Document 3758508

ЛЕКЦИЯ 7
7. Структурная надежность
Структурной надежностью системы (устройства) называется
результирующая надежность системы (устройства) при заданной ее структуре и
известных значениях надежности всех входящих в нее частей (элементов).
Так как значения надежности отдельных частей системы изменяются в
зависимости от режима и условий их работы, то это должно быть учтено путем
выбора значений надежности каждой из частей в соответствии со свойственными
этой части режимом и условиями работы.
Рассмотрим типовые структуры и определим значение надежности.
7.1. Последовательное соединение
На рисунке (7.1) представлена структурная схема, состоящая из частей
(блоков, элементов), соединенных последовательно. Если значения надежности
отдельных частей не зависят друг от друга, т.е. выход из строя одной части не
меняет надежности других, то надежность схемы определится как произведение
значений надежности для отдельных частей, т.е.
1
2
n
i n
p  p1 p 2 p3  p n1 p n   pi
i 1
Полагая p  e
i
 i t
, имеем
p 
n  t
e i
i 1
 et .
Соответствующее значение среднего времени безотказной работы
Tn 
1
n
 i
i 1

1

и будет определяться как среднее время до отказа.
В случае, если все элементы имеют одно и то же значение надёжности
(равнонадежны), то
t
n
 nt
p  p  e
e
  n ; Tn 
1
.
n
;
Пример 1.
Структурная схема состоит из пяти блоков, соединённых последовательно.
Значения надёжности (т.е. вероятности безотказной работы) отдельных
блоков соответственно будут равны:
p1  e  1t ;
p2  e   2 t ;
1
ч
p3  e  3t ;
1
ч
p4  e   4 t ;
1
ч
p5  e  5t ,
1
ч
1
ч
1  2  10  5 ; 2  3  10  5 ; 3  1,5  10  5 ; 4  10  10  5 ; 5  1  10  5 .
Результирующая надёжность схемы
p  p1 p2 p3 p4 p5  e(1  2  3  4  5 ) t  e17,510
5
t
.
Рассмотрим случай, когда надёжность устройства
i n
p    pi ,
i 1
для надёжностей отдельных частей имеет различные законы распределения:
- экспоненциальные:
p1  e 1t ; p 2  e 2t ;  ;
-
Вейбулла:
pk  e

( t  k )  k
k
; ; p n  e

( t  n )  n
n
.
В этом случае, подставляя значение pi и логарифмируя, имеем
n (t   )  i
k 1
i
 ln p     i t  
i
i k
 i 1

.

Если необходимо найти значение p для заданной величины, то задача решается
путём подстановки в полученную формулу значений:  i ,  i ,  i ,  i
и
t.
7.2 Параллельное соединение
На рисунке (7.2) приведена структурная схема, состоящая из элементов,
соединенных параллельно. Считаем по-прежнему, что надежность каждого
элемента не зависит от надежности любого другого элемента.
q1
q2
qm1
qm
Если надёжности (т.е. вероятности
безотказной работы) отдельных частей
равны соответственно: p1 , p 2 , p 3 ,  , p m ,
то их ненадёжности (т.е. вероятность
отказа) будут
q1  1  p1 ; q 2  1  p 2 ; q3  1  p3 ;  , q m  1  p m ,
а результирующая ненадёжность схемы
(т.е. вероятность отказа всей схемы) всей
схемы
jm
jm
q  q q  q   q   (1  p )

1 2
m
j
j
j 1
j 1
Надёжность работы схемы, состоящей из параллельно соединённых частей
j m
p   1  q   1   (1  p j ) .
j 1
Для элементов, имеющих одинаковую вероятность отказа, получим
q  1 p m  q m
и

p  1  q  1  1 p
m

Следует заметить, что если надёжность частей (блоков, элементов)
подчиняется экспоненциальному закону, то результирующая надёжность уже не
будет соответствовать экспоненциальному закону:
p1  e 1t ; p2  e 2t ;  pm  e
 mt
,
то
p  1  (1  e 1t )(1  e 2t )  (1  e mt ) .
7.3. Параллельно-последовательное соединение
Наиболее распространенными являются следующие два случая
параллельно-последовательного соединения рис. 7.3. В первом случае имеется m
параллельных цепочек по n одинаковых по надежности частей в каждой.
Надежность, т.е. вероятность безотказной работы каждой цепочки
  1  p
 , а надежность всей схемы
следовательно, q

p  1  1  p n

m
  pn ,
p
 1  (q '  ) m .
m
m
n
n
Увеличивая число параллельно соединенных цепочек  m    , получим
p  1 т.е. параллельное соединение цепочек из одинаковых частей увеличивает
надежность схемы. Если увеличивать  n    , то p  0 ; при  n    и  m   
значение p  0 .
Во втором случае последовательно соединено n групп из m параллельно
соединенных одинаковых частей. Надежность работы группы
а надежность работы всей схемы
p   1  1  p  m ,

  

p  p '  1  1  p 
При  m    , значение p  1 . Если  n    , то p  0 , наконец, при  m    и
 n    значение p  1 .
n
m n
По приведенным выше правилам можно рассчитать надежность любой
структурной схемы, разложив ее на ряд последовательных и параллельных
ветвей.
7.4. Резервирование как способ повышения надежности
В случае, если элементы имеют отказы, носящие характер обрывов, то можно
увеличить надежность путем параллельного включения нескольких элементов.
Рассмотрим несколько возможных вариантов таких включений.
Способ непосредственного параллельного включения.
В данном случае производится включение параллельно и на всё время их
работы. При этом могут иметь место два случая:
- первый, когда резервируется каждый из элементов,
Р езервны е элем енты
1*
2*
3*
О сн овн ы е элем ен ты
4*
1
2
3
4
1**
2**
3**
4**
Р езервны е элем енты
-
второй, когда резервируется сразу целая цепь или ее участок, состоящий из
нескольких элементов, включенных последовательно.
Р езервная си стем а
1*
2*
3*
О сновная систем а
4*
1
2
3
4
1**
2**
3**
4**
Р езервная си стем а
В общем случае для получения нужной надежности может быть включено
для различных участков схемы разное число элементов параллельно.
b1
a1
d1
c1
d2
b2
a2
c2
b3
d3
d4
Величина надежности такой схемы
p  (1  q 1 q 2 )(1  qb1 qb 2 qb3 )(1  q c1 q c 2 )(1  q d 1 q d 2 q d 3 q d 4 ) .
Резервирование путем переключения на запасной элемент.
В этом случае необходим дополнительный элемент-переключатель C , для
которого нужно знать:
A
C
B
p - надежность включения
d
запасного элемента (цепи) в момент,
когда это требуется.
p s - надежность невключения (в период, когда не требуется включения)
p c - надежность контакта
Надежность работы схемы:
p  pc pa pb  qa pb pd  qb pa ps ,
где qa  1  pa и qb  1  pb .
Формула получена в результате рассмотрения всех возможных случаев, при
которых схема остается работоспособной.
Положим ps  pd  pc  1 , тогда система в момент t остаётся
работоспособной при выполнении любого из следующих двух условий:
1. Элемент A работает в течение времени t x
2. Элемент A отказал в момент t s
t;
 t , а элемент B
работает в течение
времени от t1 до t .
Представляя это в виде вероятностей, зависящих от времени, найдём

t 


p(t )   f a (t ) dt    f a (t1 )  f b (t ) dt dt1 ,
t
0
t t1


где f (t ) - плотность распределения отказов для элементов. Первый член даёт
вероятность работы элемента A до момента времени t . Второй член в
квадратных скобках содержит значение плотности распределения отказа
элемента A в момент t1 и значение вероятности безотказной работы элемента
в течение времени (t  t1 ) . Так как t1 лежит в пределах между 0 и
интегрирование производится в этих пределах.
B
t , то
Резервирование при наличии отказов, как вследствие обрыва, так и
короткого замыкания.
Пусть два одинаковых элемента А и В (А=В) включены параллельно с целью
резервирования. Обозначим
q s - вероятность короткого замыкания в элементе А или В;
q 0 - вероятность обрыва в элементе А или В;
p - вероятность отсутствия отказа элемента А или В
p  1  q s  q 0  .
В работе схемы возможны следующие случаи отказов:
1) в элементе А – короткое замыкание (А=0), элемент В работает (В  0; В   );
2) в элементе В – короткое замыкание (В=0), элемент А работает (А  0; А   );
3) в элементах А и В обрыв (А=В=);
4) в А – короткое замыкание (А=0), в элементе В обрыв (В=);
5) в элементе В – короткое замыкание (В=0), в элементе А обрыв (А=);
6) в элементах А и В – короткое замыкание (А=В=0).
Определим вероятности для каждого из этих случаев отказа
№
1
Состояние элементов
А=0; В  0; В  
А  0;
2
А   ; В=0
3
А=В=
4
А=0; В=
5
А=; В=0
А=0; В=0
6
Вероятность qi
q s p;
q s p;
q20
qs q0 ;
qs q0 ;
q2s
Вероятность отказа схемы вследствие любого из видов отказа элементов А
и В будет
6
qt   qi  2qs p  q02  qs2  2qs q0  2qs ( p  q0  qs  q02  qs2 )  q02  2qs  qs2 ,
1
так как p  (q0  qs )  1 .
Введём обозначения
 q
q 
q0  qs  qt 0  0  s   qt 0  m  n , ,
 qt 0 qt 0 
где qt 0 - суммарная вероятность отказа одного из элементов, тогда
qt  (m2  n 2 )qt20  2nqt 0 ,
Отношение  определяет, во сколько раз уменьшится вероятность отказа
благодаря резервированию:

qt 0
1
1
,
 2

2
qt (m  n ) qt 0  2n (1  2n) qt 0  2n
так как m  n  1 и m 2  1  2n  n 2 . Если n  0,5 , то   1 , т.е. резервирование
неэффективно; при n  0,5 будет проигрыш в надёжности, при n  0,5 - выигрыш в
надёжности при резервировании путём параллельного включения двух
одинаковых элементов А и В.
Определим вероятность отказа в общем случае, когда имеется m
параллельно включенных элементов.
Если отказ каждого элемента возможен только типа обрыва, т. е.
m
q s1  q s 2  q s 3    q sn  0 , то q m  q 01q 02  q 0 m   d 0i .
i 1
Если, наоборот, отказ возможен только типа короткого замыкания, т. е.
q o1  q o 2  q o3    q om  0 ,
то вероятность отказа определяется из следующих соображений. Вероятность
исправной работы одного элемента в этом случае равна (1  q si ) , вероятность
m
исправной работы всех элементов будет  (1  q si ) , а вероятность отказа схемы
i 1
m
q m  1   (1  q si ).
i 1
В общем случае, когда возможны отказы того и другого типов,
m
m


q m    q 0i  1   (1  q si ) ,
i 0
 i 1

или при одинаковых элементах


q m   q 0m  1  (1  q s ) m .
Таким образом,

qs  q0
q0m
  1  qs
m  1
.