4. Тензоры напряжений и деформаций

Лекция 3: Механические свойства твёрдых тел
Выписка из рабочей программы дисциплины «Физика конденсированного состояния» по
направлению 010900
№
1
Раздел
(название)
Основы
кристаллографии
Название темы, литература
6 семестр
1.4 Механические свойства
твердых тел. [6.1.1 гл. 1]
Содержание
Деформация.
Упругая и пластическая
деформация. Виды деформаций твёрдых тел
(растяжение, сжатие, сдвиг, кручение,
изгиб). Закон Гука.
Механическое
напряжение. Модуль Юнга. Диаграмма
деформации.
Коэффициент
Пуассона.
Тензоры напряжения и деформации.
1. Виды деформаций твёрдых тел
Деформация – это изменение взаимного положения частиц тела, связанное с
их перемещением относительно друг друга. Деформацией вызывает объема или
формы твердого тела без изменения его массы под действием внешних сил.
Деформация представляет собой результат изменения межатомных расстояний и
перегруппировки блоков атомов.
Деформации разделяют на обратимые (упругие) и необратимые
(пластические, ползучести).
Деформация называется упругой, если она исчезает после удаления
вызвавшей её нагрузки (то есть тело возвращается к первоначальным размерам и
форме).
В основе упругих деформаций лежат обратимые смещения атомов металлов
от положения равновесия (другими словами, атомы не выходят за пределы
межатомных связей).
Деформация называется пластической, если она не исчезает после удаления
вызвавшей её нагрузки (то есть тело не возвращается к первоначальным размерам
и форме).
В основе необратимых деформаций лежат необратимые перемещения атомов
на значительные расстояния от исходных положений равновесия (то есть выход за
рамки межатомных связей).
Способность
веществ
пластически
деформироваться
называется
пластичностью. При пластической деформации металла одновременно с
изменением формы меняется ряд свойств – в частности, при холодном
деформировании повышается прочность.
Природа пластической деформации может быть различной в зависимости от
температуры, продолжительности действия нагрузки или скорости деформации.
При неизменной нагрузке, приложенной к телу, деформация изменяется со
временем; это явление называется ползучестью. С возрастанием температуры
1
скорость ползучести увеличивается. Одной из теорий, объясняющих механизм
пластической деформации, является теория дислокаций в кристаллах.
Все реальные твёрдые тела при деформации в большей или меньшей мере
обладают пластическими свойствами. При некоторых условиях пластическими
свойствами тел можно пренебречь, как это и делается в теории упругости.
Твёрдое тело можно считать упругим, то есть не обнаруживающим заметных
пластических деформаций, пока нагрузка не превысит некоторого предела
(предел упругости).
Наиболее простые виды деформации тела:
– растяжение-сжатие,
– сдвиг;
– изгиб;
– кручение.
Деформация растяжения – вид деформации, при которой нагрузка
прикладывается продольно от тела, то есть соосно или параллельно точкам
крепления тела. Проще всего растяжение рассмотреть на буксировочном тросе
для автомобилей. Трос имеет две точки крепления к буксиру и буксируемому
объекту, по мере начала движения трос выпрямляется и начинает тянуть
буксируемый объект. В натянутом состоянии трос подвергается деформации
растяжения, если нагрузка меньше предельных значений, которые может он
выдержать, то после снятия нагрузки трос восстановит свою форму.
Рис. 1 Схема растяжения образца
Датчики деформации – класс измерительных приборов, предназначенных для определения
параметров механической деформации твёрдых тел. В простейшем случае один датчик
позволяет получить информацию об одном виде деформации на конкретном участке твёрдого
тела. Датчики могут быть использованы для контроля состояния несущих элементов
конструкций (кранов, прессов, клетей прокатного стана), степени загрузки силосов, растяжения
тросов и др. целей.
Деформация растяжения является одним из основных лабораторных
исследований физических свойств материалов. В ходе приложения
растягивающих напряжений определяются величины, при которых материал
способен:
– воспринимать нагрузки с дальнейшим восстановлением первоначального
состояния (упругая деформация);
– воспринимать нагрузки без восстановления первоначального состояния
(пластическая деформация);
– разрушаться на пределе прочности.
2
Данные испытания являются главными для всех тросов и веревок, которые
используются для строповки, крепления грузов, альпинизма. Растяжение имеет
значение также при строительстве сложных подвесных систем со свободными
рабочими элементами.
Деформация сжатия – вид деформации, аналогичный растяжению, с одним
отличием в способе приложения нагрузки, ее прикладывают соосно, но по
направлению к телу. Сдавливание объекта с двух сторон приводит к уменьшению
его длины и одновременному упрочнению, приложение больших нагрузок
образовывает в теле материала утолщения типа «бочка».
Рис. 2 Схема сжатия образца
В качестве примера можно привести тот же прибор что и в деформации
растяжения немного выше.
Деформация сжатия широко используется в металлургических процессах
ковки металла, в ходе процесса металл получает повышенную прочность и
заваривает дефекты структуры. Сжатие также важно при строительстве зданий,
все элементы конструкции фундамента, свай и стен испытывают давящие
нагрузки. Правильный расчет несущих конструкций здания позволяет сократить
расход материалов без потери прочности.
Деформация сдвига – вид деформации, при котором нагрузка
прикладывается параллельно основанию тела. В ходе деформации сдвига одна
плоскость тела смещается в пространстве относительно другой. На предельные
нагрузки сдвига испытываются все крепежные элементы — болты, шурупы,
гвозди. Простейший пример деформации сдвига – расшатанный стул, где за
основание можно принять пол, а за плоскость приложения нагрузки – сидение.
Рис. 3 Схема сдвига образца
Деформация изгиба — вид деформации, при котором нарушается
прямолинейность главной оси тела. Деформации изгиба испытывают все тела
подвешенные на одной или нескольких опорах. Каждый материал способен
3
воспринимать определенный уровень нагрузки, твердые тела в большинстве
случаев способны выдерживать не только свой вес, но и заданную нагрузку. В
зависимости от способа приложения нагрузки при изгибе различают чистый и
косой изгиб.
Рис. 4 Схема изгиба образца
Значение деформации изгиба важно для проектирования упругих тел, таких,
как мост с опорами, гимнастический брус, турник, ось автомобиля и другие.
Деформация кручения – вид деформации, при котором к телу приложен
крутящий момент, вызванный парой сил, действующих в перпендикулярной
плоскости оси тела. На кручение работают валы машин, шнеки буровых
установок и пружины.
Рис. 5 Схема кручения образца
Посмотрите прибор измеряющий деформацию кручения →
В большинстве практических случаев наблюдаемая деформация
представляет собой совмещение нескольких одновременных простых
деформаций.
За счет способностей к деформации все известные материалы обладают
набором полезных свойств – пластичностью, хрупкостью, упругостью,
прочностью и другими. Исследование этих свойств достаточно важная задача,
позволяющая выбрать или изготовить необходимый материал. Кроме того, само
по себе наличие деформации и его детектирование часто бывает необходимо для
задач приборостроения, для этого применяются специальные датчики,
называемые экстензометрами или по-другому тензометрами.
2. Закон Гука
Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком. Закон Гука
справедлив для упругих деформаций.
Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:
4
Fупр  k   ,
(1)
сила упругости, возникающая в теле при его упругой деформации, прямо
пропорциональна величине абсолютной деформации.
Здесь Fупр – сила упругости, возникающая в теле при деформации;  –
абсолютная деформация стержня; а k – коэффициент упругости (или жёсткости).
Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров
стержня. Можно выделить зависимость k от размеров стержня (площади
поперечного сечения и длины ) явно, записав коэффициент упругости как:
k
ES
. (2)
Величина
называется модулем упругости или модулем Юнга и является
механической характеристикой материала.
Введём относительное удлинение стержня, вызванное действием внешней
силы:


. (3)
Под действием внешней нагрузки расстояние между атомами увеличивается,
и равновесное расположение их в твердом теле нарушается. Это приводит к
нарушению равенства сил притяжения и отталкивания и возникновению
внутренних сил, стремящихся вернуть атомы в первоначальное положение.
Величину этих сил, отнесенную к единице площади поперечного сечения
кристалла, называют механическим напряжением:

F
,
S
(4)
где F – внешняя деформирующая сила. По третьему закону Ньютона F   Fупр .
Закон Гука для относительных величин запишется в следующем виде:
  E   , (5)
механическое напряжение  будут пропорционально относительной деформации
тела. В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.
Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых
деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между
напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон
Гука неприменим даже при малых деформациях.
Установим, какой физический смысл имеет модуль Юнга. Положим   1 ,
тогда   E . Следовательно, модуль упругости численно равен напряжению,
которое способно было бы вызвать растяжение образца на   , если бы при
этом закон Гука не нарушался и образец не разрушался. Ни один реальный
материал, кроме резины, не способен выдержать таких деформаций.
3. Диаграмма деформаций
Для характеристики зависимости между механическими напряжениями ,
которые возникают в твердом теле при приложении к нему внешней силы, и
5
деформациями  используют диаграммы деформаций. Рассмотрим такую
диаграмму в общем виде для одноосного растяжения цилиндрического образца.
Для малых относительных деформаций  имеет место линейная зависимость
    . Это означает, что на участке ОА деформация обратима, т. е. после снятия
нагрузки форма и размеры образца восстанавливаются. При этом нагрузка должна
прикладываться и сниматься достаточно быстро, иначе деформация становится
необратимой. Прямолинейный участок ОА соответствует упругой деформации
твердого тела. Для основной массы материалов относительная упругая
деформация не превышает долей процента.
Точка А на диаграмме отделяет ее линейную часть от нелинейной, а ее
ордината  У носит название предела упругости. За пределом области ОА
начинается пластическая деформация.
Рис. 6 Диаграмма деформаций
Значение  T соответствует пределу текучести и представляет собой
минимальное напряжение, при котором деформация продолжает возрастать без
увеличения нагрузки, т. е. такое напряжение, при котором после прекращения
действия внешней деформирующей силы наблюдается остаточная деформация.
Кривая ВС отвечает области пластической деформации. При низких
температурах величина остаточной деформации не зависит от времени
приложения нагрузки. Деформацию, не зависящую от времени приложения
нагрузки и сохраняющуюся после ее снятия, называют пластической
деформацией.
При достижении величины приложенного напряжения значения  П ,
соответствующего точке С диаграммы, наступает разрушение тела.
Закон Гука (5) называют элементарным, и справедлив он только для
изотропных твердых тел. Однако в общем случае деформация может возникать и
в направлениях, отличных от направления приложения силы. Например, при
одноосном растяжении происходит сжатие в перпендикулярном направлении
(рис. 7). Поперечная деформация при упругом растяжении или сжатии
характеризуется коэффициентом Пуассона . Он равен отношению изменения
6
размеров в поперечном направлении к изменению размеров в продольном
направлении. Для большинства твердых тел значение коэффициента Пуассона
находится в пределах 0, 25  0,35 .
Рис. 7. Изменение размеров при одноосном растяжении цилиндрического образца
В соответствии со сказанным и с обозначениями на рис. 2 рассчитать значение
коэффициента Пуассона можно по формуле

 r0  r1 
 l1  l0 
r0
dr r0

l0
dl l0
где r0 и l0 − соответственно радиус и длина цилиндрического образца до
деформации растяжения, а r1 и l1 − после.
4. Тензоры напряжений и деформаций
Реальные твердые тела часто анизотропны, поэтому их механические
свойства зависят от направления приложения силы. Такие свойства называются
тензорными. В этом случае закон Гука (5) уже недостаточен, и необходимо
применять обобщенный закон Гука, который устанавливает линейную
зависимость между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций.
Нашей задачей будет ввести понятия тензоров напряжений и деформаций и
записать обобщенный закон Гука.
Будем считать, что кристалл представляет собой однородную, непрерывную,
сплошную среду. Рассмотрим случай, когда все части тела находятся в состоянии
статического равновесия.
Компоненты тензора напряжений  ij вводят следующим образом.
Рассматривают бесконечно малый объём тела в виде прямоугольного
параллелепипеда, грани которого имеют площади dSi . На каждой грани dSi
параллелепипеда действуют поверхностные силы dFi . Разложим каждую такую
силу на одну нормальную к грани и две касательные составляющие.
7
Рис. 8 Напряжения, действующие на грани элементарного куба (точка 0 находится в
центре куба)
Примем обозначение  ij − напряжения, действующие в направлении оси i на
грань куба, перпендикулярную оси j.
Компонентами тензора напряжений называют отношение проекций силы к
величине площади грани, на которой действует эта сила:
dF
 ij  ij .
dSi
Тогда  ii (  11 ,  22 ,  33 ) − нормальные компоненты, а  ij − касательные или
сдвиговые (при i  j ).
Таким образом, компоненты тензора напряжений имеет вид:
 11  12  13
 ij   21  22  23 .
 31  32  33
Для случая всестороннего сжатия сдвиговые напряжения не возникают, и  ij
при i  j равны нулю. Если по нормали к граням действует одинаковая сила,
тензор напряжений приобретает вид:
 11
0
0
 ij  0  22
0 .
0
0
 33
Если возникает линейное напряжение вдоль какой-либо оси, от нуля будет
отличаться только компонента напряжения, направленная вдоль данной оси.
Касательные напряжения способствуют развитию пластической деформации,
а нормальные – разрыву межатомных связей, т. е. хрупкому разрушению твердых
тел.
8
Аналогично можно ввести тензор деформации:
11 12 13
 ij   21  22  23
 31  32  33
Диагональные компоненты  ij описывают удлинение или сжатие, остальные
шесть  ij компоненты деформации сдвига.
Одинаковой особенностью тензоров напряжений и деформаций является то,
что они зависят не только от самого тела, но и от воздействия на него. Так, тензор
напряжений характеризует силы, действующие на тело, а тензор деформаций –
реакцию тела на воздействие.
9