Приведение параметров элементов схемы

4. Приведение параметров элементов схемы
к базисной ступени
Задача приведения параметров элементов схемы цепи возникает при
расчёте токов этой цепи при наличии в ней трансформаторов, которые, как
известно из ТОЭ, осуществляют одновременное преобразование напряжений,
токов и сопротивлений. Поэтому, как отмечалось в предыдущем разделе, с
целью упрощения процедуры нахождения токов цепи необходимо, прежде
всего, избавиться от индуктивных связей в цепи, заменив их связями электрическими, т.е. перейти к схеме замещения исходной цепи (электрической
системы). Однако, полученную схему замещения нельзя напрямую использовать для расчёта, так как в ней не учтены указанные выше преобразования
напряжений, токов и сопротивлений, выполняемые трансформаторами. Выход заключается в том, что, в принципе, мы можем учесть эти преобразования, однако сделать это мы в состоянии только по отношению к одной, конкретной точке цепи, определяющей определённую ступень трансформации в
цепи, так как, в общем случае, каждая ступень трансформации имеет относительно себя свою конкретную конфигурацию расположения трансформаторов. Именно поэтому вторым этапом подготовки цепи с трансформаторами к расчёту является пересчёт параметров цепи по отношению к одному
из её узлов, или, как говорят, приведение параметры элементов цепи к базисной ступени. Для нахождения расчётных соотношений для такого пересчёта
обратимся к схеме рис.1. На
ней представлен фрагмент некоторой электрической системы, содержащий трансформатор Т, сопротивления Z1
Рисунок 1
и Z2, подключённые со стороны первичной и вторичной обмоток трансформатора, узлы (1) и (2), являющиеся конкретными ступенями трансформации системы. Каждая из этих
ступеней (в ЭС - любая из ступеней) может выступать в роли основной или
базисной. Это означает, что к ней, т.е. базисной ступени, могут быть приведены (пересчитаны с учётом коэффициентов трансформации трансформаторов)
параметры любой ступени электрической системы, называемой приводимой
ступенью. Для случая рис.2 это означает, что известные нам параметры величин U 2 , I 2 и сопротивления Z 2 ступени (2) могут быть пересчитаны к ступени (1), как базисной ступени, и, наоборот, параметры величин (элементов)
первой ступени ( U 1 , I 1 , Z 1 ) могут быть пересчитаны к ступени (2), выступающей теперь в роли базисной, а не приводимой. Сущность операции приведения параметров ЭС к базисной ступени заключается в том, что она позволяет расчётным путём определить истинное значение тока именно этой ступени. Что касается токов других ступеней электрической системы, то они могут быть пересчитаны с учётом имеющихся трансформаторов между этими
ступенями и базисной ступенью, ток которой был определён.
1
Рассмотрим соотношения, с помощью которых осуществляется операция
приведения параметров элементов системы к базисной ступени на примере
того же рис.1. В качестве базисной примем ступень (1). Коэффициент
трансформации k трансформатора при этом определяется как
(1)
k  U1 U 2 ,
т.е. в числитель ставим напряжение U 1 , примыкающее к базисной ступени, в
знаменателе – напряжение U 2 , к которому мы подходим при перемещении от
базисной точки к указанному напряжению. Из соотношения (1) можно записать
(2)
U1  kU2
Таким образом, приведение напряжение ступени (2) к базисной ступени
(1) осуществляется с помощью соотношения (2). При этом необходимо строго следовать отмеченному правилу определения коэффициента трансформации k трансформатора.
Соотношение для приведения токов можно получить из условия равенства полных мощностей первичной и вторичной обмоток трансформатора,
что математически записывается как U1 I1  U 2 I 2 . Отсюда можно записать
I 1 I 2U 2 U1 . А так как U 2 U1  1 k , то ток I 1 определится через ток I 2 как
(3)
I1  I 2 k .
При заданной нагрузке трансформатора соотношение для полных мощностей U1 I1  U 2 I 2 можно записать и как I12 Z в х  I 22 Z н , где Z в х - входное сопротивление трансформатора при заданной его нагрузке Z н . Из последнего соотношения можно записать Z вх  Z н I 2 I1 2 . Из того же равенства мощностей
U1 I1  U 2 I 2 можно записать k  U1 U 2  I 2 I1 . С учётом последнего ( k  I 2 I1 )
сопротивление нагрузки приводится к входу трансформатора как
Z вх  k 2 Z н .
(4)
Для рассматриваемого случая рис.2 функцию нагрузки трансформатора выполняет сопротивление Z 2 .
Таким образом, мы получили три важных соотношения (2)…(4), позволяющие приводить параметры выходных величин трансформатора к его входу через его коэффициент трансформации. Учитывая, что ЭДС E является
величиной, одноимённой с напряжением U , она подчиняется соотношению
(2).
В общем случае в качестве базисной ступени может выступать любая
ступень электрической системы. При этом между приводимым элементом
цепи и базисной ступенью может быть несколько трансформаторов, коэффициенты трансформации которых необходимо учитывать. Так как при каскадном включении трансформаторов их коэффициенты трансформации перемножаются, то в общем случае соотношения (2)…(4) принимают вид:

U  U (k1 k 2 k 3 ...k n )
(5)

E  E (k1 k 2 k 3 ...k n )
(5а)
2

I
I
(k1 k 2 k 3 ...k n )
(6)

Z  Z (k1 k 2 k 3 ...k n ) 2 ,



(7)

где U , E , I , Z - значения величин, приведённых к базисной ступени,
U , E , I , Z - значения величин, приводимых к базисной ступени,
n - число трансформаторов между базисной и приводимой ступенью.
В соотношениях (5)…(7) под коэффициентом трансформации k m трансформатора, находящегося между базисной ступенью и ступенью, элементы
которой подлежат приведению, понимают отношение линейного (междуфазного) напряжения обмотки m -го трансформатора, обращённой в сторону базисной ступени, к линейному напряжению второй обмотки, обращённой
в сторону ступени, элементы которой ( U , E , I , Z ) подлежат приведению.
При выполнении контрольной работы необходимо использовать, так
называемое, точное приближение, при котором в качестве напряжений соответствующих обмоток трансформаторов берут напряжения из паспортных данных (табличных данных задания) этих трансформаторов.
Для демонстрации процедуры приведения параметров элементов системы воспользуемся примером электрической системы рис.2 предыдущего раздела. Общий вид схемы замещения этой системы представлен на рис.3.
В
последней
схеме отмечены
и указаны в
скобках ступени,
которые
можно
выбирать в качестве
базисных. СпеРисунок 2
циально показано заземление всех источников и нагрузки для лучшего восприятия преобразований, проводимых в последствии с цепью. Параметры трансформаторов
системы представлены в табл.1.
Таблица 1. Параметры трансформаторов
Номер
трансформатора
Т1
Т2
Т3
Т4
S
МВА
125
200
250
400
Uнв,
кВ
242
230
121
121
Uнн,
кВ.
13.8
121
15.75
20
3
Uк%,
%
11.0
11.0
10.5
10.5
Pк,
кВт
380
430
650
880
Генераторы системы будем считать идеальными (нулевые внутренние
сопротивления). Значения выходных напряжений генераторов представлены
в табл.2. Параметры линии электропередачи представлены в табл.3.
Таблица 2. Выходные напряжения генераторов
Номер генератора
Напряжение генератора,кВ
Г1
Г2
Г3
13,8
15,75
20
Таблица 3. Параметры линии электропередачи
Длина линии,
км
120
X0, Ом/км
R0, Ом/км
0.43
0,12
Данные нагрузки: Pнагр=250МВт, cos  нагр  0,65
Пусть трёхфазное короткое замыкание произошло в конце линии электропередачи. В соответствии с этим в качестве базисной ступени выбираем
ступень (3) (см. схему замещения рис.3). Далее необходимо вычислить па-
Рисунок 1
раметры схем замещения элементов цепи согласно их табличным данным,
причём сопротивления трансформаторов сразу вычисляем относительно базисной ступени, чтобы потом не было необходимости дополнительного пересчёта.
Трансформатор Т1
Активное и реактивное сопротивления трансформаторов вычисляем по
формулам
и
.
После подстановки данных первого трансформатора получаем
RТ 1
U
 Pк   н
 Sн
2

242 
  380  10 3  
  1,42 Ом,
 125 

2
4
X Т1 
U к % U нв2
11 242 2



 51,54 Ом.
100 S н 100 125
Результаты вычисления указывают на то, что, действительно, X Т 1 ˃˃ RТ1 и
можно считать сопротивление трансформатора чисто реактивным. Если же
учитывать активные сопротивления трансформаторов, тогда вычисляют его
полное сопротивление Z трансформатора
X Т 1  Z Т 1  RТ21  X Т21  1,42 2  51,54 2  51,56 Ом,
и далее полагают в семе замещения X Т 1 = X Т1  51,56 Ом.
Как видно, различия в результатах вычислений с учётом RТ1 и без него,
совершенно несущественны, и по вычислении значений R и X студент вправе
сделать выбод и принять решение об учёте (или нет) активного сопротивления трансформатора.
Далее, аналогичным образом вычисляем активные и реактивные составляющие сопротивлений трансформаторов Т2, Т3, и Т4.
Линия электропередачи
Вычисляем R л и X л через соответствующие им погонные сопротивления:
Rл  R0  l  0,12·120=14,4 Ом,
X л  X 0  l  0,43·120=51,6 Ом
Из полученных числовых значений видно, что пренебрегать активным
сопротивлением линии нельзя, т.к. R л и X л отличаются не столь существенно. Поэтому находим полное сопротивление линии, и в расчётах будем использовать его, но как чисто реактивное сопротивление линии, т.е.,
X л  Z л  Rл2  X л2  14,4 2  51,6 2  53,57 Ом.
Нагрузка
Аналогичным образом, при выполнении расчётов будем полагать сопротивление нагрузки чисто реактивным и равным полному сопротивлению
нагрузки. Полное сопротивление нагрузки определяем как
Z нагр 
2
U нагр
S нагр
, а
S нагр , в свою очередь, определяется через заданные параметры нагрузки как
S нагр  Pнагр cos  нагр . В результате подстановки получаем расчётное соотноше-
ние
Z нагр 
2
U нагр
 cos  нагр
p нагр
.
Согласно выходным номинальным напряжениям трансформаторов Т2,
Т3, и Т4 из схемы электрической системы видим, что U нагр  121кВ, и подстановка данных даёт Z нагр  38,07 Ом. (Студентам: проверить самостоятельно,
для уверенности в своих действиях).
5
В дальнейшем нам понадобятся активная и реактивная составляющие
сопротивления Z нагр . Известно, что Rнагр  Z нагр  cos  нагр и X нагр  Z нагр  sin  нагр . По
заданному cos  нагр находим sin  нагр и находим (Студентам: при вычислениях
должны быть развёрнуты все операции без сокращений): Rнагр  24,75 Ом,
X нагр  28,93 Ом. В схеме замещения системы полагаем X нагр  Z нагр  38,07 Ом.
После того как вычислены параметры схем замещения элементов ЭС
можно приступить к выполнению завершающей операции этого раздела –
приведению параметров всех элементов системы к базисной ступени (3).
При этом все элементы полученной (приведённой) схемы будем обозначать,
как принято в литературе, кружочком сверху. Структура приведённой схемы
остаётся той же, изменятся только параметры некоторых элементов схемы.
Вначале пройдём по элементам схемы влево от базисной ступени. Первый
элемент на этом пути - линия электропередачи. Между нею и ступенью (3)
трансформаторов нет, она непосредственно примыкает к базисной ступени и,
следовательно, её параметры не подлежат пересчёту. С точки же зрения математики величина не изменится, если её умножить на единицу, и, следовательно, можно полагать, что мы приводим такой параметр схемы, умножая
его на единицу, и обозначая её значком приведённой величины. Таким образом,

X л  X л  53,57 Ом. В условиях, аналогичных для линиии электропередачи,

находится и трансформатор Т1, и, следовательно, X Т 1  X Т 1  51,56 Ом.
Приведенное к базисной ступени напряжение первого источника найдём с
учётом коэффициента трансформации трансформатора Т1 как

U

 242 
U 1  U 1   T 1нв   13,8  
  242кВ.
U
13
,
8


 T 1нн 
Далее, аналогичным образом, находим приведённые параметры остальных элементов системы. Но так как в примере исходные параметры трансформаторов Т2, Т3 и Т4 не вычислялись, мы будем полагать, что их значения
( X T 2  X T 2 , X T 3  X T 3 , X T 4  X T 4 ) известны, и далее запишем в общем виде
только формулы для вычисления приведённых параметров оставшейся части
системы.


X T 2  X T 2 , т.к. между трансформатором Т2 и базисной ступенью иных
трансформаторов нет;


X T3
U
 X T 3   T 2 нв
 U T 2 нн
2

 , так как между трансформатором Т3 и базисной

ступенью (3) стоит трансформатор Т2, квадрат коэффициента трансформации которого мы используем в соответствии с правилом постановки напряжений его обмоток в числителе и знаменателе;


X T4
2
U

 X T 4    T 2 нв  согласно предыдущему пояснению;
 U T 2 нн 
6


2
U

X нагр  X нагр   Т 2 нв  - пояснение то же самое;
 U Т 2 нн 

U

U
U 2  U 2   Т 2 нв  Т 3нв  , так как между генератором Г2 и базисной сту U Т 2 нн U Т 3нн 

пенью (3) расположены трансформаторы Т2 и Т3, произведение коэф
фициентов трансформации которых и используется для получения U 2 ;

 U Т 2 нв U Т 4 нв 
 согласно предыдущему пояснению.

 U Т 2 нн U Т 4 нн 
 U 3  U 3  
На этом приведение параметров элементов цепи к базисной ступени завершено, и цепь готова к выполнению расчётов.
7