Лабораторная работа № 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЗАИМНОЙ

Лабораторная работа № 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ
КОНТУРОВ (КАТУШЕК)
ЦЕЛЬ
РАБОТЫ
Изучение явлений электромагнитной индукции, самоиндукции,
взаимной индукции; экспериментальная проверка закона электромагнитной индукции и измерение взаимной индуктивности двух катушек, расположенных в непосредственной близости друг от друга.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ
Электрические токи, как установил в 1820 г. известный датский
физик Х. Эрстед, возбуждают вокруг себя магнитное поле, которое
имеет направленный характер и должно определяться
векторной

величиной, названной магнитной индукцией B . Единицей магнитной индукции является тесла (Тл).
Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив
принцип суперпозиции (или наложения) полей: магнитное поле, порождаемое несколькими токами (или движущимися зарядами), равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым током
(зарядом) в отдельности, т.е.
 n 
В   Вi .
(1)
i 1
Магнитное поле, как и электрическое, можно изобразить графически с помощью силовых линий (линий индукции магнитного поля), направление которых определяется правилом правого винта
или буравчика.
Силовые линии магнитного поля замкнуты, они не имеют ни
начала, ни конца. Это свидетельствует о том, что в природе отсутствуют магнитные заряды, на которых начинались бы и заканчива31

лись линии вектора индукции В . Обобщением этих экспериментальных данных явилась теорема Гаусса для магнитного поля: поток вектора индукции магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю:
 
 ВdS =0,
или в дифференциальной форме

divВ =0.
(2)
(3)
Напомним, что в случае электрического поля теорема Гаусса
(для вектора напряженности) в интегральной и дифференциальной
формах имеет вид
  1 n
(4)
Е
 dS    qi ,
 0 i 1
 
divЕ 
,
0
(5)
где  – объемная плотность заряда.
Силовое поле, дивергенция которого в любой точке равна нулю,
называется вихревым или соленоидальным полем.
То, что магнитное поле является вихревым, подтверждается также теоремой о циркуляции вектора индукции магнитного поля (в
вакууме): циркуляция вектора индукции магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру равна произведению
магнитной постоянной  0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых данным контуром:
n
 
(6)
 Вdl  μ 0   I к .
k 1
Для оценки числа силовых линий (линий индукции магнитного
поля), проходящих через единицу поверхности, введено понятие
магнитного потока.

В случае однородного магнитного поля ( В =const) и плоской поверхности S магнитный поток или поток вектора магнитной индукции определяется величиной
32
Ф  В  S  cos   Вn  S ,
(7)


где B n =В  cos  – проекция вектора В на нормаль n к поверхности площади S
 
 – угол между векторами В и n (рис. 1).
Магнитный поток измеряется в веберах: 1 Вб=1Тл  1 м2.
Итак, электрический ток создает вокруг себя магнитное поле.
Возникли многочисленные поn
пытки обнаружить обратное
B
явление, заключающееся в воз
буждении тока в контуре с помощью магнитного поля. Это
явление было открыто в 1831 г.
английским физиком М. Фарадеем и получило название
электромагнитной индукции.
Рис. 1
Явление электромагнитной индукции заключается в том, что
при изменениях магнитного потока в контуре возникает электродвижущая сила индукции i или индукционный ток, если контур
замкнут.
Возникающая ЭДС индукции определяется следующей формулой:
i   dФ ,
(8)
dt
где знак минус соответствует закону (правилу) Ленца, который гласит, что индукционный ток в контуре направлен так, что создаваемый им магнитный поток стремится препятствовать тому изменению потока, которое вызывает данный ток.
Если контур состоит из N витков, то ЭДС индукции, возникающая в сложном контуре (катушке), определяется согласно (8) формулой
33
i   N dФ  
dt
d
,
dt
(9)
где   N  Ф – полный магнитный поток или потокоcцепление.
На основании (8) и (9) можно сделать вывод, что явление электромагнитной индукции наблюдается, когда магнитный поток
сквозь контур меняется либо за счет движения контура, либо за счет
изменения магнитного поля со временем. Причина возникновения
индукционного тока в неподвижном контуре (проводнике), находящемся в переменном магнитном поле, была объяснена Дж. Максвеллом. Он предположил, что переменное магнитное поле порождает в пространстве электрическое поле (независимо от наличия проводника), причем циркуляция вектора напряженности этого поля по
неподвижному замкнутому контуру определяется как
 

E
.
(10)
 dl  
t

Так как циркуляция вектора напряженности E поля, возбуждаемого переменным магнитным полем, отлична от нуля, то это означает, что это электрическое поле (как и магнитное) является вихревым.
Из вышесказанного следует, что трактовки явления электромагнитной индукции по Фарадею и Максвеллу имеют существенные
отличия. Если по Фарадею электромагнитная индукция заключается
в возникновении индукционного тока в проводящем замкнутом
контуре, то по Максвеллу – в возбуждении электрического поля (а
не тока).
Частным случаем электромагнитной индукции является самоиндукция, проявляющаяся в возникновении ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем же силы тока.
Ток, текущий в проводящем (сложном) контуре и создаваемый
им полный магнитный поток, пронизывающий контур, прямо пропорциональны друг другу (в случае отсутствия ферромагнетиков):
(11)
  L  I,
где L – индуктивность или коэффициент самоиндукции контура.
34
Единицей индуктивности служит генри (Гн). Это индуктивность
такого контура, в котором при силе тока в 1 А возникает (полный)
магнитный поток в 1 Вб:
1 Гн=1 Вб .
А.
Индуктивность контура зависит от его формы, размеров и от
магнитных свойств окружающей контур среды.
Применяя к явлению самоиндукции закон электромагнитной индукции (9), получим для ЭДС самоиндукции следующее выражение
S   d
dt

d (L  I )
dI
 L .
dt
dt
(12)
В (12) индуктивность контура L=const при условиях, что конфигурация контура не меняется, и ферромагнетики вблизи контура отсутствуют.
Знак минус показывает, что (в соответствии с правилом Ленца)
ЭДС самоиндукции направлена так, чтобы препятствовать изменению силы тока в контуре.
В данной лабораторной работе исследуется явление взаимной
индукции, в котором обнаруживается магнитная связь двух (или
более) контуров (катушек, соленоидов).
Пусть два неподвижных контура расположены в непосредственной близости друг от друга и в контуре 1 (рис. 2) течет ток I1. Этот
ток создает через контур 2 полный магнитный поток 2, равный
(при отсутствии ферромагнетиков):
 2  L21  I1 .
(13)
Аналогично, ток I2, протекающий в контуре 2, создает полный
магнитный поток  1 через контур 1:
 1  L12  I 2 .
(14)
35
В (13) и (14) коэффициенты пропорциональности L 21 и L12
называются коэффициентами взаимной индукции контуров 2 и 1
или взаимной индуктивностью контуров. Взаимная индуктивность
контуров зависит от размеров и формы контуров, расстояния между ними, от их
взаимного расположения и
от магнитной проницаемости окружающей среды
(магнитная проницаемость
вакуума и воздуха =1).
Рис. 2
При отсутствии ферромагнетиков выполняется теорема взаимности, согласно которой взаимные индуктивности L12 и L 21 одинаковы:
(15)
L12  L21 .
Взаимная индуктивность измеряется в тех же единицах, что и
индуктивность контура, т.е.
L  L12   L21   1 Гн.
Явление взаимной индукции заключается в том, что при изменении тока в одном из контуров, в другом контуре возникает ЭДС индукции.
Действительно, при изменении в контуре 1 тока I1 в контуре 2
индуцируется (согласно закону электромагнитной индукции) ЭДС
2  
d 2
dI
  L21 1 .
dt
dt
(16)
При изменениях в контуре 2 тока I2 в контуре 1 возникает ЭДС
1  
36
d 1
dI
  L12 2 .
dt
dt
(17)
Явление взаимной индукции лежит в основе действия трансформаторов, применяемых для преобразования переменных токов и
напряжений.
В данной лабораторной работе предложен следующий способ
опытного определения взаимной индуктивности двух контуров (катушек).
На длинную катушку-соленоид подается напряжение от генератора звуковой частоты, изменяющееся по закону
U=U0Гcos t,
(18)
где U0Г – амплитудное значение переменного напряжения, которое
можно регулировать в зависимости от поставленных задач
 – круговая частота переменного напряжения, т.е. частота
изменения магнитного поля соленоида, причем она связана с простой частотой  известным соотношением
 .
(19)
Соленоид подключается к звуковому генератору через резистор,
сопротивление которого должно быть значительно больше полного
сопротивления соленоида переменному току Z, т.е.
R>>Z,
(20)
Z= Rс2  ( Lс   ) 2 
RС – омическое сопротивление соленоида
LС – индуктивное сопротивление соленоида
LС – индуктивность (собственная)соленоида.
При выполнении условия (20) ток, проходящий через соленоид,
определяется как:
I=I0Ccos  t,
(21)
где
где I OC – амплитудное значение тока, равное
U
I0C= 0с .
R
(22)
37
Вследствие явления взаимной индукции в короткой катушке
возникает ЭДС, равная (согласно (16)):
dI c
  L21 I0C(-sin t).
dt
С другой стороны, возникающую ЭДС индукции в короткой катушке можно представить в общем виде
К   L21 
К=0Кsint.
Из последних двух выражений следует, что амплитудное (максимальное) значение ЭДС индукции равно
0К=L21I0C
или с учетом (22)
U ОГ
 .
(23)
R
Итак, взаимная индуктивность двух катушек (L12) может быть
вычислена с учетом (19) по формуле :
0К  L21 
L21 
 ОК  R
2  U ОГ
.
(24)
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
На рис. 3 представлена принципиальная (электрическая) схема
установки. Короткая (измерительная) катушка 2 (L2), надетая на
длинную катушку-соленоид 1 (L1), может перемещаться вдоль шкалы, укрепленной параллельно оси соленоида. Отметка «0» на шкале
соответствует середине длинной катушки-соленоида 1. Можно считать, что оси соленоида 1 и измерительной катушки 2 совпадают.
38
4
R
77
П
I
II
I
II
2
L2
L1
1
3
1
5
6
Рис. 3
При положении переключателя 7 (П) в позиции I соленоид 1
подключается через резистор 4 (R) к генератору звуковой частоты 3,
а короткая катушка 2 – к милливольтметру 5 и электронному осциллографу 6. ЭДС индукции, возникающей в короткой катушке 2
(вследствие взаимной индукции), регистрируется милливольтметром 5 и имеется возможность визуально наблюдать и фиксировать
переменную ЭДС индукции на экране осциллографа 6, подключенного параллельно милливольтметру 5. Для экспериментального
обоснования выполнения теоремы взаимности, т.е. справедливости
равенства L12=L21 (см. формулу 15), предусмотрено подключать короткую катушку 2 к генератору звуковой частоты 3, а соленоид 1 –
к милливольтметру 5 (т.е. указанные катушки поменять «местами»),
переводя переключатель 7 в позицию II. Все приборы лабораторной
установки (генератор звуковой частоты 3, милливольтметр 5 и осциллограф 6) питаются от стандартной сети переменного тока.
39
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Упражнение 1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ЗАКОНА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ (ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ЭДС ИНДУКЦИИ ОТ ЧАСТОТЫ ИЗМЕНЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ)
1. Включите лабораторный стенд, затем звуковой генератор,
включив тумблер «СЕТЬ», милливольтметр, нажав кнопку «СЕТЬ»
и электронный осциллограф, потянув на себя кнопку «ПИТАНИЕ».
2. Милливольтметр 5 должен быть подключен к выходу генератора звуковой частоты 3 (черный провод подключен к гнезду земля
«  »; белый провод – к другой клемме выхода генератора). Переключатель пределов измерения милливольтметра должен быть
установлен в позиции «10 В».
3. Генератор звуковой частоты должен быть настроен следующим образом: переключатель «множитель частоты» должен быть
установлен в положение «103»; переключатель нагрузки – в положение «50 Ω» . С помощью ручки «РЕГУЛИРОВКА ВЫХОДА»
установите напряжение выхода генератора (UОГ) по милливольтметру в диапазоне от 8 до 10 В, и величину UОГ занесите в табл. 1.
При выполнении всех упражнений величину напряжения UОГ можно не изменять.
4. Затем милливольтметр 5 подключите параллельно осциллографу, установив переключатель пределов измерения в позицию
«100 мB».
5. Переключатель (П) 7 (см. рис. 3) установите в положение I,
при котором длинная катушка-соленоид (L1) 1 подключена к звуковому генератору 3, а короткая катушка (L2) 2 – к милливольтметру 5
и осциллографу 6.
6. Установите короткую катушку против отметки «0» измерительной шкалы, т.е. на середине длинной катушки-соленоида (r1=0).
7. Изменяя частоту звукового генератора от 20 до 70 кГц, запишите в табл.1 через каждые 10 кГц показания милливольтметра, т.е.
значения ЭДС индукции ОК, возникающие в короткой катушке, од-
40
новременно наблюдая визуально на экране осциллографа изменения
амплитуды колебаний возникающей ЭДС индукции.
8. Переместите короткую катушку относительно соленоида влево до отметки r2=5 см и проделайте измерения, аналогичные п.6. Результаты измерений занесите в табл. 1.
9. По данным табл. 1 постройте графики зависимости ЭДС индукции от частоты изменения магнитного поля, равной частоте звукового генератора, т.е. ОК=ОК().
Таблица 1
UОГ =…….В;
№
 , кГц
п
п
1
.
.
.
.
.
r1=0
r2=5 см
0К, мВ
0К, мВ
20
70
Упражнение 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЕЕ ЗАВИСИМОСТИ ОТ РАСПОЛОЖЕНИЯ КАТУШЕК, ЧАСТОТЫ ИЗМЕНЕНИЯ И ВЕЛИЧИНЫ
МАГНИТНОГО ПОЛЯ
1. При выполнении данного упражнения электронный осциллограф можно выключить; звуковой генератор настройте по круглой
шкале на частоту =50 кГц с помощью рукоятки «». Выходное
напряжение генератора UОГ устанавливается с помощью ручки
«РЕГУЛИРОВКА ВЫХОДА», как в пп. 2, 3, 4 упражнения 1.
Значения частоты , выходного напряжения звукового генератора UОГ и добавочного сопротивления R занесите в табл. 2. Величина
R указана на стенде установки.
41
2. Переключатель (П) установите в положение I, при котором соленоид (L1) подключается к звуковому генератору, а короткая катушка (L2) – к милливольтметру.
Таблица 2
 =…..кГц; UОГ =…..В; R =…..кОм
№
п
п
1
2
.
.
.
r i , см
0К, мВ
L21, мкГн
0
0,5
.
.
.
3. Вновь установите короткую катушку против отметки «0» (r=0)
измерительной шкалы; запишите показания лампового вольтметра и
положение короткой катушки в табл. 2.
4. Передвигая короткую катушку влево с шагом 0,5 см, запишите
показания милливольтметра 0К в табл. 2 (0К – величина ЭДС индукции, возникающая в короткой катушке).
5. По данным табл. 2 и формуле (24) вычислите взаимную индуктивность L21 для каждого положения короткой катушки относительно длинной катушки-соленоида.
6. Переключатель 7 (П) (рис. 3) переведите в положение II, при
котором короткая катушка подключается к генератору звуковой частоты, а длинная катушка-соленоид – к милливольтметру.
7. Повторите пп. 35 данного упражнения и результаты измерений занесите в табл. 3, аналогичную табл. 2.
42
Таблица 3
=……кГц; UОГ=….. В; R=…..кОм
№
п
п
1
2
.
.
.
r, см
0С, мВ
L12, мкГн
0
0,5
.
.
.
В табл. 3 0С – величина ЭДС индукции, возникающая в длинной катушке-соленоиде; L12 – взаимная индуктивность, зависящая
от взаимного положения короткой и длинной катушек.
8. Вычислив взаимные индуктивности L21 и L12 (табл. 2 и 3),
можно убедиться в справедливости теоремы взаимности (15), т.е.
равенства L21=L12.
Возникающие расхождения можно объяснить неточностью установки короткой катушки относительно соленоида (расхождением
величины r) и, главное, разными индуктивными сопротивлениями
короткой и длинной катушек, что не учитывается при расчете взаимной индуктивности.
Постройте графики зависимости взаимной индуктивности от
взаимного расположения катушек, т.е. L21=L21(ri) или L12=L12(ri).
(В связи с уменьшением величины 0С (при смещении короткой
катушки относительно соленоида) возможно придется изменять
диапазон измерений милливольтметра.)
9. Используя данные табл. 1, рассчитайте для каждой частоты
звукового генератора и расстояния r=0 взаимную индуктивность,
результаты вычислений занесите в табл. 4.
43
Таблица 4
UОГ =
№ п
п
1
.
.
.
В, R =
кОм, r1=0.
, кГц
0К, мВ
L21, мкГн
20
.
.
.
70
L21 =
10. Вновь переключите генератор звуковой частоты на длинную
катушку-соленоид, короткую катушку – на милливольтметр, т.е. переведите переключатель (П) в положение I (рис. 3).
Проведите измерения ЭДС индукции 0К в короткой катушке
при нескольких значениях напряжений звукового генератора
U ОГ =5  30 В, т.е. напряжений на соленоиде, при фиксированном
положении короткой катушки, например, r1=0 и постоянной частоте
генератора . Результаты измерений 0К и расчеты величины L21 (по
формуле (24)) внесите в табл. 5.
Таблица 5
 =…..кГц; R =….кОм; r1=0.
№ п
1
.
.
.
п
U ОГ , В
0К, мВ
L21, мкГн
5
.
.
.
30
L21 =
При выполнении измерений и расчетов пп. 9 и 10 вы должны
убедиться в том, что частота изменения магнитного поля, задаваемая звуковым генератором, и величина напряжения на входе систе44
мы контуров (катушек) практически не влияют на взаимную индуктивность контуров.
11. Вычислите относительную погрешность измерения величины
взаимной индуктивности по формуле
 U ОГ
L21
ЕL 
 
L21
 U ОГ
2

  ОК
 

  







  ОК
2
2
2

R 

  
 ,
R



(25)
где относительные погрешности величин напряжения генератора
(U0Г), ЭДС индукции (0К) определяются по классу точности соответствующих приборов и составляют, соответственно, не более
2,5%; относительная ошибка частоты () составляет не более 2%;
абсолютная ошибка сопротивления резистора  R=0,2 кОм.
Величины  и R взять из таблицы 5 величину ОК взять из таблицы 5 при UОГ=5 В.
12. Абсолютная погрешность величины взаимной индуктивности
равна
(26)
L21  E L  L21 ,
где L21 – среднее значение взаимной индуктивности (см. табл. 5).
13. Окончательная запись результата измерения и вычисления
взаимной индуктивности должна быть представлена в стандартной
форме:
(27)
L21  L21  L21 .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.
1. Сформулируйте цель данной лабораторной работы.
2. Какова основная характеристика магнитного поля (в вакууме),
и в чем она измеряется?
3. Сформулируйте теорему Гаусса для магнитного поля.
4. Дайте определения потока магнитной индукции (магнитного
потока) и единицы его измерения.
45
5. Что такое полный магнитный поток или потокосцепление?
6. Объясните явление электромагнитной индукции.
7. Напишите формулу основного закона электромагнитной индукции и объясните причину наличия знака минус в этой формуле.
8. В чем различие формулировок явления электромагнитной индукции по Фарадею и Максвеллу?
9. Как связаны ток в контуре и возникающий при этом магнитный поток через этот контур? При каком условии выполняется эта
зависимость?
10. Что такое индуктивность контура, от чего она зависит? Дайте
определение единицы измерения индуктивности.
11. Объясните явление самоиндукции и дайте примеры проявления самоиндукции.
12. Чему равна ЭДС самоиндукции и каков смысл знака минус в
этой формуле?
13. Опишите явление взаимной индукции и действие каких
устройств основано на этом явлении.
14. Что такое взаимная индуктивность контуров и при каких
условиях выполняется теорема взаимности?
15. По какому закону изменяется напряжение, создаваемое генератором звуковой частоты?
16. Опишите установку и порядок выполнения измерений.
17. Объясните, почему в качестве источника используется генератор звуковой частоты?
18. По какой причине подключается последовательно к соленоиду резистор R и каким образом выбирается величина сопротивления
этого резистора?
19. Согласно теореме взаимности имеем: L12  L21 . Каковы причины некоторого отклонения экспериментальных данных от этого
равенства?

20. Каково направление вектора индукции В в центре кругового
тока I ?
21. Используя принцип суперпозиции полей, определите результирующий вектор индукции в т. А.
22. Объясните, как изменяется ЭДС взаимной индукции при перемещении короткой катушки от середины соленоида к краю?
46
23. Нарисуйте график зависимости тока в соленоиде I=I(t) при
замыкании цепи.
24. Представьте график зависимости тока соленоида I=I(t) при
размыкании цепи.
25. Объясните, как влияет частота переменного сигнала генератора на возникшую в соленоиде ЭДС индукции?
26. Как влияет частота переменного тока на величину взаимной
индуктивности?
27. Влияет ли напряжение переменного сигнала на величину
взаимной индуктивности?
28. Как вычислить относительную погрешность величины взаимной индуктивности?
29. Как оценить абсолютную погрешность показания измерительного прибора, используя класс точности соответствующего
прибора?
30. Как определяется в данной работе абсолютная ошибка измерения взаимной индуктивности?
47