Лекция №11 Тема: ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР (ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ) План:

Лекция №11
Тема: ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР (ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ)
План: 1.Свободные электромагнитные колебания. Формула Томсона.
2.Свободные затухающие колебания.
3. Вынужденные колебания.
4.Переменный электрический ток. Действующее значение
переменного тока и напряжения.
5. Последовательное соединение. Резонанс напряжений.
6. Параллельное соединение. Резонанс токов.
7.Символический метод.
1.Свободные электромагнитные колебания. Формула Томсона.
В механике мы рассматривали систему (груз, подвешенный к пружине)
способную совершать гармонические колебания. Когда груз находится в
крайних положениях, его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная
энергия максимальна. При прохождении грузом положения равновесия,
напротив, кинетическая энергия максимальна, а потенциальная энергия равна
нулю. Поэтому можно сказать, что механическое колебание есть
периодическое превращение энергии системы из кинетической в
потенциальную и наоборот.
Аналогичные процессы мы имеем и при
электромагнитных
колебаниях.
R
Электромагнитные
колебания,
как
и
механические, могут возникать только в
C
определенных системах. Простейшей системой,
L
в которой могут возникать электромагнитные
колебания является колебательный контур.
Колебательный контур – это электрическая цепь,
Рис. 11.1. Колебательный контур
состоящая из последовательно соединенных
катушки индуктивности L, конденсатора С и
активного сопротивления R (рис. 11.1). Различают линейные и нелинейные
контура. В линейных контурах его параметры L, C, R не зависят от
интенсивности колебаний и период колебаний не зависит от амплитуды
(изохронность колебаний). В нелинейных контурах, например, при наличии
катушки с ферромагнитным сердечником, изохронность не соблюдается.
Если при разомкнутой цепи зарядить конденсатор, то он будет обладать

q2 
энергией  W 
 . При замыкании заряженного конденсатора на катушку
2C 

индуктивности в цепи возникает электрический ток и заряд конденсатора
начнет уменьшаться. Через четверть периода заряд конденсатора станет
равным нулю, но сила тока в цепи достигает максимального значения и

LI 2 
магнитное поле в катушке будет обладать энергией  W 
 . Затем ток в
2 

цепи начнет уменьшаться, но возникающая при этом ЭДС самоиндукции
будет поддерживать уменьшающийся ток, что приводит к перезарядке

q2 
конденсатора и образованию энергии электрического поля  W 
.
2C 

Если сопротивление контура R равно нулю (идеальный контур), то
указанный процесс периодического превращения энергии электрического


q2 
LI 2 
поля  W 
в
энергию
магнитного
поля
W



 и обратно будет
2C
2




продолжаться неограниченно долго, и мы получим незатухающие
электромагнитные колебания.
Из сопоставления электромагнитных и механических колебаний

q2 
следует, что энергия электрического поля  W 
 аналогична
2C


 kx 2 

LI 2 
потенциальной энергии 
 , а энергия магнитного поля  W 

2 
 2 

 mv 2 
аналогична кинетической энергии 
 . Из этой аналогии следует, что
2


1
индуктивность L играет роль массы m, величина обратная емкости
играет
C
роль коэффициента жесткости k, заряду q соответствует смещение х, силе
dq
dx
тока I  , скорость v 
.
dt
dt
Докажем, что эта аналогия распространяется и на описывающие их
уравнения.
Так как сопротивление контура равно нулю, то закон Ома для
неоднородного участка цепи запишется в виде:
1  2  E  0 .
11.1
Учитывая, что
q
dI
11.2
1  2   U   , E  L ,
C
dt
получим:
q
dI
 L  0.
11.3
C
dt
dI
 q получим уравнение
Разделив 11.3 на L и учитывая, что
dt
1
q 
q  0.
11.4
LC
Если ввести обозначение
02 
1
LC
11.5
уравнение 11.4 примет вид:
11.6
q  02  q  0 .
Уравнение 11.5 аналогично уравнению, описывающему механические
колебания
груза
на
пружине.
Решением
этого
однородного
дифференциального уравнения является функция
11.7
q  q 0  cos  0 t    .
Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по
гармоническому закону с частотой определяемой выражением 11.5. Эта
частота называется собственной частотой колебаний контура. Для периода
колебаний в колебательном контуре получается формула
11.8
T  2 LC ,
называемая формулой Томсона.
2.Свободные затухающие колебания.
Всякий реальный колебательный контур обладает сопротивлением. Это
приводит к тому, что часть энергии, запасенная в контуре, теряется на
нагревание проводников и поэтому свободные колебания являются
затухающими. Закон Ома для неоднородного участка цепи в этом случае
будет иметь вид:
q
dI
х
11.9
IR    L .
C
dt
dq
Разделив 11.9, на L и заменив I 
х1
х2
dt
dI
и
 q , получим уравнение:
t
dt
R
1
11.10
q   q 
q  0 .
L
LC
Учтя 11.5 и введя обозначение
R
Рис. 11.2. Затухающие колебания.

,
11.11
2L
уравнению 11.10 можно придать вид:
q  2q  02q  0 .
11.12
При условии, что 2  02 , решение этого уравнения имеет вид:
q  q 0  et  cos  t    ,
11.13
где
  02  2 .
Выражение 11.13 описывает гармонические колебания с частотой  ,
амплитуда которых не остается постоянной, а уменьшается с течением
времени по экспоненциальному закону (рис.11.2). Показатель  называется
коэффициентом затухания.
Найдем промежуток времени  , в течение которого амплитуда
колебаний уменьшается в «е» раз.
q 0et
 e или e  e
 t  
q 0e
1
Отсюда следует, что   , т.е. коэффициент затухания равен величине

обратной промежутку времени  , в течение которого амплитуда колебаний
уменьшается в «е» раз. Этот промежуток времени получил название времени
релаксации.
Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим
декрементом затухания  . Логарифмическим декрементом затухания 
называется натуральный логарифм отношения двух соседних амплитуд,
отстоящих друг от друга на один период (рис. 11.2):
q 0et
11.14
  ln
 T .
 t  T
q 0e  
Легко показать, что логарифмический декремент затухания  обратен
по величине числу колебаний N e , совершаемых за время  , в течение
которого амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз.
1
1
1
.
11.15
  T   T  
 Ne

T
Гораздо чаще качество колебательного контура характеризуют его
добротностью Q, которая определяется по формуле

11.16
Q

и характеризует потери энергии E в системе за одно полное колебание.
Так как энергия колебания пропорциональна квадрату амплитуды, то
для затухающих колебаний будем иметь E  E 0  e2t . Дифференцируя данное
выражение можно найти скорость изменения энергии системы
dE
 2E 0  e2t  2E .
dt
Если затухание в системе достаточно мало, то изменение энергии
системы за время равное периоду колебания можно найти по формуле
E  2 E  T . Приняв во внимание выражения 11.14 и 11.16, придем к
соотношению
E
Q

.
11.17
E 2
Из выражения 11.17 следует, что при слабом затухании колебаний
добротность, с точностью до множителя 2 , равна отношению энергии
запасенной в системе в данный момент времени, к убыли этой энергии за
одно полное колебание.
Из формулы 11.16 с учетом 11.14 следует, что

1 2 
Q
 
 .
T 2 T 2
1
Если 2  2 , то   0 
и тогда
LC

1 L
.
11.18
Q 0 
2 R C
Если условие 2  2 не выполняется, то вместо колебаний происходит
апериодический разряд конденсатора.
3. Вынужденные колебания.
Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему
внешнее
периодически
изменяющееся
воздействие. В случае электромагнитных
L
R
С
колебаний это можно осуществить, если
включить последовательно с элементами
контура
ЭДС,
которая
изменяется
по
гармоническому закону u  U m cos t (рис. 11.3).
Рис. 11.3. Возбуждение
Закон Ома для неоднородного участка цепи
вынужденных колебаний
в этом случае запишется в виде:
q
dI
11.19
IR   L  U m cos t .
C
dt
Переходя от тока I к заряду q и используя подстановки 11.5 и 11.11,
получим
U
11.20
q  2q  02q  m cos t .
L
Решение этого неоднородного дифференциального уравнения надо
искать в виде суммы двух слагаемых:
1. q  q 0e t cos  1t    где 1  02  2
2. q  q m cos  t    ,
где
Um
qm 
L

2
0

2 2

,
 4 
2
2
tg 
2
.
02  2
11.21
Первое слагаемое описывает поведение системы на начальном этапе
(установление
x
колебаний)
и
при
достаточно большом t
им можно пренебречь.
Следовательно, второе
решение
описывает
t
установившиеся
вынужденные
колебания (см. рис.
11.4).
Из формулы 11.21
Установление
следует, что амплитуда
колебаний
вынужденных
Рис. 11.4. Вынужденные колебания
колебаний зависит от
частоты
внешнего
воздействия  . Легко показать, что резонансная частота будет определяться
выражением:
p  02  22
и в случае малого затухания можно считать, что p  0 .
При резонансе напряжение на конденсаторе будет равно напряжению на
индуктивности и равно:
1
L

 Um  Q ,
R C
т.е. будет превышать приложенное напряжение в Q раз.
Мы рассмотрели вынужденные колебания, возникающие при
последовательном включении источника внешнего напряжения. Очевидно,
что вынужденные колебания можно осуществить, включив источник тока
параллельно элементам контура. Резонансная частота в этом случае также
будет равна собственной частоте колебаний.
UC  q mC  U m 
4.Переменный электрический ток. Действующее значение переменного
тока и напряжения.
Установившиеся вынужденные электрические колебания можно
рассматривать как протекание в цепи переменного тока, обусловленного
переменным напряжением u  U m cos   t .
Дифференцируя по времени, равенство 11.21 , найдем установившуюся
силу тока в цепи



i   q m sin  t      q m cos  t      Im cos  t    ,
2


11.22
где
Im  q m   
Um
1 

R 2   L 

C 

2
,
11.23
а
L 
1
C ,

1

tg  tg      

11.24
2
tg
R

где  - сдвиг фаз между током и напряжением.
Далее мы будем рассматривать только такие токи, сила которых
изменяется по синусоидальному закону, т.е. i  i m sin  t    .
Это объясняется несколькими причинами. Во-первых, все технические
генераторы переменного тока имеют ЭДС, изменяющуюся по закону, очень
близкому к синусоидальному, и потому создаваемые ими токи изменяются
по указанному закону.
Вторая причина заключается в том, что теория таких токов особенно
проста, и поэтому на примере таких токов можно очень просто выяснить
основные особенности электромагнитных колебаний.
Третья причина заключается в том, что колебания более сложной
формы можно представить в виде суммы синусоидальных колебаний
(теорема Фурье). Таким образом, гармонические колебания являются самым
важным, и самым простым типом колебаний.
Везде в дальнейшем мы будем считать, что колебания являются
установившимися, т.е. сила тока и напряжения достигли постоянного
значения.
Мгновенное значение мощности, выделяемой в цепи, равно
произведению мгновенных значений тока и напряжения
p  t   i  u  Im  U m  cos  t   cos t .
11.25
Преобразуя это выражение можно получить
I U
11.26
p  t   m m  cos(2t  )  cos  .
2
Практический интерес имеет среднее по времени значение p  t  . Так как
среднее значение cos  2  t     0 , то
Im U m
U I
cos   m m cos   UIcos  .
2
2 2
11.27
U
I
Величины U  m и I  m получили
2
2
название
действующих
значений
переменного тока и напряжения.
В выражение 11.27 для мощности
p
R
Рис.11.5. Активное сопротивление
в цепи переменного тока
переменного тока множитель cos , который называют коэффициентом
мощности.
Рассмотрим частные случаи.
Активное сопротивление в цепи переменного тока.
Пусть к зажимам сопротивления R (не обладающего индуктивностью и
емкостью – такое сопротивление получило название активного) приложено
переменное напряжение
u  U m cos t .
11.28
Сила тока в этом проводнике будет определяться законом Ома
u U
11.29
i   m cos t  Im cos t .
R R
Таким образом, между амплитудными
UR
IR
значениями тока и напряжения имеем
соотношение
Рис. 11.6. Векторная диаграмма
U
для активного сопротивления.
Im  m ,
R
а сдвиг фаз между током и напряжением в этом случае равен нулю.
Векторная диаграмма имеет вид (рис. 11.6).
L
u  U m cos t
Рис. 11.7. Индуктивность в цепи
переменного тока
Индуктивность в цепи переменного тока.
Индуктивное сопротивление.
Включим в цепь переменного тока
катушку индуктивности L с пренебрежимо
малым
активным
сопротивлением
 R  0, C    (рис. 11.7). В этом случае
закон Ома для неоднородного участка цепи
запишется в виде: 1  2  E  0 . Так как
di
di
1  2  u, E  L , то u  L . Отсюда
dt
dt
найдем, что
u
U
11.30
dt  m cos t .
L
L
После интегрирования этого выражения будем иметь
U
U



i   m sin t  m cos  t    I m cos  t 
UL
 L
 L
2


,
11.31
U
где Im  m .
 L
IL
Из выражения 11.31 следует, что роль
сопротивления в данном случае, играет
Рис. 11.8. Векторная диаграмма
величина
для индуктивности L.
X L  L
di 
11.32
называемая реактивным индуктивным сопротивлением.
Из сравнения выражений 11.28 и 11.31 следует, что сдвиг фаз между

током и напряжением равен  , причем ток отстает от напряжения.
2
Векторная диаграмма представлена на рисунке 11.8.
Отметим, что возникновение реактивного индуктивного сопротивления
связано с возникновением ЭДС самоиндукции в катушке, при протекании в
ней переменного тока, направленной, по правилу Ленца, против основного
тока.
Емкость в цепи переменного тока.
Емкостное сопротивление.
С
Рассмотрим цепь переменного тока,
содержащую емкость С  R  0,L  0  (рис.
11.9).
Индуктивность
и
активное
u  U m cos t
сопротивление цепи малы, и ими можно
пренебречь, поэтому можно считать, что все
Рис. 11.9. Емкость в цепи
переменного тока
напряжение приложено к конденсатору и тогда
q
 U m cos t .
C
Отсюда
q  CU m cos t .
11.33
dq
По определению i 
, поэтому, дифференцируя 11.33 по времени,
dt
получим


i  CU m sin t  I m cos  t   ,
11.34
2

U
Im  m .
где
1
C
Величина
1
11.35
XC 
C
получила
название
реактивного
IC
емкостного сопротивления.
Сравнивая 11.28 и 11.35, получаем, что на
емкости сдвиг фаз между током и

UC
напряжением равен , причем ток опережает
2
Рис. 11.10. Векторная
напряжение. Векторная диаграмма приведена
диаграмма для емкости С.
на рисунке 11.10.
5. Последовательное соединение. Резонанс напряжений.
Рассмотрим цепь переменного тока, состоящую из последовательно
соединенных активного сопротивления R, индуктивности L и емкости С к
которой приложено напряжение u  U m cos t . В цепи возникает переменный
ток той же частоты  , амплитуда и фаза которого, очевидно определяются
параметрами электрической цепи R, L и C. Векторная диаграмма
представлена на рисунке.
Падения напряжения на элементах цепи
u R , u L , u C в сумме должны быть равны
L
R
С
приложенному к цепи напряжению u .
Поэтому, сложив вектора изображающие
u  U m cos t
u R , u L , u C , мы получим вектор, изображающий
u . Этот вектор образует с осью токов угол  ,
Рис. 11.11. Последовательное
тангенс которого, как видно из рисунка, равен
соединение R, L, C.
1
L 
C .
tg 
11.36
R
Из прямоугольного треугольника следует, что
2
1 
2

2
U m   Im R    I mL  I m
11.37
 .
C 

Отсюда
Um
.
11.38
Im 
2
1 

R 2   L 

C 

Величина
2
1 

Z  R   L 

C 

11.39
называется полным сопротивлением цепи
переменного тока, а величину
1
11.40
X  L 
C
называют реактивным сопротивлением
цепи. Тогда
2
uL
u

uR
i
uC
Рис. 11.12. Векторная диаграмма для
последовательного соединения.
Z  R 2  X2 .
Ток опережает
11.41
напряжение, если
1
1
L 
и отстает от напряжения в противном случае. При L 
сдвиг
C
C
фаз равен нулю. Отсюда следует, что резонансная частота
1
.
11.42
LC
При этом полное сопротивление цепи Z  R имеет минимальное
U
значение, а сила тока в цепи достигает максимального значения Im  m . В
R
этом случае падения напряжения на активном сопротивлении равно
приложенному напряжению, а напряжения на конденсаторе и индуктивности
одинаковы по величине и противоположны по фазе. Это явление получило
название резонанса напряжений. Подставляя в формулу для напряжения на
конденсаторе, силу тока и резонансную частоту получим:
L Um 1 L
U Cp 


 Um  Q  Um ,
11.43
C R
R C
где Q - добротность.
L
 R , то напряжение на индуктивности и емкости будет
Если
C
больше внешнего напряжения, приложенного к цепи.
Явление электрического резонанса широко используется
в
радиотехнике.
6. Параллельное соединение. Резонанс токов.
p  0 
Рассмотрим
цепь,
образованную
С
включенными параллельно емкостью С и
индуктивностью L (рис. 11.13). Будем считать, что
активное сопротивление обоих ветвей настолько
мало, что им можно пренебречь. Векторная
u  U m cos t
диаграмма будет иметь вид представленный на
рисунке 11.14. Из рисунка 11.14 видно, что токи в
Рис. 11.13. Параллельное
отдельных ветвях IC и I L
iC
соединение L и C.
противоположны по фазе и
тогда ток в подводящих проводах I  I L  IC . При
u
условии I L  IC получаем, что ток в подводящих
проводах равен нулю, хотя токи в отдельных ветвях
iL
могут быть очень велики. Это явление получило
Рис. 11.14.
название резонанса токов. Легко получить, что и в Векторная диаграмма
этом случае резонансная частота определяется
1
выражением p 
.
LC
7.Символический метод.
L
Расчет цепей переменного тока значительно
воспользоваться символическим методом.
Комплексным числом Z называется число вида
упрощается,
если
Z  x  jy ,
11.44
где х – вещественная часть, y – мнимая часть числа, j  1 мнимая единица.
Комплексное число вида 11.44 можно задать с помощью декартовых
координат х и y соответствующей точки. Однако то же самое число мы
можем задать и с помощью полярных координат  и  .
11.45
х   cos , y   sin  .
Учитывая 11.45 комплексное число 11.44 можно задать в виде
11.46
Z    cos   j  sin   ,
  x 2  y 2 - модуль комплексного числа,  - аргумент.
В математике доказываются соотношения
11.47
e j  cos   j  sin  и e j  cos   j  sin  .
С помощью формул 11.47 комплексное число 11.46 можно представить
в показательной форме
11.48
Z  e j .
При сложении комплексных чисел складываются отдельно их
вещественные и мнимые части
Z1  Z2   x1  x 2   j y1  y2  .
Умножение комплексных чисел удобно производить, беря их в
показательной форме
Z1  Z2  1  2  e j1  e j2 .
В заключение отметим, что представление колебаний с помощью
комплексных выражений тесно связано с векторными диаграммами.
Рассмотрим теперь цепь переменного тока. Пусть сила тока в цепи будет
изменяться по закону i  I m sin t . Пользуясь комплексными числами это
колебание можно записать в виде
i  Im  e jt .
11.49
Тогда колебания напряжения на чисто активном сопротивлении R будут
выражаться формулой
u  Im  R  e jt .
Комплексная амплитуда напряжения в этом случае является чисто
вещественной
U mR  I m  R .
1150

Колебания напряжения на индуктивности L опережают ток на угол и
2
могут быть представлены в виде
где


j t  
2

jt
j

2
u L  Im   L  e
 Im   L  e  e .
Комплексная амплитуда напряжения на индуктивности
определяться выражением
U mL  Im   L  e
j

2
 Im   L  j .
будет
11.51
Рассуждая аналогично для комплексной амплитуды напряжения на
емкости можно получить
1
.
11.52
U mC   j 
 C
Применение комплексных величин для расчетов цепей переменного
тока можно значительно упростить, если ввести понятие комплексного
сопротивления Z. Пусть I m амплитуда тока, в каком либо участке цепи, а
U m - комплексная амплитуда напряжения. Тогда комплексное сопротивление
участка определится соотношением
U
Z m .
Im
Из выражения 11.51 следует, что комплексное сопротивление
индуктивности L равно
ZL  j   L .
11.53
Из 11.52 можно найти, что
1
.
11.54
ZC   j 
C
Можно показать, что законы постоянного тока применимы не к
обычным фактическим амплитудам тока, напряжения и ЭДС, но к
комплексным амплитудам этих величин, причем под сопротивлением
отдельных участков цепи нужно понимать их комплексные сопротивления.
Метод комплексных сопротивлений весьма удобен для проведения
расчетов и поэтому широко применяется в электротехнике.
Рассмотрим некоторые примеры.
Последовательное соединение. При последовательном соединении
общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных участков
и поэтому комплексное сопротивление цепи будет равно
1 

Z  R  j L 
,
C 

а модуль
2
1 

Z  R   L 
 .
C 

Мы получили выражение, полностью совпадающее с ранее полученным
выражением 11.39 для полного сопротивления цепи переменного тока.
Параллельное соединение емкости и индуктивности. При
параллельном соединении величина обратная полному сопротивлению цепи
равна сумме величин обратных комплексному сопротивлению участков
1
1
  C 1  2  L  C



.
Z j  L
j
j  L
2
b
Отсюда,
j   L
.
1  2  L  C
Z1
Z2
Измерительные
мосты
переменного тока.
Измерительные
мосты переменного тока могут быть
c
использованы для измерения емкости
a
ин
конденсаторов и индуктивности катушек.
Схема
измерительного
моста
переменного тока подобна схеме моста
R3
R4
постоянного тока, но отличается от нее
тем, что в два плеча схемы включаются
d
вместо
сопротивлений
либо
конденсаторы,
либо
катушки
индуктивности (рис. 11.15).
Рис. 11.15. Измерительный мост
Процесс измерения заключается в
переменного тока.
том, что, изменяя сопротивления двух
других плеч, добиваются равновесия
моста (ток в измерительной диагонали равен нулю). В этом случае условие
равновесия моста можно записать в виде
R 3 Z1
.

R 4 Z2
Заменяя комплексные сопротивления их значениями, в случае
измерения емкости, можно получить
R 3 C1
R

 C1  C2  3 .
R 4 C2
R4
При измерении индуктивности получается равенство
R
R1  j   L1  3  R 2  j   L 2  .
R4
Но для равенства двух комплексных чисел необходимо, чтобы были
равны их действительные и мнимые части, т.е.
R
R
R1  R 2 3 и L1  L2 3 .
R4
R4
Наличие двух условий соответствует тому физическому обстоятельству,
что для равновесия моста необходимо, чтобы колебания напряжения на
измерительной диагонали совпадали не только по величине, но и по фазе,
ибо только в этом случае можно добиться того, чтобы разность потенциалов
была равна нулю. Первое условие есть равновесие моста на постоянном токе,
второе – на переменном токе.
Z