Лекция 14. [1] гл. 30, 31 План лекции

1
Лекция 14. Элементы квантовой теории электропроводности металлов.
[1] гл. 30, 31
План лекции
1. Элементы квантовой теории электропроводности металлов
2. Контакт двух металлов по зонной теории
3. Термоэлектрические явления и их применение.
1. Элементы квантовой теории электропроводности металлов
Идеальный газ подчиняется статистическим закономерностям Максвелла и
Больцмана. Электроны проводимости в металле тоже можно рассматривать
как идеальный «электронный» газ, однако квантовые законы движения
свободных электронов и принцип запрета Паули приводят к другому закону
их распределения по энергиям, соответствующему статистическим
закономерностям, установленным Ферми и Дираком.
Теория электропроводности, построенная на основе квантовой статистики
Ферми-Дирака, называется квантовой теорией электропроводности металлов.
Согласно квантово-механическим представлениям, энергия электронов в
металле не может принимать любые произвольные значения, а лишь
определенные дискретные.
Значения энергии, которыми может обладать электрон, называются
энергетическими уровнями.
При этом электроны, кроме заряда и массы, характеризуются еще одной
величиной – спином. Спин электрона – это собственный механический
момент импульса электрона. Согласно принципу Паули на одном
энергетическом уровне может находиться не более двух электронов, при чем
их спины должны быть противоположно направлены.
Основная задача любой физической статистики состоит в отыскании
функции распределения, соответствующей равновесному (наиболее
вероятному) состоянию системы.
Распределение электронов проводимости в металлах по энергиям
описывается функцей распределения Ферми-Дирака:
1
f (E) 
e
E  EF
kT
.
1
f (E ) - представляет собой вероятность того, что данный энергетический
E
уровень
занят электронами, т.е. вероятность заселенности
соответствующего уровня.
E F - некоторое значение энергии, называемое энергией Ферми.
Исследуем свойства функции f (E ) .
При T  0
1
f (E) 
e
E  EF
0
,
1
для E  EF , f ( E ) 
1
 0,
e 1

2
для E  E F , f ( E ) 
1
e

1
 1;
график функции представлен на рис. 1, а.
f (E )
f (E )
1
1
T 0
0
а)
1
2
T 0
0
E
EF
T 0
б)
Рис. 1
E F kT
E
)
Функция распределения характеризует распределение электронов по
энергетическим уровням (по состояниям).
При T  0 функция распределения имеет вид ступеньки (фермиевская
ступенька). Это означает, что при T  0 полностью заполнены все уровни с
энергией, меньшей E F и свободны все уровни с большей, чем E F энергией
(рис. 1, а). Верхний энергетический уровень, полностью заполненный
электронами при T  0 , называется уровнем Ферми. При T  0 электроны
металла занимают все разрешенные уровни энергии с «заселенностью»,
равной 1, вплоть до уровня с E F . Все уровни с энергией превышающей E F ,
свободны, их «заселенность» равна нулю.
Энергия Ферми – это максимальная кинетическая энергия, которую могут
иметь электроны проводимости в металле при абсолютном нуле.
Расчеты показывают, что энергия электронов на уровне Ферми ~ 10 эВ,
расстояние между подуровнями ~10-22 эВ.
При T  0 и E  EF ,
1
f (E) 
e
0
kT

1
1
1
 ;
11 2
график функции представлен на рис. 1, б.
Нагревание металла приводит к увеличению энергии только тех
электронов, которые находятся достаточно близко к уровню Ферми, а таких
электронов немного. Как видно из рисунка 1, б, отличие кривой от
«ступеньки» наблюдается лишь в области ~ 2kT . Чем выше температура, тем
более полого идет ниспадающий участок кривой.
Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их
взаимодействия с кристаллической решеткой. Согласно корпускулярноволновому дуализму, движению электронов сопоставляют волновой процесс.
«Электронные волны», распространяясь в идеальной кристаллической
решетке, как бы огибают узлы решетки и проходят значительные расстояния.
В реальной решетке происходит рассеяние «электронных волн» на
неоднородностях и тепловых колебаниях ионов, что обуславливает
электрическое сопротивление металлов.
3
Все выводы и результаты квантовой теории полностью соответствуют
опытным данным.
2. Контакт двух металлов по зонной теории.
Контактная разность потенциалов (к.р.п.)– разность потенциалов,
возникающая между двумя телами (одно из которых – металл или
полупроводник) при их непосредственном соприкосновении.
Причина возникновения к.р.п. – наличие в металлах или полупроводниках
электронов проводимости. При соприкосновении таких тел между ними
будет происходить переход электронов, при этом одно из тел заряжается
положительно, другое отрицательно и между ними возникает разность
потенциалов, называемая контактной.
Образующиеся заряды, если металлы продолжают находиться в контакте,
локализованы в очень тонких поверхностных слоях, ~10-10-10-9м. К.р.п. для
металлов и полупроводников от десятых долей вольта до нескольких вольт.
Механизм образования к.р.п. при Т=0
Рассмотрим механизм образования к.р.п. для двух различных металлов А и
В. (рис. 2). Поскольку металлы различны, у них различной глубины
потенциальные ямы и различные уровни Ферми. Внешние края
потенциальных ям находятся на одинаковом (нулевом) уровне. Уровни
Ферми обоих металлов отличаются, поскольку у них различные работы
выхода (рис. 2, а).
0
A1
A2
E F1
eU k
A2
A1
E F1
EF 2
EF 2
eU i
А
А+
В
Вб)
а)
Рис. 2
Электронам металла А, находящимся вблизи уровня Ферми E F 1 ,
энергетически выгодно перейти на незанятые уровни, расположенные выше
 F 2 (т.к. там их энергия будет меньше). При контакте такие переходы
(показанные стрелкой) действительно осуществляются, некоторое число
электронов из металла А (с меньшей работой выхода А1) переходят в металл
4
В (с большей работой выхода А2). В результате металл А заряжается
положительно, его потенциальная яма опускается (т.к. энергия разноименных
зарядов отрицательна, труднее извлечь откуда электрон). Металл В
заряжается отрицательно, его потенциальная яма поднимается. Смещение
идет до тех пор, пока не сравняются уровни Ферми (рис. 2, б). Если два тела
находятся в состоянии термодинамического равновесия, то их уровни Ферми
совпадают.
Равенство уровней Ферми (которые называются ещё химическими
потенциалами) означает, что число электронов, переходящих за секунду из
металла А в металл В, равно числу электронов, переходящих за секунду в
обратном направлении.
Следует различать внутреннею и внешнюю разности потенциалов.
Внутренняя контактная разность потенциалов U i - скачок потенциала на
границе контакта металлов, определяемый разностью фермиевских уровней
обоих металлов до возникновения контакта:
Ui 
 F2   F1
e
.
(рис. 3) препятствует преобладающему переходу электронов
проводимости из одного металла в другой.
Внешняя контактная разность потенциалов – скачек потенциала между
свободными поверхностями контактирующих металлов, разделенных
воздушным зазором некоторой ширины (рис.3). Она
определяется разностью работ выхода электронов из
этих металлов:
U
Ui
i
Uк 
 2  1
.
e
Значения к.р.п. для различных пар металлов колеблются
от нуля до нескольких вольт. По величине к.р.п. металлы
Рис. 3
располагаются в ряд Вольты: , Zn, Sn, Pb, Sb, Bi , Mg 
Каждый предыдущий металл этого ряда при контакте с
одним из последующих металлов приобретает положительный потенциал.
Возникновение контактной разности потенциалов между соприкасающимися
металлическими проводниками было открыто в XVIII в. итальянским
физиком А. Вольтой.
Он экспериментально установил законы, названные законами Вольты.
1. При соединении двух разных металлов между ними возникает к.р.п.,
которая зависит только от их химического состава и температуры.
2. В случае разомкнутой цепи, состоящей из ряда последовательно
соединенных металлических проводников, к.р.п. между крайними
проводниками не зависит от промежуточных звеньев и равна разности
их работ выхода.
К.р.п. зависит от температуры. Хотя эта зависимость очень слабая , она имеет
решающее значение для термоэлектрических явлений.
Uk
5
Зависимость эта возникает из-за того, что сама фермиевская энергия  F
меняется с температурой, она уменьшается с повышением температуры.
Вычисление показывает, что сдвиг  F равен
 F  
 2 kT 2
12  F0
,
где  F 0 - фермиевская энергия при T  0 .
3. Термоэлектрические явления и их применение.
Термопарой называется замкнутая цепь из двух (или большего числа)
соединенных между собой разнородных проводников.
Если температура во всех точках цепи одинакова, контактные разности
потенциалов будут также одинаковы и противоположны по знаку. Ток в цепи
отсутствует, вся система находится в термодинамическом равновесии. Если
один из спаев термопары нагреть (рис. 4) или
охладить, равновесие нарушается. Т.к.  F
Ui
Ui '
K1
K2
зависит от температуры, от неё будет зависеть
и
контактная
разность
потенциалов.
Контактные разности потенциалов спаев К1 и
Рис. 4
К2 окажутся различными и не будут
компенсировать друг друга. В цепи возникает
э.д.с, называемая термоэлектродвижущей силой.
Явление Зеебека (эффект Зеебека).
Явление возникновение термоэлектрической э.д.с. называется явлением
Зеебека.
Эксперименты
показывают,
что
величина
результирующей
термоэлектродвижущей силы прямо пропорциональна разности температур в
местах спаев металлов
 T   (1  2 ) ,
где  - удельная термо-э.д.с., постоянная для каждой пары металлов.
Для большинства металлов  ~ 10 5  10 4
В
.
К
Явление Зеебека используется для измерения сверхвысоких и сверхнизких
температур.
Термометр, принцип действия которого основан на этом явлении, называется
термопарой. Это очень точный и чувствительный прибор, предназначенный
для измерения широкого спектра температур (до сотых долей градуса).
Явление Пельтье (обратное явлению Зеебека) заключается в том, что при
пропускании тока по замкнутой цепи, составленной из 2-х спаянных
металлов, один спай нагревается, а другой охлаждается. Явление Пельтье
обусловлено тем, что средняя энергия теплового движения свободных
электронов в разнородных проводниках различна