движение: шагом винта – h. Если v и =const, то h=
v
2 =const, v M  v 2   2 r 2 .
Динамика

 
Основной закон динамики ( 2-ой закон (Ньютона)): mw  F . Дифференциальные уравнения движения материальной точки: m  x   Fix ; m  y   Fiy ; m  z   Fiz ,
Вращения направлены в одну сторону. =2+1,  
d 2S
V2
m d 2
d2x
2
m 2   Fi ; m
  Fin ; 0   Fb ; m(r  r )  Fr ,
(r  )  F . m 2   Fix –

r dt
dt
dt
– дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки, его общее решение:
x=f(t,C1,C2), начальные условия: t=0, x=x0, x =Vx=V0.
Свободные колебания m  x  cx ; c/m=k2, x  k 2 x  0 ; x= C1coskt + C2sinkt,
x = – kC1sinkt + kC2coskt, С1= х0, С2= x 0 /k, т.е. x= х0coskt + ( x 0 /k)sinkt.
С1=Аsin, C2=Acos, x=Asin(kt+) – гармонические колебания, А= x 02  ( x 0 / k 2 ) амплитуда, tg=kx0/ x 0 ,  – начальная фаза свободных колебаний; k  c / m – собственная
частота колебаний; период Т=2/k. Статическое отклонение ст=Р/с. Т=2  ст / g .
Затухающие колебания Rx= – b x сила сопротивления, m  x  cx  bx , b/m=2n,
x  2nx  k 2 x  0 , характеристическое уравнение: z2 + 2nz + k2= 0, его корни:
z1,2=  n  n 2  k 2 . а) n<k x  e nt (C1 cos k 2  n 2 t  C 2 sin k 2  n 2 t ) ,
x0 k2  n2
( x 0  nx 0 ) 2
x=Ae sin(kt+). A 
, tg 
; частота затухающих колеба
x  nx 0
k2  n2
*
A
2
T
ний: k*= k 2  n 2 ; период: T *  * 
. i 1  e  nT 2 – декремент колебаAi
k
1  (n / k ) 2
ний; –nT*/2 логарифмический декремент; "n" – коэффициент затухания.
-nt
Б)
x 02
Апериодическое движение n  k . При n > k: x  e nt (C1e
n 2 k 2 t
 C2e
n 2 k 2 t
) , обозна-
чая С1=(В1+В2)/2, С2=(В1-В2)/2, x  e nt (B1ch n 2  k 2 t  B 2 sh n 2  k 2 t )
x  A  e nt sh( n 2  k 2 t  ) . При n = k: x  e  nt (C1 t  C 2 ) , x  e  nt [ x 0  ( x 0  nx 0 ) t ] ,
Вынужденные колебания: возмущающая сила: Q = Hsin(pt+), р – частота возмущающей силы,  – начальная фаза. m  x  cx  H sin( pt  ) , h=Н/m, x  k 2 x  h sin( pt  ) .
х = х*+х**. х*= C1coskt + C2sinkt, х**= Asin(рt+).



Q  mv – количество движения материальной точки, Fdt – элементарный импульс си

лы. d(mv)  Fdt – теорема об изменении количества движ. матер. точки в дифф. форме
Термех
Скачано с http://www.killtermeh.ru

t 
 t
d(mv) 


или
 F . mv1  mv 0   Fdt S   Fdt – импульс силы за [0,t]. В проекциях на оси
dt
0
0
t



координат: mx  mx 0   Fx dt и т.д. K O  r  mv - момент количества движения матер.
0
точки относительно центра О. Теорема об изменении момента количества движения ма



dK x
dK O



 M x . Если МО= 0,  K O  r  mv =const. K O  2mq =const,
тер. точки.
 MO
dt
dt
 1  
где q  ( r  v) – секторная скорость. Элементарная работа dA = Fds, F – проекция си2
лы на касательную к траектории, или dA = Fdscos. dA= F  dr – скалярное произведение; dA= Fxdx+Fydy+Fzdz. Работа силы на любом конечном перемещении М0М1:
A ( M0M1 ) 
A ( M0M1 ) 
( M1 )
( M1 )
 F ds . Если F=const, то A (M M ) = Fscos. A ( M M )   (Fx x  Fy y  Fz z)ds ,
0
( M0 )
0
1
1
( M0 )
( t1 )
 (Fx x  Fy y  Fz z )dt .
(t0 )
Работа силы тяжести: A ( M0M1 )  P  h . A>0, если М0 выше М1.
Работа силы упругости: A ( M0M1 ) 
( M1 )
c 2
c
2
(

cx
)
dx

(
x

x
)

[( нач ) 2  ( кон ) 2 ] .
0
1

2
2
( M0 )
Сила притяжения (тяготения): F  k
Работа силы трения: A ( M0M1 )  Fтр s , Fтр=fN.
, k=gR . Работа силы тяготения: A ( M0M1 )  km
2
m
r2
( M1 )
dr
1
2 1

mgR
(

).
 2
r1 r0
( M0 ) r

dA  d r  
 F   F  v  Fx x  Fy y  Fz z . Если N=const, то N=A/t.
Мощность N 
dt
dt
Теорема об изменении кинетической энергии точки. В дифференциальной форме:
 mv 2 
mv 2


d
   dA k . T  2 – кинетическая энергия материальной точки. В конечном
 2 
mv 22 mv12
U
U
U
, U=U(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…xn,yn,zn) –
; Yi 
; Zi 

 A1, 2 . X i 
x i
y i
z i
2
2
силовой функцией. Элементарная работа сил поля: А=Аi= dU. Работа сил на конечвиде:
( 2)
ном перемещении A1, 2   dU  U 2  U1 . Потенциальная энергия – П равна сумме ра(1)
бот сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. А1,2= П1– П2. Потенц. энергия поля силы тяжести: П= mgz. Потенциальная энергия
Термех
Скачано с http://www.killtermeh.ru
поля центральных сил. Центральная сила – F  k
Ff
m1m 2
, П  f
m
r2
, П  k
m
. Гравитационная сила
r
m1m 2
, f = 6,6710-11м3/(кгс2) – постоянная тяготения.
r
r2
Первая космическая скорость v1= gR  7,9 км/с, R = 6,37106м – радиус Земли; вторая
космическая скорость: v11= 2gR  11,2 км/с.
c2
,  – модуль прира2
c21 c22
щения длины пружины. Работа восстанавливающей силы пружины: A1,2 
.

2
2
Динамика материальной системы и твердого тела

Центр масс (центр инерции) – геометрическая точка, радиус-вектор r которой опреде
  m k rk

ляется равенством: r c 
, где rk – радиусы-векторы точек, образующих систему.
M
 m k x k и т.д. Дифф-ные ур-ния движения системы маКоординаты центра масс: x c 
M
2
d rk  e  i
тер.точек: m k
 Fk  Fk или в проекциях на оси координат: m k x k  X ek  X ik и т.д.
2
dt
для каждой точки (тела) системы. Момент инерции матер.точки: mh2. Момент инерции
тела: Jz= mkhk2. При непрерывном распределении масс: Jx= (y2+z2)dm; Jy= (z2+x2)dm;
Jz= (x2+y2)dm. Jz= M2,  – радиус инерции тела. Полярный момент инерции Jo= (
x2+y2+z2)dm; Jx+Jy+Jz= 2Jo. Центробежный момент инерции: Jxy=xy dm; Jyz=yz dm;
Jzx=zx dm. Jxy=Jyx
 Jx
 J xy  J xz 


Jy
 J yz 
Тензор инерции в данной точке: J    J yx


Jz 
  J zx  J zy
Потенциальная энергия восстанавливающей силы пружин: П 
Моменты инерции стержня:
mL2
mR 2
mL2
; J y1 
. Сплошной диск: J Cz 
.
Jy 
12
2
3
m(R 12  R 22 )
Полый цилиндр: J Cz 
, цилиндр с массой распределенной по ободу (обруч):
2
J Cz  mR 2 . Теорема Гюйгенса-Штейнера: J Oz '  J Cz  md 2 . Момент инерции относительно произвольной оси: J = Jxcos2 + Jycos2 + Jzcos2 – 2Jxycoscos – 2Jyzcoscos –
2Jzxcoscos, если координатные оси – главные, то: J = Jxcos2 + Jycos2 + Jzcos2.
Теорема о движении центра масс системы:
e

e
ma C   Fk . дифференциальное уравнение движения центра масс: mx C   Fkx
.
e
 0  x C  v Cx  const , если при
Закон сохранения движения центра масс. Если  Fkx
этом в начальный момент vCx0= 0, то  x C  0  xC= const. Количество движения си-
Термех
Скачано с http://www.killtermeh.ru



стемы Q   m k v k  Mv C . Теорема об изменении количества движения системы:

dQ x
dQ  e
e
 Fkx
. Теорема об изменении кол-ва движения системы в ин F , проекциях:
dt
dt
t1 
t1 



e
тегральной форме: Q1  Q 0    Fk dt .   Fke dt   Sek – импульсы внешних сил. В
0
0
проекциях: Q1x – Q0x = Sekx. Закон сохранения количества движения:

e

=
Q
F

0
 k
e
0
 Fkx
 Qx= const. Дифференциальное уравнение движения
dV  e  dm
F u
точки переменной массы: m
– уравнение Мещерского,
dt
dt
  dm

dm

Фu
 G сек секундный расход топлива, Ф  u  G сек .
– реактивная сила,
dt
dt
m
m
Формула Циолковского: v1  v 0  u  ln(1  т ) . z  0 – число Циолковского, m0 –
mk
mk
стартовая масса ракеты.
Главный момент количеств движения матер. системы (кинети


ческий момент) K o   ri  m i v i . Теорема об изменении кинетического момента:

E

dK o
dK x
 ME
  M io
 M oE ;
x . Закон сохранения кинетического момента: если
dt
dt


M oE  0 , то K o  const . Кинетический момент вращающегося тела Kz = Jz. Если Mz= 0,
const, в проекциях:
m k v 2k
то Jz = const. Кинетическая энергия системы T  
.
2
1
1
Т = Тк. Поступательное движение: Тпост= mv 2 . Вращательное: Твр= J z 2 . Плоскопа2
2
1
1
раллельное (плоское): Тпл= mv C2 + J C 2 , vC – скорость центра масс. Теорема Кенига:
2
2
1
2
m i v ir
1
2
Т= mv C + 
. Работа момента: A   Md . Мощность: N=Mz.
2
2
0
Теорема об изменении кинетической энергии системы: в дифференциальной форме:
dT =  dA ek   dA ik , в конечной форме: Т2 – Т1=  A ek   A ik . Для неизменяемой сиA пол.сопр
стемы  A ik  0 и Т2 – Т1=  A ek . Коэффициент полезного действия:  
,
А затр
= Nмаш/Nдв. Закон сохранения полной механической энергии: Т + П = const.
Дифференциальные уравнения поступательного движения тела: mx C   X ie и т.д.
Дифф-ные уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси: J z 
, J z   M ez .
  M e
z
1) если M ez = 0, то  = const; 2) M ez = const, то  = const.
Термех
Скачано с http://www.killtermeh.ru
Уравнение вращательного движения физического маятника: J o
d 2
2
 Pa sin  ,
Pa
 k2 ,
Jo
dt
 k 2 sin   0 , sin  ,
дифференциальное уравнение колебаний маятника: 
 k 2   0 – дифференциально уравнение гармонических колебаний.
тогда 
Решение этого уравнения:  = С1coskt + C2 sinkt или  = sin(kt + ). Период малых колебаний физического маятника Т= 2/k = 2 J o /(Pa) . Для математического маятника:
J
g
  sin   0 , L= o – приведенная длина физического маятника.

ma
L
   m c (Fie ) .
Дифф. урав-ния плоского движения тела: mx C   X ie ; my C   Yie ; J c 



 (Fke  Fki  Fkи )  0 — принцип Даламбера для материальной точки.


Сила инерции: Fkи  m k w k , знак (–) означает, что сила инерции против ускорения.
 
 
 
Для системы добавляется уравнение: [mo (Fke )  mo (Fki )  mo (Fkи )]  0 .



 
Fи   Fkи – главный вектор сил инерции,  m o (Fkи )  M иo – главный момент сил



 
инерции.  Fke  R и  0 ,  m o (Fke )  M иo  0 — уравнения кинетостатики.



Главный вектор сил инерции Fи   m k w k  Mw c . Главный момент сил инерции




при плоском движении: M иc  J c  , при вращении вокруг оси z: M иc  J z  .
Определение реакций при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси.
Центробежная сила инерции
 mi x i
 mx c и
вр
Fiц  mi ri 2 , вращательная Fi  m i ri  .
 m i y i  my c , Fxи  mx c 2  my c , Fyи  myc2  mx c .
M иx  2  m i y i z i   m i z i x i  J yz 2  J zx  ,
M иy  2  m i z i x i   m i y i z i  J zx 2  J yz  ,
M иz   mi ri ri    mi ri2   J z  ,
J yz   m i y i z i , J zx   m i z i x i – центробежные моменты инерции, J z   mi ri2 .
Уравнения равновесия кинетостатики:
 Xie  X A  X B  mx c 2  my c   0 ,
 Yie  YA  YB  my c 2  mx c  0 ,
 Zie  ZA  0 ,
 M ixe  YB h  J yz 2  J zx   0 ,
 Miye   X Bh  J zx 2  J yz   0 ,
 Mize  J z   0 .
Условия отсутствия динамических составляющих:
Скачано с http://www.killtermeh.ru
Термех
mx c 2  my c   0 , my c 2  mx c   0 ,  J yz 2  J zx   0 , J zx 2  J yz   0 ,
откуда xC= 0, yC= 0, Jyz= 0, Jzx= 0.
Термех
Скачано с http://www.killtermeh.ru
Основы аналитической механики
Принцип
возможных перемещений:


 Fk  rk  0 ;  (Fkx  x k  Fky  y k  Fkz  z k )  0 .
Общее уравнение динамики
 A ak   A иk  0 .
d  T  T


 Q i , (i=1,2…s), s – число степеней своdt  q i  q i
боды; qi – обобщенная координата; q i – обобщенная скорость,
Т = Т(q1,q2,…,qS, q 1 , q 2 … q s ,t) – кинетическая энергия; Qi – обобщенная сила.
A
П
, П = П(q1,q2,…,qS,t) – потенциальная энергия.
Q1  1 . Q i  
q1
q i
Уравнения Лагранжа 2-го рода:
Функция Лагранжа: L = T – П,
d  L  L


 0 – уравнения Лагранжа второго рода
dt  q i  q i
для консервативной системы.
При стационарных связях T 
1 s s
  a ij q i q j – квадратичная форма обобщенных скоро2 i 1 j1
стей, aij= aji – коэффициенты инерции.