27c

Лекция 27. Режимы работы линии без потерь
Определение длинной линии без потерь. Режимы работы: режим бегущей
волны, ражим стоячей волны, режим смешанных волн. Распределение
амплитуд токов и напряжений вдоль линии в различных режимах работы.
Цели изучения:
1. Определение параметров линии без потерь.
2. Анализ распределения амплитуд токов и напряжений вдоль линии в
различных режимах работы: холостой ход, короткое замыкание,
резистивная нагрузка.
Для линии без потерь выполняются условия:
R0 = G0 = 0.
Коэффициент ослабления  равен нулю, а коэффициент распространения
является чисто мнимым:
  j L0 C0 .
Амплитуды падающей и отраженной волн напряжения и тока в не зависят
от координаты x и не изменяются вдоль линии
Коэффициент фазы прямо пропорционален частоте
   L0 C0 .
(27.1)
Волновое сопротивление линии без потерь имеет чисто резистивный
характер
Z B  L0 / С0  RB .
(27.2)
Длина волны в линии обратно пропорциональна частоте

2
 L0 C0

1
f L0 C 0
.
Выражения (8.30), (8.32) для линии без потерь упрощаются и приводятся к
виду
U ( x)  U 2 соs у  jZ в I2 sin  y;
U
I( x)  I2 соs у  j 2 sin  y.
Zв
(27.3)
1
Исследуем основные режимы работы длинной линии без потерь.
27.1. Режим бегущих волн
Режимом бегущих волн называется режим работы линии, при котором в
ней распространяется только падающая волна напряжения и тока, т.е.
амплитуды напряжения и тока отраженной волны во всех сечениях линии
равны нулю. очевидно, что в режиме бегущих волн коэффициент отражения
линии Котр = 0. Из выражения (8.26) следует, что коэффициент отражения
может быть равен нулю при сопротивлении нагрузки линии равном волновому
сопротивлению ZB (такая нагрузка называется согласованной).
Полагая в (8.35) равной нулю отражённую волны, определит мгновенные
значения тока и напряжения вдоль линии
u( x, t )  2U1 cos( t   x   u1 );
i( x, t )  2I1e  x cos( t   x   i1 ).
(27.4)
В режиме бегущих волн амплитуды напряжения и тока в линии без потерь
сохраняют одно и то же значение во всех сечениях линии (рис. 27.1).
Начальные фазы напряжения u1 - x и тока i1 - x в режиме бегущих
волн изменяются вдоль линии по линейному закону, причем сдвиг фаз между
напряжением и током во всех сечениях линии имеет одно и то же значение u1
- i1.
Входное сопротивление линии в режиме бегущих волн равно волновому
сопротивлению линии и не зависит от ее длины:
Z1 ( j )  Z B .
u(x)
U1
0
x
Рис. 27.1. Распределение амплитуд напряжения вдоль линии в режиме
бегущих волн
2
У линии без потерь волновое сопротивление имеет чисто резистивный
характер, поэтому в режиме бегущих волн сдвиг фаз между напряжением и
током во всех сечениях линии без потерь равен нулю.
Мгновенная мощность, потребляемая участком линии без потерь,
расположенным правее произвольного сечения x (см. рис. 8.1), равна
произведению мгновенных значений напряжения и тока в сечении x:
p(x, t) = u(x, t)i(x, t)= 2U1 I1 cos2(t - x - u1)
(27.5)
Мгновенная мощность, потребляемая произвольным участком линии без
потерь в режиме бегущих волн, не может быть отрицательной, следовательно,
в режиме бегущих волн передача энергии в линии производится только в
одном направлении - от источника энергии к нагрузке. Обмен энергией между
источником и нагрузкой в режиме бегущих волн отсутствует и вся энергия,
передаваемая падающей волной, потребляется нагрузкой.
27.2. Режим стоячих волн
Если сопротивление нагрузки рассматриваемой линии не равно волновому
сопротивлению, то только часть энергии, передаваемой падающей волной к
концу линии, потребляется нагрузкой. Оставшаяся часть энергии отражается
от нагрузки и в виде отраженной волны возвращается к источнику. Если
модуль коэффициента отражения линии равен 1, т.е. амплитуды отраженной и
падающей волн во всех сечениях линии одинаковы, то в линии
устанавливается специфический режим называемый режимом стоячих волн.
Согласно выражению (26.16) модуль коэффициента отражения Котр = 1 только
в трех случаях: когда сопротивление нагрузки равно либо нулю, либо
бесконечности, либо имеет реактивный характер. Следовательно, режим
стоячих волн может установиться только в линии без потерь при коротком
замыкании или холостом ходе на выходе, а также если сопротивление
нагрузки на выходе такой линии имеет чисто реактивный характер.
1) Короткое замыкание на конце линии
При коротком замыкании на выходе линии коэффициент отражения в
конце линии Котр2 = - 1. В этом случае напряжения падающей и отраженной
волн в конце линии имеют одинаковые амплитуды, но сдвинуты по фазе на
180, поэтому мгновенное значение напряжения на выходе тождественно равно
нулю. Подставляя в выражения (27.3) Z2 =0, находим комплексные
действующие значения напряжения и тока линии:
3
U ( x)  jRB I2 sin(  y);
I( x)  I cos(  у).
(27.6)
(27.7)
2
Полагая, что начальная фаза тока на выходе линии равна нулю, и переходя
от комплексных действующих значений напряжений и токов к мгновенным,
устанавливаем, что при коротком замыкании на выходе линии амплитуды
напряжения и тока изменяются вдоль линии по периодическому закону
(рис. 27.2)
u ( x, t )  [ 2 RB I 2 sin(  у )] cos( t   / 2);
i ( x, t )  [ 2 I 2 cos(  у )] cos( t ),
U m ( x)  2 RB I 2 sin(  у) ;
(27.8)
(27.9)
I m ( x)  2 I 2 cos(  у) ,
Максимальные значения амплитуды напряжения и тока в некоторых точках
U m max  2 RB I 2' , I m max  2 I 2' , минимальные равны нулю.
Точки, в которых мгновенные значения напряжения (тока) равны нулю,
называются узлами напряжения (тока).
Точки, в которых амплитуда напряжения (тока) принимает максимальное
значение, называются пучностями напряжения (тока). Как видно из рис. 27.2,
узлы напряжения соответствуют пучностям тока и, наоборот, узлы тока
соответствуют пучностям напряжения.
Um(x)
Um max
у
5/4





Im(x)
Im max
у
5/4

 4 


Рис. 27.2. Распределение амплитуд напряжения и тока вдоль линии в
режиме короткого замыкания
Узлы напряжения (тока) и пучности напряжения (тока) чередуются с
интервалом /4, а расстояние между соседними узлами (или пучностями)
равно /2. Пучности напряжения (тока) возникают в тех сечениях линии, в
которых напряжения (токи) падающей и отраженной волн совпадают по фазе
и, следовательно, суммируются, а узлы располагаются в сечениях, где
напряжения (токи) падающей и отраженной волн находятся в противофазе и,
следовательно, вычитаются.
Мгновенная мощность, потребляемая произвольным участком линии,
изменяется во времени по гармоническому закону, поэтому активная
мощность, потребляемая любым участком линии, равна нулю
p( x, t )  u ( x, t ) i( x, t )  
RB ( I 2' ) 2 sin (2  x ' ) sin (2 t )
.
2
(27.10)
Таким образом, в режиме стоячих волн энергия вдоль линии не передается,
и на каждом участке линии происходит только обмен энергией между
электрическим и магнитным полями.
2) Холостой ход
В режиме холостого хода распределение амплитуд напряжения (тока)
вдоль линии определяется аналогично предыдущему случаю (рис. 27.3)
U m ( x)  2U 2 cos  у ;
I m ( x)  2
U2
sin  у .
RB
Um(x)
Um max
у
5/4



5


Im(x)
Im max
Рис. 27.3. Распределение амплитуд напряжения и тока вдоль линии в
режиме холостого хода
3) Линия с реактивной нагрузкой
Рассмотрим линию без потерь, сопротивление нагрузки на выходе которой
имеет чисто реактивный характер:
Zн = jxн.
(27.11)
Подставляя (27.11) в (26.18), получаем
К отр2 
j
jxН  RB
 e 2 .
jxН  RB
(27.12)
из которого следует, что модуль коэффициента отражения на выходе линии
равен 1, а аргумент
   2arctg ( x H / RB ) при x H  0;
    2arctg ( x H / RB ) при x H  0.
 2  
Используя выражения (8.35), (8.44), найдем комплексные действующие
значения напряжения и тока линии:
U ( x)  U 2 1  ( RB / x H ) 2 cos(  y   );
I( x)   I2 1  ( x H / RB ) 2 sin(  y   ),
(27.13)
где  = arctg(RB/xн).
Из выражения (27.13) видно, что амплитуды напряжения и тока
изменяются вдоль линии по периодическому закону:
6
U m ( x)  2U 2 1  ( RB / x H ) 2 cos(  y   ) ;
I m ( x)  2I 2 1  ( x H / RB ) 2 sin(  y   ) .
Координаты узлов напряжения (пучностей тока)
y k  (2k  1) / 4  l1 ,
где
l1   /( 2 ); k = 0, 1, 2, 3, ...,
а координаты пучностей напряжения (узлов тока)
y n  n / 2  l1 ,
где n = 0, 1, 2, 3, ...
Распределение амплитуд напряжения и тока при чисто реактивной нагрузке
в целом имеет такой же характер, как и в режимах холостого хода или
короткого замыкания на выходе (рис. 27.4), причем все узлы и все пучности
смещаются на расстояние l1 так, что в конце линии не оказывается ни узла, ни
пучности тока или напряжения.
Um(x)
Um max
а
у
l1+
l1+ l1+l1 
Um(x)
Um max
у
l1+
l1+ l1+l1 
7
б
Рис. 27.4. Распределение амплитуд напряжения вдоль линии с ёмкостной и
индуктивной нагрузкой
27.3. Режим смешанных волн
Режимы бегущих и стоячих волн это предельные случаи, в одном из
которых амплитуда отраженной волны во всех сечениях линии равна нулю, а в
другом - амплитуды падающей и отраженной волн во всех сечениях линии
одинаковы. В остальных случаях в линии имеет место так называемый режим
смешанных волн который можно рассматривать как наложение режимов
бегущих и стоячих волн. В режиме смешанных волн энергия, передаваемая
падающей волной к концу линии, частично поглощается нагрузкой, а частично
отражается от нее, поэтому амплитуда отраженной волны больше нуля, но
меньше амплитуды падающей волны.
Как и в режиме стоячих волн, распределение амплитуд напряжений и тока
в режиме смешанных волн (рис. 27.5) имеет четко выраженные максимумы и
минимумы, повторяющиеся через /2. Однако амплитуды тока и напряжения в
минимумах не равны нулю. Чем меньшая часть энергии отражается от
нагрузки, т.е. чем выше степень согласования линии с нагрузкой, тем в
меньшей степени выражены максимумы и минимумы напряжения и тока,
поэтому соотношения между минимальными и максимальными значениями
амплитуд напряжения и тока можно использовать для оценки степени
согласования линии с нагрузкой. Величина, равная отношению минимального
и максимального значений амплитуды напряжения или тока, называется
коэффициентом бегущей волны
К бв 
U m min
I
 m min .
U m max I m max
(27.14)
Коэффициент бегущей волны может изменяться в пределах от 0 до 1,
причем чем больше Кб, тем ближе режим работы линии к режиму бегущих
волн.
Um(x)
Um max
Um min
у
5/4


8



Im(x)
Im max
Im min
Рис. 27.5. Распределение амплитуд напряжения и тока вдоль линии без
потерь в режиме смешанных волн
Cвязь между коэффициентом бегущей волны и коэффициентом отражения
в линии без потерь
Kбв = (1 - Котр2)/(1 + Котр2).
(27.15)
В линии с потерями модуль коэффициента отражения изменяется вдоль
линии, достигая наибольшего значения в точке отражения (при x = l). В связи
с этим в линии с потерями значение коэффициента бегущей волны изменяется
вдоль линии, становясь в конце нее минимальным.
Выводы
 В линии без потерь погонные сопротивление и проводимость
равны нулю, коэффициент распространения – величина
действительная (коэффициент затухания равен нулю).
 При равенстве сопротивления нагрузки и волнового сопротивления
линии отсутствует отражённая волна, устанавливается режим
бегущей волны. Вся энергия волны поглощается нагрузкой.
 Если модуль коэффициента отражения линии равен 1, то в линии
устанавливается специфический режим стоячих волн.
 Режим стоячих волн может установиться в линии без потерь при
коротком замыкании или холостом ходе на выходе, а также если
сопротивление нагрузки на выходе линии имеет чисто реактивный
характер.
 В режиме смешанных волн энергия, передаваемая падающей
волной к концу линии, частично поглощается нагрузкой, а
частично отражается от нее.
 Степень близости к режимам стоячей и бегущей волны
характеризуется коэффициентом стоячей волны и коэффициентом
бегущей волны.
9