01.06.01 РПУД Геометрическая теория функций комплексного

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ШКОЛА ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (РПУД)
«Геометрическая теория функций комплексного переменного»
по образовательной программе высшего образования – программе подготовки научнопедагогических кадров в аспирантуре
Направление – 01.06.01 Математика и механика
Профиль - Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Форма подготовки –очная
Школа естественных наук ДВФУ
Кафедра алгебры, геометрии и анализа
курс 2 семестр 3-4
лекции 72 час. /2 з.е.
практические занятия _______час. /____ з.е.
лабораторные работы _______час. /____ з.е.
всего часов аудиторной нагрузки 72 (час.) / 2 з.е.
самостоятельная работа ___72___ (час.) /__2__ з.е.
контрольные работы (количество)
курсовая работа / курсовой проект _________ семестр
зачет 3 семестр
экзамен 4 семестр
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями федерального государственного
образовательного стандарта высшего образования (уровень подготовки кадров высшей
квалификации), утвержденного приказом министерства образования и науки РФ от от 30 июля
2014 года № 866
Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры алгебры, геометрии и анализа
протокол № 6 от «10» марта 2015 г.
Заведующий (ая)кафедрой: Шепелева Р.П.
Составитель (ли): д-р. физ.-мат. наук, профессор, профессор каф. алгебры, геометрии и анализа
Дубинин В.Н., канд. физ.-мат. наук, доцент каф. алгебры, геометрии и анализа Прилепкина Е.Г.
Оборотная сторона титульного листа РПУД
I. Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры:
Протокол от «_____» _________________ 20__ г. № ______
Заведующий кафедрой _______________________ __________________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
II. Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры:
Протокол от «_____» _________________ 20__ г. № ______
Заведующий кафедрой _______________________ __________________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
АННОТАЦИЯ
Дисциплина
переменного»
теория
«Геометрическая
предназначена
для
функций
аспирантов,
комплексного
обучающихся
по
образовательной программе «Вещественный, комплексный и функциональный
анализ» и входит в вариативную часть учебного плана.
При
разработке
рабочей
программы
учебной
дисциплины
использованы Федеральный государственный образовательный стандарт
высшего образования (уровень подготовки кадров высшей квалификации)
по направлению подготовки 01.06.01 Математика и механика утвержденный
приказом министерства образования и науки РФ от 30 июля 2014 года №
866,
учебный план подготовки аспирантов по профилю
«Вещественный,
комплексный и функциональный анализ».
Целью изучения дисциплины является
подготовка аспиранта к
самостоятельному осуществлению научно-исследовательской деятельности
в области вещественного, комплексного
Дисциплина является базовой для сдачи
и функционального
анализа.
кандидатского экзамена по
специальности.
Задачи:
 Подготовить аспирантов к сдаче кандидатского экзамена по
специальности.
 Изучить основные методы геометрической теории функции
 Освоить
технику доказательств фундаментальных
теорем
ГТФКП
 Познакомиться с открытыми задачами функционального анализа,
обсудить актуальность и возможные пути решения
 Выработать у обучающихся знания, умения и владения,
необходимые
компетенций.
для
формирования
профессиональных
Интерактивные формы обучения составляют __24_______ часа и
включают в себя проблемные лекции, кейс стади.
Компетенции выпускника, формируемые в результате изучения
дисциплины
 способность создавать замысел, разрабатывать проект (структуру,
методологию)
целостного
научного
исследования
в
области
вещественного, комплексного и функционального анализа (ПК-1)
 готовность общаться в формате диалога со своими коллегами, научным
сообществом и обществом в целом по вопросам, связанным со сферой
своей специализации в области
вещественного, комплексного и
функционального анализа (ПК-2)
 способность
к выполнению педагогических функций
в области
математики, вещественного, функционального и комплексного анализа
(ПК-3)
 способность самостоятельно осуществлять научно-исследовательскую
деятельность
в
соответствующей
профессиональной
области
с
использованием современных методов исследования и информационнокоммуникационных технологий (ОПК-1)
Требования к уровню усвоения содержания дисциплины.
Аспиранты должны приобрести следующие знания, умения и владения.
Знать:
1. Необходимые
для
сдачи
кандидатского
минимума
разделы
вещественного, комплексного и функциального анализа (методы и
технологии
научного
исследования
в
области
вещественного,
комплексного и функционального анализа
2. Основные методы геометрической теории функции: параметрический
метод, метод экстремальной метрики, метод вариаций, метод емкостей
(методы
и
технологии
научного
исследования
в
области
вещественного, комплексного и функционального анализа
3. Метрические характеристики множеств и конденсаторов на плоскости
(основные концепции современного состояния математики в области
вещественного, комплексного и функционального анализа
4. Открытые
задачи
геометрической
теории
функций
(основные
тенденции развития науки в области вещественного, комплексного и
функционального анализа
5. Избранные работы российских и зарубежных исследователей по
геометрической теории функций (методы и технологии научной
коммуникации в области комплексного и функционального анализа на
государственном и иностранном языках
6. Современные
технологии
информационных
коммуникаций
(способность самостоятельно осуществлять научно-исследовательскую
деятельность в области математики и механики с использованием
современных
методов
исследования
и
информационно-
коммуникационных технологий
7. Методы
и
технологии
научного
исследования
(способность
самостоятельно осуществлять научно-исследовательскую деятельность
в соответствующей профессиональной области с использованием
современных
методов
исследования
и
информационно-
коммуникационных технологий
Уметь:
1. Применять методы ГТФКП при доказательстве теорем (генерировать
новые идеи при решении исследовательских и практических задач в
области вещественного, комплексного и функционального анализа
2. Анализировать альтернативные варианты решения исследовательских и
практических задач
функционального
в
области вещественного, комплексного и
3. Формировать и аргументированно отстаивать собственную позицию по
решению открытых задач в области комплексного и функционального
анализа
4. Оценивать
актуальность
и
новизну
исследований
в
области
вещественного, комплексного и функционального анализа
5. Самостоятельно осуществлять научно-исследовательскую деятельность
в области математики
Владеть:
1. Навыками применения техники квадратичных дифференциалов в
решении задач геометрической теории функций ( Навыками проведения
самостоятельных исследований в области вещественного, комплексного
и функционального анализа в соответствии с разработанной
программой
2. Приемами решения одних и тех же задач ГТФКП разными методами
(Навыками критического анализа и оценки современных научных
достижений и результатов деятельности по решению исследовательских
и практических задач в комплексного и функционального анализа
3. Навыками восприятия и анализа работ по комплексному и
функциональному анализу
4. Приемами ведения дискуссии и полемики в области вещественного,
комплексного и функционального анализа
5. Навыками проведения научно-исследовательской деятельности в
области математики
I. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
КУРСА
Модуль. 1.
Кандидатский минимум
по действительному и
функциональному анализу (22 часа)
Раздел 1. Действительный анализ (10 часов)
1.1.
Меры, измеримые функции, интеграл. (2 часа)
Аддитивные функции множеств (меры), счетная аддитивность мер.
Конструкция лебеговского продолжения. Измеримые функции. Сходимость
функций по мере и почти всюду. Теоремы Егорова и Лузина. Интеграл
Лебега. Предельный переход под знаком интеграла. Сравнение интегралов
Лебега и Римана. Прямые произведения мер. Теорема Фубини.
I.2.
Неопределенный интеграл Лебега и теория
дифференцирования.(2 часа)
Дифференцируемость монотонной функции почти всюду. Функции с
ограниченным изменением (вариацией). Производная неопределенного
интеграла Лебега. Задача восстановления функции по ее производной.
Абсолютно непрерывные функции. Теорема Радона–Никодима. Интеграл
Стилтьеса.
I.3.
Пространства суммируемых функций и ортогональные ряды.(2
часа)
Неравенства Гельдера и Минковского. Пространства Lp , их полнота.
Полные и замкнутые системы функций. Ортонормированные системы в L2 и
равенство Парсеваля. Ряды по ортогональным системам; стремление к нулю
коэффициентов Фурье суммируемой функции
в случае
равномерно
ограниченной ортонормированной системы.
I.4.
Тригонометрические ряды. Преобразование Фурь.е (2 часа)
Условие
сингулярнымы
сходимости
ряда
интегралами.
Единственность
тригонометрический
квадратично
ряд.
Фурье.
Преобразование
интегрируемых
функций.
Представление
разложения
Фурье
Свойство
функций
функции
в
интегрируемых
и
единственности
для
преобразования Фурье. Теорема Планшереля. Преобразование Лапласа.
Преобразование Фурье–Стилтьеса.
I.5.
Гладкие многообразия и дифференциальные формы.(2 часа)
Касательное
пространство
к
многообразию
в
точке.
Дифференциальные формы на многообразии. Внешний дифференциал.
Интеграл от формы по многообразию. Формула Стокса. Основные
интегральные формулы анализа.
Раздел 2. Функциональный анализ (12 часов)
2.1. Метрические и топологические пространства.
Сходимость
последовательностей
в
метрических
пространствах.
Полнота и пополнение метрических пространств. Сепарабельность. Принцип
сжимающих отображений. Компактность множеств в метрических и
топологических пространствах.
2.2. Нормированные и топологические линейные пространства.
Линейные
пространства.
Выпуклые
множества
и
выпуклые
функционалы, теорема Банаха–Хана. Отделимость выпуклых множеств.
Нормированные
пространства.
Критерии
компактности
множеств
в
пространствах C и Lp. Евклидовы пространства. Топологические линейные
пространства.
\
2.3. Линейные функционалы и линейные операторы.
Непрерывные
линейные
функционалы.
Общий
вид
линейных
ограниченных функционалов на основных функциональных пространствах.
Сопряженное пространство. Слабая топология и слабая сходимость.
Линейные операторы и сопряженные к ним. Пространство линейных
ограниченных операторов. Спектр и резольвента. Компактные (вполне
непрерывные) операторы. Теоремы Фредгольма.
2.4. Гильбертовы пространства и линейные операторы в них.
Изоморфизм
сепарабельных
бесконечномерных
гильбертовых
пространств. Спектральная теория ограниченных операторов в гильбертовых
пространствах.
Функциональное
операторов
спектральная
и
исчисление
теорема.
для
самосопряженных
Диагонализация
компактных
самосопряженных операторов. Неограниченные операторы.
2.5.
Дифференциальное исчисление в линейных пространствах.
Дифференцирование в линейных пространствах. Сильный и слабый
дифференциалы.
Производные
и
дифференциалы
высших
порядков.
Экстремальные задачи для дифференцируемых функционалов. Метод
Ньютона.
2.6. Обобщенные функции.
Регулярные
и
сингулярные
обобщенные
функции.
Дифференцирование, прямое произведение и свертка обобщенных функций.
Обобщенные функции медленного роста; их преобразование Фурье.
Преобразование Лапласа обобщенных функций (операционное исчисление).
Структура обобщенных функций с компактным носителем.
Модуль 2. Конформное отображение (14 часов)
Раздел 1. Конформное отображение односвязных областей (8 часов).
1.1. Сходимость последовательностей аналитических и гармонических
функций ( 2 часа)
Сходимость последовательностей аналитических функций. Принцип
сгущения (кейс-стади). Сходимость гармонических функций
1. 2. Принципы конформного отображения односвязных областей (4
часа)
Однолистное конформное отображение. Теорема Римана. Соответствие
границ при конформном отображении (кейс-стади). Теоремы искажения.
Теоремы сходимости для конформного отображения последовательности
областей. Модулярные и автоморфные функции. Нормальные семейства
аналитических функций. Приложения.
1.3.
Реализация конформного отображения односвязных областей (2
часов)
Конформное отображение областей, ограниченных прямолинейными и
круговыми многоугольниками . Параметрический метод Лёвнера.
Вариация однолистных функций. Проблемная лекция. (2 часа)
Раздел 2. Конформное отображение многосвязных областей (6
часов)
2.1. Отображение на канонические области (2 часа).
Однолистное конформное отображение двухсвязной области на кольцо.
Однолистное отображение многосвязной области на плоскость с
прямолинейными и параллельными разрезами. Однолистное отображение
многосвязной области на спиралеобразную область. Проблемная лекция.
2.2. Отображение многосвязных областей на круг (4 часа)
Конформное отображение многосвязной области на круг. Соответствие
границ при отображении многосвязной области на круг. Задача Дирихле и
функция Грина. Кейс-стади. Отображение n-связной области на n-листный
круг.
Модуль 3. Кандидатский минимум по комплексному анализу (12 часов).
3.1.
Интегральные представления аналитических функций (2 часа).
Интегральная теорема Коши и ее обращение (теорема Мореры).
Интегральная формула Коши. Теорема о среднем. Принцип максимума
модуля. Лемма Шварца. Интеграл типа Коши, его предельные значения.
Формулы Сохоцкого.
3.2.
Ряды аналитических функций. Особые точки. Вычеты. (2 часа)
Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций; теорема
Вейерштрасса. Представление аналитических функций степенными рядами,
неравенства Коши. Нули аналитических функций. Теорема единственности.
Изолированные особые точки (однозначного характера). Теорема Коши о
вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов. Принцип аргумента.
Теорема Руше. Приближение аналитических функций многочленами.
3.3. Целые и мероморфные функции. (2 часа)
Рост целой функции. Порядок и тип. Теорема Вейерштрасса о целых
функциях с заданными нулями; разложение целой функции в бесконечное
произведение. Случай целых функций конечного порядка, теорема Адамара.
Теорема Миттаг–Леффлера о мероморфных функциях с заданными
полюсами и главными частями.
3.4.
Конформные отображения.(2 часа)
Конформные
функциями.
отображения,
Принцип
сохранения
осуществляемые
области.
Критерии
элементарными
однолистности.
Теорема Римана. Теоремы о соответствии границ при конформных
отображениях.
3.5.
Аналитическое продолжение. (2 часа)
Аналитическое продолжение и полная аналитическая функция (в
смысле Вейерштрасса). Понятие Римановой поверхности. Продолжение
вдоль кривой. Теорема о монодромии. Изолированные особые точки
аналитических функций, точки ветвления бесконечного порядка. Принцип
симметрии.
Формула
Кристоффеля–Шварца.
Модулярная
функция.
Нормальные семейства функций, критерий нормальности. Теорема Пикара.
3.6.
Гармонические функции (2 часа)
Гармонические
функции,
их
связь
с
аналитическими.
Инвариантность гармоничности при конформной замене переменных.
Бесконечная
дифференцируемость.
Теорема
о
среднем
и
принцип
максимума. Теорема единственности. Задача Дирихле. Формула Пуассона
для круга.
Модуль 4. Экстремальные вопросы и оценки в классах однолистных
функций (16 часов)
Раздел 1. Экстремальные задачи геометрической теории функций (10
часов)
1.1. Обзор методов решения экстремальных задач (4 часа)
Квадратичные дифференциалы. Метод экстремальной метрики . Метод
симметризации. Метод вариаций в применении экстремальным задачам.
Проблемная лекция.
1.2. Экстремальные задачи (4 часа)
Теоремы искажения и покрытия. Границы выпуклости и звездообразности.
Проблемная лекция. Леммы о средних модулях. Оценки коэффициентов. О
взаимном росте коэффициентов однолистных функций
1.3. Принципы мажорации и их приложения (2 часа)
Инвариантная форма леммы Шварца. Принцип гиперболической метрики.
Проблемная лекция. Принцип Линделёфа. Кейс-стади
Модуль 5. Метрические свойства замкнутых множеств на плоскости (8
часов)
Раздел 1. Емкость ограниченного замкнутого множества (4 часа)
1.1.
Логарифмическая емкость (2 часа)
Понятие логарифмической емкости. Трансфинитный диаметр и постоянная
Чебышева. Оценки трансфинитного диаметра. Кейс-стади.
1.2. Емкость по Шоке. (2 часа)
Емкость по Шоке, свойства, примеры. Трансфинитный диаметр и
простоянная Чебышева по произвольной метрике. Проблемная лекция (2
часа)
Раздел 2. Гармоническая мера (4 часа).
2.1. Гармоническая мера ограниченных замкнутых множеств (2 часа)
Гармоническая мера ограниченных замкнутых множеств. Оценки
гармонической меры.
2.2. Приложение к мероморфным функциям ограниченного вида. (2 часа)
Необходимые и достаточные условия принадлежности к классу функций
ограниченного вида.
III. КОНТРОЛЬ ДОСТИЖЕНИЯ ЦЕЛЕЙ КУРСА
Фонд оценочных средств прилагается.
IV. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Основная литература
(печатные и электронные издания)
1. Дубинин В.Н. Емкости конденсаторов и симметризация в
геометрической теории функций комплексного переменного : [монография] /
В. Н. Дубинин ; Российская академия наук, Дальневосточное отделение,
Институт прикладной математики. 2009. –Издательство Дальнаука . 390 с.
Режим доступа:
https://lib.dvfu.ru:8443/lib/item?id=chamo:295187&theme=FEFU
2. Dubinin, Vladimir N. Condenser capacities and symmetrization in
geometric function theory / Vladimir N. Dubinin. Heidelberg, New York,
Dordrecht, 2014. – Birkhäuser, 344 с. Режим доступа:
https://lib.dvfu.ru:8443/search/query?theme=FEFU
3. Краснов М.Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И.. Функции
комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями :
учебное пособие для втузов / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко.
М.:
КомКнига.
–
–
2006.
205
с.
Режим
доступа:
https://lib.dvfu.ru:8443/lib/item?id=chamo:244619&theme=FEFU
4. Дерр, В. Я. Функциональный анализ. Лекции и упражнения : учебное
пособие для вузов / В.Я. Дерр. – М.: КноРус, 2013. – 461 с. Режим доступа:
https://lib.dvfu.ru:8443/lib/item?id=chamo:736422&theme=FEFU
5. Колмогоров
А.Н.,
Фомин
С.В.
Элементы теории функций и
функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М.: Физматлит, 2012 . –
570 с. Режим доступа:
https://lib.dvfu.ru:8443/lib/item?id=chamo:674409&theme=FEFU
6. Люстерник Л.А., Соболев В. И. Краткий курс функционального
анализа: учебное пособие / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. – СанктПетербург: Лань. –2009. –271 с. Режим доступа:
https://lib.dvfu.ru:8443/lib/item?id=chamo:307398&theme=FEFU
7.
Малышева
Н.Б.,
Розендорн
Э.Р.
Функции
комплексного
переменного : учебник для вузов / Н. Б. Малышева, Э. Р. Розендорн ; под ред.
Э. Р. Розендорна. М.: Физматлит. .–
2010 . –
168 с. Режим доступа:
https://lib.dvfu.ru:8443/lib/item?id=chamo:675293&theme=FEFU
8. Галкин
С.В.
Теория
функций
комплексного
переменного
и
операционное исчисление. МГТУ.- 2011- 240 стр. Режим доступа:
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=52066
Дополнительная литература
(печатные и электронные издания)
1. Голузин
Г.М.
Геометрическая
теория
функций
комплексного
переменного / Г. М. Голузин ; под ред. В. И. Смирнова. М.:
Гостехтеориздат. – 1966. – 628 с. Режим доступа:
https://lib.dvfu.ru:8443/lib/item?id=chamo:93909&theme=FEFU
2. Митюк И.П. Симметризационные методы и их применение в
геометрической теории функций. Введение в симметризационные
методы
:
учебное
пособие
/
И.
П.
Митюк
;
Кубанский
государственный университет. . – 1980. – 91 с. Режим доступа:
https://lib.dvfu.ru:8443/lib/item?id=chamo:42809&theme=FEFU
3. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ : учебник ч. 1 / Б. В.
Шабат. М.: Наука. – 1976. – 320 с. Режим доступа:
https://lib.dvfu.ru:8443/lib/item?id=chamo:60408&theme=FEFU
4. Александров
И.А,
Соболев
В.
В.
Аналитические
функции
комплексного переменного : учебное пособие / И. А. Александров, В.
В. Соболев. М.: Высш. школа. – 1984. – 192 с. Режим доступа:
https://lib.dvfu.ru:8443/lib/item?id=chamo:49211&theme=FEFU