МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть II

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Е.А. Голубева
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Часть II
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано
объединённой учебно-методической комиссией филиалов и ФПРК
для студентов ННГУ, обучающихся по направлению
подготовки 080100 «Экономика»
Нижний Новгород
2013
УДК 517
ББК 22.16
Г-62
Г-62 Голубева Е.А. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть II: Учебнометодическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет,
2013. – 40 с.
Рецензент: к.т.н. В.А. Гришин
В учебно-методическом пособии в краткой форме излагается теоретический материал и даны примеры решения типовых задач по следующим разделам математического анализа: «Дифференциальные уравнения», «Ряды». Приведены вопросы для подготовки к экзамену и варианты контрольной работы.
Пособие предназначено для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки 080100 «Экономика». Оно поможет сориентироваться при
написании контрольной работы, подготовке к практическим занятиям, экзамену
или зачёту.
Ответственный за выпуск:
председатель объединённой учебно-методической комиссии
филиалов и ФПРК
к.т.н., доцент Д.Н. Шуваев
УДК 517
ББК 22.16
© Нижегородский государственный
университет им. Н.И. Лобачевского, 2013
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………....4
Тема 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ………………………......4
1. Дифференциальные уравнения первого порядка……..….……….......5
1.1. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными………...…...…………………..6
1.2. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка………………………..……………...……….…..8
1.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка…..10
1.4. Дифференциальные уравнения Бернулли…………….………..12
1.5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах…..14
2. Дифференциальные уравнения второго порядка……….…….…….16
2.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами….………...16
Тема 2. РЯДЫ……………………………………………...……………..….18
1. Понятие числового ряда…………..……………………....…………..18
1.1. Необходимое условие сходимости ряда……….………...……..19
1.2. Свойства сходящихся рядов….......…….………......…………...20
2. Ряды с неотрицательными членами…………...……………………..20
2.1. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.....20
3. Знакочередующиеся ряды………………..………………..………….23
4. Знакопеременные ряды…………...…..……………………………….24
5. Степенные ряды…………………….…………………..……………..26
5.1. Свойства степенных рядов…………………….………………...27
5.2. Разложение функций в степенные ряды….…………..………...28
5.3. Применение рядов в приближённых вычислениях……………30
Приложение 1. ВОПРОСЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА……………………..……..32
Приложение 2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ……………33
ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………….....39
3
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплины математического цикла служат фундаментальной базой экономического образования. Математический анализ является наиболее сложной
из этих дисциплин.
Настоящее пособие предназначено для помощи студентам, обучающимся
по направлению подготовки 080100 «Экономика» как очной, так и заочной
форм обучения. Оно является дополнением и продолжением учебнометодического пособия «Математический анализ. Часть I» того же автора.
В основу структуры пособия положен тематический принцип. Сюда вошёл материал, относящийся к таким темам математического анализа, как
«Дифференциальные уравнения» и «Ряды». Наряду с изложением основного
теоретического материала по вышеперечисленным темам, в пособии приведены
примеры решения типовых задач, вопросы для подготовки к экзамену и варианты контрольной работы.
4
Тема 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальными называются уравнения, содержащие неизвестную
функцию и её производные. Они занимают важное место в высшей математике
и имеют многочисленные приложения в разных науках.
1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, содержащее неизвестную функцию и её первую производную,
то есть уравнение вида
F ( x, y, y )  0 ,
(1)
где x – независимая переменная, y – искомая функция, y  – её производная.
Если уравнение (1) можно разрешить относительно y  , то оно принимает
вид
y   f ( x, y )
(2)
и называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешённым
относительно производной.
y ln x
Например, уравнения y  x  e y , y  
, y   x  y являются диффеx
ренциальными уравнениями первого порядка, разрешёнными относительно
производной.
Определение 2. Решением дифференциального уравнения называется
функция y   (x) , определённая на некотором интервале (a, b) , которая при
подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Например, функция y1  x 2 тождественно обращает в ноль левую часть
уравнения xy  2 x 2  0 и поэтому представляет собой решение этого уравнения. Аналогично, функции y2  x 2  1 , y3  x 2  200 и, вообще, любая функция
вида y  x 2  Ñ , где Ñ – любое действительное число, является решением
дифференциального уравнения xy  2 x 2  0 .
Определение 3. Общим решением дифференциального уравнения называется функция y    x, C  , удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной C . На плоскости Oxy общее решение представляет
собой семейство интегральных кривых.
Таким образом, функция y  x 2  Ñ – общее решение дифференциального уравнения xy  2 x 2  0 .
В теории дифференциальных уравнений основным является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него даёт теорема Коши.
5
Теорема Коши: Пусть дано дифференциальное уравнение (2), разрешённое относительно производной. Если функция f ( x, y) и её производная f ( x, y )
непрерывны в некоторой области D плоскости Oxy , то в окрестности любой
внутренней точки  x0 , y0  этой области существует единственное решение
уравнения (2), удовлетворяющее условию y  y0 при x  x0 .
Условия, которые задают значение функции y 0 в фиксированной точке
x0 , называют начальными условиями (условиями Коши) и записывают в форме:
y
 y0 .
x0
(3)
Задача нахождения решения дифференциального уравнения (2), удовлетворяющего условию (3), называется задачей Коши. Начальные условия (3) из
множества интегральных кривых выделяют ту, которая проходит через точку
x0 , y0  области D .
1.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение 4. Дифференциальное уравнение первого порядка вида
y   f1  x  f 2  y  ,
(4)
где f1  x  и f 2  y  – непрерывные функции, называется дифференциальным
уравнением с разделяющимися переменными.
Алгоритм решения уравнений вида (4) носит название «разделение переменных» и состоит в следующем:
1) Разделить переменные, то есть добиться, чтобы в левой части уравнения стояла только переменная y , в правой – только переменная x (в данном
случае делением на f 2  y  ):
y
 f1 x  , f 2  y   0 .
f2 y
2) Если необходимо, перейти от производных к дифференциалам, учитывая, что dy  y dx :
dy
 f1  x dx .
f2 y
3) Вычислить интегралы от левой и правой частей:
dy
 f  y    f1 x dx  C .
2
4) Подстановкой в исходное уравнение проверить, являются ли решениями нули функций, на которые делили в пункте 1 (в данном случае нули функции f 2  y  ).
Примеры. 1) Найдём общие решения дифференциальных уравнений:
а) 3 y   x  1  0 .
Перепишем уравнение в виде 3dy   x  1dx .
6
x2
Интегрируя обе части, имеем 3 y 
 x  C1 , где C1 – произвольная по2
x 2 x C1
 
стоянная. Выражая искомую функцию y , получаем y 
, Ñ1  R ,
6 3 3
x2 x
  C , ÑR.
что эквивалентно уравнению y 
6 3
x2 x
  C , СR.
Ответ: y 
6 3
б) y   y  0 .
Разделим переменные, для чего перенесём y в правую часть, поделим
обе части полученного уравнения на y  0 и умножим их на dx . Получим
dy
 dx , y  0 .
y
Интегрируя обе части, имеем ln y  x  C , где C  R .
При потенцировании получаем y  e x  C  e x  eC  C1  e x , C1  0 , что эквивалентно уравнению y  Ce x , C  0 .
Проверим, является ли решением y  0 . Подстановка в исходное уравнение приводит к тождеству: 0  0 . Следовательно, y  0 – решение. Его можно
включить в общее решение, убрав ограничение C  0 .
Ответ: y  Ce x , C  R .
Семейство интегральных кривых представляет собой пучок возрастающих экспонент, проходящих через точку 0;1 .
в) xy   y  0 .
Разделим переменные, перенеся y в правую часть, поделив обе части полученного уравнения на xy  0 и умножив их на dx . Получим
dy dx
 , xy  0 .
y
x
Интегрируя обе части, имеем ln y  ln x  С , где C  R . При потенцироln y
ln x  C
e
вании получаем e
или y  x  e C , y  C1  x , C1  0 , что эквивалентно уравнению y  Cx , C  0 .
Проверим, являются ли решениями x  0 и y  0 .
Подставляя x  0 в исходное уравнение, получаем 0  y  0 . Это не тождество, следовательно, x  0 – не решение.
y  0 является решением данного уравнения, так как обращает его в верное равенство. Его можно включить в общее решение, убрав ограничение
C  0.
Ответ: y  Cx , C  R .
7
Семейство интегральных кривых представляет пучок прямых, проходящих через начало координат.
2) Найдём частное решение уравнения y   x 
y2  1
, проходящее через
y
точку 0;1 .
Разделяя переменные, найдём общее решение:
x2
ydy
ydy
2
C.
 xdx , 
  xdx  C , 1  y 
2
2
2
1 y
1 y
Подставляя координаты точки 0;1 в общее решение, найдём C  2 . То2
 x2

 2  1.
гда частное решение имеет вид y   
 2



2
 x2

 2  1.
Ответ: y   
 2



1.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 5. Функция z  f ( x, y) называется однородной функцией
порядка m , если для любого числа   0 выполняется равенство
f (  x ,  y )  m f ( x , y ) .
Например, z  x 2  y 2 – однородная функция второго порядка, так как


zx, y   x 2  y 2  2 x 2  y 2  2 zx, y  ; z  xy – однородная функция
x y
первого порядка; z 
– однородная функция нулевого порядка.
x y
Определение 6. Дифференциальное уравнение вида
P( x, y)dx  Q( x, y)dy  0 ,
где P( x, y) , Q( x, y) – однородные функции одного порядка, называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Это уравнение можно привести к виду
y   f ( x, y ) ,
где f ( x, y) – однородная функция нулевого порядка.
С помощью замены y  ux , где u – новая неизвестная функция,
y   u x  u или dy  xdu  udx, однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
8
Примеры. Найдём общие решения дифференциальных уравнений.
1) xdy   y  x dx .
Это уравнение является однородным, так как функции P( x, y)  y  x ,
Q( x, y)   x обе являются однородными функциями первого порядка. Сделаем
замену y  ux , dy  xdu  udx, имеем
xxdu  udx  ux  x dx
или
x 2 du  uxdx  uxdx  xdx ,
x 2 du   xdx .
Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Поделим обе его части на x 2  0 , получим
1
du   dx , x  0 .
x
Интегрируя левую и правую части, имеем
u   ln x  C1
или
Ñ
u  ln , где C  eC1 , C  0 .
x
C
y
Сделав обратную замену u  , получим y  x ln , C  0 .
x
x
Проверим, является ли x  0 решением. Подстановка в исходное уравнение приводит к тождеству 0  0 , значит, x  0 – это решение.
C

y  x ln , C  0,

Ответ:
x

 x  0.
x y
2) y 
.
x y
x y
Так как f ( x) 
– однородная функция нулевого порядка, то данное
x y
уравнение также является однородным.
Сделаем замену y  ux , y   u x  u , получим
x  ux
.
u x  u 
x  ux
Сократив на x  0 , имеем
1 u
u x  u 
1 u
или
1 u
u x 
u,
1 u
9
1  u  u  u2
u x 
,
1 u
1  u2
u x 
.
1 u
Последнее уравнение является дифференциальным уравнением с разде1 u
ляющимися переменными. Разделив обе части уравнения на x  0 ,
0 и
2
1 u
умножив на dx , получим
1 u
dx
du  .
2
x
1 u
Интегрируя левую и правую части, имеем
1
u
dx
,

)
du

(

2
2
x
1 u 1 u
1
arctgu  ln 1  u 2  ln x  C .
2
y
Сделав обратную замену u  , находим общее решение уравнения:
x
2
y 1   y  
arctg  ln 1     ln x  C , C  R .
x 2   x  
Проверим, являются ли решениями x  0 , 1  u  0 или y  x . Подставляя
x  0 и y  x в исходное уравнение, тождества не получаем, следовательно, это
не решения.
2
y 1   y  
Ответ: arctg  ln 1     ln x  C , C  R .
x 2   x  


1.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 7. Уравнение вида
y   p( x) y  q( x) ,
(5)
где p(x) и q(x) – непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Если q( x)  0 , то уравнение (5) называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка, в противном случае – линейным
неоднородным.
Общее решение уравнения (5) можно найти двумя способами:
I. По формуле
(6)
y( x)  e   p( x)dx C   q( x)e  p( x)dxdx .

10

Пример. Найдём общее решение уравнения y  y  e x .
В этом уравнении p( x)  1 , q( x)  e x – непрерывные функции, поэтому
последнее уравнение является линейным. Найдём решение уравнения по формуле (6):

 

y( x)  e  dx C   e x e   dxdx  e x C   e x e  x dx  e x C  x , где Ñ  R .
II. Методом вариации произвольной постоянной.
При решении линейных дифференциальных уравнений методом вариации произвольной постоянной сначала решают соответствующее однородное
уравнение. Чтобы найти общее решение исходного неоднородного уравнения,
в полученном решении произвольную постоянную считают функцией от x .
Примеры. 1) Решим уравнение y   y  e x вторым способом. Решением
соответствующего однородного уравнения y   y  0 является функция
y  Ce x (см. пример б) на стр. 7).
Общее решение заданного неоднородного уравнения будем искать в том
же виде, только произвольную постоянную считаем уже функцией от x :
y  C ( x)e x .
Дифференцируя, имеем
y  C( x)e x  C ( x)e x .
Подставляя в исходное уравнение выражения для y и y  , получаем
Ñ ( x)e x  e x ,
C ( x)  1
или
dC( x)  dx ,
откуда
Следовательно,
y  e x x  C  .
общее
C ( x)  x  C .
решение заданного
уравнения
имеет
вид
Ответ: y  e x x  C  , C  R .
2) Найдём общее решение уравнения y   y  tgx  cos x .
Решаем соответствующее однородное уравнение:
y   y  tgx  0
y
 tgx , y  0 ,
y
dy
 tgxdx ,
y
dy
sin x
dx ,
 
y
cos x
ln y   ln cos x  C .
11
Потенцируя, получаем
C
, Ñ  0.
cos x
Заметим, что y  0 является решением однородного уравнения, его можно включить в общее решение, убрав ограничение Ñ  0 . Таким образом, решением однородного уравнения является функция
C
, ÑR.
y
cos x
Общее решение заданного неоднородного уравнения будем искать в том
же виде, только произвольную постоянную считаем уже функцией от x :
C ( x)
.
y
cos x
Дифференцируя, имеем
C ( x) cos x  C ( x) sin x
.
y 
cos2 x
Подставляя в исходное уравнение выражения для y и y  , получаем
C ( x) cos x  C ( x) sin x C ( x)

tgx  cos x ,
2
cos
x
cos x
C ( x)
 cos x ,
cos x
dC( x)  cos2 xdx ,
откуда
1  cos2 x
1
1
C ( x)  
dx  x  sin 2 x  C .
2
2
4
Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид
2 x  sin 2 x  C
.
y
4 cos x
2 x  sin 2 x  C
Ответ: y 
, ÑR.
4 cos x
y
1.4. Дифференциальные уравнения Бернулли
Определение 8. Уравнение вида
(7)
y   p ( x) y  q ( x) y n ,
где p(x) и q(x) – непрерывные функции, называется уравнением Бернулли.
Данное уравнение приводится к линейному подстановкой z  y1 n .
Можно также применять подстановку y  uv или метод вариации произвольной постоянной.
12
Пример. Решим уравнение y  2 xy  3x3 y 2 .
Данное уравнение является уравнением Бернулли, в котором p( x)  2 x ,
q( x)  3x 3 , n  2 . Разделим обе части уравнения на y 2  0 , получим
y  2 y  2 xy 1  3x 3 , y  0 .
Положим z  y 1 , тогда z    y 2 y . Умножая обе части последнего
уравнения на (-1) и выполняя указанную подстановку, имеем линейное дифференциальное уравнение первого порядка
z  2 xz  3x3 .
Решаем однородное уравнение
z   2 xz  0 .
Разделяя переменные
dz
 2 xdx , z  0
z
и интегрируя, находим
ln z   x 2  C1 .
После потенцирования получаем
2
z  Ce x , C  eC1  0
В найденное решение можно включить частное решение z  0 , имеем
2
z  Ce x , C  R .
Общее решение уравнения z  2 xz  3x3 будем искать в виде
2
z  C ( x)e  x .
Дифференцируя, имеем
z   C x e  x  2 xC ( x)e  x .
Подставляя в данное уравнение выражение для z и z  , получаем
2
2
2
2
2
C ( x)e  x  2 xC ( x)e  2 x  2 xC ( x)e  x  3x 3 ,
2
C ( x)  3x 3e x ,
2
2
3
3 2
C ( x)  3 x 3e x dx    x 2e x d x 2  e x 1  x 2  Ñ .
2
2
Таким образом, общее решение линейного уравнения имеет вид
2
3
z  Ce x  1  x 2 .
2
Выполняя обратную замену, получаем, что общим решением исходного
уравнения является функция
2
y
.
 x2
2
2Ce
 3 1 x
Заметим, что у  0 также является решением уравнения.
 
13






2

y

,

2

x
2
Ответ: 
2Ce
 31 x
 y  0.



1.5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Определение 9. Уравнение вида
(8)
P( x, y)dx  Q( x, y)dy  0 ,
где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции
F ( x, y ) в области G , называется дифференциальным уравнением в полных
дифференциалах.
Критерием того, что уравнение (8) есть дифференциальное уравнение в
полных дифференциалах является выполнение равенства
P( x, y) Q( x, y)
.

y
x
Действительно, так как левая часть представляет собой полный дифференциал
некоторой функции F ( x, y ) , то есть dF ( x, y)  Fx dx  Fy dy , где Fx  P( x, y ) ,
P( x, y)
P( x, y)
 ,
 , а для непрерывной функции
 Fxy
 Fyx
y
y
смешанные частные производные второго порядка равны между собой.
Решение дифференциального уравнения (8) сводится к отысканию
функции F ( x, y ) и общее решение имеет вид F ( x, y)  C .
Примеры. Найдём общие решения следующих дифференциальных уравнений:
1) x  y  1dx  ( x  y 2  3)dy  0 .
Fy  Qx, y  , то
P( x, y)  x  y  1 ,
В
этом
уравнении
Q( x, y)  x  y 2  3 ,
P( x, y)
Q( x, y)
. Следовательно, исходное уравнение является уравнени1
y
x
ем в полных дифференциалах, и выражение x  y  1dx  ( x  y 2  3)dy представляет собой полный дифференциал некоторой функции F ( x, y ) , для которой
Fx  x  y  1, Fy  x  y 2  3 , то есть
dF  x  y  1dx  ( x  y 2  3)dy .
Интегрируя левую и правую части по x , получим
x2
F ( x, y )   ( x  y  1)dx  C ( y ) 
 xy  x  C ( y ) .
2
Чтобы найти C ( y) используем тот факт, что Fy  x  y 2  3 . Имеем
14
(9)
x2
 (  xy  x  C ( y ))
2
 x  y2  3,
y
x  C ( y)  x  y 2  3 ,
dC( y)   y 2  3 ,
y3
C ( y)  
 3 y  C1 .
3
Подставляя найденное C ( y) в (9), получаем
x2
y3
F ( x, y ) 
 xy  x 
 3 y  C1 .
2
3
Общее решение исходного уравнения принимает вид
x2
y3
 xy  x 
 3 y  C1  C 2 .
2
3
Полагая 6(C2  C1 )  C , получаем окончательное решение исходного уравнения:
3x 2  6 xy  6 x  2 y 3  18 y  C .
Ответ: 3x 2  6 xy  6 x  2 y 3  18 y  C .
2) 2 x cos2 ydx  (2 y  x 2 sin 2 y)dy  0 .
В
этом
уравнении
P( x, y)  2 x cos2 y ,
Q( x, y)  2 y  x 2 sin 2 y ,
P( x, y)
Q( x, y)
. Следовательно, исходное уравнение – диф 4 x cos y sin y 
y
x
ференциальное уравнение в полных дифференциалах, и выражение
2 x cos2 ydx  (2 y  x 2 sin 2 y)dy является полным дифференциалом некоторой
функции
F ( x, y ) ,
Fx  2 x cos2 y ,
Fy  2 y  x 2 sin 2 y ,
то
есть
dF  2 x cos2 ydx  (2 y  x 2 sin 2 y)dy .
Интегрируя левую и правую части последнего равенства по x , получим
F ( x, y )   P( x, y )dx  C ( y )   2 x cos 2 ydx  C ( y )  x 2 cos 2 y  C ( y ) . (10)
Чтобы найти C ( y) используем тот факт, что Fy  2 y  x 2 sin 2 y . Имеем
 ( x 2 cos2 y  C ( y ))
 2 y  x 2 sin 2 y ,
y
 2 x 2 cos y sin y  C ( y)  2 y  x 2 sin 2 y ,
 x 2 sin 2 y  C ( y)  2 y  x 2 sin 2 y ,
dC( y )  2 y ,
C ( y)  y 2  C1 .
Подставляя найденное C ( y) в (10), получаем
15
F ( x, y)  x 2 cos2 y  y 2  C1 .
Общее решение исходного уравнения принимает вид
x 2 cos2 y  y 2  C1  C2 .
Полагая C2  C1  C , получаем окончательное решение исходного уравнения:
x 2 cos2 y  y 2  C .
Ответ: x 2 cos2 y  y 2  C .
2. Дифференциальные уравнения второго порядка
Определение 10. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее неизвестную функцию и её вторую производную, то есть уравнение вида
F ( x, y, y , ó)  0 ,
где x – независимая переменная, y – искомая функция, y  – её первая производная, y  – вторая производная функции y .
2.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение 11. Линейным однородным дифференциальным уравнением
второго порядка с постоянными коэффициентами называется дифференциальное уравнение, имеющее вид
y   py   qy  0 ,
(11)
где y – искомая функция, а p и q – числа.
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с
постоянными коэффициентами может иметь множество решений. Однако среди
них выделяют два базисных решения, по которым строится общее решение
уравнения.
Будем искать решение уравнения (11) в виде
y  e kx ,
где k – некоторое число. Подставляя эту функцию в само уравнение (11), получаем
k 2e kx  pkekx  qekx  0 .
Деля обе части уравнения на e kx , имеем квадратное уравнение относительно k :
(12)
k 2  pk  q  0 .
16
Уравнение (12) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (11). Обозначим корни характеристического уравнения (12) через k1 , k 2 .
Справедлива следующая теорема:
Теорема. 1) Если корни характеристического уравнения вещественные и
различны: k1  k 2 , k1 , k 2  R , то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (11) имеет вид
y  C1e k1 x  C2e k 2 x , Ñ1 , Ñ2  R .
2) В случае, когда корни характеристического уравнения вещественные и
равные: k1  k 2  k  R , общим решением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (11) является функция
y  C1e kx  C2 xe kx  e kx C1  C2 x  , Ñ1 , Ñ2  R .
3) Если корни характеристического уравнения комплексно сопряженные:
k1     i , k 2    i , k1 , k 2  C , то общее решение линейного однородного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (11) имеет
вид
y  ex C1 cos x  C2 sin x  , Ñ1 , Ñ2  R .
Примеры. Решим следующие дифференциальные уравнения:
1) y   5 y   4 y  0 .
Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным
уравнением с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое
уравнение: k 2  5k  4  0 . Его корни вещественны и различны: k1  1 , k 2  4 .
Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид
y  C1e x  C2e 4 x , Ñ1 , Ñ2  R .
Ответ: y  C1e x  C2e 4 x , Ñ1 , Ñ2  R .
2) y   6 y   9 y  0 .
Это линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами. Корни характеристического уравнения k 2  6k  9  0 вещественны и совпадают: k1  k 2  3  k . Поэтому общее решение исходного уравнения таково y  e3x C1  xC2  .
Ответ: y  e3x C1  xC2  , Ñ1 , Ñ2  R .
3) y   4 y   8 y  0 .
Корни характеристического уравнения k 2  4k  8  0 заданного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами комплексно сопряжены: k1  2  2i , k 2  2  2i . Следовательно, общее решение имеет вид y  e 2 x C1 cos2 x  C2 sin 2 x  .
Ответ: y  e 2 x C1 cos2 x  C2 sin 2 x  , Ñ1 , Ñ2  R .
17
Тема 2. РЯДЫ
1. Понятие числового ряда
Определение 12. Пусть дана числовая последовательность
 a1 , a2 , a3 , ..., an , ...  тогда выражение вида
a1  a2  ...  an  ... 
an  

 an
(13)
n 1
называется числовым рядом или просто рядом.
Числа a1 , a2 , ..., an , ... называются членами ряда, первым, вторым и так
далее, a n – общим или n -ым членом ряда.
Суммы конечного числа членов ряда
S1  a1 ,
S 2  a1  a2 ,
S 3  a1  a2  a3 ,
……………………
S n  a1  a2  a3  ...  an
носят название частичных сумм ряда (13).
Числовой ряд (13) называется сходящимся, если предел его частичных
сумм lim S n конечен, то есть lim S n  S , S  R . Число S называется сумn
мой ряда (13):
n  

 an  S .
n 1
Если последовательность частичных сумм S n  не
имеет конечного предела, то ряд (13) называется расходящимся.

1
Пример. Покажем, что ряд 
сходится.
n 1nn  1
Составим частичную сумму S n первых n членов ряда:
1
1
1
1
.
Sn 


 ... 
1 2 2  3 3  4
nn  1
Чтобы упростить выражение для S n , разложим a n на элементарные дроби. Имеем
1
A
B
,
 
nn  1 n n  1
1
An  1  Bn
.

nn  1
nn  1
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n в числителях дробей,
получаем
A  B  0 , A  1;
B  1, A  1,
18
поэтому
1
1
1
.
 
nn  1 n n  1
Следовательно,
1 
1
 1  1 1 1 1
1
.
S n  1            ...   
 1
n 1
 2  2 3  3 4
 n n  1
Переходя к пределу, находим
1 

lim S n  lim 1 
  1.
n  1
n  
n  
Таким образом, ряд сходится и его сумма равна 1.
Важное место в теории рядов имеет теорема, отражающая необходимое
условие сходимости ряда.
1.2. Необходимое условие сходимости ряда
Если ряд
lim an  0 .

 an
сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть
n 1
n  
Ряд из предыдущего примера сходится, и его общий член действительно
стремится к нулю. Условие lim an  0 является необходимым, но не достаn  
точным для сходимости ряда.
Пример. Докажем, что ряд
 1
1 1
1
1    ...   ...   ,
2 3
n
n 1n
который называется гармоническим рядом, расходится.
1
lim a n  lim
 0 , то есть для гармонического ряда необходимое
n  
n   n
условие сходимости выполнено. Докажем, что это ряд расходится методом от
противного. Действительно, если бы этот ряд сходился, то обозначая его сумму
через S , мы бы имели
lim S 2n  S n   S  S  0.
n  
Но
S 2n  S n 
1
1
1
1
1
1
1 1

 ... 


 ... 
n
 ,
n 1 n  2
2 n 2 n 2n
2n
2n 2
1
S 2n  S n  . Отсюда следует, что равенство
2
то есть гармонический ряд расходится.
19
то
есть
lim S 2n  S n   0 невозможно,
n  
Но, если для некоторого ряда его общий член не стремится к нулю, то
необходимый признак сходимости ряда позволяет сразу сказать, что такой
ряд расходится.
1.2. Свойства сходящихся рядов
1) На сходимость ряда не влияет отбрасывание, добавление или изменение конечного числа его членов.
2) Пусть даны два сходящихся ряда


n 1
n 1


n 1
n 1
 an  S a и
 bn  Sb ,
тогда ряд
 an  bn  сходится и  an  bn   S a  S b .
3) Пусть дан сходящийся ряд

 an  S a
и постоянная C , тогда ряд
n 1


n 1
n 1
 Can  сходится и  Can   CS a .
2. Ряды с неотрицательными членами
Рядом с неотрицательными членами называется ряд

 a n , где an  0 .
n 1
Для исследования на сходимость таких рядов используют признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
2.1. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами
1) Признаки сравнения.
Пусть даны два ряда с неотрицательными членами


n 1
n 1
 an и
 bn ,
где
a n  0 , bn  0 , тогда справедливы следующие признаки сравнения:
I. если выполняется неравенство a n  bn при всех n , то из сходимости
большего ряда


n 1
n 1
 bn следует сходимость меньшего ряда
мости меньшего ряда
 a n , а из расходи-


n 1
n 1
 a n следует расходимость большего ряда
20
 bn .
Пример. Исследуем на сходимость ряд


n 1
1
. Для всех n выполняется
n
1 1
 . Следовательно, из расходимости гармонического ряда
n n
следует расходимость исходного ряда.
Аналогично можно показать, что любой ряд вида
 1
(14)
 
n
n 1
при   1 расходится. Ряд (14) называется обобщённым гармоническим рядом.
неравенство
II. Если существует предел отношения общих членов рядов

 an
n 1
и

 bn
n 1


an
), не равный нулю и конечный, то ряды  a n и  bn ведут себя одиn  bn
n 1
n 1
наково в смысле сходимости, то есть сходятся или расходятся одновременно.
 1
Пример. Исследуем на сходимость ряд  2 .
n 1n
( lim
Сравним его с рядом

1
 nn  1 ,
который сходится (см. пример на
n 1
стр. 18).
Предел
отношения
общих
членов
этих
рядов
равен
n(n  1)
n 1
lim

lim
 1. Следовательно, исходный ряд, так же как и ряд
n   n 2
n   n

1
 nn  1 , сходится.
n 1
a
b
III. Если выполняется неравенство n 1  n 1 при всех n , то из сходиan
bn
мости ряда

 bn
следует сходимость ряда
n 1

 an ,
а из расходимости ряда
n 1


n 1
n 1
 a n следует расходимость ряда
 bn .
2) Признак Коши.
Пусть для ряда

 a n , где an  0
n 1

а) если q  1 , ряд
б) если q  1 , ряд
существует предел lim
n  
 an
сходится,
 an
расходится,
n 1

n 1
21
n
an  q , тогда
в) если q  1 , теорема не даёт ответа на вопрос о сходимости, и нужно использовать другие признаки.
  3n
Пример. Исследуем сходимость ряда  n .
n 1n
3n
3
 0  1 . Ряд сходится.
n   n n
n   n
Очевидно, что признак Коши целесообразно применять в случае, когда общий член ряда является n -ой степенью некоторого выражения.
3) Признак Даламбера.
lim
n
 lim
Пусть для ряда

 a n , где an  0 , существует предел отношения n  1 -го
n 1
an 1
 q , тогда
n   an
члена к n -ому, то есть lim

а) если q  1 , ряд
 an
сходится,
 an
расходится,
n 1

б) если q  1 , ряд
n 1
в) если q  1 , теорема не даёт ответа на вопрос о сходимости, и нужно использовать другие признаки.
 n2
Пример. Исследуем сходимость ряда 
.
n
2
n 1
Для
заданного
ряда
an 
n2
2n
,
an 1

n  12

,
2 n 1
n  12 2 n

1
n  12 1
 lim
 lim
  1 и ряд сходится.
2 n   n 2
2
n   n 2 2 n 1
4) Интегральный признак Коши.
Пусть
члены

ряда
 an
положительны
и
an 1

n   an
убывают,
lim
то
есть
n 1
a1  a2  ...  an  0 и f (x) – непрерывная положительная убывающая функция,
определённая при x  0 , такая, что f (1)  a1 , …, f (n)  an , тогда несобствен
ный интеграл
 f ( x)dx
1
и ряд

 an
ведут себя одинаково в смысле сходимо-
n 1
сти, то есть сходятся или расходятся одновременно.
Пример. Исследуем сходимость обобщённого гармонического ряда
 1
  при   1 .
n 1n
22
1
Функция f ( x)   удовлетворяет условиям интегрального признака
x
Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

b
1
1
x1 b
1
lim   dx  lim
 b1  1 
1  lim
  dx  b 
 x
b   1  
b   1  
1 x
1

1
b   1  
 lim
 1

   1  1 .
b

При   1 последний предел равен числу
гармонический ряд


1
1
x



1

n 1n
1
. Следовательно, обобщённый
 1
при   1 так же, как и несобственный интеграл
dx , сходится.
Интегральный признак Коши целесообразно использовать в случае,
когда общий член ряда интегрируем.
3. Знакочередующиеся ряды
Определение 13. Ряд называется знакочередующимся, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов, причём они в
ряде чередуются:
a1  a2  a3  a4  ...   1n 1 an  ... 

  1n 1 an ,
n 1
an  0.
(15)

1 1 1
1
   ...    1n 1 – знакочередующийся ряд.
2 3 4
n
n 1
Справедлива следующая теорема:
Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Пусть для знакочередующегося ряда (15) выполнены условия:
1) последовательность из модулей членов ряда монотонно убывает:
a1  a2  ...  an  ...  0 ;
2) предел модуля общего члена равен нулю: lim an  0 ,
Например, 1 
n  
тогда ряд (14) сходится.
Пример.
Исследуем
сходимость
знакочередующегося
ряда

1 1 1
1
1     ...    1n 1 . Для этого ряда выполнены оба условия призна2 3 4
n
n 1
ка Лейбница:
23
1  1 

1) последовательность из модулей членов ряда:   1n 1     моноn  n 

1
1
тонно убывает: 1   ...   ...  0 .
2
n
1
2) lim
 0.
n   n

1 1 1
1
Следовательно, ряд 1     ...    1n 1 сходится.
2 3 4
n
n 1
4. Знакопеременные ряды
Определение 14. Ряд называется знакопеременным, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов, причём их расположение в ряде произвольно:
b1  b2  b3  ...  bn  ... 

 bn ,
n 1
bn  R.
(16)
Числа b1 , b2 , …, bn , … могут быть как положительными, так и отрицательными.
Заметим, что знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного.
Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов ряда (16):

 bn
n 1
 b1  b2  ...  bn  ...
(17)
Так как ряд (17) является рядом с положительными членами, то для исследования вопроса о его сходимости можно применять рассмотренные ранее
признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: признаки сравнения,
Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.
Справедлива следующая теорема:
Теорема. Если ряд (17), составленный из модулей членов ряда (16), сходится, то и ряд (16) сходится. В этом случае знакопеременный ряд (16) называется абсолютно сходящимся.
Определение 15. Знакопеременный ряд (16) называется условно сходящимся, если ряд (17), составленный из модулей членов ряда расходится, а сам
исходный ряд (16) сходится.
1
1
1
1
1
1
Например, ряд 1  2  2  2  2  2  2  ... согласно последней
2
3
4
5
6
7
теореме абсолютно сходящийся, так как сходится ряд, составленный из моду 1
лей членов этого ряда: ряд  2 , как обобщённый гармонический ряд при
n 1n
24

1 1 1
1
  2  1 . Ряд 1     ...    1n 1 условно сходящийся, так как он,
2 3 4
n
n 1
согласно признаку Лейбница сходится (см. пример на стр. 23), а ряд
 1

n 1n
(гар-
монический ряд), составленный из модулей его членов, расходится.
Примеры. Исследуем на сходимость ряды.
   3n
а) 
.
n
n 14n  1
Составим ряд из модулей:
следний ряд сходится, так как

3n

n
n 14n  1
lim
n  
n
. Согласно признаку Коши, по-
3n
4n  1
n
3
 0  1 . Следоваn   4n  1
 lim
тельно, исходный ряд сходится абсолютно.
   1n n 2
б) 
.
3
n 1 n  2
Согласно второму признаку сравнения, ряд, составленный из модулей за 1
данного ряда, расходится так же, как гармонический ряд  , потому что
n 1n
n2
3
n3
n

2
lim
 lim 3
 1 . Однако, для исходного ряда выполнены оба
1
n  
n   n  2
n
условия признака Лейбница:
1) последовательность из модулей монотонно убывает;
n2
 0.
2) предел модуля общего члена равен нулю: lim 3
n   n  2
Следовательно, исходный ряд сходится условно.
   1n 8 n
в) 
.
n
!
n 1
Ряд из модулей
  8n
 n!
сходится по признаку Даламбера, так как
n 1
n 1
lim
n  
8
n  1!
8n
n!
 lim
n  
8
 0  1 . Поэтому исходный ряд абсолютно сходящийn 1
ся.
25
5. Степенные ряды
Определение 16. Степенным называется ряд вида
ñ0  ñ1 x  ñ2 x 2  ...  ñn x n  ... 

 ñn x n , где ñn  R .
(18)
n0
Числа c0 , c1 , …, cn , … носят название коэффициентов степенного ряда (18).
Придавая x различные числовые значения, будем получать числовые ряды, которые могут оказаться как сходящимися, так и расходящимися.
Определение 17. Множество тех значений x , при которых ряд (18) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.
Справедлива следующая теорема:
Теорема Абеля. Если степенной ряд

 ñn x n
сходится при некотором
n 1
значении x0  0 , то он абсолютно сходится при всяком значении x таком, что
x  x0 . Если ряд

 ñn x n
n 1
расходится при некотором значении x1  0 , то он
расходится при всяком значении x таком, что x  x1 (см. рис. 1).
расходится
сходится
 x1
 x0
расходится
x0
0
x1
x
Рис. 1. Промежутки сходимости и расходимости степенного ряда
Таким образом, существует такое число R (оно может быть равно 0 или
  ), что:
1) при x  R ( R  0 ) ряд (18) абсолютно сходится,
2) при x  R ( R   ) ряд (18) расходится.
Определение 18. Число R называется радиусом сходимости степенного
ряда (18), если при x  R ряд сходится, а при x  R расходится. Интервал
 R, R в этом случае носит название интервала сходимости ряда (18).
Если ряд (18) сходится на всей числовой прямой, то пишут R   , если
он сходится только при x  0 (а это будет всегда для степенного ряда вида (18)),
то пишут R  0 .
При x   R ряд (18) может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается отдельно для каждого степенного ряда.
Радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по одной из следующих формул:
ñn
1
, R  lim
,
R  lim
n   ñn 1
n   n ñn
если соответствующие пределы существуют.
26
Примеры. Исследуем сходимость рядов.
 xn
x 2 x3
xn
1) 
x

 ... 
 ...
n
2
3
n
n 1
Это степенной ряд. Все его коэффициенты, за исключением ñ0 отличны от ну1
ля. Найдём радиус и интервал сходимости данного ряда. Здесь ñn  ,
n
1
, поэтому удобно использовать вторую формулу для вычисления
ñn 1 
n 1
радиуса сходимости ряда:
ñn
n 1
 1
R  lim
 lim
 lim 1    1 .
n
n   ñn 1
n   n
n  
Следовательно, радиус сходимости R  1 и ряд сходится в интервале  1;1 .
Исследуем поведение ряда на концах интервала, то есть в точках x  1.
 1
При x  1 получаем гармонический ряд  , который расходится.
n 1n
При x  1 – ряд


 1n , который является знакочередующимся и схо-
n
дится в силу признака Лейбница.
Таким образом, заданный ряд сходится в любой точке полуинтервала
 1;1) и расходится вне него.
n 1

2)
 nxn .
n 1
Это степенной ряд. Все его коэффициенты, за исключением ñ0 отличны
от нуля. Найдём радиус и интервал сходимости данного ряда. Здесь ñn  n n .
Удобно использовать первую формулу для вычисления радиуса сходимости ряда:
1
1
R  lim
 lim
 0.
n   n n n
n   n
Следовательно, ряд сходится в единственной точке x  0 и расходится
при x  0 .
При x  0 из исходного получаем ряд

 n  0 n , сумма которого равна 0.
n 1
5.1. Свойства степенных рядов
1) Сумма степенного ряда есть непрерывная на отрезке  r, r  , где r  R ,
функция.
27
2) Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке
0, x, x  R , и почленно дифференцировать в интервале  R, R .
5.2. Разложение функций в степенные ряды
Если функция y  f (x) имеет производные любого порядка в окрестности точки x  a , то её можно разложить в степенной ряд

f (a)
x  a 2  f (a) x  a 3  ... 
f ( x)  f (a)  f (a)( x  a) 
2!
3!
,
  f ( n ) a 
f ( n) (a)
n
n
x  a   ...  
x  a  ,

n!
n!
n 0
который называется рядом Тейлора.
Положим a  0 , тогда получим частный случай ряда Тейлора, который
называют рядом Маклорена:
  f ( n) 0
f (0) 2 f (0) 3
f (n) (0) n

f ( x)  f (0)  f (0) x 
x 
x  ... 
x  ...  
xn.
2!
3!
n!
n!
n 0
Пример. Разложим в ряд Маклорена функцию f ( x)  e x .
Найдём
производные
функции
f ( x)  e x :
f ( x)  e x ,
f ( x)  e x ,
f ( x)  e x , …, f (n) ( x)  e x .
Вычислим значения функции и производных в точке x  0 : f (0)  1 ,
f (0)  1 , f (0)  1, …, f (n) (0)  1 .
Таким образом, f ( x)  1 
 xn
x x 2 x3
xn


 ... 
 ...   .
1! 2! 3!
n!
n  0 n!
an
n  1!  lim n  1   , то ряд сходится
 lim
n   a n 1
n   n!
n  
на всей числовой прямой.
При разложении функций в степенные ряды используются разложения в
ряд Маклорена следующих функций:
x x 2 x3
xn
x

 ... 
 ... ,    x   ,
1) e  1  
1! 2! 3!
n!
2n 1
x x3 x5
n x

 ...   1
 ...,    x   ,
2) sin x  
2n  1!
1! 3! 5!
Так как R  lim
2n
x2 x4
n x

 ...   1
 ... ,    x   ,
3) cos x  1 
2n !
2! 4!
n
x 2 x3
n 1 x

 ...   1
 ... ,  1  x  1,
4) ln(1  x)  x 
2
3
n
28
x
x2
x3
 m(m  1)( m  2)  ... 
5) (1  x)  1  m  m(m  1)
1!
2!
3!
n
x
 m(m  1)...(m  n  1)
 ... ,  1  x  1 – биномиальный ряд.
n!
Примеры. Разложим в ряд Маклорена следующие функции:
m
1) y 
1  e x
2
.
x2
Воспользуемся
разложением
   x   .
Заменяя x на  x 2 , получим
x x 2 x3
xn
e 1 

 ... 
 ... ,
1! 2! 3!
n!
x
 

 x2 x4  x6
 1n x 2n
e
1


 ... 
 ...,    x   ;
1!
2!
3!
n!

 x2 x4  x6
 1n x 2n
 x2
1 e



 ... 
 ...,    x   ;
1!
2!
3!
n!
 x2
1  e x
2

x2  x4
 1n x 2 n  2
 1 

 ... 
 ... ,    x   .
2!
3!
n!
x2
1 x
2) y  ln
.
1 x
n
x 2 x3
n 1 x

 ...   1
 ... ,
Воспользуемся разложением ln(1  x)  x 
2
3
n
 1  x  1.
Заменяя x на  x  , получим
ln(1  x)   x 
x 2 x3
xn

 ... 
 ... ,  1  x  1,
2
3
n
тогда

 

1 x
x 2 x3
x 2 x3
 ln(1  x)  ln 1  x    x 

 ...    x 

 ... 

 

1 x
2
3
2
3

 



x3 x5
x 2n 1

2 x

 ... 
 ...,  1  x  1.


3
5
2n  1


1
3) y 
– биномиальный ряд при m  1.
1 x
Получим разложение заданной функции с помощью разложения в ряд
Маклорена функции y  ln 1  x  :
ln
n
x 2 x3
n 1 x
ln(1  x)  x 

 ...   1
 ... ,  1  x  1.
2
3
n
29
Почленно дифференцируя данный ряд в интервале  1;1 , имеем

1
 1  x 1  1  x  x 2  x 3  ...   1n x n  ...    1n x n ,  1  x  1.
1 x
n 0
Действительно, при m  1 разложение биномиального ряда имеет такой
вид.
4) y  arcsin x .
Разложим в ряд Маклорена функцию y 
1
и почленным интегри-
1 x
рованием полученного ряда найдём разложение в ряд по степеням x для функции y  arcsin x .
Используя биномиальный ряд, напишем разложение для функции
1
:
y
2
1 x
1
1  x2
  
 1 
1
2 2
x
1
1 3 4
1  3  5  ...  2n  1 2n
 1  x2 
x  ... 
x ,
2
24
2  4  6  ...  2n
тогда
x
arcsin x  
0
1
1  x2
2
dx  x 
1 x3 1  3 x5
1  3  5...  2n  1 x 2n 1



 ... 
 ...
2 3 24 5
2  4  6...  2n 2n  1
4.3. Применение рядов в приближенных вычислениях
Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью
вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определённых
интегралов, которые являются «неберущимися» или слишком сложными для
вычислений. При приближенных вычислениях используется следующая теорема:
Следствие из теоремы Лейбница: погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего
условиям теоремы Лейбница, по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена.
Пример. Вычислим приближенно с точностью до 0,0001 значение выра1
жения
.
5 3
e
3
Выпишем соответствующий ряд при x   .
5

e
3
5
 1n 3n  .. 
3
32
33
34
35
36
 2
 3
 4
 5
 6 ...  n
5 5  2! 5  3! 5  4! 5  5! 5  6!
5  n!
 1  0,6  0,18  0,036  0,0054  0,000648  0,0000648  ...
1
30
Взяв первые шесть членов разложения на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда, мы допустим погрешность, не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), то есть
rn  0,0000648  0,0001 .
Итак, e

3
5
 1  0,6  0,18  0,036  0,0054  0,000648  0,548752  0,5488 .
31
Приложение 1. ВОПРОСЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА
1. Дифференциальные уравнения: общее решение, теорема Коши, частное
решение, начальные условия.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Пример.
3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Пример.
4. Уравнения Бернулли. Пример.
5. Однородные дифференциальные уравнения. Пример.
6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Примеры.
7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами. Пример.
8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Примеры.
9. Применение дифференциальных уравнений в экономике.
10. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда.
11. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: признаки
сравнения, признак Коши, признак Даламбера, интегральный признак Коши.
Примеры применения.
12. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница. Примеры.
13. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Примеры.
14. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.
15. Свойства степенных рядов.
16. Разложение функций в степенные ряды: ряды Тейлора и Маклорена.
Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.
17. Применение степенных рядов к приближённым вычислениям.
32
Приложение 2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Найдите решения дифференциальных уравнений первого порядка
(см. табл. 1).
2. Исследуйте сходимость ряда (см. табл. 2).
3. Исследуйте на сходимость знакочередующийся ряд. В случае сходимости укажите её тип (см. табл. 3).
4. Найдите промежуток сходимости степенного ряда (см. табл. 4).
Таблица 1
Уравнения
yy   x  0
1
Вариант
Вариант
Варианты задания 1
(найдите решения дифференциальных уравнений первого порядка)

x 5  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0

x 2 dy  y 2  xy dx
3y
y 
x
x
2
5
x  2 y dx  xdy  0
4
y y2
y   2
x x
y  10 x  y


ydx  2 xy  x dy  0
y   y  cos x

6
9
11
10
xdy  ydx  x 2  y 2 dx
y 2  x 2 y  xyy
x  x3 y   x2  1y  3x3
x
y  x y   e y 


3
3
y  xy  x y
xyy   1  x 2
x  y dx  xdy  0
8

yy   x  1
x  y dx   y  x dy  0
dy y
 x
dx x
xy  1  y 2
tgx sin 2 ydx  cos2 xctgydy  0
x  3 y dx  xdy  0
2y
y 
 x  13
x 1
yx  y   xy 2
y tgx  y
x  y dx   y  x dy  0
3
y   y  x 3e x
x
y   y ln y
y 1  x 2 y  1  y 2
7
x2  3y 2 dx  2xydy , y2  1
xy  2 y  2 x 4
1  y 2 dx  1  x2 dy
3
Уравнения
y  y  xy 3
12
 y  xy dx  x  xy dy  0
 y  x dx   y  x dy  0
xy  y  y 2 ln x
33
Таблица 1 (продолжение)
dy
dx
x  2y
y 
x
y x 1
y  
x
x
1  x  dy  2 y
dx
xdy   x  2 y dx
1  y2  x
y  xy  1  x 2 y
13


2 xydy  x 2  y 2 dx
t  1x  2 x  t  14 , x0  2
14
2 y  x  y , y (4)  1
x y
y  
x
y   y cos x  sin 2 x
15
16
t  1x  2 x  t  14 , x1  1
y   2 xy  2 x

18
dx
7
 2 t  4 , x1  2
dt
t
 y x
dy    dx
 x y
xy   y  ln x  1
19
23

20

 


y  x  x  3x  1 y  2 x x  x
3
2
3
x2  y 2 dx  2xydy  0 ,
y 1  4
y  5x  y
 y  xy dx  x  xy dy  0
22
y 
x 2  xy  4 y 2
x 2  2 xy
dy y
  2x
dx x
y   2 y ln x
24
x  y ydx  x 2dy  0
y 

x  y ydx  x 2dy  0
y 2   1
4
y  y  x y
x
y 5  ln y   xy   0
y  2 y ln x , y e   1
y
y   1
x
y
y  3  x
x
  1
y   (2 y  1)ctgx , y  
4 2
xdy  2 y  x dx  0
2y
y 
 x3
x
1  e x yy  e x , y 0   1
21
25

ydx  2 xy  x dy  0
y  x  y
17
5  e x yy  e x
x2  3y 2 dx  2xydy  0 ,

3 2
34
26
y
e4x

1 x 1 x
e x  2yy  e x
x2  y 2 dx  2xydy  0 , y1  1
y 
y
 e3x 2 x  1
2x  1
Таблица 1 (окончание)
 3xdx  2 xy 2 dx  3x 2 ydy
x y
y  
x
xy  y  e x  0
27
29
x
xdx  2 xy 2 dx  2 ydy  3x 2 ydy
x  y ydx  x 2dy  0
28
y   y  sin x
8x  xy 2  6  x 2 y  0
2

 y dx  2 xydy  0 , y 4   0
1
y   ytgx 
cos x
2


y  2 xy  1  x 2 y


xydy  x 2  y 2 dx
30
y  y sin x  y 2ecos x
Таблица 2
Варианты задания 2 (исследуйте сходимость ряда)
Вариант
Ряд
Вариант
Ряд

1
3
5
7

n


n 1 n  1 3

3

11
13
15
17

6
n
n 12
  3n

n 12
8
2
n 13n  5
 1
n
10
n
12
3
  2n
 n!
14
n 1
  2n  1 !


n 1

1
3
1
n 1n

16
n!
 n2

18
  sin 2

20
n
35
2n!
2n  3
n 1

2  en

n 1

n
2
n 1

2n 
n2

 
 sin  n 
4 

n!3 n

2n
n 13

n
n 1n
2
2
1
2



2
n 11  n 3 
 1  n2

n!
n 1n
2
n 2 n ln n

n 1

 2n !

n  1!
 2n!
n 1

4
  n3

19
n
5 ln n
n 2
n 1

9
2
  5n

1  n !
n 1
nn
Таблица 2 (окончание)


n

21
2
n 1 2 n
  sin 2 n

23
2

nn

25
n 13


27
n
29


26
n
2
2n
2
2n  1

n 1

1

30
n 2 n ln
3n  2
n 1
2n !
n 1 n
 1
28
4
2  n 
cos
 

 3
n 1n
n
cos2  
2
 nn  1n  2
n 1


 n!
2
n 1
24
1
n 1n
 n  en
22
2
n
Таблица 3
Варианты задания 3 (исследуйте на сходимость
знакочередующийся ряд, в случае сходимости укажите её тип)
Вариант
Ряд
Вариант
Ряд
 1n


1

n 1


5

7
n
 1n n5
n
1 
  1 1  2n 


n 1


 1n 1 n
n 1
2n  3

 1n 1

8
en

n 1
2n  1
  1n 1
n 1
10
2n  1
n 1
  sin n

n3
n 1
1 1 1
1
1
1  
 
 ...
3 9 27 81 243
  1
n 1
n 1

12
n2  1
n 1

n
n
2

n  3
  1
2

6
n5
n 1
13
4
n3
 1n
n 1

11
2
5
n 1 n
  cos n
3
9

  1
n 1
n 1
n6
n
n  12
2n

14
36
2
  1n 1 4
n 1
n
Таблица 3 (окончание)
 1n


15
17
16
n ln n
n2


  1
n 1
n 1
2n  1
  1n 1 nn  3
n 1

2n  1
nn  1

18
 1n 1

2
n 12n  1
   1n 1
 n
21

23
  1
n 1

25
27
29

20
3n  2

 1n 1

n 1
26
n
n 1 n  4
  1 n
 
n 1

n
 1n 1

2
n 1n  1
   1n
3 2
24
2
7
n  6n
n 1

 1n 1

 1n 1 n
n 1
22
n  12
n 1


5
n 1
7n
n 1

19
 1n 1
n 1
 1n 1


28
6
2n  3
n 1

ln n
  1 n
n 1
n

30
n
 1n n3
en
n 1
Таблица 4
Варианты задания 4 (найдите промежуток сходимости степенного ряда)
Вариант
Ряд
Вариант
Ряд

1

 n  5! x n
2
n 1

3
xn

n 1n  5!

5
9
11
xn

6
n 1
n 1n  4

7
4

 1n x n
n 1n  9
 xn
8
n 1
 xn

10

12
3
n 1 n
 xn
2

3
nx
n 1

xn
n 1n  5
 xn

n
n
n 12n  4
   1 n 1 x n

 
n 1
37
n
n
n 1n  2

n
n

2 n 1
n 1n

xn
n
Таблица 4 (окончание)
 xn

 3n
13
14
n 1
 xn


15
16
2
n
n 1n  4

xn

n 12n  1
17


20
n
n 1
21
18
 xn
19
22
2n
n 12n  1
xn

n 12n  1 n  1
24

25
27
10
26

nx n
2n x n

n 14n  3

n  12 n
   1n x n
 7n  11
 n  3n  x n
n 1
 1n 1 x n
 n
n 116 2n  1

n n
x
28
n 1
 n  1x n
n 1


29
n  5n

 xn
n 1

n 1

n 1


23

 1n 1 x n
n 1
xn

xn
 nn  1
n 1
xn

n 13n  2
30
38
 1n x n
3
n 1
n3  2
ЛИТЕРАТУРА
1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономического бакалавриата: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2012. – 472 с.
2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник /
В.И. Ермаков, Г.И. Бобрик, И.М. Гладких, Р.К. Гринцевичюс, В.И. Матвеев,
Б.М. Рудык, Р.В. Сагитов, В.Г. Шершнев; под общ. ред. В.И. Ермакова. – М.:
ИНФРА-М, 2010. – 656 с.
3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / В.И. Ермаков,
Г.И. Бобрик,
Р.К. Гринцевичюс,
В.И. Матвеев,
В.А. Петров, Б.М. Рудык, Р.В. Сагитов, О.К. Смагина, В.Г. Шершнев; под ред.
В.И. Ермакова. – 2-е изд., испр. – М.: ИНФРА-М, 2009. – 575 с.
4. Шипачёв В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2004. – 304 с.
39
Екатерина Александровна Голубева
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Часть II
Учебно-методическое пособие
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского».
603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.
40