Методы анализа цепей,

Лекция 25. Задача анализа цепей с
распределёнными параметрами.
Дифференциальное уравнение длинной линии
Определение цепи с распределёнными параметрами. Одномерные цепи с
распределёнными параметрами – длинные линии. Первичные (погонные)
параметры линии. Однородные и неоднородные длинные линии. Уравнения
электрического равновесия для длинной линии (телеграфные уравнения).
Начальные и граничные условия. Вторичные параметры линии.
Цель изучения:
1. Определение цепи с распределёнными параметрами
2. Постановка задачи анализа цепи с распределёнными параметрами
3. Нахождение первичных и вторичных параметров линии
4. Составление уравнений длинной линии
Цепями с распределенными параметрами называются идеализированные
электрические цепи, процессы в которых описываются дифференциальными
уравнениями в частных производных. Токи и напряжения в одномерной цепи с
распределенными параметрами являются функциями двух переменных времени t и координаты x.
Исторически сложилось так, что первыми в качестве одномерных цепей
с распределенными параметрами стали представлять так называемые длинные
цепи, т.е. линии передачи энергии от источника к нагрузке, длина которых
значительно превышает длину волны передаваемых электромагнитных
колебаний. Поэтому одномерные цепи с распределенными параметрами часто
называют длинными линиями или линиями.
Рассматривая электромагнитные процессы, происходящие в электрических
линиях, при помощи которых электрическая энергия или сигналы передаются
на расстояние, необходимо иметь в виду, что магнитное и электрическое поля
распределены по всей длине линии и превращение электромагнитной энергии
в тепло также происходит по всей длине линии.
Если мысленно выделить какой-либо конечный участок этой линии, то
токи на концах этого участка окажутся неодинаковыми вследствие наличия
токов смещения, обусловленных емкостью между токоведущими
проводниками, и токов утечки через изоляцию. Только при бесконечном
уменьшении участков линии токи на концах их можно считать равными друг
другу.
1
Магнитный поток, который сцепляется с контуром тока, образуемым
токоведущими проводниками, определяет индуктивность цепи.
Емкость между проводами, а также емкости этих проводов по отношению к
земле (или соответственно к корпусу машины, самолета, корабля и т. д.) и
другим соседним проводам определяют емкость цепи.
Тепловые потери в проводах с учетом поверхностного эффекта и эффекта
близости обусловливают продольное активное сопротивление цепи
Наконец, несовершенство изоляция (проводимость изоляции и
диэлектрические потери, возникающие в ней определяет поперечную
активную проводимость цепи.
В качестве цепи с распределенными параметрами ниже рассматривается
однородная двухпроводная линия, т. е. такая линия, индуктивность, емкость,
активное сопротивление и проводимость которой равномерно распределены
вдоль всей длины линии. Эти электрические параметры, отнесенные к единице
длины линии, называются
первичными параметрами линии; они
обозначаются через L0, С0, R0 и G0. Первичные параметры линии зависят от её
конструкции и частоты.
В зависимости от того, какие процессы в исследуемой реальной цепи
имеют преобладающий характер, а также от степени идеализации,
эквивалентная схема элементарного участка цепи может не содержать тех или
иных из показанных на рис. 8.1 элементов. В соответствии с этим цепи с
распределенными параметрами подразделяют на цепи без потерь (LC -линии),
резистивно-емкостные (RC- линии), резистивно-индуктивные (RL- линии) и
резистивные (RG- линии). Наиболее интересны процессы в линиях без потерь
и в линиях общего вида с малыми потерями, которые используются в
основном для моделирования реальных линий передачи и колебательных
систем сверхвысоких частот. С развитием микроэлектроники возрос интерес к
исследованию процессов в RC -линиях, которые используют в качестве
моделей различных пассивных элементов интегральных микросхем
(пленочных и диффузионных резисторов, конденсаторов, соединительных
проводников и перемычек), а также к исследованию резистивных линий,
которые применяют для моделирования контактов к различным
микроэлектронным элементам.
u
x
L0xL2 i+i
R
R0xi
i
G0x
x
i
L2
L2
Ri
Ri
C0x
u+u
2
Рис. 25.1. Элементарный участок цепи с равномерно распределёнными
параметрами
Напряжение и ток в линии являются функциями двух независимых
переменных: пространственной координаты х, определяющей место
наблюдения, и времени t, определяющего момент наблюдения. Здесь
предполагается, что направление координатной оси х совпадает с
направлением оси линии.
Нашей задачей является нахождение пространственно-временного
распределения тока в линии i(x, t) и напряжения между проводами и (х, t).
Выберем положительное направление тока в линии слева направо (рис. 8.1) и
условимся называть «началом» линии левый конец, а «концом» линии —
правый конец. Расстояние до произвольной точки линии от начала обозначим
через х, а от конца — через y.
Выделим элементарный участок линии длиной x, находящийся на
расстоянии х от начала. Пользуясь первичными параметрами r, g, L и С,
отнесенными к единице длины, приближённо представим рассматриваемый
участок в виде последовательно включённых сопротивления R0x и
индуктивности L0x и параллельно включённых активной проводимости
G0x и ёмкости C0x. Обозначим:
и — напряжение между верхним и нижним проводами в точке х,
u+u — приращение напряжения на участке x,
i — ток в точке х,
i+I — приращение тока на участке x.
Уравнения для приращений напряжений и тока на элементе длины x
запишутся следующим образом:
i

 u  ( R0 i  L0 t )x;

 i  (G (u  u )  C  (u  u ) .
0
0

t
3
(25.1)
Ввиду наличия двух независимых переменных (x и t) уравнения
записываются в частных производных.
По мере стремления x к нулю степень точности этих уравнений повышается.
Итак, линия рассматривается как цепная схема с бесконечно большим числом
звеньев, электрические параметры которых бесконечно малы.
Разделив обе части уравнений (25.1) на x и перейдя к пределу x = 0,
получаем дифференциальные уравнения
i
 u
 x  R0 i  L0 t ;

 i  G u  C u .
0
0
 x
t
(25.2)
Эти уравнения известны в литературе под названием телеграфных
уравнений.
Если за начало отсчета принять конец линии, т. е. ввести координату y, то
уравнения примут вид:
i
 u
 у  R0 i  L0 t ;


 i  G u  C u .
0
0
 у
t
(25.3)
Уравнения (25.2) или (25.3) могут быть решены однозначно при
использовании начальных и граничных условий. Начальными условиями
будут значения напряжения и тока в начале или конце линии в момент
времени, принятый за нуль. Граничные условия определяются связями
между напряжением и током в начале или конце линии, зависящими от
заданного режима работы линии.
Решение указанных выше уравнений дает функциональные зависимости
напряжения и тока в линии от переменных х (или y) и t.
Для решения дифференциальных уравнений линии воспользуемся
операторным методом, который позволяет перейти от решения
дифференциальных уравнений в частных производных для мгновенных
значений токов i = i(x, t) и напряжений u = u(x, t) линии к решению
обыкновенных дифференциальных уравнений, составленных относительно
4
операторных изображений соответствующих токов
напряжений
I ( x, p)    i ( x, t ) и
U ( x, p)    u ( x, t ) .
Применив преобразование Лапласа к уравнениям (25.2), получаем

dI ( x, p)
 (G0  pC 0 )U ( x, p)  C 0 u ( x, 0);
dx
(25.4)

dU ( x, p)
 ( R0  pL0 ) I ( x, p)  L0 i ( x, 0),
dx
где функции u(x, 0), i(x, 0) описывают распределение напряжения и тока
вдоль линии при t = 0, т.е. определяют начальные условия задачи. В связи с
тем что в уравнениях (25.4) содержатся производные неизвестных функций
U(x, p) и I(x, 0) только по одной переменной, частные производные этих
функций по x заменены обыкновенными (полными) производными.
При нулевых начальных условиях уравнения (25.4) принимают вид

dI ( x, p )
 Y1 ( p ) U ( x, p );
dx
(25.5)

dU ( x, p )
 Z 1 ( p ) I ( x, p ).
dx
где Z1(p) = R0 + pL0, Y1(p) = G0+ pC0 - операторные погонное
сопротивление и погонная проводимость линии.
Уравнения (25.5) путем исключения переменных могут быть сведены к
одному дифференциальному уравнению, составленному относительно тока
или напряжения
d 2U ( x, p)
  2 ( p) U ( x, p).
2
dx
 ( p)  Z1 ( p)Y1 ( p)  ( R1  pL1 )(G1  pC1 ) операторный коэффициент распространения.
5
(25.6)
(25.7)
Таким образом, распределение операторных изображений токов и
напряжений в однородной цепи с распределенными параметрами определяется
решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами, общее решение которого имеет вид
U(x, p) = A1(p)e- (p) x + A2(p)e (p) x,
(25.8)
где A1(p), A2(p) - постоянные интегрирования, определяемые граничными
условиями задачи, т.е. значениями неизвестных функций U(x, p) и I(x, p) в
начале (x = 0) или в конце (x = l) линии. Подставляя (25.8) в уравнение (25.5),
находим выражение для операторного изображения тока линии
I(x, p) = A1(p)e- (p) x/ZB(p) - A2(p)e (p)x/ZB(p).
(25.9)
Величина ZB(p) называется операторным волновым сопротивлением линии.
Z B ( p) 
Z1 ( p)

 ( р)
R0  pL0
Z1 ( p)

.
Y1 ( p)
G0  pC0
(25.10)
Определяя значения постоянных интегрирования, соответствующие тем
или иным граничным условиям, и подставляя их в выражения (25.8), (25.9),
можно получить операторные изображения тока и напряжения в любом
сечении линии при произвольном внешнем воздействии, а также найти любые
частотные и временные характеристики исследуемой цепи.
Выводы
 Если геометрические размеры цепи соизмеримы с длиной волны
электромагнитных колебаний в цепи или больше длины волны, то
цепь относится к цепям с распределёнными параметрами и
необходимо учитывать зависимость токов и напряжений от
координат
 Длинная линяя – одномерная цепь с распределёнными
параметрами
 Длинные линии характеризуются погонным сопротивлением,
проводимостью, ёмкостью и индуктивностью. Если эти параметры
не зависят от координат, то линия однородна.
 Токи и напряжения в любой точки линии в любой момент времени
можно найти, решив телеграфные уравнения.
6



Для однородной лини телеграфные уравнения прадставляют собой
систему двух линейных дифференциальных уравнений в частных
производных
Для решения телеграфных уравнений используют начальные
условия – ток и напряжение в какой-либо точке линии в начальный
момент времени и граничные условия – ток и напряжение в конце
или в начале линии.
К вторичным параметрам линии относятся операторные функции коэффициент распространения и волновое сопротивление.
7