1 ЛЕКЦИЯ 2 ГИДРОДИНАМИКА И ГЕМОДИНАМИКА План: 2.1

1
ЛЕКЦИЯ 2
ГИДРОДИНАМИКА И ГЕМОДИНАМИКА
План:
2.1.
Течение идеальной жидкости. Уравнение неразрывности потока.
2.2.
Уравнение Бернулли и следствия из него. Аэрация почвы.
2.3.
Течение вязкой жидкости. Формула Ньютона. Коэффициент внутреннего
трения.
2.4.
Вязкость крови и плазмы. Изменение вязкости при патологических
процессах.
2.5.
Закон Стокса в технологии молочных продуктов, при лабораторноклинических исследованиях крови и др.
2.6.
Физическая модель сосудистой системы. Перераспределение энергии в
эластичных стенках кровеносных сосудов и значение этого явления для
кровообращения.
2.7.
Сердце как источник потока крови. Вычисление работы и мощности
сердца.
2.1
Гидродинамика – раздел гидромеханики, изучающий движение
несжимаемых жидкостей.
Гемодинамика – раздел биомеханики, в котором исследуется движение
крови по сосудистой системе. Физической основой гемодинамики является
гидродинамика. Течение крови зависит как от свойств крови, так и от свойств
кровеносных сосудов.
Идеальной называется жидкость, лишенная вязкости. В природе
идеальных жидкостей не существует. При достаточно высоких температурах
многие реальные жидкости (вода, эфир, ацетон, спирт) обладают очень малой
вязкостью, поэтому их можно рассматривать как идеальные. Движение
жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости
– потоком.
Различают два режима течения жидкостей: ламинарное (слоистое) и
турбулентное (вихревое). В случае ламинарного течения каждый слой потока
перемещается, не перемешиваясь с другими слоями. При турбулентном течении
происходит образование вихрей и перемешивание различных слоев жидкостей
или газов.
Опытным путем было установлено, что важнейшей характеристикой
течения является безразмерная величина, называемая числом Рейнольдса:
2
   d
,
(2.1)

где  - плотность жидкости,  - средняя (сечению трубы) скорость потока, d диаметр круглой трубы,  - коэффициент вязкости (коэффициент внутреннего
трения).
При достаточно малых значениях Re наблюдается ламинарное течение.
При Re>Reкрит (критическое значение) ламинарное течение переходит в
турбулентное. Для гладких труб, например Re крит  2300 .
Re 
1
S1
2
S2
Рисунок 2.1 – Скорости движения жидкости по трубке тока переменного
сечения.
Рассмотрим какую – либо трубку тока. Выберем два ее сечения S1 и S2 ,
перпендикулярные направлению скорости.
При стационарном течении масса жидкости, протекающая за единицу
времени через любое поперечное сечение трубки тока, есть величина
постоянная, если жидкость несжимаема (ρ-const):
m1  m2 ;
m    V ; V  S  l ; l    t ;
1  S1 1   2  S 2 2 ;
S1 1  S 2  2  const .
(2.2)
Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости
на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная. Последнее
уравнение называется уравнением неразрывности струи.
Из уравнения неразрывности струи следует, что в более узких сечениях
трубки тока скорость должна быть больше, чем в широких сечениях.
Ткани получают кислород вследствие его диффузии в капиллярах из
эритроцитов в ткани по разности концентраций
О2 эритр О2 ткани . Процесс
диффузии протекает во времени, и если бы эритроциты двигались быстро, они
не успели бы отдать кислород тканям. Организм «использует» закон
неразрывности струи для замедления движения эритроцитов в тканевых
капиллярах за счет того, что суммарное сечение всех работающих
3
одновременно капилляров в сотни раз больше площади сечения аорты,
составляющей около 6 см2 .
В организме примерно 60  10 9 капилляров. Сечение каждого капилляра примерно
30  10 12 м2 . Одновременно работает одна треть, то есть 20  10 9 капилляров. Их суммарное
сечение равно 6  10 3 см2 , то есть примерно в 1000 раз больше площади сечения аорты (6
см 2 ). Скорость течения крови в аорте 0,5 м/с, а скорость течения крови в капиллярах около
0,75 мм/с. Малая скорость увеличивает время прохождения эритроцитов по капиллярам и
обеспечивает диффузию кислорода в ткани.
2.2
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока,
ограниченную сечениями S1 и S2 , по которой слева направо течет жидкость.
S1
S1
S 2
S2
2
1
2
h1
1
h2
Рисунок 2.2 – Движение жидкости по трубке тока переменного сечения
за малый промежуток времени t .
Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1 , давление p1 и высота, на которой это
сечение расположено, h1 . Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения v2 , давление p2 и
высота сечения h2 . За малый промежуток времени t жидкость перемещается от сечений


S1 и S2 к сечениям S1 и S 2 .
Если совершить некоторую работу А над жидкостью, это вызовет изменение
потенциальной и кинетической энергии жидкости: А  Еп  Ек (1).
Результирующая
работа,
затраченная на перемещение
F
p ,
F  pS
Так
как
то
А  F1  l1  F2  l2 .
S
A  p1  S1  l1  p2  S 2  l2  p1  V  p2  V   p1  p2   V (2).
и
равна:
получим
E п  m  g  h . Так как
Изменение потенциальной энергии жидкости равно:
m    V , то Eп    V  g  h    V  g  h2  h1  (3).
Изменение кинетической энергии жидкости равно: E к 
жидкости


m   2   V   22  12

(4).
2
2
Подставляя (2), (3) и (4) в (1), получим:
 p1  p2   V    V  g  h2  h1     V   2
2
 12
.
2
Разделив на объем V и перегруппировав члены уравнения, получим
4
  12
2
   g  h1  p1 
   22
2
   g  h2  p 2
Итак, мы доказали, что
  2
2
   g  h  p  сonst .
(2.3)
Это выражение называется уравнением Бернулли.
Величина p в этом уравнении есть статическое давление – оно не
связано с движением жидкости и может быть измерено, например, манометром,
перемещающимся вместе с жидкостью; величина
  2
2
- динамическое
давление – давление, вызванное движением жидкости и проявляется при ее
торможении; величина   g  h – гидростатическое давление (весовое), в
состоянии невесомости оно отсутствует, а при перегрузках - увеличивается.
1) Из уравнения Бернулли для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности
струи следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные
сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в
более широких местах, то есть там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать,
установив вдоль трубы ряд манометров.
А
В
Рисунок 2.3 – Высота жидкости, текущей по горизонтальной трубе
переменного сечения, в манометрах (статическое давление).
В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической
трубке В, прикрепленной в узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в
манометрической трубке А, прикрепленной в широкой части.
Можно сделать столь узкое сечение трубки, что вследствие малого давления (ниже
атмосферного) в это сечение будет засасываться воздух или жидкость. Это используется в
ингаляторах и пульверизаторах.
В организме человека система разветвляющихся капилляров не только уменьшает
скорость кровотока, но и снижает давление. Реально падение давления в артериях составляет
25 %, в артериолах и капиллярах – 75 % от общего падения давления в системе.
2) Истечение жидкости из отверстия сосуда (рис.2.4). Покажем истечение жидкости из
небольшого отверстия широкого сосуда.
5
S1
h
S2
Рисунок 2.4 – Истечение жидкости из отверстия, находящегося вблизи
дна сосуда
Так как S1  S 2 , то по уравнению неразрывности струи 1  2 . Приближенно считаем
1  0 , p1  p2 - значение атмосферного давления на уровнях вершины и дна сосуда.
Тогда
 2  2  g  h -
(2.4)
формула Торричелли.
3) Рассмотрим вспаханное поле, которое можно представить как систему
чередующихся борозд и валов (рис.2.5). Пусть ветер дует перпендикулярно к
направлению борозд.
Рисунок 2.5 – Движение воздуха над вспаханным полем
При этом приземной слой представляет собой трубку тока переменного
сечения, ограниченную снизу поверхностью земли, а сверху – ближайшей
горизонтальной поверхностью, образованной невозмущенными линиями
тока. Из уравнения неразрывности струи и уравнения Бернулли следует, что
давление воздуха над бороздами больше, чем над валами, поскольку v1  v2 .
Поэтому в поверхностном слое почвы возникает движение почвенного
воздуха, которое направлено от оснований борозд к вершинам валов. В
результате этого обеспечивается аэрация (газообмен между почвой и
атмосферой). Аэрация обогащает почвенный воздух кислородом, а
приземный воздух – углекислотой, создавая тем самым благоприятные
условия для развития растений. При сильном ветре скорость воздуха в почве
6
становится настолько интенсивной, что может вызвать размельчение
почвенных частиц. Таким образом, создается мелкокомковая структура
почвы.
2.3
Во всех реальных жидкостях и газах при перемещении одного слоя
относительно другого возникают силы трения. Со стороны слоя,
движущегося более быстро, на слой,
z
движущийся медленнее, действует
ΔS
ускоряющая сила. Наоборот, со
V
стороны
слоя,
движущегося
2
медленнее, на более быстрый слой
Δz
Δ
действует тормозящая сила. Эти силы,
S V
носящие название сил внутреннего
1
трения, направлены по касательной к
поверхности слоёв.
Пусть два слоя (рис.2.6) площади
x
Рис.2.6
S , отстоящих друг от друга на
расстояние
движутся
со
z ,
скоростями v1 и v2 соответственно, Δv=v2–v1. Направление, в котором
отсчитывается расстояние между слоями (ось z), перпендикулярно вектору
скорости движения слоев. Величина
dv
v
,
 lim
dz z  0 z
которая показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к
слою,
называется градиентом скорости. Величина силы внутреннего трения

действующей
между
слоями,
пропорциональна
площади
F,
соприкосновения движущихся слоёв и градиенту скорости (закон Ньютона):


dv
(2.5)
F   S ,
dz
где  – коэффициент вязкости (динамическая вязкость). Знак «–»
показывает, что сила направлена противоположно градиенту скорости, то
есть быстрый слой тормозится, а медленный – ускоряется.
Единицей измерения коэффициента вязкости в СИ служит такая
вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/с на 1м, приводит к
силе внутреннего трения в 1 Н на 1 м2 площади слоев. Эта единица
называется паскаль-секундой (Па.с). В некоторые формулы (например, число
Рейнольдса, формула Пуазейля) входит отношение коэффициента вязкости к
плотности жидкости ρ. Это отношение получило название коэффициента
кинематической вязкости  :


.

(2.6)
7
Для жидкостей, течение которых подчиняется уравнению Ньютона (2.6),
вязкость не зависит от градиента скорости. Такие жидкости называются
ньютоновскими. К неньютоновским (то есть не подчиняющимся уравнению
(2.6)) жидкостям относятся жидкости, состоящие из сложных и крупных
молекул, например, растворы полимеров.
Вязкость данной жидкости сильно зависит от температуры: при
изменениях температуры, которые сравнительно нетрудно осуществить на
опыте, вязкость некоторых жидкостей может изменяться в миллионы раз.
При понижении температуры вязкость некоторых жидкостей настолько
возрастает, что жидкость теряет текучесть, превращаясь в аморфное твердое
тело.
Я.И. Френкель вывел формулу, связывающую коэффициент вязкости
жидкости с температурой:
 E 
  Aexp
(2.7)
,
 kT 
где А – множитель, который зависит от расстояния между
соседними положениями равновесия молекул в жидкости
и от частоты колебаний молекул, ΔЕ – энергия, которую
надо сообщить молекуле жидкости, чтобы она могла
перескочить из одного положения равновесия в другое,
соседнее (энергия активации). Величина ΔЕ обычно
имеет порядок (2÷3).10-20 Дж. При нагревании жидкости
на 10 0С вязкость её уменьшается на 20÷30 %.
Значения коэффициентов вязкости газов
существенно меньше, чем жидкостей. С повышением
температуры вязкость газа увеличивается (рис.2.7) и при
Рис.2.7
критической температуре становится равной вязкости
жидкости.
Отличие в характере поведения вязкости при изменении температуры
указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах.
Молекулярно-кинетическая теория объясняет вязкость газов переносом
импульса из одного слоя в другой слой, происходящим за счет переноса
вещества при хаотическом движении молекул газа. В результате в слое
газа, движущемся медленно, увеличивается доля быстрых молекул, и его
скорость (средняя скорость направленного движения молекул) возрастает.
Слой газа, движущийся медленно, увлекается более быстрым слоем, а слой
газа, движущийся с большей скоростью, замедляется. С повышением
температуры интенсивность хаотического движения молекул газа возрастает,
и вязкость газа увеличивается.
Вязкость жидкости имеет другую природу. В силу малой подвижности
молекул жидкости перенос импульса из слоя в слой происходит из-за
взаимодействия молекул. Вязкость жидкости в основном определяется
силами взаимодействия молекул между собой (силами сцепления). С
повышением температуры взаимодействие молекул жидкости уменьшается,
8
и вязкость также уменьшается.
Несмотря на различную природу, вязкость жидкостей и газов с
макроскопической точки зрения описывается одинаковым уравнением (2.6).

Величину импульса p , перенесенного из одного слоя газа или жидкости в
другой слой за время Δt, можно найти из второго закона Ньютона:

(2.8)
p  Ft .
Из (2.5) и (2.8) получим:

dv

(2.9)
p  
 S  t .
dz
Тогда физический смысл коэффициента динамической вязкости можно
сформулировать так: коэффициент вязкости численно равен импульсу,
перенесенному между слоями жидкости или газа единичной площади за
единицу времени при единичном градиенте скорости. Знак «минус»
показывает, что импульс переносится из более быстрого слоя в более
медленный.
2.4
Вязкость
крови –
это
соотношение
объема
жидкой
части крови (плазмы) и числа ее форменных элементов (клеток крови).
Является очень важным показателем состояния крови, определяющим
максимальный срок нормального функционирования сердца и сосудов.
Вязкость крови определяется по отношению к вязкости воды, соответствует
4,5–5,0 и зависит главным образом от содержания эритроцитов и в меньшей
степени от белков плазмы.
Свойства физиологического процесса.
Для нормального кровообращения вязкость крови имеет большое
значение, так как связана с сопротивлением, которое приходится
преодолевать при работе мышце сердца. В течение дня происходят только
незначительные колебания вязкости крови.
Вязкость крови повышают:

снижение температуры тела (охлаждение);

малое употребление жидкости;

прием алкоголя;

вдыхание паров эфира;

повышенный уровень углекислоты в крови;

ограничение
употребления
поваренной
соли
ниже
физиологической потребности;

употребление мочегонных средств;

употребление потогонных, жаропонижающих средств;

редкий прием пищи (1–2 раза в день);

переедание за один прием пищи, особенно с последующим
приемом ферментных препаратов для улучшения пищеварения;
9
однократное
употребление
значительного количества крахмалистых (овощи, крупы, макаронные и
хлебобулочные изделия) или белковых (мясо, рыба) продуктов;

длительная тяжелая работа.
Вязкость крови снижают:

препараты хинного дерева;

длительная умеренная работа;

высокий уровень кислорода в крови;

повышение температуры тела;

горячие ванны;

фосфорная кислота.
Виды нарушений физиологического процесса
1.
Уменьшение вязкости крови. Наблюдается в условиях
восстановления объема жидкой части крови при значительном уменьшении
числа ее форменных элементов (например, на этапе компенсации количества
жидкости при острой кровопотере).
2.
Увеличение вязкости крови. Наблюдается при повышении
количества кровяных клеток относительно объема плазмы. Приводит к
затруднению основной транспортной функции крови, что является причиной
нарушения окислительно-восстановительных процессов во всех органах и
тканях – головном мозге, легких, сердце, печени, почках (что проявляется
быстрой утомляемостью, сонливостью в течение дня, ухудшением памяти).
Заболевания
Увеличение вязкости крови:

образование тромбов в сосудах и сердце (тромбоз);

тромбоэмболия (закупоривание тромбом просвета сосуда);

острая сердечная недостаточность;

снижение или повышение уровня артериального давления;

ишемический либо геморрагический инсульт;

острая легочная недостаточность;

аневризма аорты.
Уменьшение вязкости крови:

снижение свертываемости крови, сочетающееся нередко с
геморрагическим синдромом (массивными кровотечениями);

анемия.
2.5
При движении тела в вязкой среде возникают силы сопротивления.
Происхождение этого сопротивления двояко.

При небольших скоростях, когда за телом нет вихрей (то есть обтекание
тела ламинарное), сила сопротивления обуславливается вязкостью среды.
Между движущимся телом и средой существуют силы сцепления, так что
непосредственно вблизи поверхности тела слой газа (жидкости) полностью
задерживается, как бы прилипая к телу. Он трется о следующий слой,
который слегка отстает от тела. Тот, в свою очередь, испытывает силу трения
10
со стороны еще более удаленного слоя и т.д. Совсем далекие от тела слои
можно считать покоящимися. Для ламинарного потока сила трения
пропорциональна скорости тела: F ~ v . Теоретический расчет внутреннего
трения для движения шарика в вязкой среде с небольшой скоростью, когда
нет вихрей, приводит к формуле Стокса:
Fc  6      r  v ,
(2.10)
где r – радиус шарика, v – скорость его движения,  – коэффициент
динамической вязкости среды.
Второй механизм сил сопротивления включается при больших
скоростях движения тела, когда поток становится турбулентным. При
увеличении скорости тела вокруг него возникают вихри. Часть работы,
совершаемой при движении тела в жидкости или газе, идет на образование
вихрей, энергия которых переходит во внутреннюю энергию. При
турбулентном потоке в некотором интервале скоростей сила сопротивления
пропорциональна квадрату скорости тела: F ~ v 2 .
Метод Стокса основан на измерении скорости установившегося
движения твердого шарика в вязкой среде под действием постоянной
внешней силы, в простейшем случае – силы тяжести.
Выведем рабочую формулу для определения коэффициента вязкости методом Стокса. Если
взять шарик большей плотности, чем плотность жидкости, то он будет тонуть, опускаясь на дно
сосуда. На падающий шарик действуют три силы (рис.6.8):
1. сила вязкого трения FС по закону Стокса, направленная вверх, навстречу скорости:
Fc  6     r  v ;
2. сила тяжести, направленная вниз:
(2.11)
Fтяж  mg ,
где m  шV – масса шарика;  ш – плотность шарика;
g
– ускорение
свободного падения; V – объем шарика, равный:
4
V    r3 ;
3
l0
FC
h
FA
Fтяж
(2.12)
3. выталкивающая сила FАрх, согласно закону Архимеда, равная весу
вытесненной жидкости:
FАрх.  V   ж  g ,
(2.13)
где  ж – плотность жидкости.
Запишем уравнение движения (второй закон Ньютона)
падающего шарика в проекциях на вертикальную ось:
для
ma=Fтяж–FАрх–FС.
(2.14)
Сила тяжести и выталкивающая сила не зависят от скорости
движения шарика. Сила трения в законе Стокса прямо пропорциональна
скорости. Поэтому на некотором начальном участке l0 (рис.2.8) падения
шарика в жидкости, пока скорость мала, сила трения меньше разности сил тяжести и
Рис.2.8
11
выталкивающей, и шарик в результате движется с ускорением. Величину участка
l0
можно
оценить из уравнения движения.
По мере нарастания скорости падения шарика растет сила вязкого трения. С момента
достижения равенства
FС = Fтяж – FАрх
(2.15)
сумма сил, действующих на шарик, становится равной нулю, и шарик, в соответствии с первым
законом Ньютона, движется по инерции равномерно, с набранной им к этому моменту скоростью.
По измеренной скорости установившегося падения шарика можно найти коэффициент вязкости
жидкости η.
После подстановки получим:
4
6   r  v   ш   ж     r 3  g .
3
Сократим на радиус
r
и сделаем замену
r
d
(d
2
– диаметр шарика):
2
3   v 
2 d 
     ш   ж   g ;
3 2
3   v 
d2
  ш   ж   g .
6
(2.16)
Из (2.16) выразим коэффициент динамической вязкости:

d 2 g  ш   ж 
.
18  v
(2.17)
Далее скорость v шарика выражаем через пройденный путь

h
и время падения t :
d 2  g  ( ш   ж )  t
.
18h
v
h
:
t
(2.18)
Выведенная формула (2.18) для расчета коэффициента вязкости, как и формула Стокса,
получены в предположении, что шарик движется в сосуде неограниченного объема.
Сепарирование – это процесс разделения продукта на фракции с
различной плотностью во вращающемся сепарирующем устройстве –
барабане. В молочной промышленности сепарирование используют для
разделения молока на сливки и обезжиренное молоко в сепараторахсливкоотделителях, а также для нормализации молока в потоке, для
получения высокожирных сливок (в производстве сливочного масла), для
выделения тяжелой фракции (сепараторы-творогоотделители, сепараторыотделители белка от сыворотки).
12
Процесс выделения жировой фракции из молока в сепараторахсливкоотделителях основан на использовании центробежной силы и может
быть описан законом Стокса:
  8,77 Rn 2 r 2  1   2   
где ν – скорость выделения жировых шариков, см/с;
R – средний радиус рабочей части тарелки сепаратора, см
n – частота вращения барабана сепаратора, с-1;
r – радиус жировых шариков, см;
ρ1 – плотность плазмы молока, кг/м3;
ρ2 – плотность молочного жира, кг/м3;
μ – динамическая вязкость молока, Па·с.
Из формулы следует, что скорость выделения жировых шариков из
молока прямо пропорциональна их размерам, частоте вращения барабана и
его габаритам и обратно пропорциональна вязкости молока, которая в свою
очередь зависит от температуры. Оптимальная температура сепарирования
35-45 оС, вязкость при этом снижается почти в 2 раза. Однако еще более
высокие температуры приводят к вспениванию сливок и обезжиренного
молока, увеличению содержания жира в обезжиренном молоке (дробятся
жировые шарики). Сепарировать можно также холодное молоко (3-4 оС и
даже 1 оС), при этом снижают производительность сепаратора в 2-3 раза;
массовая доля жира в обезжиренном молоке при этом 0,04 и 0,06 %. Сливки,
полученные при холодном сепарировании, имеют более высокое содержание
жира и повышенную вязкость.
Для использования в клинической практике для определения скорости
оседания эритроцитов (СОЭ) разработан и предложен метод измерения
кинетики агрегации эритроцитов. Теоретическим основанием данного метода
определения СОЭ для его использования в клинической практике служит
агрегационная модель оседания агрегатов в соответствии с законом
Стокса.
Согласно данному закону, частица, плотность которой превышает
плотность среды, оседает под действием силы тяжести с постоянной
скоростью.
Величина скорости оседания эритроцитов (СОЭ) не является
специфическим показателем для какого либо определенного заболевания.
Однако нередко при патологии ее изменения имеют диагностическое и
прогностическое значение и могут служить показателем эффективности
проводимой терапии.
13
Причины повышения скорости оседания эритроцитов.
Наряду с повышением температуры тела и величины пульса ускорение
СОЭ встречается при многих заболеваниях. Изменение состава белков
плазмы и их концентрации, которые являются основной причиной
повышения СОЭ, – признак любого заболевания, связанного со
значительным повреждением тканей, воспалением, инфекцией или
злокачественной опухолью. Не смотря на то, что в ряде случаев СОЭ при
этих состояниях может оставаться в пределах нормы, в целом, чем выше
СОЭ, тем больше вероятность наличия у больного повреждения тканей,
воспалительного, инфекционного или онкологического заболевания. Наряду
с лейкоцитозом и соответствующими изменениями лейкоцитарной формулы,
повышение СОЭ служит достоверным признаком наличия в организме
инфекционных и воспалительных процессов. В остром периоде при
прогрессировании инфекционного процесса происходит увеличение СОЭ, в
период выздоровления СОЭ замедляется, но несколько медленнее в
сравнении со скоростью уменьшения лейкоцитарной реакции.
Количество эритроцитов изменяется у одного и того же вида животных
в зависимости от пола (у самцов их больше) и от возраста (у новорожденных
больше). Скорость оседания эритроцитов разных животных неодинакова
(табл.2.1)
Таблица 2.1
Продолжительность,
мин
Скорость оседания эритроцитов в крови, ( мм)
крупного
рогатого
овец
свиней
лошадей
кроликов
скота
15
0,10
0,2
3,0
38,0
0
30
0,25
0,4
8,0
49,0
0,3
45
0,40
0,6
20,0
60,0
0,9
60
0,58
0,8
30,0
64
1,5
2.6
С физической точки зрения кровеносная система – это совокупность
последовательного и параллельного соединения труб разной длины и разного
радиуса: аорта, артерии, артериолы, капилляры, венулы и вены.
По формуле Пуазейля объем жидкости, протекшей через горизонтальный
капилляр, равен
  r 4  t  p
V
,
8   l
(2.19)
14
где r, l – радиус и длина капилляра, η – коэффициент динамической вязкости
жидкости, Δр – падение давления на концах капилляра, t – время протекания
жидкости через капилляр.
Перепишем это уравнение в виде
V  r4

 p .
t 8   l
Из этого уравнения следует, что через трубу в единицу времени
протекает тем больше жидкости, чем меньше ее вязкость и больше радиус
трубы.
Введем обозначения
Q
V
t
- объем жидкости, протекающий через
трубу в единицу времени, и
X 
8   l
 r4
(2.20)
- гидравлическое сопротивление. Получим,
p  Q  X
(2.21)
- падение давления вдоль отдельной трубы при фиксированном объеме
протекающей жидкости зависит от гидравлического сопротивления.
В кровеносной системе падение давления вдоль кровотока будет
зависеть от гидравлического сопротивления разветвления
n
- при последовательном соединении X   X i ,
(2.22)
n
1
1

- при параллельном соединении
.

X i 1 X i
(2.23)
i 1
У здорового человека физиологические механизмы способствуют
равномерному распределению крови по организму. Однако при патологии
гидростатическое давление может способствовать застою крови в венах
нижних конечностей. Поэтому при кровотечении из конечностей
рекомендуется располагать их как можно выше.
Изменение распределения крови в организме при перегрузках может
оказать существенное влияние на функционирование органов, поэтому
важно, чтобы в этих условиях тело человека располагалось определенным
образом.
Движение крови по кровеносной системе происходит за счет работы
сердца как механического жидкостного насоса. Этот насос работает в
пульсовом режиме, что создавало бы в кровеносной системе резко
пульсирующее во времени давление. Но этого не происходит из-за
15
сглаживающего влияния упругих стенок артерий, состоящих из эластина –
растягивающегося на 200%, мышечных волокон – на 50%, коллагена – на
20%.
В момент максимального давления стенки артерий растягиваются.
Энергия сокращения сердца при систоле в значительной части переходит в
потенциальную энергию упругой деформации – растяжения стенок артерий.
Расширение вмещает часть крови и «сглаживает» максимальное давление
при систоле. При диастоле давление со стороны сердца уменьшается, но
упругие стенки артерий сокращаются, их потенциальная энергия переходит в
кинетическую энергию движения крови, расширяя следующий участок
сосуда. По сосуду распространяется волна повышенного давления с его
деформацией. Расширение и сокращение стенок артерий сглаживают
большие неравномерности давления, создаваемые сокращением сердца,
обеспечивают более равномерное течение крови по сосудам и способствует
более экономному расходу энергии на продвижение крови.
2.7
Сердце млекопитающих состоит из 2 не соединяющихся половин. Каждая половина
также состоит из 2 половин: предсердия и желудочка, соединенных между собой
клапанами. Левая и правая половины сердца сообщаются между собой через кровеносные
сосуды.
Сердце сокращается как единое целое. Фаза сокращение – систола – длится 0,3 с.
Левый желудочек, сокращаясь, создает избыточное над атмосферным артериальное
давление (120 мм.рт.ст.) и выбрасывает артериальную кровь в аорту. От нее кровь через
капилляры попадает во все органы. Возвращение венозной крови происходит в период
расслабления – диастолы (0,7 с) в правое предсердие. Это большой круг кровообращения.
Одновременно правый желудочек, сокращаясь, выбрасывает венозную кровь в
легочную артерию, создавая давление 24 мм.рт.ст. Это малый круг кровообращения.
Фаза расслабления сердца приводит к уменьшению избыточного давления в венах и
предсердиях до 0. Большой круг кровообращения работает за счет разности давлений 120
мм.рт.ст., малый – 24 мм.рт.ст.
24
 0,2 от работы большого
Работа, совершаемая малым кругом, равна
120
круга.
Работа сердца определяется разностью энергетических состояний крови
на входе и выходе системы:
1) разностью статистических давлений p1  p2  0 , так как в системе
сообщающихся сосудов в соответствии с законом неразрывности струи
массы крови, перекачиваемой на выходе и входе сердца, равны;
2) разностью гидростатических давлений   g  h1    g  h2  0 , так как
вход крови в предсердие и выход из желудочков находятся на одном уровне;
16
3) разностью энергий, создаваемой разностью динамических давлений,
которая и выполняет работу А1 – на преодоление давления и перенос массы и
А2 – на сообщение крови кинетической энергии.
Обозначим V y - объем крови, выбрасываемой желудочком сердца за
одну систолу (у человека примерно 60 см3 ).
Сердце проталкивает этот объем по аорте сечением S на расстояние l при
давлении р. Работа по переносу равна:
A1  F  l  p  S  l  p  V y .
Для сообщения кинетической энергии этому объему затрачивается
работа
m  2
2
A2 
  Vy 
.
2
2
Работа правого желудочка составляет 0,2 от работы левого и полная
работа сердца

2 
Аполн  1,2  Алев  1,2   А1  А2   1,2   p  V y    V y   .
(2.24)
2 

Подставим
реальные
значения
всех
параметров:
р=120
мм.рт.ст.=16000Па, Vy  60см3  6 10 5 м3 , v=0,5 м/с, ρ = 1,05  103 кг/м3 и получим
Аполн= 1 Дж.
При длительности одного сокращения сердца (систола+диастола) 1 с его
работа за сутки А=84400 Дж. При активной мышечной деятельности работа
сердца может возрастать в несколько раз.
Продолжительность систолы 0,3 с. Рассчитаем среднюю мощность
сердца N 
A 1 Дж

 3,3Вт . Такую мощность потребляет лампочка от
t
0,3с
карманного фонарика. Таким образом, в процессе эволюции создан самый
экономичный биологический жидкостный насос.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вопросы для самоконтроля
Течение идеальной жидкости. Уравнение неразрывности потока.
Уравнение Бернулли и следствия из него. Аэрация почвы.
Течение вязкой жидкости. Формула Ньютона. Коэффициент внутреннего
трения.
Вязкость крови и плазмы.
Изменение вязкости при патологических процессах.
Закон Стокса в технологии молочных продуктов.
Закон Стокса при лабораторно-клинических исследованиях крови (реферат).
17
8. Физическая модель сосудистой системы.
9. Перераспределение энергии в эластичных стенках кровеносных сосудов и
значение этого явления для кровообращения.
10.Сердце как источник потока крови.
11.Вычисление работы и мощности сердца.
Задачи для самостоятельного решения
1. Определить максимальное количество крови, которое может пройти через
аорту диаметром 2 см в 1 с, чтобы течение сохранялось ламинарным.
2. Определить плотность эритроцитов, если скорость их опускания в крови
(СОЭ) равна 10 мм/час. Считать, что эритроциты имеют форму шариков
диаметром 5 мкм.
1. Скорость течения воды в некотором сечении горизонтальной трубы 5 см/с.
Определить скорость течения в той части трубы, которая имеет вдвое
меньший диаметр.
4. Какой объем крови протекает через кровеносный сосуд длиной 50 мм и
диметром 3 мм за 1 минуту, если на его концах имеется разность давлений 2
мм.рт. столба?
5. Кровь в аппарате искусственного кровообращения движется по шлангу,
через поперченное сечение которого протекает ежеминутно 5 л крови. Для
определения давления в двух разных участках шланга в них вставили
манометрические трубки. Определить разность уровней крови в трубках,
если они вставлены в участки шланга диаметром 30 мм и 20 мм.
6. Гидростатическое давление крови обусловлено собственным весом крови.
Давление крови (систолическое) на уровне сердца человека равно 16 кПа.
Определить полное давление на уровне головы, расположенной на 0,4 м
выше сердца, и на уровне ступни, расположенной на 1,5 м ниже сердца.
7. При каждом биении человеческого сердца левый желудочек при
сокращении выталкивает в аорту 70 г крови под давлением 200 мм рт. столба.
За минуту происходит примерно 75 сокращений. Определить работу,
совершаемую сердцем в течение часа и мощность сердца.
8. Определите время протекания крови через капилляр вискозиметра,
если вода протекает через него за 20 с.