

1. Лестница стоит наклонно, опираясь на гладкую вертикальную стену.
Коэффициент трения между ножками лестницы и полом  . Какой наибольший угол
может образовать лестница со стеной? Центр тяжести лестницы расположен в её
середине.
Ответ:  max  arctg (2  ) .
Решение: Пусть масса лестницы m , а длина l (см.
рисунок). Запишем условия равновесия, причем моменты сил
будем определять относительно оси, проходящей через
нижнюю точку лестницы (при этом моменты двух сил
обращаются в нуль, что облегчает решение): Fтр  N 2 , N1  mg ,
l
mg sin   N 2l cos   0 .
2
Учитывая, что Fтр   N1 , получаем tg  2 .
2. Тяжелый однородный шар радиуса R подвешен на нити длиной l , конец
которой закреплен на вертикальной стене. Точка крепления нити к шару находится
на одной вертикали с центром шара. Каков должен быть коэффициент трения между
шаром и стеной, чтобы шар находился в равновесии?
Ответ:   1 независимо от значений R и l .
Решение: Удобнее всего применить правило моментов (см.
рисунок). Если вычислять моменты сил относительно оси, проходящей
через точку А, получаем уравнение ' N  R  Fтр  R  0 , где R - радиус
шара. Так как Fтр   N , то  
Fтр
N
 1 . Обратите внимание, что ответ не
зависит от радиуса шара и длины нити, что совсем не очевидно для
решения задачи.
3. Какой радиус r должен иметь наполненный гелием воздушный шар, чтобы
он мог подняться в воздух, если масса 1м 2 оболочки шара m0  50 г? Температура
воздуха t  27 C , давление pа  100кПа .
Ответ: r  0.15 м.
Решение: Условие плавания шара в воздухе состоит в том, что сила Архимеда,
равная весу mВ g вытесненного воздуха, уравновешивает силу тяжести оболочки
mg и наполняющего шар гелия m Г g . Массы воздуха и гелия в объеме шара можно
выразить через r , воспользовавшись уравнением Менделеева-Клапейрона; массу
оболочки – из соотношения
m S
 , где S - площадь поверхности оболочки, а
m0 S0
S0  1м2 .
4. В калориметр, содержащий mВ  1.5 кг воды при температуре t В  20 С ,
положили m л =1.0 кг льда, имеющего температуру t Л  10 С . Какая температура 
установится в калориметре?
Ответ:   0 С .
Решение. Эту задачу не очень удобно решать в общем виде: ведь для
составления уравнения теплового баланса необходимо заранее знать, какие процессы
произойдут со льдом и с водой, т.е. каким будет конечное состояние (только вода,
вода и лед или только лед). А это определяется как раз численными значениями mВ ,
mЛ , t В , t Л .
Предположим сначала, что весь лед растает, а вода несколько остынет. Тогда
уравнение теплового баланса имеет вид QВ  QЛ  0 , где QВ  0 - количество
теплоты, полученное льдом. Вода охлаждается от t В до  , значит,  В  mВ сВ (  t В ) .
Лед нагревается от t Л до 0 С , при 0 С плавится и далее (уже будучи водой!)
нагревается от 0 С до  . Значит,
QЛ  mЛ сЛ (0 С  t Л )   mЛ  mЛ сВ (  0 С ) .
Из уравнения теплового баланса получаем

mВcВtВ  mЛ cЛ t Л   mЛ
 21 C.
cВ (mЛ  mВ )
Однако полученное значение противоречит сделанному предположению, что
весь лед растает! Значит, это предположение было неверно. Можно теперь
предположить, что вся вода замерзнет. Но тогда (предоставляем читателю проверить
это) температура  окажется положительной, что снова будет противоречить
сделанному предположению. Остается лишь один вариант ответа:  = 0 С , т.е. весь
лед не растает и вся вода не замерзнет, - в калориметре будет смесь воды со льдом. К
этому результату можно прийти гораздо быстрее, если заметить, что вода, даже
остыв до 0 С (а остывать дальше, не замерзая, она не может!), отдаст количество
теплоты mВ cВt В . Этого количества теплоты хватит лишь на плавление льда массой
mВ сВtВ

 0.38 кг, что меньше начальной массы льда mЛ (при этом мы даже не учли
необходимость нагревания льда до 0 С ). Значит, весь лед растаять не может, т.е.
  0 С . Аналогично доказывается, что   0 С . Отсюда   0 С .
5. Газ находится в вертикальном цилиндре с площадью дна S  10см2 .
Цилиндр закрыт перемещающимся без трения поршнем массой m  9.8 кг. Начальный
объем
газа
V0  5.0 л ,
температура
t0  0 C .
Давление
наружного
воздуха
pа  100кПа . Какое количество теплоты Q необходимо затратить для нагревания
газа при этих условиях на T  10 K ? Известно, что повышение температуры газа на
ту же величину при закрепленном поршне потребовало бы количества теплоты
Q1  90 Дж .
Ответ: Q  126 Дж .
Решение: Очевидно, при закрепленном поршне газ не совершает работу и
поэтому Q1  U . В случае, когда поршень не закреплен, газ расширяется изобарно.
При этом изменение U его внутренней энергии такое же: ведь внутренняя энергия
идеального газа зависит только от его температуры. Работа газа при расширении
A'  pV , так что Q  U  A'  Q1  pV . Учтем также, что p 
V T
mg
 pa и

S
V0
T0
(т.к. при изобарном процессе объем прямо пропорционален абсолютной температуре
газа). Тогда Q  Q1 
(mg  pa S )V0 T
 126 Дж .
ST0
6. Два одинаковых одноименно заряженных шарика, подвешенных в одной
точке ан нитях равной длины, опускают в керосин. При этом угол расхождения нитей
не изменяется. Какова плотность  материала шариков?
Ответ:   1500кг / м3 .
Решение: На рис. а показаны силы, действующие на один из шариков в
воздухе; на рис. б - в керосине. Хотя заряды шариков могут отличаться
друг от друга по величине, согласно третьему закону Ньютона на оба шарика
действуют одинаково по модулю кулоновские силы. Поэтому оба шарика
расположены симметрично относительно вертикальной оси, проходящей через точку
подвеса. Из условий равновесия следует, что кулоновская сила в воздухе
Fk  mgtg

2
, а в керосине Fk'  (mg  FA )tg

2
, где FA - сила Архимеда. В керосине
кулоновская сила при том же расстоянии между шариками в  раз меньше: Fk' 
(здесь  - диэлектрическая проницаемость керосина). Таким образом, mg  FА 
Fk

mg

.
Подставив в эту формулу m  V и FА   k gV (здесь  k - плотность керосина),
получим   k

 1
 1500кг / м3 .
7. В комнате горит электрическая лампа мощностью P1 = 100Вт, подключенная
к сети с напряжением U =200В. Сопротивление проводов, подводящих к квартире
электроэнергию, составляет R0 =4Ом. Как изменится напряжение на лампе, если
включить электрокамин мощностью P2 =500Вт?
Ответ: Напряжение понизится на 8 В.
Решение. По номинальной мощности приборов (т.е. соответствующей
нормальному напряжению сети) определим их электрические сопротивления:
R1 
U2
U
=480 Ом, R2  2 =97 Ом. До включения электрокамина напряжение на лампе
P1
P2
было
U1 
UR1
 218
R0  R1
В.
После
включения
электрокамина
потребителей электроэнергии в комнате составит R12 
напряжение на лампе и электрокамине будет U 2 
сопротивление
R1R2
=81 Ом. Теперь
R1  R2
UR12
 210 В. Таким образом,
R0  R12
напряжение на лампе понизилось на U  U1  U 2  8 В.
В действительности, однако, при таком изменении напряжения следовало бы
учитывать изменение сопротивления нити накала из-за понижения её температуры.
8. Над водой на высоте h1 =1.0 м поместили горизонтально плоское зеркало. На
какой высоте h над водой увидит свое отражение рыба, находящаяся на глубине
h2 =0,50 м?
Решение. Отраженные от рыбы солнечные лучи испытывают:
а) преломление при выходе в воздух,
б) отражение от зеркала,
в) преломление при обратном переходе из воздуха в воду.
На каждом из этих этапов формируется новое мнимое изображение рыбы
(обозначенной на рисунках точкой А).
а) изображение A1 находится на глубине
зеркала.
h2
h
, т.е. на расстоянии h3  h1  2 от
n
n
б) изображение A2 (см. рис. а) находится на высоте h4  h3  h1  2h1 
h2
над
n
водой.
в) Изображение A3 (которое и будет наблюдать рыба) находится на высоте
h  nh4  2h1n  h2  3,2 м над водой (см. рис.б).
9. Расстояние между двумя точечными источниками света l =32 см. Где
следует поместить между ними собирающую линзу с фокусным расстоянием F =12
см, чтобы изображения обоих источников оказались в одной точке?
Ответ: на расстоянии 8 см от одного и 24 см от другого источника.
Решение. Очевидно, одно из изображений будет мнимым, т.е.
Поэтому можно записать соотношения
1 1 1
  ,
d1 f 2 F
расстояния от линзы до источника света. Отсюда d1 
1 1 1
  , где d1,2
d2 f2 F
и d2 
-
Ff 2
Ff 2
, d2 
. Из условия
f2  F
f2  F
d1  d 2  l находим расстояние между линзой и изображениями:
Значит, d1 
f1   f 2 .
fa  F
l
.
l  2F
F l
l
2F 
 1  1 
  8 см
l 
l  l  2F 2 
F l
l
2F
 1  1 
l
l  l  2F 2 

  24 см.

10. Космический корабль летит со скоростью  =0,6 с относительно Земли. В
кабине корабля растет стебель лука со скоростью u0 =0,5 см/сут. Какова скорость u
роста стебля с точки зрения земного наблюдателя? Стебель расположен под прямым
углом к направлению движения корабля.
Ответ: u =4.0 см/сут.
Решение. За время t0 в системе отсчета «Корабль» стебель удлиняется на
l  u0 t0 . В системе отсчет «Земля» удлинение стебля такое же (поперечные
размеры одинаковы в обеих системах отсчета), но прошедшее время t больше:
l
2
. Поэтому u 
t 
 u0 1  2  4.0 см/сут. Фактически мы получили
t
c
2
1 2
c
t0
формулу преобразования «поперечной» составляющей скорости любого движения
при переходе в другую систему отсчета.