ГЛАВА V. Исследование диаграммы "нагрузка

ГЛАВА V. Исследование диаграммы "Нагрузка - Прогиб"
Большинство испытательных машин позволяют с помощью
диаграммного аппарата фиксировать процесс нарастания нагрузки при
постоянной скорости роста деформаций. При изгибе древесины считается,
что график состоит из прямолинейного начального участка, который
характеризует упругую работу древесины до достижения ею предела
пропорциональности, и криволинейного участка, описывающего
пластическое течение материала вплоть до разрушения образца.
Логично предположить, что вся диаграмма Р(f) есть отражение единого
процесса деформирования древесины во времени, которому может быть
найдено адекватное математическое выражение. Это позволило бы
выполнить анализ этой диаграммы и, возможно, оценить некоторые
реологические показатели древесины. Насколько нам известно, до сих пор
не было предпринято попыток найти математическую модель диаграммы
"нагрузка - прогиб". Решение этой задачи позволило бы:
1. Проследить динамику процесса деформирования, в частности,
изменение текущего модуля упругости изгибаемого образца.
2. Рассчитать начальный и конечный (в момент разрушения) модуль
упругости
3. Точно рассчитать работу деформирования
4. Определить предельную (разрушающую) деформацию.
5. Определить некоторые реологические показатели древесины при изгибе.
5.1.Теоретические предпосылки
Для описания процессов деформирования материала во времени
пользуются реологическими моделями. Достаточно полный обзор их дан в
книге Б.Н.Уголева [108]. Для древесины предполагается, что реальное
поведение древесины примерно соответствует совместной работе
абсолютно упругого тела Гука, изображенного в виде пружины с модулем
упругости Е и эластичного тела Кельвина, представляющего собой параллельно соединенные пружину E1 и демпфер с жидкостью, имеющую
вязкость η.
117
E1
η
Рис. 5.1 Реологическая модель древесины.
EE
Работа этой модели описывается дифференциальным уравнением
d
d
 nV  nHV  E
dt
dt
где п - время релаксации напряжений, которое показывает тот период, в
течение которого напряжения в модели при постоянной деформации с
уменьшаются в е =2,178 раз; определяется этот показатель по
характеристикам принятой реологической модели
n

E1  E 2
Н = Е2 - поскольку в начальный момент нагружения упругость всей
системы определяется пружиной Е2; Е - длительный модуль упругости, то
есть та величина, к которой стремится упругость модели при бесконечно
длительном воздействии нагрузки; зависит только от характеристик
упругих элементов Е1 и Е2:
E1 E 2
E
E1  E 2
VΕ - скорость роста деформаций; Vσ - скорость роста напряжений.
Цель реологических испытаний заключается в определении
реологических коэффициентов Н, Е, п. Зная их, мы можем предсказать
поведение любого конкретного тела при его длительном нагружении.
Возможны 4 вида реологических испытаний:
1. Приложение постоянной нагрузки (P=Const). Данное испытание
называют испытанием на ползучесть. В этом испытании скорость роста
деформаций будет постоянно снижаться до нуля.
2. Приложение постоянной деформации (ε = Сопst), то есть испытания на
релаксацию. В этом случае первоначально возникшие напряжения
118
снижаются (релаксируют) из-за наличия вязкого элемента - демпфера в
модели.
3. Испытания при постоянной скорости роста напряжений (Vσ = Соnst).
4. Испытания при постоянной скорости роста деформаций (Vε. = Соnst).
Решение дифференциального уравнения зависит от вида испытания.
Одним из наиболее важных в практическом отношении методом является
испытание материалов с постоянной скоростью деформирования. Для
этого случая решение уравнения имеет вид:
  E  V n( H  E )( 1  e

nV
)
Большинство испытательных машин с электромеханическим приводом
позволяют осуществлять испытания при заданной, строго постоянной
скорости движения активного захвата. При достаточно жестком
силоизмерителе можно считать, что эта скорость незначительно
отличается от фактической скорости деформирования образца.
5.2. Состояние вопроса
Научные публикации по вопросам реологии древесины после 1970 года
в нашей стране и за рубежом немногочисленны. Можно назвать работу С.
Sales [135] по изучению реологических свойств 100 тропических пород,
работу Воdig [116], где описывается работа древесины в нелинейной
области деформирования. Следует упомянуть статью F. Коllmann'а [127], в
которой явление пластичности рассматривается с позиций энтропии
системы. Пластическое поведение означает, что порядок переходит в
беспорядок. Нет идеальной упругости, она постоянно переходит в
пластичность, а при высоких напряжениях модуль упругости переходит в
модуль пластичности.
В нашей стране за эти годы вышли книги В.П. Ерыхова [58], В.А.
Латишенко [74], А.С. Фрейдина и К.Т. Вуба [110], в которых среди
прочего рассматриваются вопросы реологии древесины и древесных
материалов. В монографии В.П. Ерыхова, посвященной неразрушающим
методам испытаний древесных материалов (главным образом,
динамическим), отмечено, что реологические модели слишком
формализуют поведение древесины под нагрузкой и недостаточно
отражают физическую сущность процессов. Тем не менее, они
119
продолжают оставаться объектом исследований и дают практически
важные результаты.
Для определения деформационных характеристик можно использовать
как динамические, так и статические методы испытаний. В работе [58]
показано, что в динамических испытаниях модуль сдвига показывают
лучшую корреляцию с прочностными показателями, чем модуль
нормальной упругости, так как при сдвиге происходит только деформация
формы, а не объёма. Коэффициент Пуассона не входит в расчетные формулы, что упрощает измерения.
Там же показано, что модули упругости древесных материалов,
измеренные тремя независимыми динамическими способами, близки друг
к другу. Следовательно, формулы для изотропного материала с
достаточной для практики точностью применимы и для анизотропной
древесины. Расчет реологических показателей выявил, что они не в полной
мере подчиняются реологическим моделям. Модуль сдвига оказывается
зависимым от частоты крутильных колебаний, что не может быть
объяснено наличием только упругих и вязких элементов. В.П. Ерыхов
предполагает, что в моделях должны быть элементы сухого трения,
отражающие необратимое смещение волокон древесины относительно
друг друга.
На эту же особенность обращает внимание А.М. Боровиков [10]. Он
считает, что древесина в действительности является упруго - вязко пластичным материалом и только элементы сухого трения способны
объяснить такие явления как исчезновение остаточных напряжений при
увлажнении и нагревании древесины и ряд других факторов.
К сожалению, математическое описание реологических моделей с
элементами сухого трения встречает значительные трудности, поэтому
сегодня имеются только качественные описания моделей такого рода.
Описанные динамические методы определения реологических
показателей имеют несомненные преимущества в виду многообразия
приемов, наличия современного оборудования, широкого частотного
диапазона. К сожалению, они практически не пригодны для натурных
объектов типа пиломатериалов или даже отрезков пиломатериалов.
Использование же малых образцов сводит на нет все преимущества
неразрушающих методов и порождает трудно решаемые проблемы
масштабного фактора.
120
Известен ряд статических методов определения реологических
параметров непосредственно по диаграмме "напряжение - деформация",
полученной в ходе одноразового нагружения образца до разрушения либо
при циклических нагружениях до безопасных напряжений. Б.Н. Уголев
[109] использовал для этой цели процесс нагружения с постоянной
скоростью и разгружения с построением кривых общих, остаточных и упруго - эластических деформации при растяжении поперек волокон. При
этом он исходил из общепринятой реологической модели, для которой
общая деформация описывается формулой:
 Et
Vn
H

(1
)( 1  e Hn )
E
E
где V - скорость нагружения (Соnst), Е - длительный модуль упругости, Н
- мгновенный модуль упругости, п - время релаксации, t - текущее время.
Показатели Е, Н, п можно найти графоаналитическим путем (рис. 5.2).
Рис.5.2.
Иллюстрация
к
графоаналитическому методу определения
реологических коэффициентов,
Поскольку в начальный момент нагружения (t=0) работа модели
определяется мгновенным модулем упругости H, то касательная,
проведенная к кривой ε(t) в начале координат, есть уравнение прямой
Vt
1 
h
Аналогично, асимптота функции ε(t) связана с длительным модулем
упругости Е:
Vt
2 
E
Из уравнения следует также
Vn
3  2 ( H  E )
E
Из этих формул легко вычисляют параметры Е, Н, п. По данным Б.Н.
121
Уголева для березы при растяжении поперек волокон получено Н = 713
МПа, Е = 308 МПа и п = 117 мин.
В работе [110] использован несколько измененный метод определения
равновесного (длительного) модуля упругости древесины на основе
уравнения релаксации
k
 ( t )  E0  0 e at  E 0
Длительный модуль Е можно определить графоаналитическим путем из
соотношений
E E
E E
lg 2
lg 1
E3  E
E2  E

E E
E E
lg 2
lg 3
E3  E
E4  E
где E1 - E4 - промежуточные (текущие) значения модуля упругости в
моменты t1 –t4, при условии t2=at1 ; t3=a2t1; t4 =a3t1. Задачу решают с
помощью ЭВМ путем подбора величины Е, пока не удовлетворится
приведенное равенство.
Указанные статические методы довольно трудоемки и неточны, так как
связаны с замером углов наклона касательной. Ниже описан предлагаемый
нами способ определения реологических коэффициентов, основанный на
решении системы уравнений.
5.3. Графоаналитический способ определения
коэффициентов по диаграмме изгиба древесины
реологических
Метод статического поперечного изгиба имеет значительные
преимущества перед другими методами испытаний древесины. Одна из
этих преимуществ - возможность определения относительных деформаций
по прогибам, которые достигают нескольких миллиметров или даже
сантиметров. С помощью диаграммного аппарата испытательной машины
можно получит диаграмму Р(f), несущую в себе большую информацию о
деформационных свойствах древесины.
Внимательное рассмотрение машинных диаграмм показывает, что
реальный график не показывает четко выраженного предела
пропорциональности и не имеет четкого прямолинейного участка. Было
также замечено, что характер диаграммы в некоторой степени зависит от
смятия древесины под нажимным ножом. Есть некоторая принципиальная
122
разница
в
характере
диаграмм,
полученных
в
различных
приспособлениях. Если нагружающий элемент выполнен в виде круглого
стержня (в нашем случае диаметром 50 мм), то по оси деформаций
суммируются величины действительного прогиба и смятия древесины под
стержнем. В результате этого начальный участок кривой Р(f) искажается,
и мы наблюдаем S-образный график с точкой перегиба. Если же нагружающий элемент заменить плоской площадкой с закругленными
краями, то смятие при достаточно большой площади контакта опоры с
образцом исчезает, а неизбежные деформации сжатия поперек волокон
станут на 1-2 порядка меньше величины прогиба. По этой причине Sобразность диаграммы уменьшается, хотя и не исчезает полностью. В
этом случае ее характер больше соответствует ожидаемому характеру
зависимости напряжений от деформаций при постоянной скорости их
роста (Vε= Сопst).
Формулу, показанную на стр. 113, можно преобразовать к более
лаконичному виду
у = ах + b[1 - ехр(-x / с)]
где а=Е; b= Vε n(Н-Е); с=Vε n.
Таким образом, для определения реологических показателей Н, Е, п
достаточно определить величины а, b, с . Эта задача может быть
сравнительно просто решена, если по результатам замеров реальной
машинной диаграммы удастся составить не менее трех уравнений с
искомыми коэффициентами. Для достижения этой цели предпринят такой
порядок обработки диаграмм Р(f) - рис. 5.3.
Рис. 5.3. Схема замеров на
диаграмме изгиба древесины
На диаграммной бумаге находим начало координат, то есть ту точку,
которая соответствует моменту, когда в системе "машина - образец приспособление" выбраны все зазоры и процесс деформирования
приобрел монотонный характер. Затем измеряли всю величину
максимального прогиба (fз =fтах) и находили шаг измерений t =fmax/3. На
123
диаграмме затем отмечали три значения P1, Р2 и Р3, соответствующие
трем прогибам: f = t, f2=2t, f3 = 3t. После этого можно составить такую
систему уравнений
P1 = аt + b[1 - ехр(-t /с)]
Р2= 2аt+ b[1 - ехр(-2t/с)]
P3 = 3at + b[1 - ехр(-3t/с)]
Для решения системы преобразуем ее к виду:
b
exp( t / c ) 
at  b  P 1
b
exp( 2 t / c ) 
2 at  b  P 2
exp( 3 t / c ) 
b
3at  b  P 3
Путем последовательного деления уравнений друг на друга и полагая t = 1
пришли к квадратному уравнению с одним неизвестным:
Q1a 2  Q2 a  Q3  0
где Q1=3(Р1-Р2)+Р3
Q2=-2P1(P1-P2+P3)+P22
Q3= P12(Р3-Р2-Р1)+Р1*P2(2P1-P2)
Это уравнение имеет такие корни
 Q2  Q22  4Q1Q3
( a  P1 )2
a1 ,2 
; b
; c
2Q1
2 P1  P2
1
b
ln
a  b  P1
Для перехода от координат "нагрузка - прогиб" к координатам
"напряжение - относительная деформация" воспользовались обычными
формулами сопротивления материалов, полагая, что скорость движения
активного захвата равна скорости увеличения прогиба. Для трехточечного
нагружения образца прямоугольной формы имеем
1 ,5 Pl
6 hf

; 
l
bh2
Другими словами, мы исходим из того, что нагрузке Р однозначно
соответствует конкретное значение напряжения σ и, аналогично,
124
конкретной величине прогиба соответствует определенная величина
относительной деформации ε в крайних волокнах изгибаемого образца.
Исходя из этого, скорость роста относительных деформаций
рассчитывали по формуле
6 hV f
V 
l2
а шаг измерений по относительной деформации
6 ht f
t 
l2
После определения коэффициентов а, b, с можно рассчитать
реологические показатели
ct
b  V nE
a
E  ; n  ; H 
t
V
V n
Для практической проверки предлагаемого метода и принятой
реологической модели использовали диаграммы изгиба, полученные на
машинах Р-0,5 и Р-5 завода "Точприбор". В качестве примера приведем
результаты расчетов при следующих исходных данных:
• Расстояние между опорами l = 340 мм
• Ширина образца b = 48,4 мм
• Толщина образца h = 16,5 мм
• Скорость испытания Vf = 0.166 мм/с
• Шаг измерения tf = 6,0 мм
• Контрольные нагрузки Р1 = 1080 Н; Р2 = 2060 Н; Р3 = 2710 Н
Результаты расчетов:
• Шаг измерений по относительной деформации t = 5,138.10-3
• Скорость деформирования Vε= 0,142 10-3 1/с
• Коэффициенты реологического уравнения
а1 =434,8
а2= 418,0
b1=7,316
b2 = 5,827 10-3
с1 = -0,837
c2 = - 0,0884
• Длительный модуль упругости
Е1 = 8462 МПа
Е2 = 8135 МПа
• Время релаксации
n1 = -80,2 с
n2 = -3,19 с
• Мгновенный модуль упругости
125
Н1 = 8292МПа
H2 = 8134 МПа
• Точки теоретической кривой
P1 = 1080Н;
Р1 = 1080Н;
Р2 = 2060 Н;
P2 = 2060 Н;
Р3 = 2710Н
Р3 = -8,14.106.
Результаты позволяют считать, что в чисто математическом отношении
расчеты выполнены правильно - точки теоретической кривой для значений
"я" с большим корнем квадратного уравнения абсолютно точно совпадают
с контрольными точками экспериментальной кривой. Это говорит о том,
что система уравнений решена правильно.
Однако в физическом отношении результаты расчета следует считать
неудовлетворительными. Дело в том, что коэффициент "с" получается
отрицательным, что дает отрицательную величину времени релаксации факт, не имеющий смысла. Кроме того, величина длительного модуля
упругости получается выше, чем мгновенного, что противоречит
представлениям о реологическом поведении древесины. Повторные
измерения и расчеты, выполненные по диаграмме, полученной на машине
Р-5 с более жестким силоизмерителем, дали аналогичные результаты.
Для того чтобы использовать известное реологическое уравнение для
расчета реологических коэффициентов графоаналитическим способом, в
дальнейшем использовали компромиссный вариант. Он заключался в том,
что вместо точного решения квадратного уравнения можно применить
компромиссное решение. Например, для одного из образцов имеем
-1,012a2 +29,794a – 218,54 = 0.
Поскольку коэффициент при "а" значительно меньше остальных
коэффициентов, то данное квадратное уравнение можно заменить
линейным типа
29,794а - 218,54 = 0
Расчеты по данному варианту дают приемлемые результаты: E = 4126
МПа, H = 8240 МПа, n = 33757 с. Эти результаты имеют физический
смысл, так как Е<Н и п>0. Если считать, что на участке от 0 до P1
диаграмма представляет прямую линию, то можно рассчитать стандартный
модуль упругости
E станд . 
126
P1 l 3
4 bh3 t f
Для нашего примера получаем Естанд = 7831 МПа, что несколько меньше
мгновенного модуля упругости (Н= 8240 МПа), что соответствует
характеру диаграммы.
Тем не менее, такое приближение представляется нам не корректным. Из
результатов исследований можно сделать вполне определенный вывод о
том, что реальная диаграмма изгиба древесины не может быть выражена
уравнением, описывающем реологическую модель, представленную на
рис. 5.1. При отрицательном значении коэффициента "с" получаем
уравнение типа
у = ах + b[1 - ехр(х / с)]
Его анализ показывает, что при "x'", стремящемся к бесконечности,
функция ведет себя иначе, чем при с>0. Для наглядности на рис. 5.4
показаны оба графика.
Рис.5.4.
Сопоставление
графиков «нагрузка – прогиб»
при с>0 (1) и при с<0 (2)
121
Видно, что при с<0 теоретическая кривая может полностью совпадать с
экспериментальной в данной узкой области определения, но за ее
пределами резко отличается от кривой для с>0, так как имеет экстремум в
некоторой точке. По теоретически же представлениям этот график должен
асимптотически приближаться к наклонной прямой, тангенс угла наклона
которой соответствует величине длительного модуля упругости.
Полученные нами диаграммы "нагрузка - прогиб" не противоречат этим
представлениям - во всех случаях в момент разрушения образца его
текущий модуль упругости не равен нулю. Расхождение же с теорией при
расчете реологических коэффициентов может вызываться следующими
причинами:
1) Стандартная реологическая модель (рис. 5.1) не в полной мере отражает
деформационные свойства древесины в частности потому, что не содержит
элементы сухого трения Опыты показали, что примерно треть образцов
при своем нагружении обнаруживает потрескивание при уровне нагрузок
80-90% от разрушающей. При этом на диаграмме появляется едва заметная
127
ступенька длиной 1-3 мм при масштабе записи 10:1. После этого образец
еще некоторое время выдерживает все возрастающую нагрузку, а характер
диаграммы остается без изменений. Можно полагать, что в этом находит
отражение пластичность древесины - срабатывают элементы "сухого
трения" - происходит необратимая деформация в элементах
макроструктуры древесины, но в целом образец еще не теряет своей
несущей способности.
Сложность учета этого фактора заключается в том, что при
кратковременных испытаниях он проявляется лишь у некоторых образцов.
В наших опытах из 119 образцов лишь 35 шт. (29,4%) показали на своих
диаграммах участки пластичности как проявление первой трещины. Доля
этих деформаций в общем прогибе совершенно ничтожна и составляет
доли процента от общей максимальной деформации. Все это позволяет
считать, что при данном режиме испытаний пластичность древесины
проявляется очень слабо и не может быть точно замерена.
2) Все известные реологические модели рассматривают одноосное
напряженное состояние, поэтому могут оказаться непригодными для
оценки деформативности при изгибе, поскольку здесь имеют место
напряжения растяжения, сжатия и сдвига вдоль волокон. На наш взгляд,
работа твердого тела при изгибе требует другой модели, учитывающей
неоднородность напряженного состояния образца. Наличие сжатой зоны и
образование складки сжатия не может быть оставлено без внимания при
рассмотрении реологии древесины при изгибе.
5.4. Второй вариант математического описания диаграммы
"нагрузка - прогиб"
Кривая, описывающая диаграмму изгиба называется логистической
кривой. Она может быть выражена зависимостью
Особенность этой кривой в том, что она имеет точку перегиба и этим
принципиально отличается от ранее рассмотренной и лучше соответствует
действительности. Все диаграммы Р(f) отличаются большей или меньшей
S- образностью.
Для анализа пригодности этой формулы провели решение системы
уравнений по методике, аналогичной описанной в разделе 5.3.
128
После преобразований можно составить три таких уравнения:
y nk
y n k
y n k
e mt  1
; e 2 mt  2
; e 3 mt  3
k  y1
k  y2
k  y3
где t - шаг измерений прогиба по оси х, а y1, у2, уз - нагрузки,
соответствующие прогибам t, 2t, 3t.
Последовательным делением уравнений друг на друга и после
алгебраических преобразований пришли к квадратному уравнению вида
k 2  pk  q  0
Для положительных значений х и у имеем
k
p
p
 ( )2  q ;
2
2
p
q6 ( q1  q2 )
pq3
; q
q4 q3  q5 ( q1  q3 )
q1  q3
q1  ( 2 y1  y 2 ) y 3 ; q2  ( y1  y 2  y 3 ) y1 ; q3  ( y 2  y 3 ) y12 ;
q4  y1  y 2  y 3 ; q5  y1 y 2 ; q6  y1 y 2 y 3 .
После определения коэффициента "К" легко рассчитываются два других
неизвестных параметра
k ( q1  q2 )
1 k  y1 n
n  1
; m  ln
.
q3
t
k  y1
Проведенные расчеты позволяют сопоставить теоретическую кривую с
фактическими диаграммами изгиба. Опыты показали, что при достаточно
большом шаге измерений получаем практически полное совпадение
теоретических и экспериментальных точек, что говорит о правильном
решении системы уравнений. Например, для одного из образцов
диаграмма имеет следующие показатели:
Шаг измерения tf == 13,9 мм
Контрольные нагрузки: P1= 3650 Н; Р2 = 6750 Н; Рз = 7800 Н.
Коэффициенты эмпирического уравнения
k = 8094Н; n =4,009; m = 0,117.
Следовательно, график в координатах "нагрузка ,у - прогиб х " можно
выразить такой математической моделью
y  8094
e 0 ,117 x  1
e 0 ,117 x  4 ,009
Рис. 5.5. Характер кривой,
129
описывающей диаграмму изгиба древесины согласно предлагаемой
математической модели.
При малом шаге измерений возможно расхождение теоретической
кривой с экспериментальной, так как формула очень чувствительна к
точности задания исходных данных. Это показывает, что использовать
предлагаемую математическую модель для прогнозирования предельной
нагрузки затруднительно.
В отличие от ранее рассмотренной зависимости, данная формула не
связана с реологической моделью и не содержит каких-либо
реологических коэффициентов. Тем не менее, с ее помощью можно найти
ряд деформационных характеристик испытанных образцов.
Поскольку диаграмма записывается в координатах "нагрузка - прогиб",
то необходимо ввести понятие жесткости образца. Численная величина его
равна первой производной нагрузки по прогибу
dP kmemx ( n  1 )

df
e mx  n
Модуль упругости связан с жесткостью следующей зависимостью (для
образца прямоугольной формы и трехточечной схемы изгиба):
y' ( x ) 
E ( x )  y' ( x )
l3
bh3
Поскольку на диаграмме Р(f) фактически не наблюдается
прямолинейного участка, то речь можно вести только о текущем модуле
упругости. При этом мы вправе называть модуль упругости при х=0
мгновенным модулем упругости (Е0 = Н). В момент разрушения образца
текущий модуль упругости приближается к величине длительного модуля
упругости, хотя непосредственное его определение в данном случае
невозможно.
Найдем выражения для жесткости в узловых точках диаграммы:
1) В начальный момент нагружения (х=0)
km
y' ( 0 ) 
n1
2) В точке перегиба, где величина первой производной максимальна, а
вторая производная обращается в нуль, имеем
130
y' ' ( x )  e
mx ( n  e
mx
) km 2 ( n  1 )
( e mx  n )3
Отсюда следует (n - emx) = 0 и могут быть определены абцисса и
ордината точки перегиба:
ln( n )
k( n  1 )
xт .п . 
; yт .п . 
m
2n
В результате получим выражение для максимальной жесткости образца,
которая наблюдается в точке перегиба
km( n  1 )
y'т .п . 
4n
Отношение двух величин может служить мерой нелинейности
начального участка диаграммы
y'т .п . ( n  1 )2

y' ( 0 )
4n
Эта величина зависит только от параметра "n", который можно считать
характеристикой нелинейности. Даже при незначительной на первый
взгляд нелинейности, разница в модулях упругости довольно существенна.
Для разобранного случая она составила 22,5%. При n = 1 модули
упругости при x = 0 и при x = xт.п. оказываются одинаковыми, так как
точка перегиба смещается в начало координат.
В наших опытах всего было снято 110 диаграмм нагружения при изгибе
образцов сечением 50 х 16 мм на пролете 340 мм. Испытания выполнены
на машине Р-0,5. Типичный характер диаграммы показан на рис. 5.5.
После замеров по контрольным точкам диаграмм величин P1, Р2, Р3 при
шаге измерений t =fmax /3 по вышеприведенным формулам рассчитывали
коэффициенты k, т, п, координаты точки перегиба, а также модули
упругости для трех точек: при х=0, в точке перегиба xт.п. и в момент
разрушения образца (х=fmах).
Расчет модулей упругости выполнен с учетом податливости
силоизмерителя испытательной машины. Если бы силоизмеритель был
абсолютно жестким, то первая производная графика у(х) определилась бы
как тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке. Однако
перемещение пассивного захвата уменьшает угол а, поэтому мы должны
считать что
y'  tg(    )
131
Далее учтем, что податливость системы "образец - приспособление для
испытаний" складывается из суммы податливостей его компонентов
1
1

c
y' y'факт .
где у’факт. - фактическая
силоизмерителя машины.
Отсюда следует
жесткость
образца,
с
-
податливость
l3
E
1
4 bh3 (  c )
y'
Эта формула позволяет учесть податливость силоизмерителя. При очень
жестком силоизмерителе она переходит в обычную формулу для расчета
модуля упругости. У машины Р-0,5 при испытании на шкале №3 (до 500
кгс = 4905 Н) свободный ход захвата согласно прямым измерениям
составил 7,3 мм. Следовательно податливость с = 7,3 / 4905 = 0,00148
мм/Н. Это на несколько порядков выше, чем у машины Р-5 (с = 0,00001
мм/Н), поэтому расчет необходим с учетом податливости силоизмерителя.
Кроме того, принятая математическая модель позволяет рассчитать
работу деформирова4ния путем интегрирования данной функции. Решение
интеграла дает следующее выражение:
n  1 ln( e mf max  n ) 1
A  k[
*
 ]
mn
1 n
n
Покажем на примере порядок всех выполненных расчетов. Для одного
из образцов сечением 47,4 х 16,2 мм на пролете 340 мм при шаге
измерения t = 5 мм с диаграммы изгиба сняты три отсчета нагрузки: 951,
1991 и 2747 Н при прогибах соответственно t, 2t, 3t. Показатели основного
уравнения составили k =3443 Н; т =0,19 1/мм; n =3,163. Следовательно,
диаграмма может быть описана уравнением
y
3443( e 0 ,19 x  1 )
e 0 ,19 x  3 ,163
Для расчета модулей упругости нашли первые производные для трех точек
диаграммы
y'(0)= 157,1 H/мм; у'mах= 215,2 Н/мм; y'min = 70,9 Н/мм
Соответственно, текущие модули упругости составили
132
E(0) = 9,99 МПа, Еmax = 15,47 МПа; Еmin = 3,45 МПа.
Стандартный модуль упругости, определенный в предположении, что
начальный участок диаграммы представляет собой прямую линию,
составил 14,3 МПа, что согласуется с величинами начального и
максимального модулей. Координаты точки перегиба составили 6,06 мм и
1177 Н. Работа деформирования для этого образца составила 31980 Н.мм.
Данные, полученные при обработке 110 диаграмм обобщены в табл.5.1.
5.1. Сводка показателей диаграмм изгиба древесины
№ Показатель
Среднее Вариац. Асси- Экско-эфф- метрия цесс
1
Предельный прогиб fтах. мм
16,1
19,3
2,48
-0,09
т,
%
2. Разрушающая нагрузка, Н
2492
17,22
1,39
2,23
3.
4.
Коэффициент "k"
Показатель "n"
3012
2,84
15,34
29,2
-0,47
-7,54
3,61
14,74
5.
6.
Показатель m, 1/мм
Абцисса точки перегиба, xт.п. мм
0,20
5,1
20,64
17,56
-1,87
0,10
2,35
3,46
7.
8.
Ордината точки перегиба, ут.п., Н
Модуль упругости Е(0), ГПа
939
9,26
17,58
64,36
2,26
-40,4
2,71
198,9
11,31
4,39
12,8
44,8
0,42
-2,48
-0,71
0.32
9. Модуль упругости Емах, ГПа
10. Модуль упругости Еmin, ГПа
11. Работа деформирования A, кН.мм 23,44
36,3
-0,50
0,32
Анализ полученных материалов позволяет отметить следующее:
• Предельные прогибы, то есть прогибы образцов в момент их
разрушения в среднем составили 16,1 мм. Их частотное распределение
отличается значительной положительной (левосторонней) ассиметрией.
Это говорит о том, что выше некоторой границы предельные прогибы
менее вероятны, чем ниже ее. Этого нельзя сказать о частотном
распределении величин разрушающей нагрузки. Здесь ассиметрия почти
вдвое меньше. Эта разница, на наш взгляд, имеет принципиальный
характер. Она позволяет предполагать, что при разрушении образцов
большую роль играют деформации, чем напряжения.
• Коэффициент "k" представляет собой асимптоту функции Р(f).
Разрушающая нагрузка составила в среднем 82,8% от величины "k'".
• Координаты точки перегиба составили соответственно 31,6% от
предельного прогиба и 37,6% от разрушающей нагрузки.
133
• Текущий модуль упругости достигает максимальной величины в точке
перегиба. В среднем он на 22% выше чем в начальный момент.
Одновременно эта величина является и наиболее стабильной - ее
коэффициент вариации составляет 12,8%.
• Минимальный модуль упругости (в момент разрушения образца)
составил в среднем 38,8% от максимального.
Помимо расчета средних величин проведены расчеты коэффициентов
корреляции между различным показателями. Сравнительно тесная
корреляция наблюдается лишь между некоторыми из них:
1) Между Рмах и. fmax (R2 = 0,687), что фактически означает взаимосвязь
между минимальным модулем упругости и пределом прочности. Для
сравнения укажем, что коэффициент корреляции между пределом
прочности и максимальным модулем упругости немного ниже (R2 = 0,601).
2) Между коэффициентом "k'" и Рмах достоверность апроксимации R2 =
0,552. Умеренная взаимосвязь между этими показателями говорит о том,
что различные образцы по разному приближаются к асимптоте "k", но
никогда не достигают ее. Соответственно Еmin никогда не равен нулю.
3) Работа деформирования хорошо коррелирует с разрушающей
нагрузкой и предельным прогибом (R2 соответственно 0,856 и 0,895).
Из приведенных экспериментов и расчетов видно, что разработанная
математическая модель представляет богатые возможности для изучения
прочностных и деформационных показателей материала, позволяет
проследить изменение текущего модуля упругости древесины, рассчитать
прогибы в любой момент нагружения, определить работу, затраченную на
разрушение образца.
Выводы по главе 5
1. Выполнена практическая проверка возможности использования
общепринятой реологической модели для описания диаграммы "нагрузка прогиб". Показано, что эта модель, предназначенная для случая
одноосного растяжения, не может быть использована для описания
процесса деформирования древесины при изгибе.
2. Предложена и обоснована новая зависимость между ростом нагрузки Р
и прогибом f при постоянной скорости деформирования образца
древесины.
134
Pk
e mf  1
e mf  n
3. Разработана и проверена экспериментально методика расчета
коэффициентов данного уравнения по трем точкам диаграммы, а также
текущих модулей упругости, работы деформирования и некоторых других
показателей, характеризующих реологические свойства древесины.
135