Косинский Ю.И. Электромагнитные колебания в колебательном контуре. Изменение со временем электрического заряда Q на обкладках конденсатора в цепи колебательного контура, состоящего из последовательно соединенных конденсатора, индуктивности и сопротивления, описывается дифференциальным уравнением [1] d 2Q dQ Q L 2 R (1) 0 dt C dt Результат решения этого уравнения имеет вид [1] (при R2 L / C ) R Q A0 exp t Sin t a0 , (2) 2 L где A0 1 R2 L C 4 L2 Q0 1 R 2 L R C 4 L 2 - циклическая частота колебаний, - начальная амплитуда, (3) - коэффициент затухания, 4 L (4) a0 Arctg Arctg 2 1 - начальная фаза колебаний. R C Сила тока в колебательном контуре: dQ R R A0 exp t Sin t a0 Cos t a0 I= (5) 2 L 2 L dt Проанализировав формулы (2), (5) можно отметить, что в начальный момент времени разряда конденсатора при t=0 заряд имеет максимальное значение Q0 а сила тока в этот момент времени равна нулю, т.е. введенные параметры начальной амплитуды А0 и начальной фазы а0 не имеют физического смысла, не упрощают запись формул конечного результата, а лишь сбивают с толку исследователей , пытающихся проанализировать формулы, используя лишь их внешний вид. Поэтому проще и лучше записать результат решения уравнения (1) в том виде, который следует из самого решения. Решается линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами [2]. Для данного уравнения характеристическое уравнение имеет вид: R 1 (6) r2 r 0, L LC R 1 R2 i i которое имеет корни r1 2 L L C 4 L2 R 1 R2 r2 i i . 2 L L C 4 L2 Общее решение будет: Q C1 expr1 t C2 expr2 t (7) (8) Q exp t C1 exp i t C2 exp i t Константы С1 и С2 находятся из начальных условий : dQ Q t 0 Q0 , (9) t 0 0 . dt Подставив начальные условия в (8), получим систему уравнений: C1 C2 Q0 (10) C i C i 0 2 1 Из системы уравнений следует: 1 C1 Q0 1 , 2 i 1 C2 Q0 1 (11) . 2 i Подставив константы в (8) , получим формулу для электрического заряда на обкладках конденсатора в зависимости от времени. Q Q0 exp t Cos t Sin t (2A) или I dQ Q0 0 0 exp t Sin t dt (5A) 1 циклическая частота свободных незатухающих LC электромагнитных колебаний в контуре. Из формулы (2А) следует, что амплитудой колебаний электрического заряда является Q0 , а оставшиеся множители принимают максимальное значение при t=0, т.е. увеличение в начальные моменты времени множителя где 0 компенсируется еще большим уменьшением со Cos( t ) Sin( t ) временем множителя exp( t ) и нет ни какого смысла говорить о начальной фазе колебаний. Из формулы (5А) четко следует, что, при любых условиях, колебание тока в контуре начинается с нуля, поэтому о начальной фазе колебаний и речи быть не может, т.к. , если производная от какой либо переменной функции не имеет начальной фазы, то и сама функция не имеет этой фазы. 2 2 Период колебаний равен T . 2 1 R L C 4 L2 Вычислим количество заряда, который перенесет ток в течении половины периода Т/2 своего колебания в контуре : T 2 I dt Q0 0 20 T 2 exp t Sin t dt Q0 exp 1 . 0 При отсутствии затухания в контуре =0 величина перенесенного заряда равна 2Q0 , т.е. конденсатор в колебательном контуре перезарядился на обратную величину заряда (-Q0 ). Представляет также интерес формула для производной по времени от тока I (Рис. 2): dI d 2Q (12) 2 Q0 20 exp t Cos t Sin t dt dt Результат в формуле (5А) легко подтвердить на практике, снимая на осциллограф падение напряжения с сопротивления R. dI Практически еще легче измеряется производная по времени от тока dt (Рис. 2). Для этого достаточно рядом с шиной колебательного контура и даже на шине поместить измерительный контур. Площадь этого измерительного контура будет пересекать переменный магнитный поток Ф, образованный током I , протекающем по шине в колебательном контуре. Электро движушая сила или напряжение, снимаемое с витка измерительного контура, пропорционально dФ/dt или dI/dt. Об этом всегда надо помнить при измерении тока I, т.к. контур, образованный щупами, которые присоединяются к сопротивлению R, может привести к ошибке измерения, т.е. будет меряться смесь аI+bdI/dt, где а и b коэффициенты пропорциональности. Естественно, глядя на результат ошибочного эксперимента, могут возникнуть теоретические мысли о начальной фазе колебаний и начальной амплитуде. Поэтому при измерении тока I контур, образованный присоединительными проводами необходимо сводить к минимуму . В порядке проверки можно взять интеграл dQ 0 (13) I dt dt dt Q0 0 exp t Sin t dt Q0 0 0 0 Результат свидетельствует о правильности выбранного решения и формулы (5А). Функция тока в зависимости от времени начинается с нуля, имеет максимумы, и носит синусоидальный характер с затуханием. Найдем величину тока в контуре в его максимумах. Максимум имеет место, когда производная от тока dI/dt=0. Из формулы (12) следует: Cos t Sin t , (14) откуда интервалы времени равны 1 1 tn arctg n 1 (15) 1 (n 1) , в которых ток достигает максимальное значение. Где n - порядковый номер максимума тока в контуре, 1 - фаза колебаний тока в контуре, когда его величина достигает первого максимума. Подставим интервалы времени (15) в функциональную зависимость от времени для тока (5 А), учитывая что Sin 1 в итоге получим: 0 I M (n ) Q0 0 (1)( n 1) exp 1 n 1 (16) Здесь учтено направление тока в максимуме в зависимости от порядкового номера 0 фаза колебаний близка к 1 . 2 Величина Q0 0 =IM является амплитудой максимальных значений колебаний тока в контуре, которую можно записать , учитывая, что Q0=U0C, U0 напряжение на обкладках конденсатора, также так: U (17) IM 0 L C Это известная величина [1] и выводится из энергетических соображений в отсутствии потерь . n. При малых величинах отношения Выше былo продемонстрировано решение волнового уравнения (1) при L L условии, что R 2 . Решение носит волновой характер. При R 2 C C решение не носит колебательного характера и называется апериодическим. Решение его таково. Корни характеристического уравнения (6) являются действительными: R R2 1 r1 0 2 2 L LC 4 L (18) 2 R R 1 0 2 L 4 L2 L C Общее решение будет: Q(t ) C1 exp r1 t C2 exp r2 t r2 или Q(t ) exp t C1 exp 0 t C2 exp 0 t Константы С1 и С2 находятся из тех же начальных условий: dQ Q(t 0) Q0 , (t 0) 0 . dt Подставив начальные условия в (19), получим систему уравненй: C1 C2 Q0 C1 0 C2 ( 0 ) 0 (19) (9) (20) Из системы уравнений следует: 1 C1 Q0 1 2 0 1 C2 Q0 1 2 0 , (21) Подставив константы в (19), получим формулу для электрического заряда на обкладках конденсатора в зависимости от времени. Q(t ) Q0 exp( t ) Ch 0 t Sh 0 t (22) 0 R где - коэффициент затухания экспоненты, 2 L 0 R2 4 L2 меньше . 1 LC - гиперболический декремент, как видно, он всегда Из функции (22) следует, что заряд на обкладках конденсатора со временем не носит колебательного характера, а представляет затухающую функцию. Ток при этом имеет следующую функциональную зависимость от времени: dQ I (t ) Q0 0 0 exp t Sh 0 t (23) dt 0 и имеет форму одиночного импульса (Рис. 3). Следует отметить, что заменой в формуле (23) 0 , Sh( ) Sin( ) можно получить формулу (5А) для тока, который несет характер затухающей синусоиды. В качестве проверки правильности найденных функциональных зависимостей (22), (23) возьмем интеграл: 0 dQ (24) I dt dt dt Q0 0 exp t Sh 0 t Q0 0 0 0 0 Формулы (13), (24) свидетельствуют о независимости результата разряда конденсатора от пути этого разряда. Для определения параметров импульса тока найдем функцию производной по времени от тока (Рис. 4): âI d 2Q (25) 2 Q0 20 exp( t ) Ch 0 t Sh( 0 t ) dt 0 dt Импульс тока имеет максимум в точке, где его производная по времени равна нулю. Отсюда следует соотношение для времени: (26) Ch 0 t1 Sh 0 t1 0 или arth 0 1 . 0 0 Ток в максимуме импульса имеет следующее значение: U I M Q0 0 exp 1 0 exp 1 , L 0 0 C t1 где 0 1 1 R , , 0 LC 2 L R2 4 L 2 1 , 1 arth 0 . LC (27) По периоду синусоидальных колебаний тока в контуре можно определить некоторые параметры установки колебательного контура. Например, при заряде емкости С=10010-6 ф , период колебаний был равен 2 Т7010-6 сек, если то индуктивность равна T 2 L C , 0 2 T 1 L . Подставив значения, получим: 2 C L1.24 гн. (28) -6 -6 При емкости С=20010 ф, период колебаний был равен Т11010 сек, откуда следует величина индуктивности: L1.53 гн. (29) -6 -6 При емкости С=40010 ф, период колебаний был равен Т15010 сек, откуда следует величина индуктивности : L1.42 гн. (30) -6 При емкости С=130010 ф, период колебаний был равен Т20010-6 сек , откуда следует величина индуктивности: L0.779 гн. (31) -6 При изменении емкости в колебательном контуре начиная с С=20010 ф в большую сторону прослеживается тенденция уменьшения общей индуктивности колебательного контура. При етом следует учитывать, что при изменении емкости изменялась конфигурация соединений шины контура, вероятно, поетому индуктивность контура с емкостью С=10010-6 ф существенно занижена. Длительность затухающих синусоидальных колебаний равнялась (Рис.1) Т080010-6 сек (32) 1 1 R T0 при уменьшении амплитуды до , т.е. exp , откуда следует, 2 L 30 30 R что T0 4 , Из этого соотношения находится величина сопротивления: 2 L 8 L 8 1 106 (33) R 1 102 ом 6 T0 800 10 При известных величинах : С=130010-6 ф, L110-6 гн, U=4000 v из соотношения (17) находим величину тока в максимуме в режиме синусоидальных колебаний и в отсутствии потерь U0 (34) 144 000 a L C Если колебательный контур имеет следующие параметры : С=130010-6 ф, L L=110-6 гн, R=0.06 ом. При этих значениях R ток разряда конденсатора C имеет форму одиночного импульса (Рис. 3) . Согласно формулы (27) определим параметры этого импульса : R 3 104 1/сек, 2 L R2 1 0 1..14 104 1/сек, 4 L LC IM 2.63157 , 0 0.38 , 0 1 arth 0 0.4 , t1 1 3510-6 сек. 0 t1 1 (35) 1 , т.е. максимальный ток в одиночном импульсе (Рис. 3) при минимальном сопротивлении R, которое обеспечивает этот режим, в раз меньше максимального тока, в режиме синусоидальных колебаний (34) при R 0 . Длительность импульса у основания находится из условия ( 0 ) t0 4 , при котором експоненциальный множитель в (23) 1/30. Из этого условия следует t=4/(–0)=21410-6 сек. При этом множитель в формуле (27) exp t1 exp 1 B 100000 I a 50000 0 -50000 -100000 0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 t sek Рис. 1 B 4.00E+009 dI/dt a/cek 2.00E+009 0.00E+000 -2.00E+009 -4.00E+009 0.0000 0.0002 0.0004 t cek Рис. 2 0.0006 0.0008 B 50000 40000 I a 30000 20000 10000 0 0.00000 0.00005 0.00010 0.00015 0.00020 t sek Рис. 3 B 4.00E+009 dI/dt a/cek 3.00E+009 2.00E+009 1.00E+009 0.00E+000 -1.00E+009 0.00000 0.00005 0.00010 t cek Рис. 4 0.00015 0.00020 Литература 1. Яворский Б.М. и Детлаф А.А. , Справочник по физике, 1968г, стр 483-485. 2. Бронштейн И.Н. и Семендяев К.А. , Справочник по математике,1962г.,стр 453.