çòí

13.2.11. Три группы формул Максвелла
В системе нескольких заряженных тел потенциал каждого из них
определяется не только зарядом данного тела, но и зарядами всех
остальных тел. При этом, если диэлектрическая проницаемость среды
не зависит от напряженности электрического поля, то потенциал оказывается линейной функцией зарядов.
В матричной форме система уравнений с потенциальными коэффициентами для n заряженных тел имеет вид:
q.
(13.37а)
Здесь  и q – матрицы-столбцы,  – квадратная матрица. Каждая матрица имеет n строк.
Эта система и представляет собой первую группу формул Максвелла для электростатики. Она позволяет вычислить потенциалы тел по заданным зарядам.
В частности, для тела с номером k можно записать
n
k    km qm
(13.37á)
m 1
и сами коэффициенты определить с помощью эксперимента (или рассчитать) при следующих условиях.
Если все заряды, кроме qk , положить равными нулю, то собственный потенциальный коэффициент, как следует из (13.37б), будет

равен  kk  k
. В свою очередь, взаимный потенциальный
qk q 0,q  0
m
k
коэффициент можно найти через потенциал того же тела, но при равен
стве нулю всех зарядов, кроме qm :
 km  k
.
qm q 0,q  0
i
m
Вторую группу формул Максвелла – уравнения с емкостными коэффициентами (коэффициентами электростатической индукции)– нетрудно получить, разрешив систему уравнений (13.37а) относительно
зарядов тел. В матричной форме:
q = .
(13.38а)
Эта группа позволяет вычислить заряды тел по заданным потенциалам.
Из уравнения для k-го тела
n
qk   kmm .
(13.38á)
m 1
136
следует способ определения коэффициентов. Если принять равными
нулю потенциалы всех тел, кроме  k , то собственный емкостный коq
эффициент равен kk  k
. Взаимный емкостный коэффиk  0,  0
m
k
циент выражается через заряд того же тела и не равный нулю потенциал тела с номером m, причем потенциалы остальных тел равны нулю:
q
km  k
. Очевидно, квадратные матрицы коэффициентов в
m  0,  0
i
m
уравнениях (13.37а) и (13.38а) взаимно обратны:

(13.38в)
Третья группа формул Максвелла – уравнения с частичными емкостями – связывает заряды тел с разностями потенциалов между телами (в том числе и с землей, чей потенциал считается равным нулю). Эти
уравнения можно получить из второй группы формул перегруппировкой слагаемых. Матричная запись системы уравнений имеет вид:
q = CU.
(13.39а)
В уравнении для k-го тела
n
qk   CkmU km .
(13.39á)
m 1
U km  k  m , U kk  k  0.
переменные равны:
Для определения собственной частичной емкости следует принять потенциалы всех тел одинаковыми и определить заряд тела с номеq
Ckk  k
.
ром k. Тогда
Если этот результат
     
1
2
n
сравнить с записью в тех же условиях уравнения с емкостными коэффициентами, то легко убедиться, что
n
Ckk    km .
(13.39â)
m 1
Чтобы найти взаимную частичную емкость, нужно принять потенциалы
всех тел, кроме m-го, равными нулю, иными словами, заземлить и опреq
делить заряд k-го тела. Тогда Сkm  k
. Очевидно,
 m   0,  0
i
m
Ñkm  km .
При этом, поскольку на заземленном теле
наводится заряд qk противоположного знака по сравнению с qm , который определяется потенциалом m , то все частичные емкости и соб-
137
ственный емкостный коэффициент положительны, а взаимные емкостные коэффициенты отрицательны. Разумеется, положительны и все потенциальные коэффициенты. Кроме того, в соответствии с принципом
взаимности
 km   mk , km  mk , Ckm  Cmk .
Пример 13.11. Двухпроводная линия над землей (рис. 13.11,а).
Известны расстояние между проводами d, высота подвеса над
землей h, радиус r0 и длина l каждого из них.
Определить потенциальные коэффициенты и емкость единицы
длины линии с учетом влияния земли.
+q
-q
+q
-q
h
h
d
d
-q
а
h
+q
б
Рис. 13.11
Решение
Длину проводов будем полагать достаточно большой, чтобы поле
можно было считать плоскопараллельным. А радиус провода по сравнению с высотой подвеса и расстоянием между проводами достаточно
малым, чтобы не учитывать смещения электрических осей проводов относительно геометрических.
Для определения потенциальных коэффициентов воспользуемся
методом зеркальных изображений (рис. 13.11,б). Пусть известен заряд
первого провода q, а заряд второго провода равен нулю. Тогда зеркальное изображение первого провода имеет заряд – q. Найдем потенциалы
проводов, используя формулу (13.26), в которой заменим   q l .
(2h)2  d 2
q
2h
q
Очевидно,
1 
ln , 2 
ln
.
20l r0
20l
d
Отсюда легко находятся потенциальные коэффициенты:
(2h)2  d 2
1
1
2h
2
1
11 

ln
 22 , 21 

ln
 12 .
q 20l r0
q 20l
d
Уравнения для двух заряженных проводов имеют вид:
1  11q1  12q2 , 2   21q1   22q2 .
138
Чтобы определить емкость линии с учетом влияния земли, следует принять q1  q2  q (при этом, очевидно, и 1  2  ). Тогда
q
1
1
C


.
1  2 11  12   21   22 2(11  12 )
Подставляя значения коэффициентов, найдем и емкость единицы
0
0
C
C0  

.
длины линии
l




d / r0
2h
d
 ln 

ln  
 r0
 1  [d /(2h)]2 
(2h) 2  d 2 



Если высота подвеса гораздо больше расстояния между провода
ми, то полученное выражение приводится к формуле (13.36).
139