3and3_pt3

40. Принцип дуальности.
Мы знаем, что электронная цепь может быть описана с помощью 2х понятий Эл.тока
I и напряжения u.
Действительно: Ур - ия Кирх, все понятия, правила, Эл - ты цепей определяются через
токи и напряжения. Их можно разделить на 2е группы в которых токи и напряжения
меняются местами. К элементам этих групп относятся: ток и напряжение, 1и2 закон Кирх,
узел Эл. Цепи и контур, параллельное и последовательное соединения элементов,
проводимость и сопротивление, задающий ток и эдс, холостой ход и короткое замыкание,
емкость и индуктивность, источник тока и источник напряжения, метод узловых
направлений и метод контурных токов>=0
41. Теорема замещения. Теорема об автономном двухполюснике.
Теорема замещения
Токораспределение в структуре любой электрической цепи не изменяется, если любую
ветвь заменить либо источником напряжения с ЭДС, равной и противоположно
направленной напряжению этой ветви до замены, либо источником тока с раздающим
током,равной току этой ветви до её замены
Теорема об автономном двухполюснике.
Рассмотрим линейную электрическую цепь, которая наряду с идеализированными
пассивными элементами содержит управляемые и неуправляемые источники тока и
напряжения. Выделим в этой цепи произвольную ветвь а - а’ (рис. 4, а), а остальную часть
цепи, к которой подключена эта ветвь, представим в виде автономного двухполюсника
АД.
В соответствии с теоремой об эквивалентном источнике ток произвольной ветви линейной
электрической цепи не изменится, если автономный двухполюсник, к которому
подключена данная ветвь, заменить эквивалентным линеаризованным источником,
который может быть представлен последовательной или параллельной схемами
замещения.
ЭДС источника напряжения Eэк в последовательной схеме замещения (рис. 4, б) равна
напряжению холостого хода автономного двухполюсника, а внутреннее сопротивление
Zэк равно его комплексному входному сопротивлению. Ток идеального источника тока
Jэк в параллельной схеме замещения (рис. 4, в) равен току короткого замыкания
автономного двухполюсника, а внутренняя проводимость Yэк - его комплексной входной
проводимости.
а)
б)
в)
Теорему об эквивалентном источнике часто называют теоремой Гельмгольца, теоремой
Тевенена (применительно к схеме замещения с источником напряжения) или теоремой
Нортона (применительно к схеме замещения с источником тока).
Воспользовавшись теоремой об эквивалентном источнике, можно найти
последовательную или параллельную схему замещения любого сколь угодно сложного
линейного активного двухполюсника, поэтому данную теорему часто называют теоремой
об активном двухполюснике.
Эта теорема позволяет существенно упростить анализ цепей, особенно в тех случаях,
когда требуется определить ток или напряжение только одной ветви сложной цепи,
содержащей большое число управляемых и неуправляемых источников тока и
напряжения. В связи с тем, что параметры элементов последовательной и параллельной
схем замещения активного двухполюсника легко поддаются измерениям, выполняемым
на внешних зажимах, теорему об эквивалентном источнике применяют и для построения
схем замещения активных двухполюсников по результатам их экспериментального
исследования.
42. Последовательный колебательный контур. Полное сопротивление
и ток контура. Амплитудно - частотная (АЧХ) и фазо - частотная (ФЧХ)
характеристики.
Последовательным колебательным контуром называется цепь, составленная из
последовательно соединенных индуктивности, ёмкости и активного сопротивления,
характеризующего потери в реактивных элементах контура Как известно, простейшими
резонансными (или колебательными) цепями являются последовательный и параллельный
колебательные контуры. Ток, величина (амплитуда) которого может быть вычислена
согласно закону Ома: I  U/ X , где X - модуль суммы реактивных сопротивлений
последовательно включенных катушки и конденсатора. z  r 2  X , где X 
2
L  1
C
модуль полного сопротивления.
Частотные свойства различных цепей в технике принято оценивать с помощью
амплитудно - частотных характеристик (АЧХ).
Амплитудно - частотной характеристикой (АЧХ) называется частотная зависимость
модуля комплексной передаточной функции.
Амплитудно - частотная характеристика (АЧХ) - функция, показывающая зависимость
модуля некоторой комплекснозначной функции от частоты. Чаще всего означает модуль
комплексного коэффициента передачи линейного четырёхполюсника. Также может
рассматриваться АЧХ других комплекснозначных функций частоты, например,
спектральной плотности мощности сигнала.
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) - частотная зависимость разности фаз на выходе
и входе.
Часто ФЧХ используют для оценки фазовых искажений формы сложного сигнала,
вызываемых неодинаковой задержкой во времени его отдельных гармонических
составляющих при их прохождении по цепи
Определение ФЧХ
В теории управления ФЧХ звена определяется из равенства её тангенса отношению
мнимой части АФЧХ к реальной:
43. Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений.
Резонансная частота. Полоса пропускания. Добротность. Частотная
избирательность.
Последовательным колебательным контуром называется цепь, составленная из
последовательно соединенных индуктивности, ёмкости и активного сопротивления,
характеризующего потери в реактивных элементах контура.
Резонанс в последовательном колебательном контуре принято называть резонансом
напряжений. С учетом приведенной записи для импеданса цепи можно привести часто
встречающееся определение резонансной частоты: резонансной частотой контура
называют такую частоту, на которой сопротивление контура имеет чисто активный
(резистивный) характер. Такую частоту, при которой наблюдается рассмотренное явление,
называемое в физике резонансом, называют резонансной частотой или собственной
частотой колебаний цепи.
1
1
или f 0 
.
0 
LC
2 LC
Добротность - характеристика колебательной системы, определяющая остроту резонанса
и показывающая, во сколько раз запасы энергии в реактивных элементах контура больше,
чем потери энергии на активных за один период колебаний.
Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в
системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери
энергии в течение каждого периода. Колебания в системе с высокой добротностью
затухают медленно
Общая формула для добротности любой колебательной системы: Q 
2fW
Pd
Полоса пропускания
Полосой пропускания называется диапазон частот, на границах которого ток уменьшается
в 2 раз относительно резонансного значения I 0 . Полосу пропускания ещё
характеризуют как полосу частот, границы которой соответствуют половине мощности,
расходуемой при резонансе.
С увеличением добротности контура происходит сужение ПП и увеличение
избирательности контура. На границах ПП контур обладает следующими свойствами:
jrp  450 , x  1 , R | X | .
S A  f 2  f1 
f0
- абсолютная ПП
Q
44. Параллельный колебательный контур. Полное сопротивление и напряжение на
контуре. Амплитудно - частотная (АЧХ) и фазо - частотная (ФЧХ) характеристики.
45. Параллельный колебательный контур. Резонанс токов. Резонансная частота. Полоса
пропускания. Добротность. Частотная избирательность.
46. Система двух связанных контуров. Виды связи.
Трансформаторная связь. Понятие о взаимной индукции. АЧХ и ФЧХ.
Два контура называются связанными, если колебания, происходящие в одном из них,
захватывают другой контур. Связь между контурами может осуществляться через
электрическое поле (благодаря емкости) или через магнитное поле (благодаря
взаимоиндуктивности или индуктивности).
Три разновидности связи двух колебательных контуров:
а) трансформаторная, когда связь между контурами осуществляется благодаря
взаимоиндуктивности между катушками L1 и L2;
б) автотрансформаторная, когда связь между контурами осуществляется непосредственно
через индуктивность связи L1,2;
в) емкостная, когда связь между контурами осуществляется через емкость связи С3.
Наиболее часто в радиотехнике применяется трансформаторная связь, поэтому все
дальнейшие выкладки проведем для этого вида связи.
Если энергия колебаний переходит из одного контура в другой, то такие контуры
называются связанными.
Иначе говоря, контуры являются связанными в том случае, когда колебания,
происходящие в одном из них, воздействуют на другой контур и вызывают в нем
колебательный процесс.
Чем больше энергии переходит из одного контура в другой, т.е. чем сильнее воздействует
один контур на другой, тем сильнее связь между ними.
Величина связи характеризуется коэффициентом связи Ксв, который может иметь
значения от 0 до 1 (от 0 до 100%). Если связь отсутствует, то Ксв = 0. В радиоцепях Ксв
имеет обычно величину от долей процента до нескольких процентов, изредка до
нескольких десятков процентов.
Существует несколько различных видов связи.
Индуктивная или трансформаторная связь. Эта связь применяется наиболее часто и
образуется с помощью взаимной индукции между катушками контуров:
Контур L1C1, получающий энергию от генератора, называется первичным контуром.
Контур L2C2, получающий энергию от первичного контура, называется вторичным
контуром.
Принцип индуктивной связи заключается в там, что ток первичного контура I1, проходя
через катушку L1, создает вокруг нее магнитное поле, силовые линии которого
пересекают витки катушки L2 и возбуждают в ней индуктированную эдс, а последняя
создает во вторичном контуре ток I2. Таким образом, при индуктивной связи энергия
передается из одного контура в другой магнитным полем. Любой трансформатор является
примером индуктивной связи. Две катушки, индуктивно связывающие высокочастотные
контуры, называют трансформатором высокой частоты.
Индуктивная связь может быть постоянной или переменной. Постоянная индуктивная
связь оформляется в виде двух однослойных или многослойных катушек, намотанных
обычно на одном каркасе друг возле друга. Для переменной индуктивной связи нужно
менять расстояние между катушками или их взаимное расположение. Переменную
индуктивную связь изображают на схемах стрелкой, пересекающей катушки.
Выясним физический смысл коэффициента связи при индуктивной связи. Если L1 и L2
одинаковы и других катушек в контурах нет, то коэффициент связи показывает, какую
долю полного магнитного потока Ф1 катушки L1 составляет магнитный поток Фсв,
пронизывающий обе катушки, т.е. связывающий обе цепи. Например, если Фсв составляет
20% от Ф1, то Kсв = 0,2.
Для получения максимального тока и напряжения в контурах их настраивают в резонанс.
В первичном контуре может быть либо резонанс напряжений, либо резонанс токов в
зависимости от способа соединения генератора с этим контуром.
Во вторичном контуре при индуктивной связи, как правило, получается резонанс
напряжений.
Это объясняется тем, что в качестве генератора во вторичном контуре работает сама
катушка L2. Она включена в контур последовательно, значит, в цепи будет резонанс
напряжений.
Практически связанные контуры настраивают в резонанс для получения наибольшего тока
во вторичном контуре следующим порядком. Сначала настраивают первичный контур до
получения максимума тока в нем, затем настраивают вторичный контур в резонанс с
первичным контуром. После настройки вторичного контура надо еще раз подстроить
первичный контур, так как вторичный контур при настройке несколько влияет на
первичный и нарушает резонанс в нем. Вообще всякое изменение настройки одного из
контуров оказывает влияние на другой контур (изменяет его настройку). Приходится
дополнительно подстраивать каждый контур, чтобы восстановить резонанс.
Для настройки в резонанс двух контуров, имеющих постоянную связь, их конденсаторы
переменной емкости объединяют в один агрегат, т.е. роторы насаживают на общую ось.
На схемах такой агрегат показывают путем соединения стрелок конденсаторов штриховой
линией.
Емкости контуров выравнивают с помощью небольших надстроечных (полупеременных)
конденсаторов, емкость которых можно регулировать в некоторых пределах. Они
присоединяются параллельно основным конденсаторам.
Индуктивности катушек выравнивают, регулируя положение находящегося внутри
катушки сердечника из магнитодиэлектрика (карбонильное железо, альсифер, феррит и
др).
Рассматривая работу связанных контуров, необходимо учитывать воздействие вторичного
контура на первичный. Ток I2, возникший во вторичном контуре, создает в катушке L2
магнитный поток, пересекающий какой - то своей частью витки катушки L1 и
индуктирующий в ней некоторую эдс. Эта эдс противодействует первичному току I1 и
уменьшает его. Иначе можно сказать, что вторичный контур вносит в первичный
дополнительное сопротивление, называемое вносимым сопротивлением. Когда вторичный
контур настроен на частоту генератора, то он вносит в первичный контур только активное
сопротивление, которое тем больше, чем сильнее связь. Величина этого сопротивления
характеризует переход некоторого количества энергии из первичного контура во
вторичный. А когда вторичный контур не настроен точно на частоту генератора, то он
вносит в первичный контур не только активное, но и реактивное сопротивление,
индуктивное или емкостное, в зависимости от того, в какую сторону расстроен вторичный
контур. Таким образом, вторичный контур, будучи сам расстроенным, нарушает
настройку первичного контура.
Рис.2 - Кривые резонанса двух связных контуров при различной величине связи
Если у двух настроенных в резонанс связанных контуров снять зависимость тока или
напряжения вторичного контура от частоты генератора, то получится кривая резонанса
системы двух связанных контуров. Форма ее зависит от величины связи. Чем слабее связь,
тем острее резонанс (рис.2). При увеличении связи кривая становится более тупой и,
начиная с некоторого значения связи, принимает характерный двугорбый вид. Величина
связи, при которой получается переход кривой резонанса от одногорбой формы к
двугорбой, называется критической связью.
При одинаковых контурах ток, напряжение и мощность колебаний во вторичном контуре
при критической связи имеют наибольшие значения по сравнению с их величинами при
более слабой или более сильной связи. Поэтому критическую связь иначе называют
оптимальной, т.е. наивыгоднейшей. Но она является наивыгоднейшей только в смысле
получения наибольшей мощности во вторичном контуре.
В случае одинаковых контуров коэффициент оптимальной связи равен величине
затухания каждого контура. Если, например, связанные контуры имеют каждый в
отдельности S = 0,02, то оптимальная связь получится при Kсв - 0,02 = 2%.
Когда связь меньше критической, то ее считают слабой. При слабой связи кривая
резонанса имеет почти такую же форму, как и в случае одиночного контура. Связь больше
критической считается сильной. Если усиливать связь свыше критического значения, то
провал в резонансной кривой становится больше и разница по частоте между горбами
увеличивается (рис.2).
Критическая или сильная связь (при небольшом провале между горбами) дает
значительное расширение полосы пропускания и используется в радиоприемных
устройствах. Для сильной связи характерна передача энергии из первичного контура во
вторичный с высоким кпд (выше 50%), т.е. мощность во вторичном контуре больше, чем
мощность, теряемая в первичном контуре. Вследствие этого сильная связь применяется
при больших мощностях в радиопередатчиках. Слабая связь применяется тогда, когда не
требуется передать во вторичный контур большую мощность с высоким кпд, но зато
важно, чтобы вторичный контур мало влиял на первичный. Такая связь находит себе
применение в радиоизмерениях.
Амплитудно - частотной характеристикой (АЧХ) называется частотная зависимость
модуля КПФ.
Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется частотная зависимость аргумента
КПФ.
АЧХ и ФЧХ не зависят от значений амплитуд и начальных фаз воздействий, а
определяется числом, характером, значениями и видом соединения друг с другом ее
элементов.
Частотные характеристики линейных электрических цепей имеют важное значение, т.к.
позволяют наглядно судить о том, колебания каких частот пропускаются цепью, а какие
«подавляются».
Пример. Найти КПФ RC (рис. 5.1.a). Построите графики АЧХ и ФЧХ.
Решение:
H ( jw)  UUC ;
1
Uc  I
;
jwC
1
U  I (R 
);
jwC
 H ( jw) 

1
jwC
1
R
jwC
1

1  jwRC
 H ( w) 
e  jarctgwRC
1 ( wRC ) 2
;
1
;
1  ( wRC ) 2
 ( w)  arctgwRC
График АЧХ и ФЧХ цепи RC:
47. Переходные процессы в электрических цепях. Законы коммутации.
Начальные и конечные условия. Схемы замещения элементов в
различные моменты времени.
В предыдущих главах рассматривались процессы в электрических цепях и методы их
расчета в установившимся режиме, т.е. в режиме, при котором напряжение и токи в цепях
либо не зависит от времени, либо являются периодическими функциями времени в
зависимости от вида приложенного воздействия. Установившийся режим в цепи
достигается обычно через определенный промежуток времени после начала воздействия,
поэтому рассмотренные ранее методы анализа не охватывают так называемый
переходный режим от начала воздействия до установившегося состояния цепи.
Переходной режим работы цепи обусловлен наличием в ней реактивных элементов
(индуктивности, емкости), в которых накапливается энергия магнитного и электрического
полей. При различного рода воздействиях (подключении к цепи или исключении
источников электрической энергии, изменении параметров цепи) изменяется
энергетический режим работы цепи, причем эти изменения не могут осуществляться
мгновенно в силу непрерывности изменения энергии электрического и магнитного полей
{принцип непрерывности}, что и приводит к возникновению переходных процессов.
Следует подчеркнуть, что переходные процессы во многих устройствах и системах связи
являются составной «нормальной» частью режима их работы. В то же время в ряде
случаев переходные процессы могут приводить к таким нежелательным явлениям, как
возникновение сверхтоков и перенапряжений. Все это определяет важность рассмотрения
методов анализа переходных процессов в электрических цепях.
В основе методов расчета переходных процессов лежат законы коммутации.
Коммутацией принято называть любое изменение параметров цепи, ее конфигурации,
подключение или отключение источников, приводящее к возникновению переходных
процессов. Коммутацию будем считать мгновенной, однако переходный процесс, как
было отмечено выше, будет протекать определенное время. Теоретически для завершения
переходного процесса требуется бесконечно большое время, но на практике его
принимают конечным, зависящим от параметров цепи. Будем считать, что коммутация
осуществляется с помощью идеального ключа К, сопротивление которого в разомкнутом
состоянии бесконечно велико, а в замкнутом равно нулю. Направление замыкания или
размыкания ключа будем показывать стрелкой. Будем также считать, если не оговорено
иное, что коммутация осуществляется в момент t = 0.
Различают первый и второй законы коммутации.
Первый закон коммутации связан с непрерывностью изменения магнитного поля
Li 2
катушки индуктивности Wl 
и гласит: в начальный момент t - 0  непосредственно
2
после коммутации ток в индуктивности имеет то же значение, что и в момент t = 0  до
коммутации и с этого момента плавно изменяется:
i L (0- )  i L (0 ) .
Второй закон коммутации связан с непрерывностью изменения электрического поля
Cu 2
емкости WC 
: в начальный момент
2
t = 0  непосредственно после коммутации напряжение на емкости имеет то же значение,
что и в момент: t = 0  до коммутации и с этого момента плавно изменяется:
u C (0 - )  u C (0  ) .
*Здесь и далее под F( 0  ) понимается левосторонний предел функции f(t) при t  0 , а под
f( 0  ) - правосторонний предел f(t) при t  0
Значения токов в индуктивности i L ( 0  ) и напряжений на емкостях u C ( 0  ) образуют
начальные условия задачи.
В зависимости от начального энергетического состояния цепи различают два типа задач
расчета переходных процессов:
задачи с нулевыми начальными условиями, когда непосредственно после коммутации
(при t = 0  ) i L ( 0  ) = 0; u C ( 0  ) = 0 (т. е. WL ( 0  ) + WC ( 0  ) = 0);
задачи с ненулевыми начальными условиями, когда i L ( 0  ) не равно 0 и (или) u C ( 0  )
не равно 0 (т. е. WL ( 0  ) + WC ( 0  ) не равно 0).
Нулевые и ненулевые значения начальных условий для i L и u C называются независимыми,
а начальные условия остальных токов и напряжений зависимыми.
Независимые начальные условия определяются с помощью законов коммутации.
48. Классический метод расчета переходных процессов. Метод переменных состояний.
Порядок схемы. Устойчивость.
49. Анализ переходных процессов в последовательных и
параллельные RL и RC цепях.
Рассмотрим применение классического метода к расчету переходных процессов в цепях
первого порядка. Это цепи, содержащие только однотипные реактивные элементы
(емкости или индуктивности), процессы, в которых описываются дифференциальными
уравнениями первого порядка b1 dx
dt  b0 x  w(t ) .
Примером цепей первого порядка являются простейшие RL и RC цепи.
Переходные процессы в RL - цепях.
Рассмотрим включение RL - цепи к источнику напряжения u(t). Из рисунка следует, что
до коммутации ключ К разомкнут, поэтому ток i L ( 0  ) = 0 и цепь находится при нулевых
начальных условиях. В момент t =0 ключом К замыкаем (осуществим коммутацию) цепь,
подключив ее к источнику напряжения u(t). После замыкания ключа К в цепи начнется
переходный процесс. Для его математического описания выберем в качестве независимой
переменной i L =i и составим относительно нее дифференциальное уравнение по ЗНК:
Ri  u L  Ri 
(6.11)
 L dtdi  u (t )
Уравнение (6.11) относится к линейным неоднородным дифференциальным уравнениям
первого порядка типа (6.3), решение которого можно записать согласно (6.5) в форме
i  iпр  iсв (6.12) где iсв - свободная составляющая тока, обусловленная свободными
процессами, протекающими в цепи без участия источника u(t); iпр - принужденная
составляющая тока, обусловленная действием источника напряжения u(t).
Свободная составляющая тока iсв есть общее решение однородного дифференциального
di
уравнения Riсв  L dtсв  0 (6.13).
И согласно (6.7) iсв  Аe pt (6.14), где А - постоянная интегрирования; р корень
характеристического уравнения типа (6.6);
1
pL + R = 0. Отсюда р = - R/L. Величина
носит название постоянной времени цепи. В
p
L
перазветвленной RL - цепи  =
.
R
Принужденная составляющая iпр может быть определена как частное решение уравнения
(6.11). Однако, как было указано выше, iпр можно найти более просто методами расчета
установившегося режима цепи.
Переходные процессы в RC - цепях.
При расчете переходных процессов в RC - цепях в качестве независимой переменной
выбирают uC . Затем также составляют дифференциальное уравнение для заданной RC цепи, решение которого с учетом начальных условий для uC (0) и определяет закон
изменения напряжения на емкости.
Рассмотрим вначале RC - цепь при нулевых начальных условиях (рис. 6.6), которая
подключается в момент t = 0 к источнику постоянного u(t) = U пли синусоидального u(t)
Umsin(wt  n  напряжения. Переходный процесс в данной цепи описывается
дифференциальным уравнением uC  Ri  RC dtC  uC  u (6.23) решение которого ищем
также в форме суммы общего и частного решений, определяющих свободную и
принужденную составляющие: uC  uCсв  uС пр (6.24)
du
Свободная составляющая является решением однородного дифференциального уравнения
du
RC dtCсв  uCсв  0 (6.25) uCсв  Ae pt (6.26) где р определяется из характеристического
уравнения RCр  1  0; p   1 RC
Величина RC носит название постоянной времени RC - цепи и обозначается через τ.
Переходные процессы в цепях второго порядка
Ранее рассматривались переходные процессы в RL и RC - цепях, которые относятся к
цепям первого порядка, так как описываются дифференциальными уравнениями первого
порядка. При наличии в цепи двух независимых накопителей энергии переходные
процессы в них описываются уравнением второго порядка. Простейшим примером такой
цепи является последовательный колебательный контур.
Для этого контура можно по аналогии с RL - и RC - цепью составить дифференциальное
уравнение второго порядка, выбрав в качестве независимой переменной напряжение на
емкости uL  uR  uС  L dtdi  Ri  uC  u
Учитывая, что i  Cdu C /dt окончательно получаем LC
d 2uC
dt 2
 RC
duC
dt
 uC  u (6.37)
Вид u C пр зависит от характера приложенного напряжения, а u C св определится решением
однородного дифференциального уравнения второго порядка:
LC
d 2uC св
dt 2
 RC
duC св
dt
 uC св  0 (6.39)
Решение уравнения (6.39) зависит от вида корней характеристического уравнения
LCp 2  RCp  1  0 (6.40)
Корни уравнения (6.40) определяются только параметрами цепи независимо от выбранной
R

переменной: p1,2  - 2L
 2RL 2  LC1 (6.41)
Величина   R/2L носит название коэффициента затухания контура, а w 0  1/ LC есть
резонансная частота контура. Таким образом, уравнение (6.41) можно переписать в виде
p1,2  -   2  w02 (6.42)
Характер переходного процесса существенным образом зависит от вида корней р1, p2,
которые могут быть:
1) вещественными и различными (при R > 2р);
2) комплексно - сопряженными (при R < 2р);
3) вещественными и равными (при R = 2р).
Здесь   L C - характеристическое сопротивление контура.
50. Анализ переходных процессов в последовательной RLC цепи при подключении
источника постоянного напряжения.
51. Анализ переходных процессов в последовательной RLC цепи при отключении
источника постоянного напряжения.
52. Особенности расчета переходных процессов в сложных цепях.
53. Преобразования Лапласа. Законы Кирхгофа в операторной форме.
Операторные схемы замещения простых элементов. Понятие
операторного сопротивления и операторной проводимости
пассивного двухполюсника.
Основы операторного метода расчета переходных процессов в линейных цепях
Развитие и систематическое применение операционного исчисления началось с работ
Хевисайда (1892), который предложил формальные правила с оператором
дифференцирования
d2
dn
d
p 0  1, p  , p 2  2 ,..., p n  n
dt
dt
dt
Математическое обоснование этого метода было дано с помощью преобразования
Лапласа.
Одностороннее преобразование Лапласа
Односторонним преобразованием Лапласа (интегралом Лапласа) называется интеграл
вида.

L( p)   f (t )e  pt dt
0
Сокращенно это выражение можно записать так:

L( p)  f (t )


где  - знак соответствия, который осуществляет одностороннее прямое преобразование

функции f(t) действительного переменного t, в функцию L(p) комплексного переменного
p.

f(t) - называется функцией оригиналом, она должна быть такой чтобы
 f (t )e
 pt
dt
0
существовал.
L(p) - изображение, L - символ изображения по Лапласу;
p=a+jw - комплексная переменная;
t - время.
Возможно и обратное преобразование Лапласа
a  j
1
f (t ) 
L( p)e pt dp

2j a  j
Операторные сопротивления
ZR(p)=R - операторное сопротивление резистора (рис. 4.9.1);
1
- операторное сопротивление ёмкости;
Z C ( p) 
pC
ZL(p)=pL - операторное сопротивление индуктивности.
Обратные им величины называются операторными проводимостями:
- операторная проводимость резистора;
- операторная проводимость емкости;
- операторная проводимость индуктивности.
Понятие операторных сопротивлений и проводимостей элементов распространяется и на
линейные двухполюсники.
Операторные сопротивления цепей могут быть найдены из сопротивлений в комплексной
форме, в которых jw заменено на р.
Первый закон Кирхгофа в операторной форме
Первый закон Кирхгофа в операторной форме. Алгебраическая сумма операторных токов
в узле равна нулю.
Второй закон Кирхгофа в операторной форме
Второй закон Кирхгофа в операторной форме. В общем случае при ненулевых начальных
условиях для контура: "Алгебраическая сумма операторных ЭДС равна алгебраической
сумме операторных падений напряжений на всех элементах контура".
где ik(0) и uCk(0) - начальные значения тока, прошедшего через катушку индуктивности и
напряжение на конденсаторе в k ветви;
Zk(p) - операторное сопротивление ветви k.
54. Операторные схемы замещения элементов и электрических схем. Получение
изображений и оригиналов при операторном анализе схем.
55. Операторные передаточные функции. Методы расчета передаточных функций.
56. Единичная функция Хевисайда и единичный импульс Дирака. Временные
характеристики электрических цепей.
57. Расчёт откликов в электрической цепи на кусочно - непрерывное воздействие.
Интеграл Дюамеля.
58. Дифференцирующие цепи. Интегрирующие цепи.
На логических элементах собираются всякие формирователи, генераторы импульсов,
устройства задержки. Для этого используют различные сочетания логических элементов с
конденсаторами и резисторами. Наиболее употребительными являются RC - цепи,
изображенные ниже.
Рис. 1 - Дифференцирующая цепочка и форма напряжения на входе и выходе
Вот такое соединение резика и кондера называется дифференцирующей цепью или
укорачивающей цепью. На графиках показаны эпюры напряжения на входе и выходе этой
цепи. Допустим кондер разряжен. При подаче на вход RC - цепи импульса напряжения
кондер сразу же начнет заряжаться током, проходящим через него самого и резик.
Сначала ток будет максимальным, затем по мере увеличения заряда конденсатора
постепенно уменьшится до нуля по экспоненте. Когда через резик проходит ток, на нем
образуется падение напряжения, которое определяется, как U=i R, где i - ток заряда
кондера. Поскольку ток изменяется экспоненциально, то и напряжение будет изменяться
также - экспоненциально от максимума до нуля. Падение напряжения на резике как раз
таки и является выходным. Его величину можно определить по формуле Uвых = U0e - t/τ.
Величина τ называется постоянной времени цепи и соответствует изменению выходного
напряжения на 63% от исходного (e - 1 = 0.37). Очевидно, что время изменения выходного
напряжения зависит от сопротивления резистора и емкости конденсатора и,
соответственно, постоянная времени цепи пропорциональна этим значениям, т. е. τ = RC.
Если емкость в Фарадах, сопротивление в Омах, то τ в секундах.
Если поменять местами резистор и конденсатор, как показано на рисунке 2, то получим
интегрирующую цепь или удлиняющую цепь.
Рис. 2 Интегрирующая цепочка и формы напряжения на входе и выходе
Выходным напряжением в интегрирующей цепи является напряжение на кондере.
Естественно, если кондер разряжен, оно равно нулю. При подаче импульса напряжения на
вход цепи кондер начнет накапливать заряд, и накопление будет происходить по
экспоненциальному закону, соответственно, и напряжение на нем будет нарастать по
экспоненте от нуля до своего максимального значения. Его значение можно определить по
формуле Uвых = U0(1 - e - t/τ). Постоянная времени цепи определяется по такой же
формуле, как и для дифференцирующей цепи и имеет тот же смысл.
Для обеих цепей резик ограничивает ток заряда кондера, поэтому чем больше его
сопротивление, тем больше время заряда конденсатора. Также и для кондера, чем больше
емкость, тем большее время он заряжается.
Если после дифференцирующей цепи влепить инвертор, то наблюдается следующая
картина. В исходном состоянии на входе инвертора лог. 0 (резик сидит на корпусе). На его
выходе лог. 1. При подаче скачка напряжения в течении некоторого времени на входе
инвертора будет присутствовать логическая единица, затем спустя какое - то время
напряжение на входе уменьшится до значения, меньше порогового (т. е. до лог. 0), в
результате чего на выходе инвертора сначала напряжение упадет до лог. 0, затем опять
поднимется до лог. 1, т. е. будет сформирован импульс. Дифференцирующие и
интегрирующие цепи не раз будут встречаться в дальнейшем.
59. Определение отклика на прямоугольный импульс. Классический метод. Операторный
метод.
60. Спектры периодических негармонических токов и напряжений.
Периодическими негармоническими (или несинусоидальным) токами и напряжениями
называют токи и напряжения изменяющиеся во времени по периодическому
несинусоидальному законы.
Они возникают при четырех различных режимах работы электрических цепей (или при
сочетаниях этих режимов):
1) Когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную ЭДС (несинусоидальный
ток), а все элементы цепи - резистивные, индуктивные и емкостные - линейны, т.е. от тока
не зависят.
2) Если источник ЭДС дает синусоидальную ЭДС (синусоидальный ток), но один или
несколько элементов цепи нелинейны.
3) Когда источник ЭДС дает несинусоидальную ЭДС (несинусоидальный ток), а в состав
электрической цепи входят один или несколько нелинейных элементов.
4) Если источник ЭДС (тока) дает постоянную или синусоидальную ЭДС, а один или
несколько элементов цепи периодечиски изменяются во времени.
Расчет токов и напяжений при несинусоидальных источниках питания.
До проведения расчета вынуждающие силы (ток источника тока или ЭДС источника ЭДС)
должны быть представлены рядами Фурье.
Согласно принципу наложения, мнгновенное значение тока в любой ветви схемы равно
сумме мгновенных значений токов отдельных гармоник. Аналогично, мгновенное
значение напряжения на любому участке схемы равно сумме мгновенных значений
напряжений отдельных гамроник на этому участке. Расчет производят для каждой из
гармоник в отдельности с помощью уже известных приёмов. Сначала рассчитывают токи
и напряжения, возникающие от действия постоянной составляющей ЭДС или источника
тока, затем - токи и напряжения от воздействия первой гармоники, после чего от второй,
третьей и т.д.
61. Спектры непериодических токов и напряжений.
Для расчета спектрального состава тока в нелинейных цепях применяется степенная
аппроксимация ВАХ с использованием тригонометрических преобразований или, что
более просто, метод нескольких ординат.
Так метод 5 - ти ординат требует наличия ВАХ и графика входного напряжения. По
указанным графикам определяются 5 ординат тока: при t = 0; T/6; T/4; T/3; T/2, где Т - это
период напряжения.
При этом входное напряжение следует взять равным: u  0,7cos(2ft) В, а ток представить
i = I 0 + I1m cos(2 ft) +
в виде I 2m cos(2 2ft)  ...
A.
 I 4m cos(2 4ft)
Составив уравнения для различных t, следует вычислить постоянную составляющую тока
I 0 и амплитуды гармоник тока I km .
Для выделения спектральных составляющих можно использовать колебательный контур,
настроенный в резонанс с частотой выделяемой гармоники. При высокой добротности (и,
значит, узкой полосе пропускания) контур будет пропускать практически только
резонансную частоту. Этого можно добиться, выбрав характеристическое сопротивление
контура значительно больше активного сопротивления R4 =10 Ом.
62. Комплексная передаточная функция линейных
четырёхполюсников.
Четырёхполюсник - это обобщенное понятие электрической цепи, рассматриваемой по
отношению к четырём её зажимам.
Трансформатор, линию передачи энергии, мостовую схему и т.п. можно рассматривать
как четырёхполюсники.
Принято изображать четрёхполюсник в виде прямоугольника с выходящими из него
концами(полюсами) mn и pq. Ели четырёхполюсник содержит источники электрической
энергии, то в прямоугольнике ставят букву А (активный); если буква А отсутствует, то это
значит что четырёхполюсник пассивный.
Четырёхполюсник является передаточным звеном между источником питания и
нагрузкой. В входным зажимам mn, как правило, присоединяют источник питания, к
выходным зажимам pq - нагрузку.
Под передаточной функцией четырехполюсника К(р) на комплексной частоте р понимают
U ( p)
отношение выходного напряжения U 2 ( p) ко входному U1 ( p) : K ( p )  2
.
U1 ( p)
К(р) зависит от схемы четырехполюсника, числового значения элементов схемы и частоты
R
р. Для четырехполюсника K ( p) 
. Из уравнения следует, что U 2 ( p)  K ( p)U1 ( p) .
R  pL
Под передаточной функцией четырехполюсника для синусоидального процесса
понимают:
U ( j )
K ( j )  2
U1 ( j )
 K ( j ) e i ( )
K ( j ) получают из K ( р ) заменой р на j , K ( j) - модуль, а  ( ) - аргумент K ( j ) .
63. Основные понятия и модели электромагнитного поля.
Под электромагнитным полем понимают вид материи, характеризующий совокупностью
взаимосвязанных и взаимообусловливающих друг друга электрического и магнитного
полей. Электромагнитное поле может существовать при отсутствии другого вида материи
- вещества, характеризуется непрерывным распределением в пространстве
(электромагнитная волна в вакууме) и может проявлять дискретную структуру (фотоны).
В вакууме поле распространяется со скоростью света, полю присущи характерные для
него электрические и магнитные свойства, доступные наблюдению.
Электромагнитное поле оказывает силовое воздействие на электрические заряды. Силовое
воздействие положено в основу определения двух векторных величин, описывающих


поле: напряженности электрического поля E (В/м) и индукции магнитного поля B (В∙с/м).


На заряд q(Кл), движущийся со скоростью  в электрическом поле напряженности E и




магнитном поле индукции B , действует сила Лоренца F  qE  q[ B] .
Электромагнитное поле обладает энергией, массой и количеством движения, т.е. такими
же атрибутами, что и вещество. Энергия в единице объема, занятого полем в вакууме,
равна сумме энергий электрической и магнитной компонент поля и равна
 E 2 B2
Wэм  0 
2
20
Здесь:
1
- электрическая постоянная, Ф/м;
0 
4  9 109
0  4 107 - магнитная постоянная, Гн/м.
Масса электромагнитного поля в единице объёма равна частному от деления энергии поля
W на квадрат скорости распространения электромагнитной волны в вакууме, равной
скорости света. Несмотря на малое значение массы поля по сравнению с массой вещества,
наличие массы поля указывает на то, что процессы в поле являются процессами
инерционными.
Электрическое и магнитное поля могут быть изменяющимися и неизменными во времени.
Неизменными в макроскопическом смысле электрическим полем является
электростатическое поле, созданное совокупностью зарядов, неподвижных в пространстве
и неизменных во времени.
64. Магнитные цепи. Основные понятия. Виды магнитных цепей.
Характеристики.
Разновидности магнитных цепей.
Магнитной цепью в общем случае называют совокупность катушек с током,
ферромагнитных тел или каких либо иных тел (сред), по которым замыкается магнитный
поток.
Магнитные цепи могут быть подразделены на неразветвленные и разветвленные.
Примером неразветвленной цепи может служить цепь приведенная на данном рисунке:
Разветвленные цепи делятся на симметричные и несимметричные. Магнитная цепь на
рисунке ниже симметрична, в ней Ф1  Ф2 , если обе части её, расположенные слева и
справа от вертикальной пунктирной линии, одинаковы геометрическом отношении,
изготовлены из одного и того же материала и если I11  I 2 2 .
Достаточно сделать I11  I 2 2 , изменить направления тока в одной из обмоток или
сделать воздушный зазор в одном из крайних стержней магнитопривода, чтобы магнитная
цепь на рисунке стала несимметричной. Если цепь окажется несимметричной, то Ф1  Ф2 .
65. Законы распределения магнитного потока в магнитных цепях.
Анализ и расчет магнитных цепей.
Рассмотрим пример расчёта магнитной цепи постоянного магнита. Магнитная индукция в
зазоре магнита ( B ) зависит от соотношения между длиной воздушного зазора  и длиной
ферромагнитной части магнита lC (ниже на рисунке). Обозначим H  - напряженность
поля в воздушном зазоре; BC - магнитная индукция в теле магнита; H C - напряженность
поля в теле магнита.
Найдём две неизвестные величины BC и H C , полагая известными кривую
размагничивания ферромагнитного материала, зазор  и длину lC . Одна связь между
ними (нелинейная) дается кривой размагничивания. Другая связь (линейная) следует из
закона полного тока.
Действительно, если воспользоваться законом полного тока, то можно записать:
Нуль в правой части уравнения объясняется тем, что на постоянном магните нет обмотки
с током. Но H   0,8 106 B , где H  - в А/м, B - Тл.
Если зазор достаточно мало, то можно в первом приближении принять, что рассеяние
потоко отсутствует и BCSC = B S , где SC - площадь поперечного сечения воздушного
B S
B S
зазора. Отсюда: B  C C , H   0,8  10 6 B  0,8 106 C C
S
S
Подставив H  в уравнение, получим H C   NBC
S
Где N  0,8 10 6 C
l CS
Коэффициент N, зависящий от геометрических размеров, называющий
размагничивающим фактором: [N] = А∙м/(В∙с).
Для определения H C и B C на рис. 14.18, следует нанести прямую построенную по
формуле H C . В точке пересечения прямой с кривой размагничивания сразу
удовлетворяются обе связи между H C и B C , которым должно быть подчинено решение.