Лекция № 15. Постоянный электрический ток

Лекция № 15. Постоянный электрический ток
1.Электрический ток. Необходимые условия существования тока. ЭДС
источника тока
2.Закон Ома для участка цепи. Дифференциальная форма закона Ома. Закон
Ома для неоднородного участка цепи
3. Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля - Ленца. КПД
источника тока
4. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа
1
Электрический ток. Необходимые условия существования тока.
ЭДС источника тока
Электрическим током называется любое упорядоченное движение
электрических зарядов. Если в проводнике создать электрическое поле, то в нем
свободные электрические заряды придут в движение – возникает ток, называемый
током проводимости. Если в пространстве перемещается заряженное тело, то ток
называется конвекционным. Носителями электричества в металлах являются
свободные электроны, в полупроводниках – электроны и “дырки” (подвижные
положительные вакансии), в жидкостях - положительные и отрицательные ионы
(из-за диссоциации), в газах – электроны и ионы. За направление тока
принимается направление движения положительно заряженных частиц.
Для возникновения и существования тока необходимо с одной стороны,
наличие свободных заряженных частиц, а с другой – наличие электрического поля
в проводнике. Количественной характеристикой служит величина I называемая
силой тока и определяемая зарядом, протекающим через поперечное сечение
проводника в единицу времени,
I
dq
,
dt
[I ] 
Кл
A
с
(15.1)
Сила тока величина скалярная, измеряется в амперах.
Вектор плотности тока j численно равен силе тока, протекающей через
единичную площадку, перпендикулярную к направлению движения зарядов
j
dI
.
dS
(15.2)
Зная локальный вектор плотности тока в каждой точке поверхности можно
найти силу тока через эту поверхность
I   j  dS .
(15.3)
S
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
1
Плотность тока определяется зарядом свободной частицы q 0 , концентрацией n
и скоростью их упорядоченного движения v .
j  q0  n  v .
(15.4)
Для того чтобы поддерживать ток достаточно длительное время нужно от тела
с меньшим потенциалом непрерывно отводить приносимые заряды, а к телу с
большим потенциалом непрерывно их подводить. Иными словами электрическая
цепь должна быть замкнутой. Но электростатическое поле не может перемещать
заряды по замкнутому пути  A  0  и поэтому наряду с электрическими силами на
перемещающиеся заряды должны действовать и силы не электростатического
происхождения, так называемые сторонние силы.
Эти силы могут быть обусловлены химическими процессами в аккумуляторах,
диффузией носителей тока в неоднородной среде или через границу двух
разнородных веществ, электрическими (но не электростатическими) полями,
порождаемыми меняющимися во времени магнитными полями. В генераторе работа
сторонних сил совершается за счет механической энергии, затрачиваемой на
вращение ротора.
Величину, равную работе сторонних сил по перемещению единичного
положительного заряда, называют электродвижущей силой источника (ЭДС)

А
ст
q
и
  Е
ст
 dl
(15.5)
Для неоднородного участка цепи 1 – 2 (рис.15.1) работа по перемещению
заряда между точками 1 и 2 будет определяться по формуле:
A12  q  1   2   q 

12
.
(15.6)
A12
называют напряжением между
q
двумя точками электрической цепи
Величину U12 
U 12  1   2  
2

12
.
Закон Ома для участка цепи. Дифференциальная форма закона Ома.
Закон Ома для неоднородного участка цепи
Г. Ом на опыте установил (1826), что сила тока в однородном проводнике
прямо пропорциональна приложенному напряжению и обратно пропорциональна
его сопротивлению
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
2
U
.
(15.7)
R
Величина R называется электрическим сопротивлением проводника и
зависит от его геометрических размеров, свойств материала, из которого он
изготовлен и температуры
I
   0 1    t  ,
R  ,
S
[  ]  Ом  м
(15.8)
где  – удельное электрическое сопротивление, S  площадь поперечного сечения
проводника, l  его длина,   температурный коэффициент сопротивления,
температура в 0С.
Закон Ома можно записать в дифференциальной форме (для локальных
характеристик j и E ) в виде

 E
j
j  E,
или

[ ] 
См
м
(15.9)
Носители заряда движутся в направлении вектора Е и поэтому направление
векторов j и E совпадают.
Закон Ома для неоднородного участка цепи (рис.15.1), т.е. участка на
котором действует ЭДС, записывается в виде
I
1   2    12
(15.10)
R
Из (15.10) следуют частные случаи:
1. Если

12
 0 , то I 
1  2 U
– закон Ома для однородного участка цепи.

R
R
2. Если цепь замкнута 1  2 , то I 
 12
R
– закон Ома для замкнутой цепи.
Сопротивления в электрических цепях могут соединяться последовательно или
параллельно. Поэтому суммарное значение сопротивления участка определяется
соответственно по формулам
n
Rпосл   Ri
i 1
3
и
1
Rпарал
n

i 1
1
Ri
(15.11)
Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля - Ленца.
КПД источника тока
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
3
При упорядоченном перемещении электрических зарядов электрическое поле
совершает работу dA  U  dq . Из (15.1) найдем, что dq  I  dt и тогда
dA  U  I  dt . После интегрирования можно получить выражение работы в виде
t
U2
A   U  I  dt  U  I  t  I  R  t 
t.
R
0
2
[ А]  Дж
(15.12)
Следовательно, для мощности электрического тока получается:
U2
P  UI  I R 
.
R
2
[ Р ]  Вт
(15.13)
При прохождении тока по проводнику он нагревается. Джоуль и Ленц
установили, что количество теплоты, выделяющееся в проводнике, может быть
найдено по формуле:
Q  I2  R  t .
(15.14)
Если сила тока изменяется во времени, то закон Джоуля – Ленца можно
записать в виде:
t
Q   I 2  t   R  dt .
(15.15)
0
Количество теплоты, отнесенное к единице объема и единице времени,
называется удельной тепловой мощностью тока
w
dQ
V  dt
или
w  j2   .
[ w] 
Вт
м3
(15.16)
Воспользовавшись соотношением (15.9) выражение (15.16) можно записать в
виде:
w  j  E    E2 .
(15.17)
Формулы (15.16) и (15.17) выражают закон Джоуля – Ленца в
дифференциальной форме.
Когда источник работает на внешнюю цепь, то ток протекает также и внутри
источника, и поэтому некоторая мощность тратится бесполезно, на выделение тепла
внутри источника. Эта мощность имеет значение тепла внутри источника, которую
можно представить в виде
Pi  rI 2 .
Тогда как полная мощность источника определяется выражением:
P  RI 2  rI 2 
  I.
Поэтому КПД источника равен отношению полезной мощности к полной:
  Pa P  U
.
(15.18)
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
4
4
Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа
Электрическая цепь называется разветвленной, если в различных элементах
этой цепи протекают разные токи. Основными элементами электрической цепи
являются: ветвь, узел, контур. Участок цепи, включающий несколько элементов, по
которым протекает один и тот же ток, называется ветвью. Место соединения трех и
более ветвей является узлом (смотри рис. 15.2). Любой замкнутый путь,
проходящий по нескольким ветвям, представляет собой контур (смотри рис. 15.3).
Рис. 15.2
Правила, которыми пользуются для составления систем алгебраических
уравнений, формулируются следующим образом:
Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле,
равна нулю:
n
I
k 1
k
0
(15.19)
где n - количество ветвей (токов), сходящихся в узле.
Оно выражает закон сохранения заряда. В случае постоянных токов заряд в
любом сечении проводника должен оставаться неизменным. Поэтому сколько
зарядов в единицу времени подходит к данному сечению, столько должно и
уноситься. При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток,
выходящий из узла, – отрицательным. Следовательно, в соответствии с рис. 15.2:
I 1  I 2  I 3  I 4  I 5  0.
Если число узлов в схеме N, то число независимых уравнений, записанных по
первому правилу, можно составить не более (N – 1).
Второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно
выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма
произведений сил токов I i на сопротивления Ri соответствующих участков этого
контура, равна алгебраической сумме ЭДС  , встречающихся в этом контуре:
i
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
5
 I R   i ,
n
i 1
m
i
i
(15.20)
i 1
где n – количество ветвей в замкнутом контуре, m – количество источников ЭДС в
контуре.
Второе правило выражает закон сохранения энергии для замкнутого контура.
Так как работа электростатических сил по замкнутому контуру равна нулю, то
второе правило означает, что работа сторонних сил равна суммарному количеству
тепла, выделившегося в нем.
При этом для составления системы линейных алгебраических уравнений к
заданной схеме цепей постоянного тока необходимо придерживаться следующих
правил:
1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи.
Действительное направление токов определяется при решении задачи:
если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано
правильно, отрицательным – его истинное направление противоположно
выбранному, хотя численное значение будет тем же.
2. Выбрать направление обхода контура и строго ему следовать. Произведение
IiRi для уравнения положительно, если ток на данном участке совпадает с
направлением обхода, и отрицательно при несовпадении в обходе. ЭДС,
действующие
по
выбранному
направлению
обхода,
считаются
положительными (при обходе от "минуса" к "плюсу') и отрицательными (при
обходе от "плюса" к "минусу").
3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых
величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и ЭДС
рассматриваемой цепи). Каждый рассматриваемый контур должен содержать
хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах.
4. Решив систему уравнений методами алгебры, определить неизвестные
величины.
Для уяснения правил рассмотрим пример расчета разветвленных цепей.
Пусть к реостату R подключены два элемента батарей. Определим силу тока в
реостате R в двух случаях (смотри рис. 15.3 и 15.4) соответственно.
Дано:
1 = 8В
2 = 4В
r1 = 1 Ом
r2 = 0,5 Oм
R = 50 Ом
IR=?
Рис. 15.3
Рис. 15.4
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
6
Определим узлы, контуры и произвольно укажем направления токов на
участках цепи рисунков. Примем правило обхода для обоих рисунков по часовой
стрелке. Сначала рассчитаем схему рис. 15.3.
I  I 2  I1  0.
Для узла А:
I1r1  IR  1 .
Для контура Ar1BRА:
 I 2 r2  IR   2 .
Для контура Ar2BRА:
Откуда, после алгебраических преобразований, получим для токов:
I2 
IR 
r2

2
I1 
;
I  I1  I 2 
Ir1r2 
2
1
1 2
 IR
;
r1
1
2 1
R
1
  IR  IR  
или
 r  IRr  IRr   r
 r  r 
I 
1 2

2 1
Rr1  Rr2  r1r2
r1
r2
2
;
I r1r2  Rr2  Rr1  
8  0.5  4  1
0.
5  1  5  0.5  1  0.5
 r  r
1 2
2 1
Теперь обратимся к схеме рис. 15.4.
I  I 2  I1  0.
Для узла А аналогично:
I1r1  IR  1.
Для контура Ar1BRА:
Для контура Ar2BRА:
 I 2r2  IR   2 .
Несложно получить следующие выражения для токов и провести для
сравнения соответствующий расчет:
I2 
IR 
r2

2
I  I1  I 2 
Ir1r2 
 r  IRr  IRr   r ,
 r  r
I 
1 2
2
R

 IR
;
r1
IR  2
1  IR
;

r1
r2
I1 
;

1

I r1r2  Rr2  Rr1  
8  0.5  4  1
8
1 2
2 1

  1 А.
Rr1  Rr2  r1r2 5  1  5  0.5  1  0.5 8
1
2 1
 r  r ,
1 2
2 1
Таким образом, в первом случае тока через реостат нет, а во втором случае
(при смене полярности подключения  ) ток равен одному амперу.
2
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
7