Нецентральный упругий удар - Лицей научно

Физический факультатив
НЕЦЕНТРАЛЬНЫЙ УПРУГИЙ УДАР
Давыдов В.И., Чухланцев А.А.
Лицей научно-инженерного профиля города Королева Московской области
Аннотация
Задачи на непрямой упругий удар практически не рассматриваются в
курсе школьной физики. В то же время такие задачи встречаются в заданиях
олимпиад различного уровня, в том числе вузовских олимпиад, включаемых
в перечень Министерства образования, призеры которых имеют право
засчитывать свой результат как высший балл по ЕГЭ. В связи с этим
представляется целесообразным рассматривать задачи на непрямой упругий
удар на школьном факультативе по физике, что в течение ряда лет и делается
в Лицее научно-инженерного профиля города Королева. Кроме того, на
факультативе имеется возможность систематизировано изложить подходы к
решению данных задач, разбросанных по различным задачникам и учебным
пособиям. Представляется, что данная статья может быть полезной как для
учителей физики школ с углубленным изучением предмета, так и для
абитуриентов.
Примеры задач
Задача 1. На покоящийся шар налетает шар такой же массы. Найдите
угол разлета шаров после нецентрального упругого удара. [1,2]
Решение. Используя теорему косинусов
для треугольника импульсов, представленного

α
p

1
на рисунке, запишем закон сохранения импульса
p2
в виде:

φ
p02  p12  p22  2 p1 p2 cos 
p0
(1)
где p0 – модуль импульс налетающего шара до удара, p1 – модуль импульса
налетающего шара после удара, p2 – модуль импульса покоящегося шара
после удара, α – угол разлета шаров. Закон сохранения энергии запишем
также через импульсы шаров:
p02
p12
p22


2m1 2m1 2m2
Если m1 = m2, то из уравнений (1) и (2) следует, что cosα = 0 и α = π/2.
(2)
Ответ: α = π/2.
Задача 2. Тяжелая частица массы m1 сталкивается с покоящейся легкой
частицей массы m2. На какой наибольший угол может отклониться тяжелая
частица в результате упругого удара? [1]
Решение. Запишем закон сохранения импульса в виде (рисунок к задаче
1):
p22  p12  p02  2 p1 p0 cos 
(1а)
где p0 – модуль импульса налетающей частицы до удара, p1 – модуль
импульса налетающей частицы после удара, p2 – модуль импульса
покоящейся частицы после удара, φ – искомый угол отклонения налетающей
частицы. Закон сохранения энергии запишем также через импульсы частиц:
p02
p12
p22


2m1 2m1 2m2
(2)
Из второго уравнения выразим
p22 
m2 2
( p0  p12 )
m1
(3)
И подставим в (1а). Тогда
p12 (1 
m2
m
)  2 p1 p0 cos  p02 (1  2 )  0
m1
m1
(4)
Детерминант уравнения (4) должен быть больше или равен нуля:
D  4 p02 cos2   4 p02 (1 
m22
)0
m12
(5)
Отсюда получаем ограничение на угол отклонения налетающей частицы:
m22
cos  1  2
m1
(6)
Максимальный угол отклонения имеет место, когда детерминант равен нулю.
m
Для этого угла sin   2 .
m1
Ответ: sin  
m2
.
m1
Важным обстоятельством при упругом нецентральном ударе является
то, что ввиду отсутствия сил трения, силы
взаимодействия соударяющихся тел направлены по
нормали к поверхности их соприкосновения.
Задача 3. На горизонтальном столе покоится
клин массой М = 4 кг. Сверху на клин падает шарик
массой m = 1 кг. Определить угол при основании
клина α, если известно, что после упругого удара о клин шарик отскочил под
углом β = 45° к вертикали. Трением пренебречь.[3]
Решение. Поскольку смещения шарика и клина за время соударения
пренебрежимо малы (удар, как обычно, считается
мгновенным), а также из-за отсутствия трения, силы
взаимодействия шарика и клина направлены по
нормали к наклонной плоскости. Следовательно,
изменение импульса шарика при ударе также будет
направлено по нормали к наклонной плоскости
клина (смотри рисунок, где через V0 и V обозначены скорости шарика до и
после удара соответственно, U — скорость клина после удара). Из рисунка
видно, что
tg 
V sin 
V0  V cos 
Используя закон сохранения импульса в проекции на горизонтальное
направление и закон сохранения кинетической энергии при упругом ударе,
получаем следующие равенства:
mV02 mV 2 mU 2
mV sin   MU ,


2
2
2
Отсюда
U V
m
m
sin  , V0  V 1  sin 2 
M
M
Объединяя записанные выражения, получаем ответ.
Ответ:
sin 
tg 
 0,4;   arctg 0,4  22
m
cos   1  sin 2 
M
Задача 4. Два одинаковых шара радиусами R
летят навстречу друг другу с одинаковыми
скоростями как показано на рисунке. Расстояние
между линиями движения центров шаров S = R. На какой угол β повернется
вектор скорости каждого из шаров после удара? Удар считать упругим, шары
- идеально гладкими. [3]


Решение. Обозначим через V1 и V2 скорости шаров после удара.
Используя законы сохранения импульса и энергии


mV12 mV22
mV1  mV2  0,

 mV 2 ,
2
2
находим, что V1 = V2 = V, т.е. модули скоростей шаров
после удара останутся прежними. Из предположения о
кратковременности удара вытекает, что приращение
импульса каждого из шаров направлено по линии,
соединяющей центры шаров в момент удара. Из
рисунка видно, что
  2   , sin  
Ответ:
    2 arcsin
S
2R
S 2

2R 3
Задачи для самостоятельного решения.
1. [1] Частица массы m1 налетает на шар массы m2.
Направление ее движения составляет угол α с нормалью к
поверхности шара. Под каким углом к этой нормали отскочит
от шара частица, если шар сначала покоился, а удар упругий?
m  m2
Ответ: tg  tg 1
m2  m1
2. [1] При упругом столкновении налетающей частицы с покоящейся
первая полетела под углом α к направлению первоначального движения, а
вторая - под углом β. Найдите отношение масс этих частиц.
m1 sin 2 (   )  sin 2 
Ответ:
, m1 – масса налетающей частицы.

m2
sin 2 
3. [1] Частица массы m1 налетела со скоростью v на неподвижную
частицу массы m2, которая после упругого удара полетела под углом α к
первоначальному направлению движения налетающей частицы. Определите
скорость частицы массы m2 после удара.
2m1v cos
m1  m2
4. [2] По центру неподвижного кубика, лежащего на
гладкой горизонтальной поверхности, наносят удар шариком
той же массы, так, что начальная скорость шарика v направлена
под углом α к оси симметрии кубика. Определить скорость v1 и
v2 шарика и кубика после удара. Под каким углом β к оси
симметрии кубика полетит шарик после удара?
Ответ: v1  v sin  ; v2  v cos  ;    / 2
Ответ: u 
5. [2] Шариком массой m наносят удар по клину. Масса
клина M, угол при основании α. Удар абсолютно упругий.
Трением можно пренебречь. Определить скорость шарика v и
скорость клина u после удара, если скорость шарика перед
ударом равна v0 и направлена: а) перпендикулярно
поверхности клина; б) по вертикали; в) по горизонтали.
Ответ:
M  m sin 2 
2m sin 
а) v 
v
;
u

u

v0
0
0
M  m sin 2 
M  m sin 2 
M
б ) u  u0 cos ; v  v02  u02 cos2 
m
M
в) u  u0 sin  ; v  v02  u02 sin 2 
m
Литература.
1. Задачи по физике: Учеб. пособие/ И.И. Воробьев, П.И. Зубков, Г.А. Кутузова и др.; Под
ред. О.Я. Савченко. − 2-е изд., перераб. − М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1988. - 416 с.
2. Дмитриев С.Н., Васюков В.И., Струков Ю.А. Физика: Сборник задач для поступающих
в вузы. Изд. 7-е, доп. М: Ориентир. 2005. – 312 с.
3. Драбович К.Н., Макаров В.А., Чесноков С.С. Физика. Практический курс для
поступающих в университеты. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 544 с. - ISBN 5-9221-0652-Х.